Appunti lezione del 04-02-2013
Alberto Carraro
Laboratoire PPS, Université Paris Diderot
Esempio. Una funzione continua e derivabile una sola volta in R: f (x) =
x|x|. Infatti f 0 (x) = 2|x|, che è continua in tutto R ma non derivabile in 0.
Esempio. Una funzione continua e derivabile una sola volta in {x : x ≥ 0}:
1
1
f (x) = x 2 . Infatti f 0 (x) = 12 x− 2 , che è continua e derivabile in {x : x > 0} ma
non derivabile in 0.
Esempio. La funzione
(
f (x) =
2x sin( x1 ) − cos( x1 )
0
se x 6= 0
altrimenti
è discontinua in x = 0, poiché non esiste il limite limx→0 f (x) ma è integrabile
su tutto R ed ammette anche primitiva, essendo la derivata della funzione
(
x2 sin( x1 ) se x 6= 0
F (x) =
0
altrimenti
Esempio. La funzione
(
f (x) =
0
2
se 0 ≤ x < 1
se x = 1
è discontinua in x = 1. Inoltre non ammette primitiva (cioè non è la derivata di
alcuna funzione). Infatti una ipotetica primitiva F (x) di f (x) dovrebbe essere
continua in [0, 1] e avere derivata nulla in ogni x ∈ (0, 1), e quindi dovrebbe
risultare costante in [0, 1], e pertanto avere derivata nulla anche in x = 1, cioè
F 0 (1) = 0: ma si dovrebbe avere anche F 0 (1) = f (1) = 2, il che è assurdo.
Esempio. Una funzione può ammettere primitive senza essere integrabile.
(
2x sin( x12 ) − x2 cos( x1 ) se x 6= 0
f (x) =
0
altrimenti
Questa funzione, non integrabile in [0, 1] in quanto non limitata, è la derivata
della funzione
(
x2 sin( x12 ) se x 6= 0
F (x) =
0
altrimenti
2
Carraro
Quindi F (x) è primitiva di f (x) (cioè F 0 (x) = f (x)).
Dire che una funzione f è integrabile in [a, b] significa dire cheR f ammette
x
primitiva, in quanto per ogni c ∈ [a, b] la funzione integrale Ac (x) = c f (t)dt per
x ∈ [a, b] è una primitiva di f nell’intervallo (a, b), come dice il Primo Teorema
fondamentale del calcolo. Notiamo invece che:
– una funzione può essere integrabile ma non continua in un intervallo [a, b];
– una funzione continua in [a, b] è sempre integrabile in [a, b].
Theorem 1 (Riemann). Sia f una funzione reale continua in un intervallo
Rb
[a, b]. Allora l’integrale a f (x)dx esiste ed è uguale al limite
P
n
b−a
limn→+∞ b−a
k=1 f (a + k n ).
n
Theorem 2 (Primo teorema fondamentale del calcolo). Sia f una funzione integrabile su [a, x] per ogni x ∈ [a, b]. Allora per ogni c ∈ [a, b] la funzione
Rb
A(x) = a f (t)dt se x ∈ [a, b] è tale che la derivata A0 (x) esiste in ogni punto
x ∈ (a, b) in cui f è continua e per tali x abbiamo A0 (x) = f (x).
Il Teorema 2 corrisponde al Teorema 5.1 a pagina 248 di [2].
In virtù del Teorema 1 (di Riemann) una versione piuù debole ma semplice
del Teorema 2 è la seguente:
Theorem 3. Sia f una funzione continua su [a, b]. Allora per ogni c ∈ [a, b] la
Rb
funzione A(x) = a f (t)dt se x ∈ [a, b] è tale che la derivata A0 (x) esiste in ogni
punto x ∈ (a, b) ed abbiamo A0 (x) = f (x).
Theorem 4 (Della derivata nulla). Sia I un intervallo aperto. Se f 0 (x) = 0
per ogni x ∈ I, allora f è costante in I. Viceversa se f è costante in I, allora
f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ I.
Il Teorema 4 corrisponde al Teorema 5.2 a pagina 251 di [2].
Definition 1 (Primitiva). Una funzione P è detta primitiva (o antiderivata)
di una funzione f su un intervallo aperto I se la derivata di P è f , cioè se
P 0 (x) = f (x) per ogni x ∈ I.
Ogni coppia di primitive P, Q di una funzione f data differisce solo di una
costante poiché (P − Q)0 (x) = P 0 (x) − Q0 (x) = f (x) − f (x) = 0 per ogni x ∈ I
e dunque la funzione (P − Q)(x) è costante su I per il Teorema 4.
Theorem 5 (Secondo teorema fondamentale del calcolo). Sia f una funzione continua su un intervallo aperto I e sia PR una qualsiasi primitiva di f .
x
Allora per ogni c, x ∈ I abbiamo P (x) = P (c) + c f (t)dt.
Il Teorema 5 corrisponde al Teorema 5.3 a pagina 252 di [2].
R a In vista del Teorema 5 segue immediatamente che per ogni a ∈ I abbiamo
f (t)dt = P (a) − P (c).
c
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References
1. M. Bertsch, Istituzioni di Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 1994.
2. T. M. Apostol, Calcolo volume primo: analisi 1, Bollati Boringhieri, Torino, 1978.
3. T. M. Apostol, Calcolo volume secondo: geometria, Bollati Boringhieri, Torino,
1978.
4. T. M. Apostol, Calcolo volume terzo: analisi 2, Bollati Boringhieri, Torino, 1978.
