esercizi schemi a blocchi e modelli

Regole per l’elaborazione di schemi a blocchi
Oltre alle tre fondamentali precedenti regole (cascata, parallelo, retroazione), ne
esiste una serie ulteriore che consente di semplificare i sistemi complessi, riducendoli
ad un unico blocco equivalente. Dette regole consentono di spostare rami, blocchi, nodi
per ricondursi ai tre fondamentali casi precedenti.
Nella tabella 3.3.1 sono riassunte le principali regole dell’algebra degli schemi a
blocchi.
Elaborazione di uno schema a blocchi complesso
Con riferimento alla tabella 3.3.1, per semplificare uno schema a blocchi complesso
può essere utile definire la seguente procedura da seguire:
1.
2.
3.
4.
si individuano i blocchi in serie e si riducono mediante la regola 1;
si individuano i blocchi in parallelo e si elaborano mediante la regola 2;
si individuano gli anelli di retroazione utilizzando la regola 4;
nel caso di anelli di retroazione contenenti, al loro interno, nodi sommatori o punti
di diramazione, questi ultimi si spostano all’esterno dell’anello stesso utilizzando le
regole 7, 10, 12.
Le restanti regole possono essere utili in alcuni casi.
Tabella 3.3.1 - Regole fondamentali dell’algebra degli schemi a blocchi.
– La lettera G rappresenta la f.d.t. di un generico blocco.
– Le lettere x, y, z rappresentano i segnali nei vari rami.
Fig. 3.3.8 - Esempio di elaborazione di uno schema
complesso.
Fig. 3.3.9 - Esempio di elaborazione di uno schema
complesso.
Esempio 3.3.1 - Elaborazione di uno schema complesso
Nella figura 3.3.8 è riportato un esempio di applicazione delle regole enunciate.
Esempio 3.3.2 - Elaborazione di uno schema complesso
Nella figura 3.3.9 è riportato un secondo esempio di applicazione delle regole enunciate.
Sistemi lineari tempo-invarianti con più ingressi
Nel caso di sistemi lineari tempo-invarianti si può applicare il principio della
sovrapposizione degli effetti.
La procedura da seguire per la soluzione di questi sistemi è la seguente:
1. si pongono uguali a zero tutti gli ingressi ad eccezione di uno;
2. si calcola la risposta dovuta all’ingresso considerato;
3. si ricalcola, con la stessa procedura, l’uscita determinata da ogni altro ingresso,
quando agisce da solo;
4. si sommano algebricamente tutte le uscite ottenute; il risultato così ottenuto
rappresenta l’uscita effettiva del sistema.
Si noti che non è possibile definire una unica funzione di trasferimento equivalente,
ma una funzione di trasferimento del sistema ad ogni ingresso.
Esempio 3.3.3 - Soluzione di un sistema
lineare tempo-invariante a due ingressi applicando il metodo della sovrapposizione degli
effetti (Fig. 3.3.10).
L’uscita vale:
U = U1 + U 2 =
G1 G2
G2
⋅ I1 +
⋅I2
1 + G1 G2
1 + G1 G 2
Fig. 3.3.10 - Esempio di sistema lineare con due ingressi; si noti che il
blocco con funzione di trasferimento -1 è inserito nello schema inferiore
per tenere conto della variazione di segno introdotta dal nodo sommatore.
Esercizi da svolgere
Esercizio 1
Applicando le regole dell’algebra degli schemi a blocchi, determinare il blocco
equivalente dei seguenti schemi:
Esercizio 2
Applicando l’algebra degli schemi a blocchi ed il principio della sovrapposizione degli
effetti, determinare l’uscita U dei seguenti schemi:
Esempio di sistema elettrico descritto da una equazione differenziale
del second’ordine
Fig. 1 - Circuito R-L-C serie.
Si consideri un sistema R-L-C serie (Fig. 1); il generatore è un generatore di tensione
ideale che fornisce una f.e.m. e(t ) variabile nel tempo. Si supponga che all’istante t = 0
il condensatore sia carico alla tensione U0; nell’istante t = 0 la corrente i(0) = 0, essendo
il circuito aperto.
Il modello matematico del circuito è dato dalla seguente equazione, ottenuta
dall’applicazione della LKT (legge di Kirchhoff della tensione):
uL(t ) + uC(t ) + uR(t ) = e (t )
dove:
•
•
•
uL(t ) è la caduta di tensione ai capi dell’induttanza;
uC(t ) è la caduta di tensione ai capi del condensatore;
uR(t ) è la caduta di tensione ai capi della resistenza.
Si è già visto che la uL(t ) può essere convenientemente espressa in funzione della
derivata rispetto al tempo della corrente che attraversa l’induttanza, mediante la
seguente relazione:
uL(t ) =
Ldi (t )
dt
La uC(t ) può essere convenientemente espressa in funzione della carica q(t ) presente
sul condensatore e della capacità C del condensatore stesso, nel seguente modo:
uC(t ) =
q (t )
C
La caduta di tensione UR(t ) ai capi della resistenza R:
UR(t ) = Ri(t )
Al fine di avere un’unica variabile in gioco conviene esprimere la corrente i(t) in
funzione della carica sul condensatore; ricordando (dall’elettrotecnica) che la corrente
è rappresentata dalla derivata della carica rispetto al tempo, la corrente si può scrivere:
i(t) =
dq (t )
= q′
dt
conseguentemente la derivata della corrente rispetto al tempo può essere espressa
come:
di (t )
= q′′
dt
sostituendo e riordinando, l’equazione della maglia per il circuito in oggetto diventa
dunque:
Lq ′ ′ + Rq ′ +
q (t )
= e(t ′)
C
con le condizioni iniziali q(0) = Q0 e I0 = 0.
Il modello matematico ottenuto è una equazione differenziale del second’ordine,
lineare, a coefficienti costanti; la q(t ) rappresenta la funzione incognita.
La soluzione delle equazioni differenziali
La soluzione delle equazioni differenziali con i metodi tradizionali esula dallo scopo
della presente trattazione; in altro approfondimento verrà presentato un metodo
particolarmente potente per la soluzione delle equazioni differenziali lineari a coefficienti
costanti: il metodo della “trasformata di Laplace”.
Esercizi proposti
a. Si provi a ricavare l’equazione differenziale che rappresenta il modello di un circuito
serie R-C alimentato con un generatore di tensione. Si consideri come incognita
la carica q(t) sul condensatore.
b. Si provi a ricavare il modello matematico di un sistema meccanico lineare tempoinvariante (Fig. 2), costituito da una massa m, una molla di costante elastica k ed
uno smorzatore con coefficiente d’attrito b (si consideri che lo smorzatore produce
una forza proporzionale alla velocità data dalla:
fs =
−bdx (t )
dt
Fig. 2 - Sistema massamolla-smorzatore.
c. Ricavare il modello matematico di un circuito serie R-C con R = 50 Ω e C = 20 µF
alimentato da un generatore di tensione, considerando come uscita la corrente
circolante nel circuito
d. Ricavare il modello matematico di un circuito serie R-C con R = 100 Ω e C = 3 mF
alimentato da un generatore di tensione, considerando come uscita la carica sul
condensatore.
e. Nell’esercizio precedente si immagini che nell’istante iniziale il condensatore sia
carico ad una tensione Uc(0) = 40 V e che la tensione applicata sia data dalla
u(t) = 230 sin (314t): scrivere il modello matematico esplicitando l’ingresso e la
condizione iniziale.
f. Ricavare il modello matematico di un circuito R-L-C serie con R = 100 Ω L = 2mH
e C = 3mF considerando come uscita la carica sul condensatore.