capitolo
10
Sistemi lineari
Sistemi riconducibili a sistemi lineari
Forniamo alcuni esempi di sistemi di equazioni fratte riconducibili a equazioni lineari eliminando i denominatori, e di sistemi che, con semplici sostituzioni o artifici sono riconducibili a sistemi lineari e quindi risolvibili con i metodi sopra esposti..
sempi
1
Risolvere il seguente sistema fratto:
⎧ x − 2y
⎪⎪ 3x + y − 1 = 2
⎨
⎪y+2 =1
⎪⎩ x − y
Imponiamo le condizioni di esistenza delle equazioni del sistema, cioè imponiamo che siano
diversi da zero i denominatori, cioè x e y siano tali da rendere
3x + y – 1 ≠ 0
x–y≠0
e
Con le condizioni poste, liberando dai denominatori si ottiene il sistema equivalente:
⎧x − 2y = 6x + 2y − 2
⎨
⎩y + 2 = x − y
da cui
⎧5 x + 4 y = 2
⎨
⎩x − 2y = 2
Risolviamo con il metodo di Cramer.
Essendo
D=
5
4
= −10 − 4 = −14 ≠ 0
1 −2
il sistema è determinato e ammette la sola soluzione
x=
6
,
7
y=
−4
7
6
−4
che è soluzione del sistema dato poiché per x =
e y=
i denominatori non si annulla7
7
no, come facilmente si verifica sostituendo:
6
4
7
3⎛ ⎞ − − 1 = = 1 ≠ 0
⎝ 7⎠ 7
7
2
e
6 4
+ ≠0
7 7
Risolvere il seguente sistema fratto:
⎧ 2 + 2 =1
⎪ 3x y
⎨
⎪ 4 −1=1
⎩ 3x y 3
x, y ∈ 0
Se eliminiamo i denominatori otteniamo un sistema di quarto grado, la cui risoluzione è rimandata a studi successivi; osserviamo, invece, che se si pone
1
1
u=
v=
e
3x
y
1
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capitolo
10
Sistemi lineari
il sistema dato è ricondotto al sistema lineare in u e v:
⎧⎪2u + 2 v = 1
⎨
1
4u − v =
3
⎩⎪
che risolto dà la soluzione:
1
u= ,
6
v=
1
3
1 1
1 1
Pertanto, tenuto conto della sostituzione u = =
e v = = , si ottiene la soluzione in x
6
3
x
3 y
e y del sistema:
x = 2,
3
y=3
Risolvere il seguente sistema fratto:
⎧ 3 − 1 = 10
⎪ x + 2y 2x + y
⎨
⎪ 2 − 1 =7
⎪⎩ x + 2 y 2 x + y
Poste le condizioni di esistenza del sistema
x + 2y ≠ 0
e
2x + y ≠ 0
e
v=
con la sostituzione
u=
1
x + 2y
1
2x + y
[1]
siamo ricondotti alla risoluzione di un semplice sistema lineare in u e v:
⎧ 3u − v = 10
⎨
⎩ 2u − v = 7
la cui soluzione è:
u = 3,
v = –1
Sostituendo i valori di u e v trovati nelle [1]
3=
1
x + 2y
e
−1=
1
2x + y
e riducendo a forma intera si ottiene il sistema lineare:
⎧⎪ x + 2 y = 1
3
⎨
⎪⎩2 x + y = −1
la cui soluzione è:
⎛− 7; 5⎞
⎝ 9 9⎠
2
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capitolo
10
4
Sistemi lineari
Risolvere il sistema:
⎧ x 2 − y2 = 2
⎨
⎩x + y = 1
Il sistema di secondo grado può essere ricondotto a un sistema lineare osservando che si può
scrivere:
⎧( x − y )( x + y ) = 2
⎨
⎩x + y = 1
e, sostituendo nella prima equazione al posto di x + y il valore 1 dato dalla seconda equazione, si ha il sistema lineare:
⎧x − y = 2
⎨
⎩x + y = 1
la cui soluzione è:
5
⎛ 3; − 1⎞
⎝2
2⎠
Risolvere il sistema:
⎧ 4 x 2 − 4 xy + y 2 − 9 = 0
⎨
⎩ x − y = −1
La prima equazione si può scrivere:
(2x – y) 2 – 9 = 0
(2x – y – 3)(2x – y + 3) = 0
da cui
Poiché per la legge di annullamento del prodotto risulta:
(2x – y – 3)(2x – y + 3) = 0
se
2x – y – 3 = 0
oppure
2x – y + 3 = 0
il sistema si scinde nei due sistemi:
⎧2 x − y − 3 = 0
⎨
⎩ x − y = −1
e
⎧2 x − y + 3 = 0
⎨
⎩ x − y = −1
Il primo sistema ha la soluzione: x = 4, y = 5. Il secondo ha la soluzione: x = – 2, y = –1.
Pertanto sono soluzioni del sistema dato entrambe le coppie ordinate:
(4; 5)
3
e
(–2; –1)
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