Progetto

Quel che vedo è sempre vero
Diario di bordo
Laura Todisco
Progetto [email protected]
DIARIO DI BORDO
Titolo
attività
QUEL CHE VEDO E’ SEMPRE VERO
Docente
Laura TODISCO
classe
scuola
1N
Scientifico Liceo “Aristosseno” - TARANTO
Brocca
Data inizio esperienza Data fine esperienza
18/11/2008
25/11/2008
(1)
Quel che vedo è sempre vero
Diario di bordo
Laura Todisco
NODI CONCETTUALI
Esplicitare i principali nodi concettuali cui l’attività scelta fa riferimento.
•
•
•
•
•
•
I numeri naturali e le loro proprietà
Traduzione dal linguaggio naturale al linguaggio dell’algebra; formalizzazione
Congetture
Calcolo automatico con Excel
Differenza tra verifica in un numero finito di casi e dimostrazione in generale
Ricerca di controesempi
DESCRIZIONE DELL’ESPERIENZA
Descrivere dal punto di vista operativo l’esperienza svolta in classe (il contesto della classe, gli
eventuali adattamenti necessari, i tempi di realizzazione, …) e la metodologia usata (schede di
lavoro, lavoro di gruppo, discussione matematica in classe, software utilizzato…)
CONTESTO DELLA CLASSE:
La classe è una prima del Liceo Scientifico Brocca costituita da 23 alunni vivaci e dotati di buone
conoscenze e capacità. Essi sono già in grado di utilizzare alcune funzioni del foglio di calcolo
Excel, di scrivere qualche semplice formula e trascinarla, di creare grafici, di ordinare i dati e
salvare i risultati in un’opportuna cartella.
ADATTAMENTI NECESSARI
Essendo una prima classe, si è dovuto attendere di svolgere le unità sui polinomi e sulle loro
operazioni prima di poter attuare la sperimentazione. In particolare era necessario che gli alunni
sapessero almeno calcolare il quadrato di un binomio.
TEMPI DI REALIZZAZIONE
• 1 ora in aula: descrizione e proposta dell’attività
• 1 ora in laboratorio: implementazione del foglio di calcolo excel per la verifica della
congettura proposta
• 1 ora in aula: introduzione della “dimostrazione” e della ricerca di contro-esempio.
• 1 ora in aula: proposta di altre congetture da “dimostrare” per via algebrica
• 1 ora in aula: somministrazione del test di verifica finale.
METODOLOGIA
1^ fase:
In aula
Si è iniziato col proporre la congettura proposta dall’attività:
“La differenza tra il quadrato di un numero naturale e il quadrato del suo precedente è sempre un
numero dispari?”
Quindi si è proposto di creare la seguente tabella alla lavagna:
1° numero
1
2
3
4
…
…
Num preced.
0
1
2
3
…
…
1° quadrato
1
4
9
16
…
…
2° quadrato
0
1
4
9
…
…
Differenza
1
3
5
7
…
…
È dispari?
Si
Si
Si
Si
…
…
(2)
Quel che vedo è sempre vero
Diario di bordo
Laura Todisco
Si è dunque chiesto di proseguire la compilazione della tabella almeno fino a 20 e riflettere sui
risultati ottenuti.
Gli alunni hanno osservato come nella penultima colonna comparissero tutti i numeri dispari
consecutivi e hanno “dedotto” che proseguendo la tabella all’infinito “avrebbero” ottenuto tutti i
numeri dispari.
Si è allora chiesto agli alunni:
“Siete sicuri che sarà sempre così? E se da un certo numero in poi le cose cambiassero?”
Si è fatto osservare che quella che avevano eseguito era solo una “verifica” fatta su un numero
finito di casi e che da ciò non si può dedurre una regola certa, ma solo “ipotizzarla”. La
supposizione fatta va dunque “dimostrata”.
Come per le proprietà geometriche di certe figure, si è fatto osservare come alle scuole medie ci si
sia limitati a “verificare” che la somma degli angoli interni di un triangolo misuri 180°,
semplicemente misurando e verificandolo soltanto per qualche triangolo, ma ciò non costituisce
affatto una dimostrazione che la proprietà sia valida qualunque sia il triangolo considerato.
2^ fase:
In laboratorio
Con il foglio di calcolo Excel, si è creata una tabella come quella proposta in aula alla lavagna,
inserendo le opportune formule per calcolare il numero precedente, il quadrato del 1° numero, il
quadrato del 2° numero e la differenza. Si è chiesto di trascinare i risultati almeno fino a 1000.
La verifica è risultata positiva: “sembra” che la congettura sia proprio vera!!!
3^ fase:
In aula
Si incomincia a parlare di “dimostrazione”.
Innanzitutto occorre tradurre l’affermazione in linguaggio algebrico; si consideri pertanto un
numero qualsiasi “n”, quindi il suo precedente si indicherà con “n-1”. Formalizziamo
l’affermazione in:
2
n 2 − (n − 1)
A questo punto gli alunni sono in grado di svolgere i calcoli algebrici ottenendo:
2
n 2 − (n − 1) = n 2 − n 2 − 2n + 1 = n 2 − n 2 + 2n − 1 = 2n − 1
Il risultato li lascia perplessi, sicché si è reso necessario prospettare l’espressione “2n” come
formula generatrice di un numero pari e quindi “2n-1” o, in alternativa, “2n+1” come formula
generatrice dei numeri dispari.
Hanno tutti compreso come la dimostrazione sia uno strumento molto più potente rispetto alla
verifica.
(
)
4^ fase:
In aula
Si è dunque proposto di dimostrare insieme altre congetture simili alla precedente:
• “La somma di due numeri dispari consecutivi è un numero pari, anzi è un multiplo di 4.”
• “La somma di un numero pari con un numero dispari è un numero dispari.”
• “La somma di due numeri pari è un numero pari.”
• “Il prodotto di due numeri dispari è un numero dispari.”
• “Il prodotto di due numeri, di cui almeno uno pari, è pari.”
• “La somma di tre numeri consecutivi è sempre divisibile per 3.”
• “La somma di due numeri consecutivi è sempre dispari.”
5^ fase:
In aula
Proposte di affermazioni false: ricerca di controesempi.
(3)
Quel che vedo è sempre vero
•
•
Diario di bordo
Laura Todisco
“La somma fra un numero e il suo quadrato è un numero dispari.”
“Un numero intero che termina con 7 e non è divisibile per 3 è primo.”
COMPORTAMENTO DEGLI STUDENTI
Valutare come l’attività è stata accolta dagli studenti e il modo in cui hanno assolto al loro
compito. Descrivere il clima di lavoro e le forme di collaborazione.
L’attività è stata accolta favorevolmente e con entusiasmo. Trattandosi di una prima classe liceale
ai primi mesi di attività didattica, si precisa che non c’è ancora l’abitudine al procedimento della
dimostrazione e del ragionamento logico-deduttivo che, solitamente, si inizia ad apprendere nel
corso dello studio della geometria euclidea. Gli alunni hanno lavorato dapprima sotto la guida
dell’insegnante, poi in piccoli gruppi, poi individualmente, partecipando sempre attivamente a tutte
le fasi dello svolgimento dell’attività.
APPRENDIMENTO: SUCCESSI E DIFFICOLTA’
Rilevare i risultati positivi o le difficoltà incontrate dagli studenti nella comprensione dei vari
concetti matematici e le metodologie di superamento
Risultati positivi
Commenti ai risultati
Gli alunni:
L'attività, che riguarda una situazione problematica,
• hanno compreso la differenza tra
ha permesso agli studenti di affinare le capacità
verifica e dimostrazione e quanto
critiche nell’ambito delle forme di ragionamento, di
quest’ultima sia uno strumento molto
consolidare le regole per il calcolo del valore di
più potente e abbia validità generale.
un'espressione letterale e, inoltre, di acquisire
• Hanno appreso progressivamente la
consapevolezza nell'uso degli strumenti di calcolo
tecnica di formalizzazione.
automatizzato.
• Hanno compreso come sia più facile
confutare una congettura piuttosto che
dimostrare che sia vera, andando alla
ricerca di un opportuno controesempio.
Difficoltà
Alcuni alunni hanno incontrato difficoltà:
• nella comprensione della differenza
concettuale tra verifica e dimostrazione
• nella traduzione delle relazioni fornite
da un contesto problematico in una
formalizzazione;
• nel riconoscere le espressioni 2n e 2n-1
come formule generatrici di un numero
pari e di uno dispari;
• di calcolo algebrico;
• di interpretazione dei risultati.
Metodologie di superamento
• si è ribadita ulteriormente la differenza tra
verifica e dimostrazione, fornendo altri esempi;
• sono state proposte numerose affermazioni da
formalizzare, a partire dal concetto di numero
precedente, successivo, pari e dispari, così come
multiplo di 3, di 4 eccetera.
(4)
Quel che vedo è sempre vero
Diario di bordo
Laura Todisco
VALUTAZIONE
Quali prove di verifica sono state somministrate? Riportare e commentare le prove di verifica
proposte e i relativi risultati.
Sono stati somministrati due test di verifica.
TEST DI VERIFICA N°1
Per ogni affermazione indica se è vera o se è falsa.
La somma di due numeri dispari consecutivi si può indicare con la scrittura:
a. 4(n+1)
b. 4(n–1)
c. 4n+1
d. 4n–1
V
V
V
V
F
F
F
F
Indicare qual è la risposta esatta:
la somma di tre numeri consecutivi è sempre dispari
la somma di tre numeri consecutivi è sempre pari
la somma di tre numeri consecutivi è multiplo di sei
la somma di tre numeri consecutivi è multiplo di due
nessuna delle precedenti affermazioni è esatta
Indicare qual è la risposta esatta:
la somma di due numeri consecutivi è sempre dispari
la somma di due numeri consecutivi è sempre pari
la somma di due numeri consecutivi è sempre multiplo di tre
la somma di due numeri consecutivi è multiplo di due
nessuna delle precedenti affermazioni è esatta
Indicare qual è la risposta esatta:
la somma di due numeri qualsiasi è sempre dispari
la somma di due numeri qualsiasi è sempre pari
la somma di due numeri qualsiasi è sempre multiplo di tre
la somma di due numeri qualsiasi è multiplo di due
nessuna delle precedenti affermazioni è esatta
(5)
Quel che vedo è sempre vero
Diario di bordo
Laura Todisco
I risultati sono riportati nel seguente grafico:
RISULTATI TEST N°1
100%
1
90%
6
80%
70%
60%
50%
risp. omesse
20
20
20
20
40%
20
19
risp.corrette
14
30%
risp. errate
20%
10%
0%
1-a
1-b
1-c
1-d
2
3
4
QUESITI
Come si nota, il primo ed il terzo quesito sono stati svolti correttamente da tutti i 20 alunni
coinvolti, mentre il secondo quesito è stato svolto correttamente dal 70% degli alunni; infine il
quarto quesito è stato risolto correttamente dal 95% della classe.
Trattandosi di un test a scelta multipla e vero/falso, è risultato abbastanza semplice perché non
richiedeva le dimostrazioni delle affermazioni esposte, ma solo una verifica.
(6)
Quel che vedo è sempre vero
Diario di bordo
Laura Todisco
TEST DI VERIFICA N°2
Discuti le seguenti affermazioni e dimostra se sono vere o false:
“ Un numero divisibile per 3 è anche divisibile per 9”
“La somma di tre numeri dispari consecutivi è dispari”
“La somma di quattro numeri dispari consecutivi è multiplo di 8”
“La differenza tra i quadrati di due numeri dispari consecutivi è multiplo di 8”
(7)
Quel che vedo è sempre vero
Diario di bordo
Laura Todisco
I risultati sono riportati nel seguente grafico:
RISULTATI TEST N°2
100%
1
90%
1
2
5
80%
70%
60%
50%
12
12
4
19
40%
30%
risp.omesse
risp.errate
risp.corrette
risp.parziali
11
20%
10%
6
7
2
3
0%
1
4
QUESITI
In questo secondo test i risultati sono stati meno esaltanti. Il primo quesito si riferiva ad una
affermazione falsa, quindi trovare un contro-esempio è risultato abbastanza semplice per il 95%
degli alunni. Il secondo ed il terzo presentavano un livello di difficoltà simile, in quanto
richiedevano una dimostrazione algebrica di una affermazione vera risolvibile con semplici calcoli,
dopo aver formalizzato i numeri dispari consecutivi; si rileva solo un 10% di risposte errate ma è
presente un 30% di risposte parziali in cui, pure essendo presente la formalizzazione della
affermazione ed il calcolo algebrico, non è stata fornita spiegazione degli stessi né la risposta finale
al quesito. Il quarto quesito presentava una difficoltà di calcolo maggiore, soprattutto tenendo conto
che i prodotti notevoli sono appena stati introdotti; inoltre l’errore comune è stato quello di scrivere
2
2
la differenza dei quadrati come (2n − 1) − (2n + 1) anziché la differenza opposta; altro errore
frequente è stato riscontrato nel calcolo dei quadrati dei binomi.
Laura Todisco
Dicembre 2008
(8)