Fisica 2 2 Febbraio 2017 Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica

Fisica 2
2 Febbraio 2017
Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica e delle Telecomunicazioni
1. Sono date le 4 lastre piane di figura, A,B,C,D
indefinite, perpendicolari all’asse x con centri posti
rispettivamente nelle coordinate xA = - d; xB = 0, xC = d,
xD = 2d ( d = 1cm ). Le lastre A e C hanno spessore h =
2mm e sono cariche con densità volumetrica di carica
rispettivamente: 10-6 C/m3eC = -. Le
lastre B e D, di spessore trascurabile, sono cariche con
densità superficiale di carica rispettivamente
h e D = –. Determinare la funzione campo
elettrostatico E e mostrare in grafico il suo modulo in
funzione di x.
2. (a) Indicare come si redistribuiscono le densità di carica
sulle quattro lastre nel caso in cui nell’esercizio 1 le lastre
siano metalliche e all’equilibrio.
(b) Mostrare
l’andamento del potenziale elettrostatico lungo l’asse x in
questo caso.
3. Determinare il campo magnetico al centro della spira
quadrata di lato L = 20cm di figura, caratterizzata da un
momento di dipolo magnetico di modulo m = 0.08Am2.




-d
A
O
+d
B
C
x
2d
D
y
L/2
I
-L/2
I
O
L/2 x
-L/2
4. Si abbia un avvolgimento posto su un anello di
materiale ferromagnetico. Il flusso concatenato con l’avvolgimento dipenda dalla corrente I
che scorre in esso secondo l’andamento indicato nel grafico. R è la resistenza del circuito,
alimentato dalla f.e.m. costante Vo. Al tempo t = 0
(B)
viene
chiuso
l’interruttore:
determinare
l’andamento della corrente che scorre nel circuito
f
nel tempo e mostrarla in grafico.

5. Un cilindro cavo di altezza h, raggio interno R e
f
spessore s << R è posto all’interno di un solenoide
molto lungo con l’asse coincidente con quello del
solenoide. Il cilindro è di materiale conduttore con conducibilità elettrica  . Il solenoide ha
n spire per unità di lunghezza ed è percorso dalla corrente I(t) = I 0 cost. Determinare
l’espressione della potenza dissipata per effetto Joule nel cilindro da parte delle correnti
indotte, considerando trascurabile l’effetto di queste sul campo magnetico.
Soluzione
1. Il problema si risolve utilizzando il teorema di Gauss. Per la geometria del problema E ha direzione
dell’asse x. All’interno delle lastre con spessore non trascurabile, essendo la densità volumetrica di
carica costante, il campo è lineare e tale da raccordarsi ai valori nelle regioni esterne adiacenti. Dato
che la carica sulle lastre è complessivamente
nulla, il campo elettrostatico all’esterno del
sistema di carica è nullo.
x < -d –h/2 U X > 2d E = 0
𝜌
ℎ
-d-h/2 < x < -d + h/2 𝐸(𝑥) = 𝜀 (𝑥 + 𝑑 + 2)
0
𝜌ℎ
-d + h/2 < x < 0
𝐸(𝑥) =
0 < x < d - h/2
𝐸(𝑥) = 2 𝜀
𝜀0
𝜌ℎ
0
𝜌
ℎ
d-h/2 < x < d+ h/2 𝐸(𝑥) = − 𝜀 (𝑥 − 𝑑 + 2) +
0
d + h/2 < x < 2d
𝐸(𝑥) =
2𝜌ℎ
𝜀0
𝜌ℎ
𝜀0
2. All’equilibrio le cariche si distribuiscono solo sulle
superfici delle lastre metalliche. Le densità superficiali di
carica siano: 1, 2 lastra A; 3, 4 lastra B; 5, 6 lastra
C; , 8 lastra D, come in figura. Per la simmetria del
sistema, date le cariche sulle lastre metalliche abbiamo:
𝜎1 = 𝜎2 = 𝜎3 = 𝜎4 = −𝜎5 = −𝜎6 = −𝜎7 = −𝜎8 =
𝜌ℎ
2




 
.
Il campo E è nullo all’interno delle lastre A, B, C, D, nelle
altre regioni non ha cambiato il suo valore, rispetto
all’esercizio 1:
-d
O
V
V
A
B
 
d
2d
x
D
C
𝜌ℎ
-d + h/2 < x < 0
𝐸(𝑥) =
0 < x < d - h/2
𝐸(𝑥) = 2 𝜀
d + h/2 < x < 2d
𝐸(𝑥) =
𝜀0
𝜌ℎ
0
𝜌ℎ
𝜀0
Calcolo il potenziale elettrostatico ad esempio ponendo V(-d) = 0. Allora abbiamo:
- ∞ < x ≤ -d + h/2
-d + h/2 < x ≤ 0
V(x) = 0
𝑥
𝜌ℎ
ℎ
𝜌ℎ
ℎ
𝑉(𝑥) = − ∫−𝑑+ℎ/2 𝐸𝑑𝑥 = − 𝜀 (𝑥 + 𝑑 − 2); 𝑉(0) = − 𝜀 (𝑑 − 2)
0
0
0
𝜌ℎ
𝜌ℎ
𝜌ℎ
0
𝜀0
𝑉(𝑥) = ∫𝑥 𝐸𝑑𝑥 = −2 𝜀 𝑥 + 𝑉(0) = −2 𝜀 𝑥 −
0 ≤ x ≤ d - h/2
0
𝜌ℎ
ℎ
(𝑑 − 2)
ℎ
𝑉(𝑥) = −3 𝜀 (𝑑 − 2)
d - h/2 ≤ x ≤ d + h/2
0
d + h/2 ≤ x ≤ 2d
𝑑+ℎ/2
𝑉(𝑥) = ∫
𝐸𝑑𝑥
𝑥
=−
𝑉(𝑥) = −
𝜌ℎ
ℎ
ℎ
(𝑥 − 𝑑 − ) + 𝑉 (𝑑 + )
𝜀0
2
2
𝜌ℎ
𝜌ℎ
𝑥 − 2 (𝑑 − ℎ)
𝜀0
𝜀0
𝜌ℎ
x > 2d 𝑉(𝑥) = −2 𝜀 (2𝑑 − ℎ)
0
3. Nella spira scorre la corrente I = m/L2 = 2 A. Il campo magnetico al centro è dato dalla somma dei contributi
dovuti ai singoli lati della spira. Utilizzando la I legge elementare di Laplace . Considero dapprima un tratto di
filo AB della spira, distante L/2 dal punto di calcolo C. Considero gli assi cartesiani di figura.
Il contributo dB del tratto dx in cui scorre la corrente I per la legge elementare di Laplace è dato da:
dB 
 0 I dx u x xr
4
r3
 0 I Ldx u z
, uscente dal
4
2r 3
L
L
 rsen e tg  
foglio. Ricordando che
da cui si ottiene:
2x
2
L d
L  1 

dx  
dx   d 
e
quindi:
.
Risulta:
2 sen 2
2  tg 
con r = -r cosux + L/2 uy. Quindi: dB 
y
-L/
x L/
O
P
x
r

dx
Q
dB  
0
4
I d u z  L  2
 I
3
 sen    0 sen d u z
3 
2L
 L  2
sen 2  
2


 I 4
 I
 I 2
Integro tra P e Q: B   0  sen d u z  0 cos  2  cos 1 34 u z  0
u z . Osservo che
2L 3
2L
2

L
4
4
ogni tratto di filo contribuisce allo stesso modo al campo in O→ B(O) = 4
 0 I 2 2 2 0 I
=3.55x10-5 T.

2 L
 L
4. Osservo che, per I < If l’autoinduttanza del sistema è costante e pari a 𝐿 =
dell’interruttore nel circuito si genera la f.e.m. indotta: 𝜀𝑖 = −
quindi:
𝑑𝜑(𝐵)
𝑑𝑡
𝑑𝐼
𝜑𝑓
𝐼𝑓
. Alla chiusura
= −𝐿 𝑑𝑡. L’equazione del circuito è
𝑑𝐼
𝑉0 = 𝑅𝐼 + 𝐿 𝑑𝑡 considerando che I(t=0) = 0 integrando otteniamo l’espressione:
𝐼(𝑡) =
𝐼∞ =
𝑉0
(1 −
𝑅
𝑉0
𝑅
𝜑𝑓
𝑒 −𝑡/𝜏 ) con 𝜏 = 𝐼
𝑓𝑅
, che assume come valore maassimo asintotico:

. Se If > V0/R l’andamento della corrente nel tempo è quello in
If
V0/R
figura.
Nel caso si abbia If < V0/R all’istante:
𝑅
𝑡1 = −𝜏 𝑙𝑛 (1 − 𝐼𝑓 𝑉 ) la corrente raggiunge il valore:
t
0
𝐼𝑓 =
𝑉0
(1 −
𝑅
𝑒 −𝑡1 /𝜏 ).

Per I > If dato che il flusso non varia nel tempo si ha:
𝜀𝑖 =
𝑑𝜑(𝐵)
− 𝑑𝑡
= 0 quindi 𝐼(𝑡) =
𝑉0
.
𝑅
V0/R
If
t
L’andamento della corrente nel tempo è mostrato in grafico.
t1
5. Il campo magnetico all’interno del solenoide è uniforme e diretto come l’asse: B = 0nI = 0nI0cost. Sia r
la distanza radiale dall’asse del cilindro. La circuitazione del campo elettrico indotto E, sulla circonferenza di
raggio r è:
∮ 𝐸𝑑𝑙 = 𝐸2𝜋𝑟 = −
𝑑𝜑(𝐵)
= 𝜋𝑟 2 𝜇0 𝑛𝐼0 𝜔𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
𝑑𝑡
Da cui otteniamo l’espressione del campo elettrico:
𝐸(𝑟, 𝑡) =
𝜇0 𝑛𝐼0 𝜔
𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡)
2
Se s << R possiamo pensare che il campo elettrico nel cilindro cavo sia uniforme e pari a E(R,t). Lungo il cilindro
cavo scorre la densità di corrente: J =  E . La potenza dissipata è: P = JE V =  E2 V con V = Volume di
materiale nel cilindro cavo = 2Rhs.
𝑃=
𝜎𝜋𝑅 3 ℎ𝑠 𝜇0 2 𝑛2 𝐼0 2 𝜔2 𝑠𝑒𝑛2 (𝜔𝑡)
2
2𝜋𝑟
Alla stessa relazione si perviene considerando P = RI2; con I= shJ = shE ed 𝑅 = 𝜎ℎ𝑠 .