Soluzioni fisica II 07032014

Corso di Laurea in Ottica e Optometria
Esame fisica II 07/03/14
a.a. 2013/2014 (ackb)
Soluzioni
1) Una sfera cava, di raggi interno ed esterno a e b rispettivamente, ha una densità
di carica volumica pari a ρ = A/r, dove A è costante. Al centro (r=0) della cavità c’è
una carica puntiforme q. Quale dovrebbe essere il valore di A affinchè il campo
elettrico abbia intensità costante nella regione a < r < b?
Per r < a il campo elettrico è dovuto solo alla carica q posta nel centro della sfera:
𝑞
𝐸⃗𝑞 (𝑟) =
𝑟̂
4𝜋𝜀0 𝑟 2
Per a < r < b il campo è dato dalla somma dei campi generati dalla carica in centro più la
carica del guscio contenuta a distanza r dal centro:
𝐸⃗𝑇𝑜𝑡 (𝑟) = 𝐸⃗𝑞 (𝑟) + 𝐸⃗𝑔𝑢𝑠𝑐𝑖𝑜 (𝑟)
𝑟𝐴
𝑟
𝑟
∫𝑎 𝑟 4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟
∫𝑎 𝑟𝑑𝑟
∫𝑎 𝑟𝑑𝑟
𝐴
𝐴
𝐴𝑎2
2
2 ]𝑟̂
[𝑟
𝐸⃗𝑔𝑢𝑠𝑐𝑖𝑜 (𝑟) =
𝑟̂
=
4𝜋𝐴
𝑟̂
=
𝐴
𝑟̂
=
−
𝑎
=
𝑟̂
−
𝑟̂
4𝜋𝜀0 𝑟 2
4𝜋𝜀0 𝑟 2
𝜀0 𝑟 2
2𝜀0 𝑟 2
2𝜀0
2𝜀0 𝑟 2
Quindi:
𝑞
𝐴
𝐴𝑎2
+
−
)𝑟̂
4𝜋𝜀0 𝑟 2 2𝜀0 2𝜀0 𝑟 2
Perché il campo tra a<r<b sia costante deve essere :
𝐸⃗𝑇𝑜𝑡 (𝑟) = (
𝑞
𝐴𝑎2
𝑞
=
=> 𝐴 =
2
2
4𝜋𝜀0 𝑟
2𝜀0 𝑟
2𝜋𝑎2
2) Una spira conduttrice quadrata con lato di lunghezza L = 16 cm, è percorsa da
una corrente i = 10 A.
L = 16cm
Determinare:
a. la FEM necessaria a mantenere la corrente, sapendo che la spira
è composta da un filo di rame di diametro d=1 mm;
b. Il campo magnetico B generato al centro della spira.
a) Conoscendo la resistività del rame si applica la I legge di Ohm:
𝜌𝑙𝑖
𝜀 = 𝑅𝑖 =
= 0,136𝑉
𝜋𝑑 2
b) Applicando la legge di Biot-Savart:
𝜇0 𝑖𝐿
⃗ = 4×
𝐵
= 1,8 × 10−6 𝑇
1/2
𝐿2
4𝜋𝑑 ( 4 + 𝑑 2 )
3) Due Si abbiano due dipoli magnetici ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚1 = 𝑧̂ 𝑚1 e ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑚2 = 𝑥̂𝑚2. Il primo è posto
nell’origine, il secondo sull’asse y ad una distanza r dall’origine. Calcolare la forza
ed il momento meccanico che il primo dipolo esercita sul secondo.
Il campo magnetico dovuto al primo momento magnetico è:
⃗ 1 (𝑟) =
𝐵
𝜇0 (𝑚
⃗⃗ 1 ∙ 𝑟)𝑟 𝑚
⃗⃗ 1
[3
− 3]
5
4𝜋
𝑟
𝑟
La forza che il secondo momento sente per effetto del campo magnetico del primo momento
è:
𝐹 = ⃗∇(𝑚
⃗⃗ 2 ∙ ⃗B1 ) = 0
Poiché il secondo momento è ortogonale al campo magnetico del primo.
Il momento meccanico dovuto dall’interazione tra il secondo momento magnetico ed il campo
del primo è:
⃗ 1 = −𝑦̂𝑚2
𝜏=𝑚
⃗⃗ 2 × 𝐵
𝜇0 𝑚1
𝑚1 𝑚2 𝜇0
= −𝑦̂
3
4𝜋𝑟
𝑟 3 4𝜋