Modello ad un fluido magnetizzato

Modello ad un fluido magnetizzato
Nel limite di un plasma di molte particelle e di fenomeni che avvengono su tempi scala
lunghi, un plasma rilassa verso una situazione di equilibrio maxwelliano attraverso le
collisioni, sia lungo sia a corto raggio ed allo stesso tempo eventuali separazioni di carica
o non si verificano, come nel caso di un plasma in equilibrio immerso in un campo
magnetico auto consistente, o vengono rapidamente saturate.
In queste condizioni è possibile sviluppare un modello ad equazioni macroscopiche
per il plasma come un singolo fluido, mediando le varie grandezze derivate con la
teoria a due fluidi , in modo da arrivare ad un sistema di equazioni per quantità
direttamente misurabili.
In un plasma coesistono sempre almeno tre tipi di particelle, ciascuno con la propria
funzione di distribuzione:
1. particelle neutre, f0
2. elettroni, f −
3. ioni positivi, f+.
Pertanto i modelli macroscopici dovrebbero essere sempre modelli ad almeno tre fluidi: in
realtà, poiché nella maggior parte dei casi di interesse (con eccezioni importanti in
astrofisica), i plasmi sono completamente ionizzati si adotta, un modello a due fluidi, in
termini di f − e f+ in condizioni di equilibrio termodinamico, il che permette di esprimere la
densità di energia in termini della temperatura
Le equazioni macroscopiche sono scritte introducendo i termini di scambio di quantità di
moto (∆p ±) ed energia (∆E±) per le collisioni a corto raggio tra le due componenti. Le
equazioni separate per i due fluidi risultano:
(19.1)
Nell’ipotesi che le scale spaziali del problema siano grandi rispetto alla lunghezza di Debye
e i tempi scala siano lunghi rispetto all’inverso della frequenza di plasma, non si ha
separazione di carica si può giungere ad esprimere un modello in termini di grandezze
misurabili, operando una media delle due distribuzioni secondo i seguenti pesi:
(19.2)
Con queste definizioni, sommando le equazioni di continuità, si ottiene l’equazione
di continuità della massa totale:
(19.3)
Moltiplicando le due equazioni di continuità per e±/m± rispettivamente e sommandole, si
ottiene l’equazione di continuità della carica:
(19.4)
Sommando le equazioni del moto, si ottiene l’equazione del moto del fluido:
±
∇p
(19.5)
dove si è posto ∇⋅P = ∇(
) = ∇p+.+ ∇p-. Sempre utilizzando le due equazioni del
moto, moltiplicandole per e±/m± rispettivamente e sommandole, si ottiene, nel limite m−/m+
<< 1 (ioni ”immobili”) e di pressione scalare isotropa
(19.6)
1)
2) Vedi appendice
dove Ωε = |e−B/m−c| = 1.8 10 7B rad sec−1 è la frequenza di Larmor elettronica e p− la
pressione elettronica. L’assunzione di isotropia di pressione si applica nel limite di grande
frequenza di collisioni, p+ ≈ p− ≈ p/2 (come nel caso idrodinamico oppure nel limite di
plasma freddo, p+ ≈ p− ≈ 0.
Appendice
Definizioni
1)
+
e− − −  ∂ −
 − e + + ∂ +

−
n m  u + u ⋅ ∇ u + + n m  u + u + ⋅ ∇ u + =
−
m
m
 ∂t

 ∂t

∂ − −
=
n u + n + u + + n − u − ⋅ ∇u − + n + u + ⋅ ∇u + =
∂t
∂J
=
+ n − u − ⋅ ∇u − + n + u + ⋅ ∇u +
∂t
(
)
ω pe
2)
2
2
n −e−
n+e+
−
(E + u × B ) +
(E + u + × B ) =
−
+
m
m
1 
ne 2  1 
m− J  1 
J 
2 1

 × B =
u
u
= ne  − + + E +
+
+
−


 +
+
− 
m
m
c
m
m
ne
m
ρ
e







  1
1  J  m−
1 

u
+
+
−



+
−
 m + m −  × B =
m
m
ne



 
2
ne 2 
u
J
u
B
 ne 

≅ −  E + × B + × B  = −  E + × B  + JΩ e ×
m 
c
ne
c
B
 m 

1 
ne 2
 1
= ne  − + + E +
m 
c
m
2
2
4πne Z 2 e 2
=
me
Il termine collisionale per lo scambio di quantità di moto tra elettroni e ioni,
essere ricavato considerando che dipende dalla velocità relativa dei due fluidi:
può
(19.7)
dove la costante di proporzionalità è la frequenza di collisione ν ei >> ν ii discussa nel
precedente paragrafo e 1) le velocità individuali degli ioni pesanti sono trascurabili
rispetto a quelle degli elettroni e che 2) u+ ≅ u, data la massa degli ioni m+ >> m- .
Confrontando con l’espressione della densità di corrente:
si ottiene:
con
j = J − J conv = J − Qu (19.8)
L’ ipotesi che il moto del plasma sia stazionario ∇u±i ≈ 0, e quasi neutro Q ≈ 0 consente
di scrivere una relazione tra la densità di corrente J e il campo elettrico detta legge di
Ohm generalizzata :
J
´
.
È ovvia l’analogia con la legge di Ohm classica; in effetti il rapporto dei coefficienti di j e E
corrisponde proprio alla conduttività elettrica classica σ = n−e2/m−νc. . I termini aggiunti al
primo membro corrispondono a proprietà del plasma rispetto ad un conduttore classico. (in
particolare il termine J × B corrisponde all’effetto Hall).
Formalmente si può quindi riscrivere la legge di Ohm generalizzata attraverso un tensore
generalizzato di conduttività σ:
J=σ·E.
(19.9)
L’ equazione dell’energia per il fluido singolo si ottiene, sommando le due espressioni
singoleper elettroni e ioni con cv T = c−v T−+ c+v T+
Il termine a secondo membro rappresenta il riscaldamento Joule. I campi E, B in queste
equazioni sono definiti attraverso le equazioni di Maxwell, Correnti e cariche sono a loro
volta definite dalle distribuzioni f −, f+ del plasma. Si usano quindi le equazioni di Maxwell
nel vuoto per chiudere il sistema:
(19.10)
che in effetti solo le prime due equazioni di Maxwell sono effettivamente richieste per
descrivere i campi, mentre le due rimanenti definiscono solo le condizioni iniziali e al
contorno in termini delle cariche e delle correnti.
In conclusione il sistema delle equazioni del modello a un fluido è costituito
da 15 equazioni scalari nelle 15 incognite scalari ρ, u, Q, J, p, E, B.
Per chiudere il sistema e’ necessario compiere una scelta su q, in particolare q=0
(19.11)
(19.12)
(19.13)
´
(19.14)
(19.15)
(19.16)
(19.17)
(19.18)
Si tratta di un sistema complesso e altamente non lineare, che può essere risolto
analiticamente solo in casi molto particolari.
Equazioni Magnetoidrodinamiche
Un plasma con elevata frequenza di collisione ed elevata conduttività elettrica è sempre in
grado di mantenersi in condizioni di quasi neutralità ed in equilibrio maxwelliano a una data T
nelle sue varie componenti. In tal caso si può porre nelle equazioni a due fluidi:
,
(19.19)
Se inoltre si impone q ≈ 0, e si sceglie come tempo scala caratteristico ω−1 = L/u (L estensione
del plasma, u velocità caratteristica dei moti fluidi), si ottiene l’approssimazione
magnetoidrodinamica.
Per derivare le semplificazioni delle equazioni del modello a due fluidi, eseguiamo
un’analisi dimensionale per comprendere quali siano i termini trascurabili in tale approssimazione. Si parte dalla legge di scala suddetta in condizioni non relativistiche:
(19.20)
Dall’equazione di Maxwell
si ottiene ;:
(19.21)
Dall’equazione di Maxwell
si ottiene poi:
(19.22)
cioè il termine delle correnti di spostamento è trascurabile. Con queste relazioni
possiamo scalare i vari termini della legge di Ohm:
≅ ωpe2
(19.23)
Dividendo entrambi i membri per Il termine a destra, che è dell’ ordine di ωpe2 (u/c)B ≅
ωpe2 (u/c2)(JL). il I°termine a sinistra è dell’ ordine di
e tutti gli altri si scalano
allo stesso modo ottenendo:
dove cs = (p/m+n+)1/2 è la velocità del suono e le altre quantità sono state già definite.
I primi tre termini della legge di Ohm sono trascurabili rispettivamente quando:
(19.24)
Se queste relazioni sono soddisfatte, si ritorna alla legge di Ohm classica:
´
(19.25)
Per analogia si usa spesso, per la legge generalizzata, la forma:
(19.26)
dove il termine di campo indotto comprende tutti gli altri termini elettrodinamici.
Nelle ipotesi citate all’inizio del paragrafo, l’equazione dell’energia risulta pure semplificata;
ponendo p = (3/2) cV T e utilizzando l’equazione di continuità:
(19.27)
Il sistema completo delle equazioni magnetoidrodinamiche risulta costituito da 14 equazioni
scalari nelle 14 incognite scalari ρ, u, J, p,E,H:
Il sistema di equazioni equazioni MHD diventa pertanto
Equazione di continuità
(19.28)
Equazione del moto
(19.29)
Equazione di Ohm generalizzata
(19.30)
Equazione dell’ energia
(19.31)
(19.32)
Equazioni di Maxwell
(19.33)
Modello MHD ideale
Un caso speciale delle equazioni magnetoidrodinamiche è quello che si ottiene nel limite di
conduttività infinita, σ → ∞, che comporta debba essere:
(19.34)
se si vogliono evitare correnti infinite.
Il sistema delle equazioni magnetoidrodinamiche ideali è dunque costituito dalle 11 equazioni scalari nelle 11 incognite scalari ρ, u, J, p, H:
(19.35)
Equazioni MHD
Ideali
(19.36)
(19.37)
(19.38)
(19.39)
Il sistema MHD è di vasta applicazione in astrofisica nella fisica dei plasmi termonucleari, dove i
plasmi sono sempre caratterizzati da alta conduttività elettrica.
È importante notare che non compare direttamente il campo elettrico, che riflette il fatto che un
plasma ad alta conduttività non possiede carica netta. Tuttavia il plasma è conduttore, e quindi
trasporta correnti e crea campi magnetici.
Il sistema di equazioni magneto-idrodinamiche ( MHD dall’inglese magneto-hydro-dinamic) è
ricavabile direttamente dall’idrodinamica trattando il plasma come un fluido neutro, ma
conduttore, e quindi assoggettabile alla forza J × B, e tenendo conto delle equazioni di Maxwell
per definire il campo magnetico e le correnti.
Il modello magneto-idrodinamico vale quando non si creino separazione di cariche, e, come
già detto, ciò avviene quando le scale spaziali del problema siano grandi rispetto alla lunghezza
di Debye e quelle temporali lunghe rispetto all’inverso della frequenza di plasma.
Nelle condizioni indicate il modello magneto-idrodinamico, dà la possibilità di studiare la
dinamica in modo molto chiaro ed elegante. La sua principale caratteristica è di poter eliminare i
campi elettrici dal problema e di basarsi sulla capacità del campo magnetico di confinare le
particelle e quindi di produrre un comportamento collettivo anche in assenza di collisioni.
Alternativamente, il modello a due fluidi illustrato permette di trattare fenomeni in cui elettroni e
ioni rispondono in modo differente; ciò avviene soprattutto nel caso di fenomeni che avvengono
su tempi scala brevi, come ad esempio la propagazione di onde
Le equazioni MHD possono essere trattate dal punto di vista macroscopico assumendo in
genere che i coefficienti di trasporto (viscosità, resistività, conducibilità termica) siano
semplici scalari.
In realtà la presenza del campo magnetico rende il plasma anisotropo, e ciò comporterebbe
la necessità di utilizzare coefficienti tensoriali. Tuttavia se la frequenza di collisione è
elevata il plasma viene mantenuto sempre in condizioni di isotropia. Considereremo inoltre i
coefficienti costanti per semplificare la trattazione.
Seguiamo lo stesso schema usato per l’idrodinamica. L’equazione di continuità rimane
invariata:
(19.40)
Nell’equazione del moto occorre invece aggiungere all’equazione di Navier-Stokes le forze
elettromagnetiche, che, nell’ipotesi di assenza di separazione di carica, si riducono alla sola
forza di Hall J × B:
(19.41)
Questa equazione coincide con l’equazione del modello microscopico ad un fluido.. Qui
abbiamo aggiunto il termine di viscosità secondo quanto discusso nel caso idrodinamico,
nell’ipotesi che le considerazioni allora fatte sulla viscosità continuino sostanzialmente a
valere anche quando si parli di plasmi.
Possiamo ora esprimere la corrente J per mezzo dell’equazioni di Maxwell:
(19.42)
imponendo di trascurare processi che avvengono su tempi scala brevi e con velocità
tipiche u << c, per cui |E/B| ~ u/c << 1 e quindi:
(19.42)
In tal modo possiamo trascurare le correnti di spostamento e quindi:
(19.44)
che permette di scrivere l’equazione del moto nel solo campo magnetico:
(19.45)
Dall’identità vettoriale:
(19.46)
si ricava infine:
.
(19.47)
È chiaro come l’effetto del campo magnetico sia quello di introdurre una pressione
isotropa e una tensione lungo le linee di forza.
L’equazione dell’energia, è
(19.49)
con il termine di riscaldamento Joule in aggiunta al termine di diffusione termica.
Salvo casi particolari nella maggior parte dei problemi l’equazione dell’energia è lasciata
inutilizzata perché sostituita dall’ equazione di stato.
Per avere una teoria dinamica completa occorre ancora scrivere un’equazione per il campo
magnetico. Nelle ipotesi precedentemente discusse, l’equazione dell’induzione di Maxwell
(19.51)
:può essere combinata con la
(19.50)
ossia
per cui
(19.52)
che è anche detta equazione magnetoidrodinamica o di induzione, η = c2/(4πσ) è la
resistività elettrica.Il primo termine a destra dell’ultima relazione indica la diffusione del
campo magnetico (analogamente all’equazione della temperatura per il trasporto di calore);
il secondo termine rappresenta la convezione del campo magnetico da parte del plasma in
moto (in analogia all’equazione per la vorticità nei fluidi).
Dinamica di plasmi MHD
La relativa importanza dei due termini della (19.52) che determinano l’evoluzione
del campo magnetico è misurata dal rapporto delle loro quantità caratteristiche,
un numero puro:
(19.52)
che prende il nome di numero di Reynolds magnetico in analogia al numero di Reynolds
idrodinamico che è espresso con la viscosità.invece che con la resistività. Data la
proporzionalità di RM alla scala del sistema, appare ovvio come in condizioni astrofisiche
tenda sempre ad essere un numero grande, tanto più che la conduttività elettrica dei
plasmi astrofisici è pure molto grande, e quindi la resistività molto piccola.
Tempi caratteristici di decadimento di campi magnetici e numeri di Reynolds magnetici in
laboratorio e in astrofisica.
In alcuni casi particolari le equazioni magnetoidrodinamiche sono semplificate
Plasma a riposo, u = 0
In questo caso l’equazione magnetoidrodinamica diventa:
(19.53)
che indica come il campo vari tipicamente su un tempo scala:
(19.54)
ossia le linee di flusso diffondono nel plasma quando la resistività non sia esattamente nulla
(conduttività infinita). L’origine fisica del decadimento del campo magnetico è legata al fatto
che il campo è generato da correnti elettriche secondo la (19.44) e queste vengono dissipate
per effetto Joule; in assenza di sorgenti esterne quindi le correnti decadono e così pure il
campo magnetico.
Plasma in moto, u ≠ 0, con resistività nulla
L’equazione magnetoidrodinamica in tale limite risulta:
(19.55)
e, per B dato a t = 0, permette di calcolare come esso viene modificato a tempi
successivi dai moti del plasma.
Confrontando questa equazione con il risultato di Kelvin:
si ricava che il flusso magnetico concatenato con il plasma deve conservarsi nella
dinamica di un plasma a resistività nulla.