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GLI INSIEMI
Gli insiemi numerici
RIPASSIAMO INSIEME
■ INSIEME N
■ OPERAZIONI FRA NUMERI RELATIVI
L’insieme N (numeri naturali) è costituito dai numeri
interi privi di segno:
N {0, 1, 2, 3, 4, …}
L’insieme N presenta le seguenti caratteristiche:
• è un insieme infinito e discreto (cioè tra due numeri
naturali c’è al più un numero finito di elementi);
Addizione
La somma tra numeri concordi è un numero concorde
con i numeri dati che ha come modulo la somma dei
moduli.
Esempio
2 3 5
• è un insieme totalmente ordinato, con un minimo
(che è 0) e senza massimo;
La somma tra numeri discordi è un numero che ha come modulo la differenza dei moduli e come segno il segno del numero con il modulo maggiore.
• le operazioni di addizione e moltiplicazione sono interne, cioè il loro risultato è ancora un numero naturale.
Esempio
La notazione N0 individua l’insieme dei numeri naturali eccetto lo zero.
■ INSIEME Z
L’insieme Z (numeri interi relativi) è costituito dai numeri interi preceduti da un segno, positivo o negativo:
Z {…, 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …}
L’insieme Z presenta le seguenti caratteristiche:
• è un insieme infinito e discreto (cioè tra due numeri
relativi c’è al più un numero finito di elementi);
Sottrazione
La differenza tra due numeri relativi si ottiene addizionando al primo numero l’opposto del secondo.
Esempio
13 (5) 13 (5) 13 5 8
Moltiplicazione e divisione
Il prodotto (o il quoziente) tra due numeri relativi è un
numero che ha per modulo il prodotto (o il quoziente)
dei moduli e per segno il risultato dell’applicazione della regola dei segni riassunta in tabella:
• è un insieme totalmente ordinato, senza minimo e
senza massimo;
• le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione sono interne, cioè il risultato è ancora un numero relativo.
La notazione Z individua l’insieme dei numeri relativi
positivi, mentre la notazione Z individua l’insieme dei
numeri relativi negativi.
3 (4) 1
Esempi
Il modulo o valore assoluto di un numero relativo è:
/:
(3) (2) 6
(10) : (2) 5
(20) : (5) 4
• il numero stesso, se questo è positivo;
• l’opposto del numero, se questo è negativo.
I numeri relativi possono essere:
Dati due numeri a ed m si dice potenza di base a ed
esponente m e si indica con am il prodotto di m fattori
uguali ad a.
• concordi, se hanno lo stesso segno;
Esempio
Esempio
|5| 5
|5| 5
• discordi, se hanno segno opposto;
Esempio
5 e 6 sono concordi
5 e 6 sono discordi
Due numeri relativi si dicono opposti se hanno stesso
modulo e segno opposto.
8
■ ELEVAMENTO A POTENZA
34 3 3 3 3 81
Il segno del risultato si determina in base alle seguenti
regole:
• se la base è positiva, la potenza è sempre un numero
positivo;
Esempio (5)2 25
(5)3 125
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GLI INSIEMI
• se la base è negativa:
– se l’esponente è pari, la potenza è un numero positivo;
Esempio (5)2 25
– se l’esponente è dispari, la potenza è un numero
negativo.
Esempio (5)3 125
■ INSIEME Q
L’insieme Q (numeri razionali) è costituito dai numeri che possono essere scritti sotto forma di frazioni:
2
1
5
Q ....., , ....., , ....., 0, ....., 1, ....., , ..... .
3
2
4
L’insieme Q contiene sia l’insieme N sia l’insieme Z.
Valgono le seguenti proprietà delle potenze:
• moltiplicazione:
– stessa base:
– stesso esponente:
• divisione:
– stessa base:
– stesso esponente:
•
a 1
e
mn
•
3
•
4
•3
•
a :a a
am : bm (a : b)m
m
n
mn
Z
•4
•5
•8
• •
•
•1
•
Q
1
• 2
•
•
(am)n am n
• potenza di una potenza:
0
n
N
•
a a a
am bm (a b)m
m
L’insieme Q presenta le seguenti caratteristiche:
a a
1
• è un insieme infinito e denso (cioè tra due numeri razionali qualsiasi ne esistono sempre infiniti altri);
■ FRAZIONI
Dati due numeri naturali a e b, con b 0, si dice fraa
zione il simbolo , che rappresenta il quoziente della
b
divisione a : b.
Il numero a si dice numeratore, b denominatore.
• è un insieme totalmente ordinato, senza minimo e
senza massimo;
• le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (eccetto che per zero) sono interne,
cioè il loro risultato è ancora un numero razionale.
La notazione Qa individua l’insieme dei numeri razionali assoluti.
Una frazione può essere:
• propria, se a b;
Il reciproco di un numero razionale è il numero che
moltiplicato per esso dà come risultato 1.
2
3
2 3
Esempio è il reciproco di poiché 1.
3
2
3 2
• impropria, se a b;
• apparente, se a è multiplo di b.
3
2
Esempi
e sono frazioni proprie
7
5
3
2
e
5
2
sono frazioni improprie
6
3
e
10
5
sono frazioni apparenti
Nell’insieme Q valgono le seguenti proprietà delle potenze:
ab
m
am
bm
1
am am
■ OPERAZIONI NEGLI INSIEMI NUMERICI
Proprietà
Elemento
neutro
somma
commutativa
associativa
0
minuendo
sottraendo
differenza
invariantiva
interna
fattori
prodotto
commutativa
associativa
distributiva
interna
dividendo
divisore
quoziente
invariantiva
distributiva
N
Z
Q
Termini
Addizione
interna
interna
interna
addendi
Sottrazione
non interna
interna
interna
Moltiplicazione
interna
interna
Divisione
non interna
non interna
Risultato
1
9
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GLI INSIEMI
■ NUMERI DECIMALI
I numeri decimali possono essere:
• limitati (o finiti), cioè con un numero limitato di cifre
decimali;
Esempi 0,53
1,325
• illimitati, cioè con un numero infinito di cifre decimali. Tra questi si distinguono:
– i numeri periodici semplici;
– i numeri periodici misti;
– i numeri non periodici.
Esempi
0,2
e 2,3
5
• numero decimale periodico:
– a numeratore si scrive la differenza tra il numero
senza la virgola e il numero formato da tutte le cifre che precedono il periodo;
– a denominatore si scrive il numero formato da
tanti 9 quante sono le cifre del periodo seguite da
tanti zeri quante sono le cifre dell’antiperiodo.
Esempi
1325
1,325 1000
sono periodici semplici
e 2,13
5
sono periodici misti
0,12
1,26542…
53
0,53 100
2
0,2
9
non è periodico
13 1
12
4
1,3
9
9
3
La frazione generatrice è la frazione che genera il numero decimale. Per trasformare il numero decimale nella sua frazione generatrice si opera nel seguente modo:
817 81
736
0,817
900
900
• numero decimale limitato:
– a numeratore si scrive il numero senza la virgola;
– a denominatore si scrive il numero 1 seguito da
tanti zeri quante sono le cifre decimali;
1342 13
1329
1,34
2
990
990
OSSERVA COME SI FA
Somme algebriche in Z e Q
1
Prodotti e quozienti in Z e Q
(5 6 8) (3 4 7) (5 6 12) 3
eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi
eseguiamo le operazioni nell’ordine con cui
compaiono
(7) (8) (11) 15 (2) : (6) 30 : (6) 5
eliminiamo le parentesi
7 8 11 26
2
4
2
3 5 7
7 2
2 5
3
5 4 2
4 5
eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi
4 2
12 25 70
40 35 8
5 3
20
20
4
2
83
67
5
3
20
20
eliminiamo le parentesi ed eseguiamo i calcoli
4
2
83
67
5
3
20
20
48 40 249 201
136
34
60
60
15
10
(3) (5) (2) : (6) 4
23 54 : 53 2210 eseguiamo le operazioni nell’ordine con cui
compaiono, tenendo conto delle parentesi
1
1
2
5
:
3
4
2
5
7
: 6
4
5
4
6
7
10
21
7
5
21
3
20
1
4
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GLI INSIEMI
Potenze in Z e Q
5
(–3)2 9
(3)2 9
Trasformazione dei numeri decimali
in frazioni
(–3)3 –27
3
(3) 27
8
In ogni calcolo teniamo conto del segno della base e del fatto che l’esponente sia pari oppure dispari.
6
7
4
9
3
8
27
2
3
2
3
2
4
9
3
9
2
1
1
2 9
(-3)
3
2
27
3
8
2
3
2
5
2
(3)
23
0,23 100
3001
3,001 1000
In ogni trasformazione teniamo conto del fatto
che il numero sia limitato oppure periodico e applichiamo la regola opportuna.
287
2
2
3
2
3
35
7
3,5 10
2
2
0,02 100
3 2 9
2
4
3
125
8
35 3
32
3,5
9
9
23 2
21
7
0,23
90
90
30
2
0,0
2
99
Espressioni in N, Z e Q
10
1
1 3
3
1
1
3
3
4
1
: 3
1
9
2
eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi e trasformiamo la potenza a esponente negativo
3 1
3
3
13
3
: (3) 811 4
3
eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi e calcoliamo la potenza
11
3
: 27 811 23 : 27 811 23 217 811 821 811 811
2
3
2
3
4
(2 0,3
) (3 0,83
) : (1 0,6
) : 0,86
(1 0,15
) : (1 0,9)
trasformiamo i numeri decimali in frazioni
5
39
3
83 8
6 86 8
1
75
2
78
2 3 : 1 : 2 3 : 1 : 9
90
9
90
3
3
90
6 90
45
7
15 1
9
14
9
1 : 1 1 : 1 90
10
90
10
45
eseguiamo i calcoli all’interno delle parentesi
61
18 5
32
39
: : 3
6
3
45
45 7
10 9
: 45
10
7 13 5 39
: : 3 6 3 45
38 19
: 45 10
1
1
3
7 13 3 45 9
31 6 2 51 39 3
7 4
63
1 : 2 9
8
38 10
45 19
11
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GLI INSIEMI
(2 : 86)3 : 16
48 83 : (212)2
4
12
2
trasformiamo le potenze in potenze con uguale base e applichiamo la regola della potenza di potenza
[24 : (23)6]3 : (2 )
[2 : 218] 3 : (2 )
16
9
24 (22)8 (23)3 : (212)2
(2 ) (2 ) : (2 )
4 2
4
–
8
eseguiamo i calcoli applicando le proprietà delle potenze
(214)3 : 28
242 : 28
234
234 : 21 233
225 : 224
21
21
LAVORIAMO INSIEME
Espressioni in N, Z e Q
1
1
1 4
3
3
1
4
4
1
: (4)3 3
2
2
(34 : 95)2 2 73
98 274 : (311)3
esegui i calcoli all’interno delle parentesi e
trasforma la potenza a esponente negativo
trasforma le potenze in potenze con uguale
base e applica la regola della potenza di
potenza
1 3
[(....................)3 (..........)4] : (..........) 4
4
5 2
[3 : (..........) ] (..........).....
2 .....
(3 ) (..........)..... : (..........).....
esegui i calcoli all’interno delle parentesi e
calcola la potenza
[.......... : ..........]2 (..........)
(..........) (..........) : (..........)
1
[(..........)3 (..........)4] .......... 9
esegui i calcoli applicando le proprietà delle
potenze
esegui gli ultimi calcoli
[..........]2 (..........).....
.......... 326
.....
.....
.......... : (..........)
13
.................... .................... .......... 27
ADESSO PROVA TU
Calcola le seguenti somme algebriche in Z e Q:
1
23 (15 8) (6 4)
[28]
5
2
3
1
1
3
4
6
2
(12 4) (7 4) (2 4)
[15]
6
1
4
1
1
2
2
5
4
5
3
6 (7 7) (5 12)
[13]
7
1
3
1
2
4
3
5
5
3
15
4
(6 3) (3 7) (2 10)
[15]
8
2
2
1
5
3
3
3
5
2
6
2
10
12
34
34
1151
2185
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GLI INSIEMI
Esegui le seguenti moltiplicazioni e divisioni in Z e Q:
(2) (6) (3) : (4)
[9]
13
125 : 65 : 23
16
10
(5) (12) : (6) : (10)
[1]
14
27 160 59 : 27
13
11
(12) (7) : (4) (5)
[105]
15
75 : 130 58 : 75
2152
12
45 170 : 27
[4]
16
118 145 : 38 : 67
3554
9
Calcola le seguenti potenze in Z e Q:
2
2
3
3
2
3
3
2
5
19; 94; 287; 1285 17
(3)2
18
(5)2
19
24;5 28;7 28;7 52; 1291 20
5 64
16 81
; 5; ; 122;
7 27
81 16
5
2
5
3
(4)2
(4)3
2
3
2
3
3
4
3
3
2
3
3
1
5
25; 64; 116; 18
(2)3
1
2
5
1
3
2
4
2
3
11
3
2
4
Trasforma i seguenti numeri decimali in frazioni:
1,235
0,7
1,01
52; 2240;70 170; 110010 21
2,5
22
1,4
2,4
1,3
2
0,4
1
75; 292; 1939;1 4919
23
0,42
2,12
1,37
0,123
398;0 1990;1 642;5 910110 Calcola le seguenti espressioni in N, Z e Q:
24
42 {5 [(2)(5) 3 (2) (12 3 15)] (3)} {3 2 [6 5(1)] 3} : 44
25
12 13 251 23 2 : 1 1365 1 : 15 1 14
26
2 (210 22)2 : (23)8 [5 (12 2 8 : 4) : 22]2 : [(2 3)2 (22 6 : 3 2)2]
[2]
27
25 {(100 [(32 32 : (22 22 3) 23 5]} : 6 (22 1)
[0]
[44]
98
13
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GLI INSIEMI
38 75 1230 145 56 25 1296 12 52 15
28
4
1 5
29
1
1
23 : [(22)3 : (22)2] 6
8
3
3
1 2 2 1 3
2
4
2
2
15
281
30
31
(2)5 (2)3
(1 1)2 (5 3)3 : (2)4
(2)2 (2)4
32
33
73 1 29 3 12 23 23 130 12 : 1270
34
2
1 2
1 3 3 2
: : : 1
3
9 3
4 2 2
3
2
1
2
4 : 1 1 3
3
7
35
1
1 2
1 2
: 3
2
3
1
1 2
1
3
5
2
5
3
36
3
0,28 : (0,6
0,2)2 (2 1,16
) 23
4
474
37
0,6 (0,5 4,6
) (2 0,6) 0,5 : 1,16
[2,5 0,8 (0,875 1,5)]
(2) (0,2) 2 (2) (0,16
)
92
38
14
1
4
2
2 : 3
5
5
7
: 5
1
11
3
5
2
3
1
: 3
7
2
10
5 3
4
5
3
3
8
: 1
3
5
3
:
[8]
3 5
9
5
: 3
7 2
2
1 3
6
1 2 3
(2)3
2
2
1 3
1 2
: 3
3
5
3
6
332
941
1
5
1
1
25 7
1
1
1 1 : : 2 2
4
2
2
12 4
6
20
5 3 2
[3]
152 1 15 3376 1 45 118 712 : 2 13
1
: 2 3
53
139
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GLI INSIEMI
39
11
[(0,4
1)(1 0,7
2
) 0,5
] : 0,3
2
: (1 0,375) 47
0,9 0,3
4
0,3 : 0,1
3
0,2
1
2 1
361
1
40
41
{[(9)5 (9)1]2 : (3)12} 313
42
43
[9 (5)2 110 (0,8)2 (0,3
)2 (23)] : (0,5)5 1,5
44
1
1 2
1 2
: 1
3
2
3
1 2
1
3
5
2
5
3
3
5
2
3
: 5
10
5 3
3
: 5
4
5
: 3
3
8
: 1
3
15
: 2
225
[3]
9
7 2
3 5
5
3
:
5
: 3
8
1
3
6
7
: 4 3
53 48
[2]
1 2 3
(2)3
2
2
1 3
1 2
: 3
3
5 3 2
78
45
(34 : 96)3 272
98 273 : (312)2
46
2
5
3
8 (2) 4
4
4
16 (2)
[27]
47
(125 243)2 49
184 : 362
[620]
48
2 7
3 4 3 2 24
: 5
3
2
2
3
3
5
2
1
5
2 :2
32 : 1 81
6
2 3
[329]
2
1 6
34 : 3
3 5 3
2 13
2 4 3 2 2 3 10
: 2
3
3
2
2
3 13
10
10
49
50
14
[2]
2
2
1
33
1
1
0,5 (0,2
4
)2 : 0,0
9
: 0,1
: 0,25 9
32
3
3
2
5
2
3
1
5
1
1
1
1
1 3
2 : (6)4 : 9
2
6
6
6
3
2
23
15
