ESERCIZI MATEMATICA DISCRETA I (28/10/05)

ESERCIZI MATEMATICA DISCRETA (18/12/08)
Soluzioni
1) Applichiamo il principio di induzione al predicato P(n)=” (n7-n+14) è multiplo di 7 ”.
P(1) è vero perché 17-1+14 =14 è multiplo di 7. Supponendo vero P(k), dimostriamo vero P(k+1).
La tesi è dimostrare vero
P(k+1)=” [(k+1)7-(k+1)+14] è multiplo di 7 “.
Sfruttando lo sviluppo della potenza del binomio secondo Newton (utilizzando i coefficienti
binomiali della 7a riga del triangolo di Tartaglia-Pascal) si ha:
(k+1)7-(k+1)+14=k7+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k+1-k-1+14=
7
= (k -k+14)+7k6+21k5+35k4+35k3+21k2+7k
e tale numero é multiplo di 7 perché somma di multipli di 7 (ricordando che (k7-k+14) è multiplo di
7 per ipotesi, perché supponiamo vero P(k)).
2) Si può applicare il principio di induzione al predicato P(n)=” 24n+1 ha la cifra delle unità uguale a
2”.
P(1) è vero perché 24+1=25=32 ha la cifra delle unità uguale a 2.
Supponendo vero P(k)=” 24k+1 ha la cifra delle unità uguale a 2 “, dimostriamo vero:
P(k+1)=” 24(k+1)+1 ha la cifra delle unità uguale a 2 “
Ma sviluppando con le regole sulle potenze si ha:
24(k+1)+1=24k+4+1=24k+124
e si può notare che 24k+1 ha la cifra delle unità uguale a 2 (per ipotesi) mentre 24=16 ha la cifra delle
unità uguale a 6, e moltiplicando un numero che ha la cifra delle unità uguale a 2 per un numero che
ha la cifra delle unità uguale a 6 si ottiene certamente un numero che ha la cifra delle unità uguale a
2 (perché 26=12).
3) Essendo a,b coprimi si ha mcd(a,b)=1, e sappiamo che esistono due coefficienti interi relativi x,y
tali che 1=ax+by. Se c è un qualunque numero naturale, moltiplicando ambo i membri per c si ha
c=a(xc)+b(yc) e si ottiene che c è combinazione lineare di a,b con coefficienti interi relativi xc, yc
rispettivamente.
4) Seguendo il suggerimento, si può usare il principio delle scelte multiple: i modi di scegliere i 6
15
lanci (fra 15) in cui esce un pari sono in numero di (
); fissati i 6 lanci, i modi di scegliere i
6
numeri pari che escono in tali lanci sono in numero di 36; fissati i 6 lanci e i numeri pari che escono
in tali lanci, i modi di scegliere i numeri (dispari) che escono nei rimanenti 9 lanci sono in numero
15
di 39. La risposta è dunque il prodotto (
)3639=……….
6
5) Ognuno dei sottoinsiemi da contare si ottiene dall’unione di {1,2} (insieme fissato) con un
sottoinsieme dell’insieme {3,4,5,6,7} (insieme variabile). Quindi il numero di tali sottoinsiemi
coincide con il numero dei sottoinsiemi di {3,4,5,6,7} (che ha cardinalità 5) ed è dunque 25.
6) Se X è l’insieme di tutte le matrici con 3 righe e 3 colonne nelle cui caselle sono inseriti valori
0,1, il quesito chiede di contare il numero di matrici di X che non soddisfano nessuna delle 3
proprietà seguenti: la prima riga contiene tutti 0; la seconda contiene tutti 0; la terza contiene tutti 0.
Quindi costruiamo i 3 sottoinsiemi di X: X1 contenente le matrici con la prima riga che contiene
tutti 0; X2 contenente le matrici con la seconda riga che contiene tutti 0; X3 contenente le matrici
con la terza riga che contiene tutti 0. La risposta al quesito è: X-X1X2X3.
Si ha poi (applicando opportunamente il principo delle scelte multiple):
X=29 ; X1X2X3=X1+X2+X3-[X1X2+X1X3+X2X3]+X1X2X3=
= 26+26+26-[23+23+23]+1.
Quindi la risposta è 29-{26+26+26-[23+23+23]+1}=………