R n - Dipartimento di Matematica

PROGRAMMA DETTAGLIATO DELL’INSEGNAMENTO
DI ANALISI MATEMATICA 1 CON INDICAZIONE
DELLE DIMOSTRAZIONI (*) RICHIESTE ALLA PROVA
ORALE
M. CALANCHI, C. CAVATERRA AA 2013-14
IL CAMPO REALE
Rappresentazione decimale dei numeri razionali. Q e le sue
proprietà. Numeri reali e ordinamento. Teorema di densità
di Q e R\Q in R (*). Insiemi limitati superiormente e
inferiormente. Maggioranti e minoranti.
Sottoinsiemi limitati e illimitati di R. Maggioranti, minoranti,
estremo superiore ed inferiore, massimo e minimo e loro
proprietà (*). Intervalli limitati e illimitati di R. Teorema di
completezza (*). Partizioni di Q e di R. Teorema
dell'elemento separatore. Operazioni tra numeri reali. R è un
campo archimedeo.
R è un campo ordinato. Radice ennesima di un numero reale
non negativo.
FUNZIONI
Definizione di funzione. Dominio, immagine e
controimmagine. Restrizione.
Funzioni iniettive, suriettive, biunivoche. Funzione inversa.
Grafico della funzione inversa.
Composizione di funzioni.
CAMPO COMPLESSO
Operazioni di somma e prodotto, elementi neutri, opposto e
reciproco.
R è isomorfo a un sottocampo di C. Forma algebrica e forma
trigonometrica dei numeri complessi.
Coniugato e modulo di un numero complesso e loro
proprietà (*).
Operazioni in forma trigonometrica (*).
Forma esponenziale dei numeri complessi.
Formula di De Moivre (*). C è campo non ordinato (*).
Radici n-esime di un numero complesso (*). Teorema
fondamentale dell'algebra.
Corollario del teorema fondamentale dell'algebra per
polinomi a coefficienti reali.
CARDINALITA’
Insiemi equipotenti, insiemi finiti, insiemi infiniti. Potenza
del numerabile: Z è numerabile (*), unioni numerabili di
insiemi numerabili è numerabile (*), insiemi al più numerabili.
Prodotto cartesiano di insiemi numerabili è numerabile (*). Q
è numerabile (*). Potenza del continuo. Teorema di Cantor:
R non è numerabile (*). Caratterizzazione degli insiemi
infiniti (*). L’insieme delle parti di N ha la Potenza del
continuo.
SPAZI METRICI
R^n come spazio euclideo. Norma in R^n. Elementi di
topologia: intorni sferici (o bolle), punti di accumulazione,
punti isolati, punti esterni, punti di frontiera, punti interni.
Insieme aperti e insiemi chiusi. Caratterizzazione dei punti
di accumulazione (*). Caratterizzazione degli insiemi chiusi
(*).
Unioni e intersezioni di aperti e di chiusi (*). Insieme
derivato. Chiusura di un insieme. Diametro di un insieme,
coincidenza con il diametro della chiusura (*). Insiemi
compatti: condizioni necessarie per la compattezza (*) e
sufficienti. Caratterizzazione degli insiemi compatti.
Sottoinsiemi chiusi di compatti sono compatti (*). Teorema
dei compatti inscatolati (*). Teorema di Heine-Borel.
Teorema di Bolzano-Weierstrass (*). R esteso come spazio
metrico. Cenni alle topologie equivalenti.
SUCCESSIONI
Successioni in spazi metrici. Definizione di successione
convergente. Proprietà si Hausdorff. Unicità del limite (*).
Successioni limtate. Limitatezza delle successioni
convergenti (*). Sottosuccessioni e punti di accumulazione
(*).
Successioni in R.
Teorema della permanenza del segno . Limite della somma,
prodotto, quoziente per successioni convergenti. e del
confronto per successioni (*). Primi limiti notevoli (sen x_n,
cos x_n, sen x_n/ x_n con x_n infinitesima). Definizione di
successione divergente, oscillante in R. Definizione di
intorni e convergenza in R esteso.
Limiti di successioni nella retta estesa. Definizione di
successioni convergenti per eccesso e per difetto in R.
Forme di indecisione. Successioni monotone. Teorema
fondamentale per successioni monotone (*).
Il numero e. Criterio del rapporto per successioni (*).
Confronto tra infiniti ed infinitesimi, relazioni di
“asintotico”, “o piccolo”. Classe limite di successioni reali e
sue proprietà. Definizione e proprietà di limsup e liminf.
Successioni di Cauchy in spazi metrici. Spazi metrici
completi. Completezza degli spazi metrici compatti(*).
Completezza di Rn .
SERIE NUMERICHE
Definizione di serie numerica, convergenza di serie. Esempi:
serie di Mengoli, geometrica e armonica. Condizione di
Cauchy per le serie (*). Condizione necessaria per
convergenza delle serie (*). Convergenza assoluta.
Serie a termini reali di segno costante. Criteri del confronto
e confronto asintotico per serie a termini positivi (*).
Criterio del rapporto e della radice (*) per serie a termini
positivi. Teorema di condensazione. Dimostrazione di
convergenza di serie armoniche generalizzate. Serie a segno
alterno: criterio di Leibnitz (*).
Convergenza incondizionata. Somma di serie. Proprietà
associativa e commutativa per le serie. Prodotto alla
Cauchy. Teorema di Riemann.
LIMITI DI FUNZIONI E CONTINUITA’
Funzioni tra spazi metrici: definizione di limite ed esempi.
Funzioni reali di variabile reale: definizione di limite nei vari
contesti possibili. Definizione di asintoto verticale
e orizzontale.
Limiti di funzioni e limiti successionali (*). Tutto quello che
se ne può dedurre: unicità del limite, Teoremi della
permanenza del segno e del confronto Calcolo dei limiti di
funzioni: limiti e operazioni algebriche, limiti e composizione.
Continuità puntuale e globale di funzioni tra spazi metrici.
Caratterizzazione della continuità globale mediante
le controimmagine di aperti o chiusi (*). Continuità delle
funzioni composte
Continuità e compattezza (*). Teorema di Weiestrass (*).
Continuità e connessione (*). Continuità di funzioni reali di
variabile reale. Teorema di Darboux e teorema degli zeri (*).
Classificazione dei punti di discontinuità.
Funzioni monotone.
Funzioni monotone ed esistenza dei limiti (*). Discontinuità
delle funzioni monotone (*). Continuità della funzione
inversa di una funzione continua invertibile su un intervallo.
Uniforme continuità: definizione, teorema di HeineCantor (*). Condizioni sufficienti per l’uniforme continuità,
la condizione di Lipschitz (*)
CALCOLO DIFFERENZIALE IN UNA VARIABILE
Definizione di derivabilità in un punto. Retta tangente..
Continuità delle funzioni derivabili (*).Derivate delle
funzioni elementari Regole di derivazione. Punti di non
derivabilità: punti a tangente verticale, punti angolosi, punti
cuspidali. Derivazione della funzione inversa (*) e della
funzione composta (*).
Massimi e minimi relativi; teorema di Fermat (*). Teoremi
di Rolle (*), Lagrange (*). Conseguenze del teorema di
Lagrange: funzioni con derivata nulla su intervalli (*), segno
della derivata e monotonia (*).
Criterio di derivabilità mediante il limite della derivata (*).
Legame tra limitatezza derivata e uniforme continuità (*).
Discontinuità della derivata (*).
Teorema di De L’Hospital (* solo caso [0/0]).
Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di
Peano (*) e con resto di Lagrange. Unicità dello sviluppo (*).
Sviluppi in serie di Taylor per funzioni elementari. Legame
tra formula di Taylor e forma esponenziale dei numeri
complessi.
Convessità, concavità, flessi: Segno della derivata seconda e
convessità (*). Ulteriore condizione necessaria e sufficiente
per la convessità (confronto con retta tangente) (*). Flesso:
definizione; condizione necessaria (*).Utilizzo di derivate di
ordine superiore al primo per la classificazione di punti
interni al dominio (condizioni sufficienti per esistenza di
flessi o estremanti) (*). Regolarità delle funzioni convesse:
continuità. Derivabilità destra e sinistra e infinità
numerabile di punti angolosi.