derivatori e integratori

1 Circuito derivatore
Si consideri il circuito di figura 1 a. Con le solite posizioni dell' operazionale si può supporre il nodo
di ingresso una massa virtuale e is = if; risulta quindi, ricordando il comportamento di un condensatore:
is = C
dvs
v
= if = − o
dt
Rf
(1)
Da questa relazione si ricava subito:
vo = − R f C
dvs
dt
(2)
Come si vede, a meno di un coefficiente moltiplicativo, la tensione di uscita è la derivata rispetto al
tempo di quella di ingresso; per questo motivo il circuito di figura 1 a è chiamato derivatore ideale.
FIG. 1 Derivatore attivo ideale.
Per un'analisi completa di questo circuito è utile valutarne il comportamento in frequenza; in
particolare la sua funzione di trasferimento risulta:
G (s) = −
Rf
X s (s)
= − sR f C
(3)
ovvero il modulo cresce linearmente con la frequenza, il che, come si può facilmente verificare, si
traduce in un grafico con pendenza di +20 dB/dec (fig. 1 b).
Un comportamento di questo tipo può creare seri problemi al funzionamento del circuito in quanto
eventuali piccoli disturbi, di frequenza elevata rispetto a quelle delle componenti armoniche
significative del segnale, potrebbero essere amplificati, al punto da saturare l'amplificatore, o
comunque alterare il risultato desiderato per la vo.
Per evitare questi problemi conviene limitare il guadagno oltre la frequenza massima utile del segnale
che si vuole derivare. Con questo scopo si pone normalmente in serie a C una resistenza Rs, ottenendo
così un circuito analogo a quello di un passa-alto attivo. Il suo comportamento è già noto: se si opera a
frequenze sufficientemente basse rispetto a quella di taglio (almeno 1/10) si può ritenere il
comportamento del circuito analogo a quello del derivatore ideale già considerato; gli eventuali
disturbi presenti a frequenze superiori alla frequenza di taglio verranno amplificati del valore
corrispondente al guadagno in centro banda, che quindi è utile non risulti eccessivo (è comunque
costante anziché crescente di 20 dB/dec, come nel derivatore ideale).
Il circuito del passa-alto attivo, in ultima analisi, se usato con segnali che presentano un contenuto
armonico significativo solo per frequenze inferiori a 1/10 della frequenza di taglio, si comporta da
derivatore.
Siccome la funzione di trasferimento di questo circuito è analoga a quella del filtro passivo del 1°
ordine passa-alto, si può concludere che anche quest'ultimo, operando con segnali a frequenze
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nettamente inferiori a quella di taglio, si comporta da derivatore.
L'uso di derivatori attivi offre comunque il vantaggio di potere definire con una certa libertà
l'ampiezza del segnale di uscita rispetto a quella del segnale di ingresso, e inoltre il comportamento del
derivatore attivo non è condizionato (entro certi limiti) dalle caratteristiche del carico in uscita (il
derivatore passivo ne è invece fortemente dipendente).
Esempio. Realizzare un circuito capace di fornire in uscita un segnale alternato quadro di 2 V di picco
se al suo ingresso è presente un segnale alternato triangolare di 1 V di picco alla frequenza di 100 Hz,
prodotto da un generatore con resistenza di uscita Ro = 50 Ω.
Si può ricorrere al circuito del passa-alto attivo invertente usato come derivatore; per evitare che,
collegando il generatore al circuito, il generatore risulti eccessivamente caricato, si pone Rs ≥ 10 Ro: in
questo modo la tensione del generatore subisce una attenuazione trascurabile nel collegamento con il
derivatore.
Operando a frequenze inferiori a 1/10 ft la resistenza Rs è trascurabile rispetto alla reattanza e risulta,
come nel derivatore ideale:
vo = − R f C
dvs
dt
FIG. 2
Se si considerano le forme d'onda di figura 2 è facile ricavare:
VoP = R f Ctgα = R f C
2VsP
= 4VsP R f Cf
T /2
Se si pone, per esempio, Rf = 120 kΩ si ricava:
C=
VoP
2
=
≈ 41,7 nF
VsP 4 R f f 1 ⋅ 4 ⋅120 ⋅ 103 ⋅ 100
Se si suppongono sufficienti le prime 5 armoniche del segnale triangolare (le armoniche del segnale
triangolare decrescono rapidamente al crescere della frequenza; con altri segnali, come l’onda quadra,
conviene considerare almeno 10 armoniche) la frequenza di taglio deve essere almeno 10 volte
superiore alla quinta armonica:
f t ≥ 10 ⋅ 100 ⋅ 5 = 5000 Hz
Se si pone t, = 6000 Hz si ricava:
Poiché Rs risulta superiore a 10 Ro. il suo valore è accettabile.
Naturalmente i valori calcolati di Rs e C vanno sostituiti con quelli commerciali più vicini.
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2 Circuito integratore
Si analizzi ora il comportamento del circuito di figura 3.
FIG. 3 Integratore ideale.
Facendo le solite ipotesi sugli operazionali si ottiene:
is =
vs
dv
= i f = −C f o
Rs
dt
(4)
e quindi, ricordando che l'integrazione è l'operazione inversa della derivazione, si ottiene:
vo (t ) = −
1
Rs C f
t
∫ v (t )dt + k
(5)
s
0
La costante k fisicamente coincide con la tensione ai capi del condensatore all'istante iniziale t = 0 e,
quindi, se si suppone il condensatore inizialmente scarico, risulta k = 0. Per quanto detto, il circuito
considerato si comporta da integratore ideale.
In termini di funzione di trasferimento risulta:
G (s) = −
1
sC f
Rs
=−
1
sRs C f
(6)
Come si vede, la risposta in frequenza presenta un guadagno con pendenza costante di –20 dB/dec
(fig. 45b). Questo fatto comporta un'amplificazione molto alta per eventuali segnali a frequenze basse
e un'amplificazione teoricamente infinita nei confronti di anche piccole componenti continue
indesiderate presenti in ingresso.
Per limitare il guadagno in continua si pone in parallelo a Cf una resistenza Rf. In questo modo il
circuito si riconduce a quello di un passa-basso attivo invertente: analizzando il diagramma di Bode di
quest’ultimo si può concludere che questo circuito si comporta da integratore pur di operare a
frequenze nettamente superiori alla frequenza di taglio (almeno 10 volte).
Considerazioni analoghe possono essere estese al circuito passivo del 1° ordine passa-basso, fermo
restando i vantaggi del circuito attivo già descritti per il derivatore.
Esempio. Realizzare un circuito che, con in ingresso un'onda quadra alternata di 1 kHz e di 1 VP, sia
in grado di fornire in uscita un segnale alternato triangolare della stessa ampiezza.
Si deve realizzare un circuito integratore: si può allora considerare il circuito del passa-basso
invertente, pur di operare a frequenze almeno 10 volte superiori a quella di taglio.
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Si consideri ora la figura 4, che riporta l'andamento a regime dei segnali in ingresso e in uscita (si noti
in particolare l'inversione di fase dovuta alla configurazione invertente), supposto di operare almeno
10 volte oltre la ftH determinata da RfCf. Tenendo presente la (5) si può scrivere:
VoPP = −
1
T
VsP
Rs C f
2
FIG. 4
Nel nostro caso, se vogliamo che tutte le armoniche si trovino almeno 10 volte oltre la ftH, basta porre
ftH = 100 Hz. Posto per esempio Rf= 100 kΩ si ricava quindi:
Cf =
1
2πf tH R f
= 15,9 nF
Per ottenere un'ampiezza della Vo di 1 VP, dalla relazione che esprime la VoPP si ricava:
Rs =
1
T
VsP ≈ 15,6 kΩ
VoPP C f
2
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