1 Sistemi lineari

Argomenti trattati nella settimana 16-20 novembre 2009. Il libro cui
faccio riferimento, se non specificato altrimenti, è Lang, Algebra lineare
MATRICI E SISTEMI LINEARI- APPLICAZIONI LINEARI
1. Definizione di applicazione lineare (o omomorfismo);
2. Applicazione LA : K n → K m definita da LA (X) = AX, se A ∈
M atn×m (K) e X ∈ K n (X è pensato come vettore colonna;
3. Descrizione dello spazio immagine di LA ;
4. sistemi lineari;
5. Teorema di Rouche-Capelli;
6. metodo di Gauss
Complementi ed Esercizi
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Sistemi lineari
I sistemi lineari costituiscono un utile strumento in diversi campi della matematica; l’applicazione forse più naturale e nota agli studenti è quella alla geometria analitica. Una retta in R2 è rappresentata da un’equazione lineare
in due incognite del tipo
ax + by + c = 0
a, b, c ∈ R;
una retta in R3 è rappresentata da un sistema di due equazioni in tre incognite
del tipo
a1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0
a2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0
dove ai , bi , ci , di ∈ R, i = 1, 2. Diamo la definizione formale di sistema lineare.
Definizione 1 Un sistema lineare di m equazioni e n incognite a coefficienti
nel campo K è un insieme di m equazioni di primo grado nelle incognite
x1 , . . . , x n


 a11 x1 + . . . + a1n xn = b1
..
(1)
.

 a x + ... + a x = b
m1 1
mn n
m
1
dove gli aij , bi ∈ K, i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}. Una soluzione di (1) è
una n−upla ξ = t (ξ1 , . . . , ξn ) di elementi di K tale che per ogni i ∈ {1, . . . , m}
n
P
sia verificata l’uguaglianza
aij ξj = bj . I bj si dicono termini noti.
j=1
Per comodità spesso scriviamo
Ax = B,
dove A = (aij ) ∈ Mm×n (K) è detta matrice dei coefficienti e B = (b1 , . . . , bm ) =
(bi ) ∈ Mm×1 (K) è detto il vettore dei termini noti.
Definizione 2 Un sistema lineare si dice omogeneo se B = 0, cioé se tutti
i termini noti sono nulli.
Definizione 3 Un sistema Ax = B si dice risolubile (o ammissibile) se
ammette almeno una soluzione.
Esistono sistemi lineari risolubili o non risolubili.
Esempio 1 Un sistema lineare omogeneo ha sempre almeno una soluzione:
se Ax = 0 è un sistema di m equazioni e n incognite, la n−upla t (0, . . . , 0) è
soluzione. Per esempio il sistema
2x + 3y = 0
x+y =0
ha la sola soluzione nulla e solo quella.
Invece il sistema

 x+y+z =0
2x + 2y + z = 0

3x + 3y + 2z = 0
(2)
ha le infinite soluzioni t (α, −α, 0) al variare di α ∈ R.
Ci si occupa ora di cercare condizioni che assicurino l’esistenza di soluzioni
di un sistema e metodi costruttivi per determinarle ove esistano.
Si inizia ricordando quando due sistemi si dicono equivalenti.
Definizione 4 Si considerino i due sistemi lineari in n incognite


 a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
..
.

 a x + ··· + a x = b
1n 1
1n n
m
2
(3)
e


 c11 x1 + · · · + c11 xn = d1
..
.

 c x + ··· + c x = d .
r1 1
rn n
r
(4)
I due sistemi si dicono equivalenti se le soluzioni di (3) sono tutte e sole le
soluzioni di (4).
Definizione 5 Date due equazioni lineari su un campo K,
a1 x 1 + a2 x 2 + · · · + an x n = b 1
α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = β1 ,
una loro combinazione lineare è l’equazione
γ(a1 x1 + a2 x2 + · · · + an xn ) + δ(α1 x1 + · · · + αn xn ) = γb1 + δβ1
con δ e γ ∈ K.
Teorema 1 Se nel sistema lineare


a11 x1 + · · · + a1n xn = b1


 a21 x1 + · · · + a2n xn = b2
..

.


 a x + ··· + a x = b
1n 1
1n n
n
si sostituisce alla seconda equazione una combinazione lineare delle prime
due equazioni, β(a11 x1 + · · · + a1n xn ) + γ(a21 x1 + · · · + a2n xn ) = βb1 + γb2 ,
con γ 6= 0, allora il nuovo sistema


 a11 x1 + · · · + a1n xn = b1



 β(a11 x1 + · · · + a1n xn ) + γ(a21 x1 + · · · + a2n xn ) = βb1 + γb2
a31 x1 + · · · + a3n xn = b3

..


.


 a x + ··· + a x = b
1n 1
1n n
n
è equivalente al sistema di partenza.
Dimostrazione Evidentemente è sufficiente considerare le prime due equazioni.
Provare che il vettore t (ξ1 , . . . , ξn ) ∈ K n è soluzione di
a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + · · · + a2n xn = b2
3
se e solo se è soluzione di
a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
β(a11 x1 + · · · + a1n xn ) + γ(a21 x1 + · · · + a2n xn ) = βb1 + γb2
è un facile esercizio lasciato al lettore.
2
Il Teorema 1 è alla base del metodo di Gauss per la risoluzione di un
sistema lineare.
Prima di illustrare questo metodo, diamo un criterio estremamente importante, ma di scarsa utilità pratica nella ricerca delle soluzioni per scoprire se
una sistema sia o meno risolubile.
Nel seguito, dato il sistema lineare
Ax = B,
accanto alla matrice A dei coefficienti considereremo anche


a11 . . . A1m b1
 a21 . . . a2n b2 


A|B =  ..

 .

a1n . . . a1n bm
che diremo matrice completa del sistema.
Teorema 2 (di Rouchè Capelli) Un sistema lineare Ax = B è risolubile
se e solo se il rango di A è uguale al rango della matrice completa A|B.
Dimostrazione Si supponga infatti che Ax = B sia risolubile e sia t (ξ1 , . . . , ξn )
una sua soluzione. Allora, dette A1 , . . . , An le colonne di A, si ottiene
B = ξ1 A1 + · · · + ξn An ,
cioè B è combinazione lineare delle colonne di A e quindi r(A) = r(A|B).
Viceversa, si supponga che r(A) = r(A|B) = r e siano Ai1 , . . . , Air r
colonne linearmente indipendenti di A. Poichè r(A|B) = r(A), i vettori
Ai1 , . . . , Air , B sono linearmente dipendenti e esistono allora λ1 . . . λr , λr+1 ∈
K tali che
λ1 Ai1 + . . . + λr Air + λr+1 B = 0.
Poichè Ai1 , . . . , Air sono linearmente indipendenti, deve essere λr+1 6= 0 e
quindi la n−upla
(0, . . . , 0, ξi1 , 0, . . . , 0, ξi2 , . . . , ξir , . . . , 0)
con ξij = λij λ−1
r+1 é soluzione del sistema.
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