Equazioni parametriche

algebra
Equazioni parametriche
delle seguenti equazioni parametriche trova il valore di k affinché:
𝑘𝑥 2 − (2𝑘 − 1)𝑥 + 𝑘 = 0

1



le radici siano reali ed uguali
una radice sia 0
una radice sia 3
la somma delle radici sia -3
Soluzioni

𝑘 = 1/4

∄𝑘

𝑘 = −3/4

𝑘 = 1/5
(𝑘 − 1)𝑥 2 − 2(𝑘 − 2)𝑥 + 𝑘 = 0


2




una radice sia 0
le radici siano coincidenti
le radici siano opposte
una radice sia reciproca dell’altra
il prodotto delle radici sia 1/2
la somma dei reciproci delle radici sia 5
Soluzioni

𝑘=0

𝑘 = 4/3

𝑘=2

∄𝑘

𝑘 = −1

𝑘 = −4/3

𝑘 > 25/3

0 < 𝑘 < 25/3

𝑘 = −3

𝑘 = 25/4
3𝑥 2 − 10𝑥 + 𝑘 = 0

3



le radici siano non reali
le radici siano concordi
le radici siano antireciproche
una radice sia tripla dell’altra
Soluzioni
𝑥 2 + 𝑘𝑥 + 1 = 0

4



le radici siano reali ed uguali
le radici siano opposte
il prodotto delle radici sia 1
la somma dei quadrati delle radici sia 7
Soluzioni

𝑘 = ±2

𝑘=0

∀𝑘

𝑘 = ±3
𝑥 2 + (3 − 𝑘)𝑥 + 2𝑘 − 1 = 0

5




v 1.2
una radice sia -7
le radici siano uguali
la media delle radici sia −3/2
il prodotto delle radici uguale alla somma delle stesse
la somma dei reciproci delle radici sia 4/3
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Soluzioni

𝑘 = −3

𝑘 = 13, 𝑘 = 1

𝑘=0

𝑘 = −2

𝑘 = −1
1 di 3
Equazioni parametriche
algebra
𝑥 2 − 𝑘𝑥 + 𝑘 − 1 = 0

6




una radice sia 1
la somma dei reciproci delle radici sia −1/2
la somma dei reciproci dei quadrati delle radici sia 2
la somma dei cubi delle radici sia 1
la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 9/8
Soluzioni

∀𝑘

𝑘 = 1/3

𝑘 = 0, 𝑘 = 2

𝑘=1

𝑘=3

𝑘 = 2, 𝑘 = 10/3

𝑘 = 4, 𝑘 = 1/2

𝑘 = 2 𝑛𝑜𝑛 𝑎𝑐𝑐𝑒𝑡𝑡𝑎𝑏𝑖𝑙𝑒 𝑘 = 25/8
𝑥 2 − 2(𝑘 − 2)𝑥 + 𝑘 − 2 = 0
7



una radice sia tripla dell’altra
la somma dei quadrati delle radici sia 12
la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 20/9
Soluzioni
2𝑥 2 − 2(𝑘 − 2)𝑥 − 𝑘 + 2 = 0

8



le radici siano uguali
una radice sia 1/2
una radice sia −1/2
una radice sia doppia dell’opposto dell’altra
Soluzioni

𝑘 = 0, 𝑘 = 2

𝑘 = 9/4

∄𝑘

𝑘 = 2, 𝑘 = 9/4
𝑘𝑥 2 + 𝑥 + 𝑘 = 0
1

𝑥1 + 𝑥2 − 3 𝑥1 ∙ 𝑥2 = − 2

𝑥1 = 𝑥
9
Soluzioni

𝑘 = −2/5

∀𝑘 ≠ 0
5

∄𝑘
2

𝑘 = −1/2

𝑘 = −4/17
1
2

𝑥1 = 𝑥

𝑥2 = 3 𝑥1 − 2

1
𝑥1
1
+𝑥 =
2
17
4
6𝑥 2 − 𝑘𝑥 − 2 = 0
10
𝑥1 = − 4 𝑥2

1

v 1.2
1

𝑥13
1
+ 𝑥2 = −
2
Soluzioni

𝑘 = 3√3
37

𝑘=1
8

𝑘 = −16
𝑥1 + 𝑥2 = 8 𝑥1 ∙ 𝑥2
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2 di 3
Equazioni parametriche
algebra
𝑥 2 − 2(𝑘 − 1)𝑥 + 3(𝑘 − 1) = 0

11




Soluzioni
𝑥1 = −2
𝑥1 + 𝑥2 = −2
𝑥1 ∙ 𝑥2 = 3

𝑘 = 3/7

𝑘=0

𝑘=2
1
1

𝑘 = −1/5
2

𝑘=4
𝑥13
+ 𝑥2 = 1
La media delle radici sia 3
5𝑥 2 − 3𝑘𝑥 + 𝑘 = 0

12

𝑥1 = 𝑥2
𝑥1 + 𝑥2 = −9

𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥1 ∙ 𝑥2 =

𝑥1 = −2𝑥2
Soluzioni

𝑘 = 0, 𝑘 = 20/9

𝑘 = −15
16

𝑘=4
5

𝑘=0
(𝑘 − 1)𝑥 2 − 3𝑘𝑥 + 𝑘 + 1 = 0
soluzioni reali
 l’equazione sia spuria
 l’equazione sia pura
 la somma dei reciproci delle radici sia −1

13
Soluzioni

∀𝑘 ≠ 1

𝑘 = −1

𝑘=0

𝑘 = −1/4
𝑥 2 − 2𝑘𝑥 + 𝑘 − 1 = 0
Soluzioni

soluzioni coincidenti
 il quadrato della somma delle radici è quattro volte il 
quadrato del prodotto

 la somma dei quadrati dei reciproci delle radici sia 2

14
∄𝑘
𝑘 = 1/2
𝑘 = 0 𝑘 = −1
𝑘𝑥 2 + 6𝑥 + 1 = 0
soluzioni siano reali
 una radice sia -1/4
 la somma dei reciproci delle radici sia -7
 la somma dei cubi dei reciproci delle radici sia 180

15
v 1.2
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Soluzioni

𝑘 ≤ 9 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ≠ 0

𝑘=8

∄𝑘

𝑘 = 22
3 di 3