Sul teorema fondamentale del calcolo integrale
Un limite della forma 0/0
Della funzione f ( x) =
1
x3
∫ (1 − cos t ) dt , studiare il limite per x→0.
x
2
0
Soluzione
Osserviamo che la funzione integranda è continua su tutto l’asse reale e dunque il valore
dell’integrale definito
∫ (1 − cos t ) dt
x
2
0
per x→0 vale zero. Il limite in esame si presenta nella
forma 0/0. Si può affrontare lo studio del limite ricordando il teorema fondamentale del
calcolo integrale ed applicando la regola di de l’Hôpital. Si può anche eseguire il calcolo
dell’integrale definito e successivamente passare allo studio del limite assegnato. Riportiamo i
due metodi.
Primo metodo (utilizzo del teorema fondamentale del calcolo integrale).
x
(
)
Posto G ( x) = ∫ 1 − cos 2 t dt , dal teorema fondamentale del calcolo integrale, si deduce che
0
G ( x) è una primitiva della funzione g ( x) = 1 − cos 2 x per cui, applicando la regola di de
l’Hôpital al limite otteniamo
∫ (1 − cos t ) dt =
lim
x
lim f ( x) =
x →0
2
0
x3
x →0
H.
1 − cos 2 x
sen 2 x 1
senx 1
lim
= lim
= lim
=
2
2
0
x →0
x
→
x
→
0
3x
3x
3
x 3
2
Secondo metodo
Calcoliamo prima l’integrale definito. Si ha
1 x
1 x 1 + cos 2t
1
f ( x) = 3 ∫ (1 − cos 2 t ) dt = 3 ∫ 1 −
dt = 3
x 0
x 0
x
2
1 cos 2t
−
dt =
0
2
2
∫
x
x
1 t sen2t
1 x sen 2 x
−
= 3 −
.
3
x 2
4 0
x 2
4
Passiamo ora a studiare il limite richiesto.
2 x − sen 2 x H . 2
1 − cos 2 x H .
1 2 x − sen 2 x 1
lim f ( x) = lim 3
=
lim
=
= lim
3
x →0
x →0 x
x
4 ⋅ 3 x →0
x2
4
4 x →0
1
2 sen 2 x 1
lim
=
x
→
0
6
2x
3
Come si vede è stato ottenuto lo stesso valore per il limite.
Esercizio proposto
Provare che risulta
1 x
1
lim 3 ∫ (1 − cos t ) dt =
0
x →0 x
6
Luigi Lecci: www.matematicaescuola.it
