2. Teoremi per eseguire operazioni con i limiti in forma determinata
Vediamo dunque i teoremi che consentono il calcolo dei limiti, attraverso i quali si riconducono le situazioni
articolate a semplici operazioni algebriche con i limiti fondamentali. La cattiva notizia è che questi teoremi
sono numerosi (ma tutti assai intuitivi), quella buona è che ci guarderemo bene dal dimostrarli. E’ molto
importante fare attenzione al fatto che ognuno di questi teoremi ha delle condizioni di validità. Quando queste
vengono a mancare non è consentita l’applicazione del teorema stesso.
In tutti i casi in cui i teoremi hanno validità, si dice che i limiti si presentano sotto forma determinata.
Poiché iniziano tutti nello stesso modo, scriveremo ora questo incipit comune una volta per tutte:
Se risulta:
lim
x →x 0
(oppure x →±∞)
f (x ) = ℓ f
lim
x →x 0
(oppure x →±∞)
g(x ) = ℓ g
e nel seguito lo intenderemo sottinteso all’inizio di ciascuno dei teoremi.
1. Teorema del prodotto.
[…] allora:
lim
x →x 0
(oppure x →±∞)
f (x ) ⋅ g(x ) = ℓ f ⋅ ℓ g
Nel caso in cui uno od entrambi i limiti ℓ f ed ℓ g siano infiniti valgono le seguenti regole di aritmetizzazione del
simbolo ∞ , dove a è un numero reale non nullo:
a >0:
a <0:
+∞ ⋅ (+∞) = +∞
a ⋅ (+∞) = +∞
a ⋅ (+∞) = −∞
−∞ ⋅ (−∞) = +∞
a ⋅ (−∞) = −∞
a ⋅ (−∞) = +∞
+∞ ⋅ (−∞) = −∞
nel caso in cui uno dei due limiti valga 0 e l’altro ±∞ il presente teorema non ha validità.
Esempio 1
Calcolare:
−7
lim
x4
x →+∞
Risulta:
−7
1
lim 4 = lim (−7 ) ⋅ lim 4
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞ x
la funzione costante f (x ) = −7 è evidentemente sempre stabilizzata attorno al valore ℓ = −7 , quindi risulta
1
lim (−7) = −7 , mentre il secondo limite è uno dei limiti fondamentali noti, lim 4 = 0+ , e quindi,
x →+∞
x →+∞ x
applicando il teorema del prodotto:
6
1
lim − 7 ⋅ lim 4 = (−7 ) ⋅ 0+
x →+∞ x →+∞ x
Ricordiamo ora che il simbolo 0+ indica che la funzione si sta avvicinando allo zero da valori positivi.
Moltiplicando tutti questi valori per il numero negativo −7 divengono una serie di numeri negativi che si
avvicinano a zero, da cui:
(−7 ) ⋅ 0+ = 0−
Più in generale, se a ∈ ℝ 0 , si ha:
a >0:
+
a <0:
+
a⋅0 = 0
a ⋅ 0+ = 0−
a ⋅ 0− = 0−
a ⋅ 0− = 0+
Esempio 2
Calcolare:
lim x 5e x
x →+∞
Applicando prima il teorema del prodotto, e poi la conoscenza dei limiti fondamentali, risulta:
lim x 5e x = lim x 5 ⋅ lim e x = +∞ ⋅ (+∞) = +∞
x →+∞ x →+∞
x →+∞
Esempio 3
Calcolare:
lim
x →0+
ln x
x2
Applicando prima il teorema del prodotto, e poi la conoscenza dei limiti fondamentali, risulta:
lim
x →0+
ln x
1
= lim+ 2 ⋅ lim+ ln x = +∞ ⋅ (−∞) = −∞
2
x
→
0
x
x x →0
(
)
Esempio 4
Calcolare:
−4 x
lim
e
x7
x →−∞
Applicando prima il teorema del prodotto, e poi la conoscenza dei limiti fondamentali, risulta:
−4 x
1
lim
e = lim (−4) ⋅ lim 7 ⋅ lim e x = −4 ⋅ (0− ) ⋅ (0+ ) = 0+
x →−∞
x →−∞ x
x →−∞
x7
x →−∞
7
2. Teorema della somma
[…] allora:
lim
x →x 0
(oppure x →±∞)
[ f (x ) + g(x )] = ℓ f + ℓ g
Nel caso in cui uno od entrambi i limiti ℓ f ed ℓ g siano infiniti valgono le seguenti regole di aritmetizzazione del
simbolo ∞ , dove a è un numero reale positivo o negativo:
a + ∞ = +∞
a − ∞ = −∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
nel caso in cui i due limiti siano infiniti di segno opposto il presente teorema non ha validità.
Esempio 5
Calcolare:
lim (−4x 3 − 2e x − x )
x →−∞
applicando il l teorema della somma:
lim (−4x 3 − 2e x − x ) = lim (−4x 3 ) + lim (−2e x ) + lim (−x ) =
x →−∞
x →−∞
x →−∞
x →−∞
applicando il teorema del prodotto:
= −4 ⋅ lim x 3 − 2 ⋅ lim e x − lim x =
x →−∞
x →−∞
x →−∞
dalla conoscenza dei limiti fondamentali:
= −4 ⋅ (−∞) − 2 ⋅ 0+ − (−∞) = +∞ + 0− + ∞ = +∞
Esempio 6
Calcolare:
3
10
lim 2 + 4 − 3
x →+∞ x
x
applicando il teorema della somma:
10
3
+ lim 4 + lim − 3 =
2
x →+∞ x
x →+∞
x →+∞ x
= lim
applicando il teorema del prodotto:
1
1
= 3 ⋅ lim 2 + 4 − 10 ⋅ lim 3 =
x →+∞ x
x →+∞ x
dalla conoscenza dei limiti fondamentali:
= 3 ⋅ 0+ + 4 − 10 ⋅ 0+ = 0+ + 4 + 0− = 4
8
del resto, al di là dei passaggi formali è molto evidente che, dovendo determinare il comportamento di
3
−10
divengono sempre più piccole al
questa funzione all’infinito, si vede subito che le due quantità 2 e
x
x3
crescere del denominatore e tutta la funzione si approssima sempre più al valore 4
Esempio 7
Calcolare:
4
lim x 6 + 2x 2 + ln x − 3 arctan x
x →+∞ 3
applicando il teorema della somma e del prodotto:
=
4
⋅ lim x 6 + 2 ⋅ lim x 2 + lim ln x − 3 ⋅ lim arctan x =
x →+∞
x →+∞
x →+∞
3 x →+∞
e dai limiti fondamentali:
=
4
π
3
⋅ (+∞) + 2 ⋅ (+∞) + (+∞) − 3 ⋅ = +∞ + ∞ − π = +∞
3
2
2
Anche qui, al di là dei passaggi formali (che sono ridondanti se svolti in questa forma, che useremo solo per i
4
primi esercizi, si vedeva subito che al crescere della x le tre quantità x 6 , 2x 2 e ln x divengono infinite
3
π
(anche se con velocità differenti) mentre la funzione arctan x non vale mai oltre
, e così non altera
2
l’andamento complessivo.
Studiare ReF pp 52.56, esercizi su somma e prodotto p 328 da 106 a 114
9
3. Teorema del quoziente
[…] allora:
lim
x →x 0
(oppure x →±∞)
ℓf
f (x )
=
g(x )
ℓg
Nel caso in cui uno dei limiti ℓ f ed ℓ g sia nullo oppure infinito, valgono le seguenti regole di aritmetizzazione del
simbolo ∞ , dove a è un numero reale positivo o negativo:
a >0:
a
= +∞
0+
a
= −∞
0−
a
= 0−
−∞
a
= 0+
+∞
a <0:
a
= −∞
0+
a
= +∞
0−
a
= 0+
−∞
a
= 0−
+∞
0+
= 0+
+∞
0+
= 0−
−∞
0−
= 0+
−∞
+∞
= +∞
0+
−∞
= −∞
0+
−∞
= +∞
0−
nel caso in cui i due limiti siano entrambi infiniti oppure entrambi nulli il presente teorema non ha validità.
Osservazione: le formule di aritmetizzazione dell’infinito che si ottengono dal il teorema del quoziente, sono
un po’ le formule della torta. Sia a la torta, e si abbiano infiniti bambini fra il quali dividerla. E’ chiaro che la
a
→ 0 . Ricordato questo, è facile immaginarsi che valgano
parte di ciascuno sarà praticamente zero, da cui:
∞
a
le regola algebriche da cui → ∞ I resto sono solo normali relazioni fra i segni che seguono le consuete
0
0
regole di algebra. Infine le relazioni del tipo
→ 0 , corrispondono la caso in cui non c’è nemmeno la torta
∞
da spartire (cioè a = 0 ). Ovviamente viene zero torta per ciascuno dei poveri bimbi.
Esempio 8
Calcolare:
−2
lim
− 3
x
x →3+
applicando il teorema del quoziente:
−2
−2
−2
−2
lim
= +
= + = −∞
=
−3
lim+ (x − 3) 3 − 3
0
x
x →3+
x →3
infatti avvicinarsi a 3 da valori maggiori significa che la differenza x − 3 tende a 0 da valori maggiori di
esso. Notiamo infatti che:
a − − a → 0−
a − a − → 0+
a + − a → 0+
a − a + → 0−
10
Esempio 9
Calcolare:
lim −
1
x →
2
5
2x − 1
applicando il teorema del quoziente con un simbologia più snella:
lim −
1
x →
2
5
5
5
5
=
= −
= − = −∞
−
1
2x − 1
1 −1 0
2 − 1
2
Esempio 10
Calcolare:
3
x →+∞ 2x + x − 1
lim
4
applicando il teorema del quoziente:
3
3
3
=
=
= 0+
x →+∞ 2x + x − 1
2(+∞) + (+∞) − 1 +∞
lim
4
4. Limiti delle funzioni composte
Se risulta:
lim
x →x 0
(oppure x →±∞)
g(x ) = ℓ g
(incluso il caso ℓ g = ±∞ ), e se esiste il lim f (x ) = ℓ f allora:
x →ℓ g
lim
x →x 0
(oppure x →±∞)
f (g (x )) = f (ℓ g ) = ℓ f
Quindi, ad esempio, laddove esistono, si può dire che:
il limite di una radice n-esima è la radice n-esima del limite,
il limite di una potenza è la potenza del limite
il limite di un logaritmo è il logaritmo del limite,
il limite di un’esponenziale è l’esponenziale del limite,
il limite di un seno è il seno del limite,
e così via.
Esempio 11
Calcolare:
lim
x →−∞
(
3 − 4x − x + 1)
Risulta:
lim
x →−∞
=
(
3 − 4x − x + 1) = lim
x →−∞
3 − 4x + lim (−x + 1) =
x →−∞
lim (3 − 4x ) − (−∞) + 1 = 3 + ∞ + ∞ = +∞ + ∞ = +∞
x →−∞
11
Esempio 12
Calcolare:
2
4
lim
+ 5e −3x
x →−∞ 2 − x
Risulta:
2
2
4
4
lim
+ 5e −3x = lim
+ lim 5e −3x =
x →−∞ 2 − x
x →−∞
x →−∞ 2 − x
=
4
2 − (−∞)
2
+ 5e −3(−∞) =
y = tan x
4
4
+ 5e −3(+∞) =
+ 5e −∞ = 0+ + 5 ⋅ 0+ = 0+ + 0+ = 0+
+∞
+∞
Esempio 13
Calcolare:
+
1
1
lim e x −
x →0−
tan x
0
−
−π 2
Risulta:
0→
↓
←0
↑
−
0
+
π
2
1−
1
1
−∞
lim− e 0 −
− − = 0+ − (−∞) = +∞
=e
x →0
tan 0−
0
Esempio 14
Calcolare:
4
lim x 5 + 2 ln 3x
3
x →+∞
Risulta:
4
4
lim x 5 + 2 ln 3x = lim x 5 + lim 2 ln 3x = +∞ + 2 ln(+∞) = +∞ + ∞ = +∞
x →+∞ 3
x →+∞
3
x →+∞
Esempio 15
Calcolare:
1
x
lim− 3 2−x +
x →2
(x − 2)2
Risulta:
1
1
1
x
x
2−
2−2− +
= lim 3 2−x + lim
=
=
lim− 3 2−x +
3
2
x →2
x →2− (x − 2)2
(x − 2)2 x →2−
(2− − 2)
1
+
= 30 +
2−
− 2
(0 )
= 3+∞ +
2
= +∞ + ∞ = +∞
0+
12
Esempio 16
Calcolare:
lim
x →−∞
1
1 − x − 3x
Risulta:
1
=
1 − x − 3x
lim
x →−∞
1
1 − (−∞) − 3(−∞)
=
1
1
=
= 0+
+∞ + ∞
+∞
Esempio 17
Calcolare:
y = log 1 x
2
π
lim + log 1 x − − tan x
π
2
x →
2
2
Risulta:
π
lim + log 1 x − − tan x = log 1
π
2
x →
2
2
2
+
+
π − π − tan π =
2
2
2
= log 1 0+ − (−∞) = +∞ + ∞ = +∞
0
1
← 0+
y = tan x
+
←( π 2)
2
Esempio 18
Calcolare:
lim 24−x
x →+∞
Risulta:
lim 24−x = 24−∞ = 2−∞ = 0+
x →+∞
ReF Aritmetizzazione dell’infinito pp. 57-59
Es p329 da 117 a 126, p330 da 127 a 133
13
