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Capitolo
Esercitazioni
1. Ex 1.1
Un consumatore esprime le sue preferenze tramite la funzione di utilità 𝑈 = 𝑥1 𝑥2 .
Si determini 𝑍 panieri 𝑊1 = (8; 24) e 𝑊2 = (16; 𝑧) siano indifferenti
𝑈𝑊1 = 𝑈𝑊2
8 ∗ 24 = 16 ∗ z → z=
192
16
= 12
𝑈𝑊1 = 8 ∗ 24 = 192
𝑊1 = (8; 24) 𝑊2 = (16; 12) {
𝑈𝑊2 = 16 ∗ 12 = 192
2. Ex 1.2
Due consumatori fanno preferenza che vengono espresse dalle rispettive funzioni di U
𝑈 𝐴 = √𝑋1 ∗ 𝑋2
𝑈 𝐵 = 𝑋12 ∗ 𝑋2
Supponendo che possono scegliere fra i panieri di consumo 𝑊1 = (4; 9) e 𝑊2 = (9; 4).
Determinare la misura dell’utilità di ciascun consumatore
𝐴
𝑈𝑊
= √4 ∗ 9 = √36 = 6
1
} ⇒ 𝑈𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒
𝐴
𝑈𝑊
2
= √9 ∗ 4 = √36 = 6
2 2. Ex 1.2
𝐴
𝑈𝑊
= √4 ∗ 9 = √36 = 6
1
}
𝐴
𝑈𝑊
= √9 ∗ 4 = √36 = 6
2
𝐵
𝑈𝑊
= 42 ∗ 9 = 144
1
𝑈𝑊1 = 𝑈𝑊2
8 ∗ 24 = 16 ∗ z → z=
192
16
= 12
𝑈𝑊1 = 8 ∗ 24 = 192
𝑊1 = (8; 24) 𝑊2 = (16; 12) {
𝑈𝑊2 = 16 ∗ 12 = 192
()
3. Ex 2.2
𝑓(𝑢) 𝑈 = 𝑋1 𝑋2 + 2𝑋2
a)Ricavare la funzione della generica curva di indiffenza
b) calcolare il saggio marginale di sostituzione
a) Esplicitando la funzione rispetto a 𝑋2 si ha
𝑈 = 𝑋2 (𝑋1 + 2)
1
𝑋2 = 𝑈
𝑋1 + 2
b) Sappiamo che :
𝑀𝑈1 =
Δ𝑈
Δ𝑋2
=
𝑈(𝑋1 + Δ𝑋1 ; 𝑋2 ) − 𝑈(𝑋1 ; 𝑋2 )
Δ𝑋1
𝑀𝑈1 Δ𝑋1 + 𝑀𝑈2 Δ𝑋2 = Δ𝑈 = 0
𝑀𝑅𝑆 𝑜 𝑆𝑀𝑆 =
𝑈𝑀1 =
𝑈𝑀2 =
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Δ𝑋2
M𝑈1
=
Δ𝑋2
MU2
𝑑𝑈
= 𝑋2
𝑑𝑋1
𝑑𝑈
= 𝑋1 + 2
𝑑𝑋2
Esecitazioni 3
𝑑𝑈
𝑋2
𝑑𝑋1
|𝑀𝑅𝑆| =
=
𝑑𝑈
𝑋1 + 2
𝑑𝑋2
4. Ex 3.2
Un consumatore adopera la sua automobile ogni mattina per andare in ufficio. Lo stress è
funzione del tempo di percorrenza (𝑥)secondo la seguente funzione :
𝑦 = 40𝑥 2 − 94𝑥 + 10
Quale è il tempo di percorrenza che minimizza la funzione?
Si vuole determinare il valore di 𝑥 che minimizza la funzione senza tracciare il grafico. Allora,
tracciamo il valore della derivata prima della funzione.
𝑑𝑦
= 2 ∗ 40𝑥 − 94 = 80𝑥 − 94
𝑑𝑥
Poniamo la cordinazione del primo ordine cioè uguaglianza a zero la derivata prima
80𝑥 − 94 = 0
𝑥=
94
80
= 1,17
Per stabilire se si tratta di un min o max relativo occorre la condizione del II° ordine. Calcolare la
derivata II ed osservare il segno:
> 0 𝑚𝑖𝑛
se
< 0 𝑚𝑎𝑥
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥 2
= 80 ∗ 1 = 80 > 0
MIN
1,17 => ok
Esercizi di economia a.a. 2008/2009
4 2. Ex 1.2
5. Ex 3.7(pag.26)
Un consumatore ama vini di marca. Ai prezzi correnti la sua funzione di domanda per un buon
Bordeaux è 𝑞 = 0,02 ∗ 𝑚 − 𝑝 dove 𝑚 è il suo reddito e 𝑝 il prezzo del vino e 𝑞 il numero di
bottiglie domandate. Il reddito di Giuliano è di 7.500 € e il presso per una bottiglia è di 30 €.
a) Quante bottiglie acquista il consumatore?
b) Se il prezzo del vino aumentasse a 40 € di quale reddito dovrebbe disporre il
consumatore per poter continuare ad acquistare esattamente le stesse bottiglie e le
stesse quantità di altri beni che acquistava prima (𝑋𝛥 altri beni e se fosse pari a 1 € il
costo 𝑃𝛥 = 1)
c) In corrispondenza di questo nuovo reddito e di un prezzo di 40 € quante bottiglie
acquista il consumatore?
d) Dato il suo reddito iniziale di 7.500 € ed un prezzo pari a 40 € quante bottiglie acquista il
consumatore
e) Quando il prezzo del vino aumenta da 30 € a 40 € di qunato variano le bottiglie
domandate
f) Quale quota di questa variazione è dovuta all’effetto sostituzione? Qual è l’effetto sul
reddito
a)
b)
𝑚 = 7.500 € e 𝑃 = 30 €
𝑞 = 0,02 ∗ 𝑚 − 𝑝 = 0,02 ∗ 7500 − 2 ∗ 30 = 90
𝑃Δ 𝑋Δ + 𝑃𝑋 = 𝑚
1 ∗ 𝑋Δ + 30 ∗ 90 = 7500
𝑋Δ = 7500 − 2700 = 4800
𝑚′ = 40 ∗ 90 + 4800 = 8400
c) 𝑞 ′ = 0,02 ∗ 8400 − 2 ∗ 40 = 88 aumenta p ma aumenta m→potere di acquisto invariato
d) 𝑞 ′ = 0,02 ∗ 7500 − 2 ∗ 40 = 70
e) 𝑞 − 𝑞 ′ = Δ𝑞 = −20
f)
Effetto sostituzione.Varia il prezzo potere di acquisto inalterato
Δ 𝑞 𝑠 = 𝑞 ′′ − 𝑞
= 88 − 90 = −2
↑posizione di partenza
Effetto reddito. Flusso di prezzo nuovo. Varia il potere di acquisto riportato a quello iniziale
Δ 𝑞 𝑚 = 𝑞 ′ − 𝑞 ′′ = 70 − 88 = −18
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Esecitazioni 5
Totale : Δ 𝑞 𝑚 + Δ 𝑞 𝑠 = −20
6. Ex 4.1 (pag.35)
Un consumatore dispone di un reddito 𝑚 = 200. Egli può acquistare quantità del bene 1 e del
bene 2 rispettivamente a pari 𝑃1 = 8 𝑃2 = 2.
Det:
a) retta di bilancio e l’insieme delle possibilità di consumo;
b) retta di bilancio e l’insieme delle possibilità di consumo se è presunta una spesa
aggiuntiva fissa, pari a 6€ per il bene 1 e 2€ per il bene 2.
𝑃1 𝑥1 + 𝑃2 𝑥2 ≤ 𝑚

𝑃1 𝑥1 + 𝑃2 𝑥2 = 𝑚
Vincolo
Retta
8𝑥1 + 2𝑥2 = 200
𝑥2 = 100 − 4𝑥1
𝑃
− 𝑃1 = −4
2
𝑥1 =
𝑚 200
=
= 25
𝑃1
8
𝑥2 =
𝑚 200
=
= 100
𝑃2
2
Coefficiente Angolare
Esercizi di economia a.a. 2008/2009
6 2. Ex 1.2
Area delle possibilità
8𝑥1 + 2𝑥2 ≤ 200

Riscriviamo la retta inserendo le spese fisse.
8𝑥1 + 2𝑥2 + 8 = 200
Oppure
8𝑥1 + 2𝑥2 = 192
𝑥 = 96 − 4𝑥1
x1 =
192
= 24
8
𝑥2 =
192
= 96
2
Coefficiente Angolare
7. Ex. 4.3 (pag.39)
Siano 𝑃1 = 8 e 𝑃2 = 5 i prezzi unitari di due beni le cui quantità indichiamo con 𝑋1 e 𝑋2 :
a) Tracciare un riferimento cartesiano la cui retta di brl. di un caso che la reddita 𝑚 = 40;
indicare: intercetta e coefficiente angolare.
b) Come si modifica la retta di brl se il prezzo corrispondente al bene 2 varia da 5 a 10?
c) Come si modifica l’andamento della retta se i prezzi dei due beni raddoppiano?
Ris.
a) 𝑃1 𝑋1 + 𝑃2 𝑋2 = 𝑚
𝑚 − 𝑃1 𝑋1
𝑃2
𝑚 40
𝑋2 =
=
=8
𝑃2
5
𝑋2 =
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𝑋2 =
−
𝑚 𝑃1
− 𝑋
𝑃2 𝑃2 1
𝑃1
8
= 𝐶𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 = −
𝑃2
5
Esecitazioni 7
𝑋1 =
b)
𝑚 40
=
=5
𝑃1
8
𝑚
𝑋2
c)
40
= 𝑃 = 10 = 4
2
40
𝑋1 = 10 = 2,5
𝑋2 =
40
=4
10
8. Ex. 5.7 (pag.42)
Determinare la scelta ottima del consumatore data la funzione di utilità:
𝑈 = 𝑋1 𝑋2
Si supponga che il reddito sia 𝑚 = 5 e 𝑃1 = 2
𝑃2 = 3
𝑈 = 𝑋1 𝑋2 → 𝑓(𝑢)
2𝑋1 + 3𝑋2 = 5 → 𝑽𝒊𝒏𝒄𝒐𝒍𝒐
𝑋2 =
5 − 2𝑋1
3
Inseriamo il valore 𝑋2 trovato nella funzione di utilità:
𝑈 = 𝑋1 (
5 − 2𝑋1
5𝑋1 − 2𝑋1 2
) => 𝑈 =
3
3
Calcolare la derivata della 𝑓(𝑢) :
𝑑𝑈
5 − 2 ∗ 2𝑋1 5 − 4𝑋1
=
=
𝑑𝑋1
3
3
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8 Ex. 5.8(pag.60)
Poniamo la condizione del primo ordine
5 − 4𝑋1
=0
3
5 − 4𝑋1 = 0
Sostituiamo questo valore in 𝑋2 =
=> 𝑋2 =
5 = 4𝑋1
5−2𝑋1
3
5
5−2∗4
3
10 − 5
5 1 5
2
=
= ∗ = = 0,83
3
2 3 6
Derivata seconda per vedere se max o min di
𝑈=
5 − 4𝑋1
3
𝑑2 𝑈 0 − 4
3
=− <0
2 =
3
4
𝑑𝑋1
𝑚𝑎𝑥
Paniere ottenuto 𝑊 ∗ = (1,25 ; 0,83)
9. Ex. 5.8(pag.60)
Data la funzione di utilità :
𝑈 = 𝑥2 + 𝑦2
Determinare la scelta ottima essendo noti i valori monetari 𝑃𝑥 = 1 𝑃𝑦 = 2 𝑒𝑑 𝑚 = 4
Ris.
Calcolare le utilità marginali relative ai due beni :
𝑑𝑈
= 𝑈𝑀𝑥 = 2𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑈
= 𝑈𝑀𝑦 = 2𝑦
𝑑𝑦
Retta di brl : 𝑥 + 2𝑦 = 4
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Esecitazioni 9
𝑥=
𝑚
=4
𝑃𝑥
𝑦=
𝑚
=2
𝑃𝑦
Inserendo i valori di x e y avremo :
𝑈𝑀𝑥 = 2(4) = 8 𝜖 𝑢𝑡 𝑚𝑒𝑟𝑔 𝑥
𝑈𝑀𝑦 = 2(2) = 4 𝜖 𝑢𝑡 𝑚𝑒𝑟𝑔 𝑦
𝑀𝑅𝑆 =
𝑈𝑀𝑥 8
= =2
𝑈𝑀𝑦 4
Perciò l’utilità marginale di x è doppia rispetto ad y, e il prezzo di y è doppio rispetto ad x. Perciò
il consumatore investirà tutto il reddito in x.
10. Ex. 5.10 (pag. 64)
Data la funzione di utilità:
𝑈 = 𝑥1 𝑥2 + 𝑥1 𝑥2
con
𝑚 = 10 𝑃1 = 1 𝑃2 = 1
Determinare la scelta ottima di consumo.
Ris.
Massimizzazione funzione vincolata:
𝑑𝑈
= 𝑥2 + 1
𝑑𝑥1
|𝑀𝑅𝑆| =
𝑃1
𝑃
𝑥2 +1
𝑥1 +1
𝑑𝑈
= 𝑥1 + 1
𝑑𝑥2
Coef. Orq. Curva red.
Coef. Orq.
Imponiamo l’uguaglianza fra il SMS e il rapporto fra i prezzi (VINCOLO DI TANGENZA) e fornendo
il sistema con il vincolo di bilancio:
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10 Ex. 5.8(pag.60)
𝑥2 + 1 𝑃1
=
{ 𝑥1 + 1 𝑃2
𝑃1 𝑥1 + 𝑃2 𝑥2 = 𝑚
𝑥2 + 1
=1
{ 𝑥1 + 1
𝑥1 + 𝑥2 = 10
{
𝑥2 += 𝑥1 + 1
𝑥1 + 𝑥2 = 1
𝑥 = 𝑥1 + 1 − 1
{ 2
𝑥2 = 10 − 𝑥1
𝑥2 = 𝑥1
{𝑥 = 10 − 𝑥
1
2
𝑥1 = 10 − 𝑥1 → 2𝑥1 = 10 → 𝑥1 = 5 → 𝑥2 = 5

Paniere ottimo
𝑊 ∗ (5; 5)
11. Ex. 5.11 (pag. 65)
Tizio consuma dei beni perfetti sostenuti il cui |MRS|=3:
a) Scrivere la funzione di utilità;
b) Se 𝑃1 = 2 𝑒 𝑃2 = 4 𝑒 𝑚 = 100 individuare la scelta ottima;
Ris.
a) ℎ(𝑢) perfetti sostenibili è 𝑈 = 𝑎𝑥1 + 𝑏𝑥2 dovendosi verificare che |MRS|=3 la funzione
𝑑𝑈⁄
𝑑𝑥1
di utilità sarà: 𝑀𝑅𝑆 = 𝑑𝑈
⁄𝑑𝑥
2
infatti
𝑑𝑈
𝑑𝑥1
=3
𝑑𝑈
𝑑𝑥2
= 1 |𝑀𝑅𝑆| = 3
b) Trattandosi di beni perfetti sostenuti il consumatore razionale opterà per il consumo del
bene avente il minor prezzo cioè bene 1 P=2;
𝑚
Pertanto: 𝑥1 = 𝑃 =
1
100
2
= 50
Risulta quindi un paniere ottimo 𝑊 ∗ (50; 0) si giustifica in base alle seguenti
considerazioni:
vincolo: 2𝑥1 + 4𝑥2 = 100
𝑥1 + 2𝑥2 = 50 𝑃2 > 𝑃1
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Esecitazioni 11
Si assume che 𝑥2 = 0
12. Ex 5.12 (pag.66)
Si consideri la funzione di utilità:
𝑈 = 𝑚𝑖𝑛{1,5𝑥1 ; 𝑥2 }
Beni perfettamente complementari:
𝑃1 = 3 𝑃2 ≠ 18 𝑚 = 6
Determinare la scelta ottima.
Ris.
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12 Ex. 5.8(pag.60)
1,5𝑥1 = 𝑥2
{
3𝑥1 + 18𝑥2 = 60
(Condizione di ottimo)
(Vincolo)
3𝑥1 + 18(1,5𝑥1 ) = 60 3𝑥1 + 27𝑥1 = 60 𝑥1 = 2 𝑥2 = 3
13. Ex 5.14 (pag.69)
Data la funzione di utilità 𝑈 = 5 ∗ √𝑋1 + 𝑋2 il reddito 𝑚 = 100 e 𝑃1 = 2 e 𝑃2 = 1 scelta
ottima?
𝑑𝑈
1
=5∗
𝑑𝑋1
2 ∗ √𝑋1
𝑑𝑈
=1
𝑑𝑋2
𝑑𝑈
1
𝑑𝑋1
|𝑀𝑅𝑆| =
=5∗
𝑑𝑈
2 ∗ √𝑋1
𝑑𝑋2
Vincolo di tangenza
|𝑀𝑅𝑆| =
Vincolo di bilancio
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𝑃1
𝑃2
Esecitazioni 13
𝑃1 𝑋1 + 𝑃2 𝑋2 = 𝑚
Impostiamo e risolviamo:
5∗
1
=2
{
2 ∗ √𝑋1
2 𝑋1 + 𝑋2 = 100
{
{
𝑋1 =
25 = 16 𝑋1
2 𝑋1 + 𝑋2 = 100
5 = 4 ∗ √𝑋1
2 𝑋1 + 𝑋2 = 100
25
16
{
25
2
+ 𝑋2 = 100
16
{
25
16
2 ∗ 25 + 8 ∗ 𝑋2 = 100
𝑋1 =
25
16
{
775
𝑋2 =
8
𝑋1 =
25
Quindi ottimo 𝑊 ∗ = (16 ;
775
)
8
14. Ex. 10.4(pag. 100)
𝑚
La funzione di banda di un bene, che chiamiamo B : 𝑞 = 10 + 2𝑝
Il consumatore dispone di un redito m=300 il prezzo iniziale del bene è P=2; Se il prezzo aumenta
e diventa 𝑃′ = 6;
a) Quale sarà il nuovo livello di banda;
b) Quale parte della variazione della banda è dovuta all’effetto redd. E quale all’effetto
sostituzione?
Ris.
𝑞 = 10 +
300
= 85
2 ∙ (2)
a) Nuovo prezzo :
𝑞 ′ = 10 +
300
= 35
2(6)
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14 Ex. 5.8(pag.60)
∆𝑝 = 6 − 2 = +4
∆𝑞 = 35 − 85 = −50
b) La variazione di prezzo influisce sul reddito diminuendo il potere di acquisto del
consumatore:
𝑞′ =
∆𝑚
∆𝑝
85 =
∆𝑚
4
∆𝑚 = 340
Quantità aggiuntiva di redita necessaria per acquistare 85 unità di P=6.
𝑚
̂ = 300 + 340 = 640
𝑞 ′ = 10 ∗
640
12
= 63  Potere d’acquisto
𝐸𝑓𝑓𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑑 = 35 − 63 = −28
 −28 − 22 = −50
{
𝐸𝑓𝑓𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑆𝑜𝑠𝑡 = 63 − 85 = −22
15. Ex. 10.30 (pag. 99)
Data la funzione di utilità 𝑈 = 8 ∗ 𝑋1 − 𝑋12 + 𝑋2 indichiamo con 𝑃1 il prezzo per il bene 1 e
𝑃2 = 6 il prezzo per il bene 2. Scrivere la funzione di domanda diretta ed indiretta peril bene 1
Partendo dalla condizione di tangenza
|𝑀𝑅𝑆| =
𝑃1
𝑃2
𝑑𝑈
= 8 − 2 ∗ 𝑋1
𝑑𝑋1
𝑑𝑈
=1
{
𝑑𝑋2
𝑑𝑈
𝑑𝑋1
𝑀𝑅𝑆 =
= 8 − 2 ∗ 𝑋1
𝑑𝑈
𝑑𝑋2
Relazione di tangenza
8 − 2 ∗ 𝑋1 =
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𝑃1
⟹ 6(8 − 2 ∗ 𝑋1 ) = 𝑃1
6
Esecitazioni 15
48 − 12 ∗ 𝑋1 = 𝑃1 ⇒ 𝑋1 =
48 − 𝑃1
48
1
=
−
𝑃
12
12 12 1
Funzione di domanda diretta bene 1
Ora esplicitando rispetto a 𝑃1 si ottiene la domanda inversa
0,08 ∗ 𝑃1 = 4 − 𝑋1
𝑃1 =
4 − 𝑋1
= 50 − 12,5 ∗ 𝑋1
0,08
16. Ex. 11.2(pag. 105)
Data la seguente funzione di domanda inversa
𝑃 = 12 − 0,3 𝑄
Stabilire per quali valori di 𝑃 la domanda è elastica
Lungo la curva di domanda l’elasticità non è sempre uguale
𝜀𝑝 = 5
5
4
𝜀𝑝 = 0,5
2
1,6
10
20
40
44
𝑃1 = 5 → 4
} → 𝜀𝑝 = 5
𝑄1 = 10 → 20
𝑃1 = 2 → 1,6
} → 𝜀𝑝 = 0,5
𝑄1 = 40 → 44
Esplicitare la domanda 0,3 𝑞 = 12 − 𝑝 → 𝑞 = 40 − 3,33 𝑝
Elasticità
𝜀𝑝 =
𝑃 ΔQ
Δ𝑄⁄𝑄
∗
⟸
𝑄 Δ𝑃
Δ𝑃⁄𝑃
Esercizi di economia a.a. 2008/2009
16 Ex. 5.8(pag.60)
ΔQ
Δ𝑃
= 𝑏 ← 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎𝑛𝑔𝑜𝑙𝑎𝑟𝑒
Ponendo 𝜀 = 1
𝜀𝑝 = 𝑏 ∗
𝑃
12 − 0,3 𝑄
⟹ 1 = 3,33 (
)
𝑄
𝑄
𝑄 = 39,96 − 0,99 𝑄
𝑄 + 0,99 𝑄 = 39,96
→
𝑄=
39,96
≅ 20
1,99
Quantità della domanda in corrispondenza dell’elasticità 𝜀 = 1 con 𝑄 ≅ 20 e sostituendo in
0,30 𝑄 = 12 − 𝑃 → 𝑃 = 12 − 0,3 (20) ≅ 6
Si può verificare che per 𝑃 < 6 la domanda è anelastica perche rende 0 < |𝜀𝑝 | < 1, per 𝑃 > 6
la domanda è elastica perché 1 < |𝜀𝑝 | < ∞. Rappresentiamo graficamente le funzione di
domanda dirette, in pratica l’espressione
𝑄 = 40 − 3,33 𝑃
→ 𝑄 = 40 (𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐶𝐸𝑇𝑇𝐴 𝐴𝑆𝑆𝐸 𝐴𝑆𝐶𝐼𝑆𝑆𝐸)
{
𝑝=0
{
𝑄 = 40 − 3,33 𝑃
→ 𝑃 = 40 (𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐶𝐸𝑇𝑇𝐴 𝐴𝑆𝑆𝐸 𝑂𝑅𝐷𝐼𝑁𝐴𝑇𝐸)
𝑄=0
P
12
𝜀>1
6
𝜀 = |1|
|𝜀| = 1
20
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40
Q
Esecitazioni 17
17. Ex. 11.3(pag. 108)
Data la seguente funzione di domanda di un bene
𝑄 = 5000 − 10 𝑃
a) Calcolare il valore dell’elasticità di domanda quando il prezzo varia da P=150 a P’ 200
b) Esporre graficamente il risultato
𝜀𝑃 =
𝑃 𝑑𝑄
∗
𝑄 𝑑𝑃
𝑑𝑄
= −10
𝑑𝑃
𝜀𝑃 =
150
1500
(−10) = −
= | − 0,42|
5000 − 10(150)
3500
Valore compreso tra 0 < |𝜀𝑝 | < 1, la domanda rimane anelastica nonostante un aumento del
prezzo, fa pensare che il bene abbia pochi sostituti
Si può calcolare
𝑄′ − 𝑄
𝑄
𝜀𝑃 = ′
𝑃 − 𝑃
𝑃
𝑄 = 5000 − 10 𝑃
→ 𝑄 = 5000 (𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐶𝐸𝑇𝑇𝐴 𝐴𝑆𝑆𝐸 𝐴𝑆𝐶𝐼𝑆𝑆𝐸)
{
𝑃=0
𝑄 = 5000 − 10 𝑃
→ 𝑃 = 500 (𝐼𝑁𝑇𝐸𝑅𝐶𝐸𝑇𝑇𝐴 𝐴𝑆𝑆𝐸 𝑂𝑅𝐷𝐼𝑁𝐴𝑇𝐸)
{
𝑄=0
P
5000
𝜀 = |1|
|𝜀| = 0,42
150
𝑄=
𝑎
2
3500
5000
Q
Esercizi di economia a.a. 2008/2009
18 Ex. 5.8(pag.60)
18. Ex. 11.5(pag. 112)
La seguente funzione di domanda si riferiscono ai beni A e B
𝑄𝑎 =
30
30
𝑄𝑏 =
𝑃𝑎
𝑃𝑏
a) Calcolare elasticità della domanda rispetto al prezzo per ciascun bene
b) L’elasticità della domanda rispetto al reddito delle seguenti funzioni 𝑄𝑎 =
0,16 𝑚𝑎 𝑒 𝑄𝑏 = 0,7 𝑚𝑏
a) Elasticità della domanda del bene A al prezzo
𝜀𝑃𝐴 =
𝑃𝐴 𝑑𝑄𝐴
∗
𝑄𝐴 𝑑𝑃𝐴
Calcoliamo la derivata prima della funzione
𝑑𝑄𝐴
30
=− 2
𝑑𝑃𝐴
𝑃𝐴
𝜀𝑃𝐴 =
𝑃𝐴
30
𝑃𝐴
30
∗ (− 2 ) =
(− 2 ) = −1
30
30
𝑃𝐴
𝑃𝐴
𝑃𝐴
→
|𝜀𝑃𝐴 | = 1
→
|𝜀𝑃𝐵 | = 1
Analogamente per il bene B si ha
𝜀𝑃𝐵 =
𝑃𝐵 𝑑𝑄𝐵
∗
𝑄𝐵 𝑑𝑃𝐵
𝑑𝑄𝐵
60
=− 2
𝑑𝑃𝐵
𝑃𝐴
𝜀𝑃𝐵 =
𝑃𝐵
60
𝑃𝐵
60
∗ (− 2 ) =
(− 2 ) = −1
60
60
𝑃𝐵
𝑃𝐵
𝑃𝐵
Vuol dire che ad una variazione percentuale del prezzo corrisponde una pari, ma opposto
variabile percentuale delle domanda
b) Elasticità rispetto al reddito
𝜀𝑚 =
𝑚 Δ𝑚
∗
𝑄 Δ𝑄
Per i beni di lusso con elasticità >1 più aumento il reddito e più si acquista(vacanza, auto…)
Per i beni di pura necessità elasticità sempre >1, ma più basso
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Esecitazioni 19
Att.: quando si parla di elasticità della domanda al reddito il riferimento non è più a ciò che
accade lungo la curva di domanda (relazione prezzo domanda), ma gli spostamenti dell’intera
curva di domanda in base alle variazioni di reddito
𝜀𝑚𝐴 =
𝑚𝐴 𝑑𝑄𝐴
𝑚𝐴
(0,16)
∗
=
𝑄𝐴 𝑑𝑚𝐴
𝑄𝐴
Sostituiamo con 𝑄𝑎 = 0,16 𝑚𝑎
𝜀𝑚𝐴 =
𝑚𝐴
∗ 0,16 = 1
0,16 𝑚𝐴
𝜀𝑚𝐵 =
𝑚𝐵 𝑑𝑄𝐵
=
=1
𝑄𝐵 𝑑𝑚𝐵
19. Ex. 11.6(pag. 115)
Per due beni A e B si sono verificate le seguenti variazioni
𝑃 = 20
{ 𝐴
𝑄𝐴 = 40
𝐴
{
B
𝑃′ = 10
{ 𝐴′
{ 𝑄𝐴 = 50
𝑃𝐵 = 35
𝑄𝐵 = 50
𝑃′ = 60
{ 𝐵′
{ 𝑄𝐵 = 20
Calcolare l’elasticità
𝜖𝐴𝐵
Δ𝑄𝐴
% Δ𝑄𝐴
𝑃𝐵 Δ𝑄𝐴
35
10
350
𝑄𝐴
=
=
=
∗
=
∗ ( )=
= 0,35
ΔP𝐵
% Δ𝑃𝐵
𝑄𝐴 ΔP𝐵
40
25
1000
𝑃𝐵
20. Ex. 11.7(pag. 115)
Data la funzione di domanda di un
aumentare il prezzo
𝜀=
bene 𝑞 = 80 − 4 𝑝 𝑝 = 6 conviene ai produttori di
𝑃 𝑑𝑃
6
(−4) = −0,43
=
𝑄 𝑑𝑄
80 − (4 ∗ 6)
|𝜖| = 0,43 < 1
Anelastica perciò ai produttori conviene aumentare il prezzo
Esercizi di economia a.a. 2008/2009
20 Ex. 5.8(pag.60)
21. Ex. 4.3(pag. 234)
𝑄 = 48 − 6 ∗ 𝑃 funzione di domanda.
Determinare il prezzo che consente di ottenere il massimo ricavo totale
𝑅𝑇 = 𝑃 ∗ 𝑄
𝑅𝑇 = 𝑃 (48 − 6 𝑃) = 48𝑃 − 6𝑃2
Calcolando la derivata prima otteniamo di RT si ottiene il ricavo marginale MR
𝑀𝑅𝐴 =
𝑑𝑅𝑇
= 48 − 12 𝑃 ⟹ 48 − 12 𝑃 = 0 ⟹ 𝑃 = 4
𝑑𝑃
𝑑 2 𝑅𝑀
= 𝑑(48 − 12 𝑝) = −12 < 0 ⟸ 𝑀𝐴𝑋
𝑑𝑃2
22. Ex. 4.3(pag. 234)
Siano 𝑃 = 60 − 𝑄 𝐷 e 𝑃 = −20 + 4𝑄 𝑆 rispettivamente la funzione di domanda e di offerta di
domanda e di offerta di un certo mercato. Calcolare.
a) Equilibrio di mercato
b) Elasticità di domanda e offerta nel punto di equilibrio
a) Trasformo la domanda e offerta da inverse a dirette
𝑄 𝐷 = 60 − 𝑃
1
𝑄𝑆 = 𝑃 − 5
4
La condizione di equilibrio è 𝑄 𝑆 = 𝑄 𝐷
1
60 − 𝑃 = 𝑃 − 5
4
𝑃 = 44 𝑄 = 16 ⟹ 𝑄 𝑆 = 𝑄 𝐷 = 16
𝑄 = 16
𝐸=(
)
𝑃 = 44
b)
𝑑𝑄 𝐷
= 60 − 𝑃 = −1
𝑑𝑃
𝜀𝐷 =
𝑃 𝑑𝑄 𝐷 44
(−1) = −2,75 ⟹ 𝜀𝐷 > 1 𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑖𝑡à 𝑟𝑖𝑠𝑝𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑎𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑧𝑧𝑜
∗
=
𝑄
𝑑𝑃
16
𝑃 𝑑𝑄 𝑆 44 1
𝜀𝑆 = ∗
=
( ) = 0,68 ⟹ 𝜀𝑆 < 1 𝑜𝑓𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑎𝑛𝑎𝑒𝑙𝑎𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎
𝑄 𝑑𝑃
16 4
Prof.ssa Iacobone
Esecitazioni 21
23. Ex. 4.5(pag. 240)
Un impresa ha la seguente funzione di costo totale di breve periodo 𝐶𝑇 = 0,5 𝑄 2 − 𝑄 + 5
Calcolare
a) La funzione di offerta dell’impresa
b) La funzione di offerta dell’industria nell’ipotesi che sul mercato operino 4 imprese aventi
la medesima funzione di costo totale; la configurazione di equilibrio del mercato di
concorrenza perfetta in corrispondenza della domanda di mercato 𝑄 𝐷 = 148 − 8 𝑃 nel
breve periodo
c) L’ammontare del prodotto reddito di ciascuna impresa;
d) Il comportamento atteso dalle imprese nel breve periodo
a)
𝑑𝐶𝑇
=𝑞−1
𝑑𝑞
𝑃 = 𝑄 − 1 ⟹ 𝑄 𝑆 = 1 + 𝑃 (𝑜𝑓𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑏𝑟𝑒𝑣𝑒 𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙𝑙 ′ 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎)
𝑃 = 𝑀𝐶 =
b) indichiamo con 𝑄 𝑆 la funzione di offerta dell’industria
𝑄 𝑆 = 4(1 + 𝑃) = 4 + 4 𝑃
𝑃 = 12
𝑄 𝑆 = 52 ⟸ 𝐸
𝑄𝑆
= 𝑜𝑔𝑛𝑖 𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑒 13
4
c)
𝜋 = 𝑃 ∗ 𝑄 − 𝐶𝑇 = 12 ∗ 13 − (0,5 ∗ 132 − 13 + 5) = 79,5 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑖𝑡𝑡𝑜
d)Si è in un libero mercato. Le imprese entrano visto che vi è un profitto > 0 e la cruva di offerta
di porterà a destra, i prezzi diminuiscono e 𝜋 tenderà a zero
24. Ex. 4.6(pag. 241)
Un mercato esprime la funzione di domanda 𝑄 𝐷 = 80 − 10 𝑃 ; ogni impresa realizza un output
(𝑄 𝑠 ) sostenendo un costo totale di lungo periodo 𝐶𝑇 = 𝑄 3 −4 𝑄 2 + 8𝑄.
Ipotizzando che i prezzi dei fattori rimangono costanti determinare:
a) Equilibrio di lungo periodo se non vi sono barriere all’entrata e all’uscita
b) Il numero di imprese operandi nel mercato
c) Il livello di 𝜋 delle imprese
Esercizi di economia a.a. 2008/2009
22 Ex. 5.8(pag.60)
a) Nel lungo periodo verifica Δ𝐶 = 𝑀𝐶.Pertanto calcoliamo Δ𝐶 partendo da 𝐶𝑇
𝐶𝑇 = 𝑄 3 − 4𝑄 2 + 8𝑄
Δ𝐶 =
𝑀𝐶 =
𝐶𝑇
= 𝑄 2 − 4𝑄 + 8
𝑄
𝑑𝐶𝑇
= 3𝑄 2 − 8𝑄 + 8
𝑑𝑄
Δ𝐶 = 𝑀𝐶
𝑄 2 − 4𝑄 + 8 = 3𝑄 2 − 8𝑄 + 8
−3𝑄 2 + 𝑄 2 − 4𝑄 + 8𝑄 = 0 ⟹ 𝑄 𝑆 = 2 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡à 𝑜𝑓𝑓𝑒𝑟𝑡𝑎 𝑑𝑒𝑙𝑙′𝑖𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎
. Per determinare il prezzo di lungo periodo poniamo la relazione 𝑃 = Δ𝐶 pertanto inserendo
𝑄 𝑆 = 2 avremo
Δ𝐶 = 22 − 4 ∗ 2 + 8 = 4
𝑃=4
Calcoliamo laa quantità domandata dal mercato inserendo P = 4 in
𝑄 𝑃 = 80 − 10𝑃 ⟹ 𝑄 𝐷 = 80 − 10(4) = 40 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑡à 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑑𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑟𝑐𝑎𝑡𝑜
b) Essendo 𝑄 𝐷 = 40 e 𝑄 𝑃 = 2 il numero di imprese presenti nel mercato
𝑄𝑃
40
𝑁= 𝑆=
= 20
𝑄
2
c) Il profitto
𝜋 = 𝑅𝑇 − 𝐶𝑇 = 𝑃𝑄 𝑆 − ( 𝑄 3 − 4𝑄 2 + 8𝑄) = 4 ∗ 2 − (8 − 16 + 16 ) = 8 − 80
In corrispondenze del punto di equilibrio il profitto è nullo E(2;4)
25. Ex. 1.1(pag. 221)
La funzione di costo totale di breve periodo di un impresa è 𝐶𝑇 = 𝑌 2 − 3𝑌 + 10.Determinare i
livello di costo corrispondente all’output 𝑌 = 5
-
Costo totale (𝐶𝑇)
Costo medio (Δ𝐶)
Costo marginale (𝑀𝐶)
Costo fisso medio (Δ𝐹)
Costo variabile (𝐶𝑉)
Costo variabile medio (Δ𝐶𝑉)
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Esecitazioni 23
Costo totale (𝐶𝑇).
𝐶𝑇 = 𝑌 2 − 3𝑌 + 10 ⟹ 𝐶𝑇 = 25 − 15 + 10 = 20
Costo medio (Δ𝐶)
𝐶𝑇
𝑌 2 − 3𝑌 + 10 25 − 15 + 10
Δ𝐶 =
=
=
=4
𝑌
𝑌
5
Costo marginale (𝑀𝐶). Si ottiene calcolando la derivata prima del CT
𝑀𝐶 =
𝑑𝐶𝑇
= 2 𝑌 − 3 = (𝑌 = 5) = 7
𝑑𝑦
Costo fisso medio (Δ𝐹). Nel breve periodo rimane costante
𝐴𝐹 =
𝐹
10
=
=2
𝑌
5
Costo variabile (𝐶𝑉). Viene dalla proporzionalità dell’output
𝐶𝑉 = 𝑌 2 − 3𝑌 = 25 − 15 = 10
Costo variabile medio (Δ𝐶𝑉).
Δ𝐶𝑉 =
𝐶𝑉 𝑌 2 − 3𝑌 25 − 15
=
=
=2
𝑌
𝑦
5
26. Ex. 10.4(pag. 100)
La funzione di domanda di un bene che chiamiamo B:
𝑄 = 10 +
𝑚
2𝑃
Il consumatore dispone di un reddito m=300 il prezzo iniziale del bene è P=2. Se il prezzo iniziale
del bene aumenta e diventa P’=6
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24 Ex. 5.8(pag.60)
a) Quale sarà il nuovo livello di domanda?
b) Quale parte della variazione della domanda è dovuta all’effetto reddito e quale
all’effetto sostituzione
a)
𝑄 = 10 +
300
= 85
2∗2
𝑄 ′ = 10 +
300
= 35
2∗6
Nuovo prezzo
Δ𝑃 = 6 − 4 = 4
Δ𝑄 = 35 − 85 = −50
b) La variazione del prezzo influisce sul reddito diminuendo il potere di acquisto del
consumatore
Δm
Δm
𝑄′ =
⟹ 85 =
⟹ Δm = 340.
ΔP
4
Quantità aggiuntiva di reddito necessaria per acquistare 85 unità a P=6
𝑚
̂ = 300 + 340 = 640
640
𝑄 ′ = 10 +
= 63 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑟𝑒 𝑑𝑖 𝑎𝑐𝑞𝑢𝑖𝑠𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑡𝑜 𝑝𝑟𝑒𝑧𝑧𝑖 𝑎𝑢𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖
12
𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑟𝑒𝑑𝑑𝑖𝑡𝑜 = 35 − 63 = −28
𝑒𝑓𝑓𝑒𝑡𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 = 63 − 85 = −22
−50
27. Ex. 4.9(pag. 245)
La funzione di costo dell’impresa A è di 𝐶𝑇𝐴 = 𝑋 2 + 2; quella dell’impresa B è 𝐶𝑇𝐵 = 2𝑋 2 + 𝑋
Si ipotizza che sul mercato siano soltanto due consumatori aventi le seguenti funzioni di utilità:
𝑈1 = 𝑋𝑌 e 𝑈2 = 𝑋(𝑌 − 2).
Si suppone che il prezzo del bene Y è 𝑃𝑦 = 2 ed il reddito di ciascun consumatore è 𝑚 = 16 .
Determinare il prezzo e la quantità di equazione del bene x
La funzione di domanda del bene X si ottiene svolgendo l’usuale stima fra vincoli di tangenza e
vincoli di bilancio. Dalla funzione di utilità del primo consumatore si ottiene
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Esecitazioni 25
𝑑𝑈1
𝑌
|𝑀𝑅𝑆| = 𝑑𝑋 =
𝑋
𝑑𝑈1
𝑑𝑌
𝑃𝑋
{
𝑃𝑌
𝑃𝑥 𝑋 + 𝑃𝑌 𝑌 = 𝑚
𝑀𝑅𝑆 =
𝑌
𝑃𝑋
=
{
𝑋
2
𝑃𝑋 𝑋 + 2𝑌 = 16
2𝑌 = 𝑃𝑋 𝑋
2𝑌 = 16 − 𝑃𝑋 𝑋
{
𝑃𝑋 𝑋 = 16 − 𝑃𝑋 𝑋
𝑃𝑋 𝑋 + 𝑃𝑋 𝑋 = 16 ⟹ 2𝑃𝑋 𝑋 = 16
𝑋1𝐷 =
8
𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒
𝑃𝑋
Per il secondo consumatore
𝑑𝑈2
𝑌−2
|𝑀𝑅𝑆|2 = 𝑑𝑋 =
𝑑𝑈2
𝑋
𝑑𝑌
𝑌−2
𝑃𝑋
=
{
𝑋
2
𝑃𝑋 𝑋 + 2𝑌 = 16
{
2𝑌 − 4 = 𝑃𝑋 𝑋
𝑃𝑋 𝑋 + 2𝑌 = 16
2𝑌 − 4 + 2𝑌 = 16
4𝑌 = 20 ⟹ 𝑌 = 5 𝑖𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑒𝑟𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑒𝑙 𝑣𝑖𝑛𝑐𝑜𝑙𝑜 𝑑𝑖 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑧𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒
10 − 4 = 𝑃𝑋 𝑋 ⟹ 6 = 𝑃𝑋 𝑋
𝑋2𝐷 =
6
= 𝑓𝑢𝑛𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 𝑑𝑖 𝑑𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑎𝑡𝑜𝑟𝑒
𝑃𝑥
La funzione di domanda aggregata si ottine sommando membro a membro le fuznione data dei
consumatori 𝑋1𝐷 =
8
𝑃𝑋
e 𝑋2𝐷 =
6
𝑃𝑥
𝑋𝐷 =
8
6
14
+
⟹ 𝑄𝐷 =
𝑃𝑋 𝑃𝑥
𝑃𝑥
Ora per ciascuna impresa si ha
A ⟹ 𝑃𝑥 = 𝑀𝐶 ⟹ 𝑃𝑥 =
𝑑𝐶𝑇𝐴
𝑑𝑋
= 2𝑋 → 𝑋𝐴𝑆 =
𝑃𝑋
2
= 0,50 𝑃𝑥
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26 Ex. 5.8(pag.60)
B ⟹ 𝑃𝑥 = 𝑀𝐶 ⟹ 𝑃𝑥 =
Prof.ssa Iacobone
𝑑𝐶𝑇𝐵
𝑑𝑋
= 4𝑋 + 1 → 𝑋𝐵𝑆 =
𝑃𝑋 −1
4
= 0,25 𝑃𝑋 − 0,25