LE DISEQUAZIONI LINEARI
Risolvi le seguenti disequazioni
x + 3 (x − 5) < 7 − x + 4 − 2 (3x + 2 )
( x − 3)
2
[x > −22]
[impossibile ]
< 2 x (x − 5) − (x − 2 )(x + 2 ) + 4 x
(5 x − 1)(x − 2 ) + 3 (x − 1) > (2 − x ) − 6 x + 2 (2 x − 3) − 2 (1 − 2 x )
2
2
(3x + 2 )(− x + 5) ≥ 0
1
3
2 x + 2 x − < 0
2
2
x−3
< 0;
3x
2x
> 0;
x−2
5
x
>
2
2
− 3 ≤ x ≤ 5
3
1
− 4 < x < 4
[3 < x < 3]
[x < 0 ∪ x > 2]
Risolvi i seguenti problemi mediante disequazioni lineari
Un triangolo acutangolo ha due angoli acuti che misurano in gradi 4 x + 1 e x + 4. Quale valore
massimo può avere x?
[17°]
I lati di un triangolo misurano in centimetri rispettivamente 3x, 2 x + 1 e x + 3. Per quali valori di x
il triangolo ha il perimetro maggiore o uguale a 28 cm?
[ x ≥ 4]
1
LA RETTA
•
Scrivi l’equazione della retta passante per l’origine e per il punto A. Verifica se il punto B
appartiene alla retta trovata. Disegna il grafico della retta, il punto A e il punto B.
1
B ; − 2 .
3
A ( −3; 18 ) ,
•
Scrivi l’equazione delle rette passanti per l’origine aventi i coefficienti angolari indicati e
disegnale nel piano cartesiano.
1
m= ,
3
•
Disegna i grafici delle rette rappresentate dalle seguenti equazioni.
3
y=− .
5
Scrivi in forma esplicita le seguenti equazioni, specificando quali sono il coefficiente angolare e
il termine noto. Disegnane, infine, i grafici.
x − 3 y + 1 = 0,
•
1
y = 3 x; y = −4 x
m = −4.
y = 2 x − 5;
•
[ y = −6 x; sì]
− y + 3 = 0,
2 x + y + 1 = 0.
1
1
y = 3 x + 3 ; y = 3; y = −2 x − 1
Scrivi l’equazione della retta utilizzando le informazioni fornite dal grafico.
[ y = 2 x + 4]
2
I SISTEMI LINEARI
•
Risolvi il sistema usando il metodo di sostituzione.
1 + 2 y 2x − 5 y 7
1
−
2 x − 12 =
3
4
1 x + 2 y = − 3
5
7
35
•
Determina le coordinate del punto di intersezione della seguente coppia di rette.
2 x + y − 5 = 0;
•
y = − x + 3.
[(2; 1)]
Risolvi i seguenti sistemi lineari con il metodo che preferisci, dopo aver stabilito se sono
determinati, impossibili o indeterminati.
( y − 1) + 5 ( x − 1) − ( 3 − x 2 ) = ( x + 1)( x − 4 ) + 5 x − 6
3 x − y + 11 = 0
( −2; 5)
x− y 7
6x − 7
2 = 3 10 + 10
x − y − 4 = x − 2y
3
9
4
4
3 ; 2
x − y +1 3 x + y
= −
3
4
2
1 − x − ( 4 y + 1) = x + 3 y
8
7
14
•
(1; − 1)
3
1
5 ; − 2
Risolvi i seguenti sistemi numerici fratti.
x + 3 3x + 1
+
=2
3y
x−3
3 y = 3 x − 1
1
y −1
=−
6
x −1
2 ( y − x ) − 1 = x − 12
3 4
5 ; 15
1
4; 2
3
Sistemi lineari e problemi
•
3
della differenza tra il maggiore e il minore si
4
5
ottiene 17. Il rapporto tra il maggiore e il triplo del minore vale . Determina i due numeri.
7
[15; 7]
•
Calcola l’area di un rombo sapendo che la somma di
•
Dal fruttivendolo ho acquistato, per un totale di € 6,45, tre diversi tipi di arance dal costo al
kilogrammo rispettivamente di € 1,30, € 2 e € 2,10. La quantità acquistata del secondo tipo è i
2
della quantità acquistata del terzo tipo, mentre la somma delle quantità del secondo e del
3
5
terzo tipo è i
della quantità del primo tipo. Determina quanti kilogrammi di arance ho
2
acquistato di ciascun tipo.
[1 kg; 1 kg; 1,5 kg]
Aggiungendo alla semisomma di due numeri i
1
1
della diagonale maggiore con
della
6
3
minore è di 14 cm e che la differenza fra il doppio della minore e la maggiore è di 12 cm.
432 cm2
4
I RADICALI
•
Completa, determinando il radicale equivalente.
( x +1 ) =
3
3
•
5 = ...;
9
5
ab = ...;
4
20
4
y
2
16
a 3 mb = 4 k ... .
...;
Semplifica i seguenti radicali
10
243;
6
x3 y12 ;
4
4 x2 + 24 xy + 36 y 2 ;
3n
3;
•
x 2 + 2 xy + y 2
x2 −1
3
⋅
x −1
x+ y
2 x + 3y ;
2
2( x − y )
12 ( x + y )2 ( x + 1) 4 ( x − 1)
2(a 2 + b 2 + 2ab )
3x 2 y
5 10 ;
a+b 2
x
3y
Semplifica l’espressione.
x+2 3 x+2 4
: 2
⋅ x+2⋅6 x−2
x−2
x −4
•
3
Trasporta fuori dal segno di radice tutti i fattori possibili.
250;
•
xy 4 ;
2n
Esegui la seguente moltiplicazione fra radicali e semplifica il risultato.
4
•
2n ( x − y ) .
4 ( x + 2 )3
Trasporta i fattori dentro il segno di radice, supponendoli non negativi.
3⋅ 3
13
;
9
( a − 3)
a+3
;
a−3
[ 39 ;
3
a2 − 9
]
5
•
Calcola le seguenti somme algebriche di radicali
10 3
2 3 + 12 − 27 + 3 75 − 108
10 2
3 2 + 18 − 2 8 + 3 50 − 98
(b + 2)
•
)(
x− y ⋅
) (
x+ y −
x+ y
)
2
(
+ y⋅ 2 y− x
)
x − 2 xy
Razionalizza i denominatori delle seguenti frazioni.
3
6
•
( b − 3 ) ⋅ b + 2
− 4b + 8 − 9b + 18
Utilizzando anche le regole dei prodotti notevoli, semplifica l’espressione.
(2
•
3
;
x2
;
2 xy
1
5+ 7
a−4
.
a +2
;
6 x ⋅ xy
;
;
2y
2
a − 2
Risolvi l’equazione.
2
2 −
2
x−2 x−2
x −1
−
=
2 2− 2
2 −1
•
7− 5
;
2
Scrivi sotto forma di radicale le seguenti potenze con esponente razionale.
3
4 12 16
(81a b )
;
−
2
9
27 x y
.
9
c
6
3
c6
3 9
4
3
27 a b ;
9 x 4 y 2
6
LE EQUAZIONI DI SECONDO GRADO
Risolvi le seguenti equazioni.
[ −7;
x 2 + 10 x + 21 = 0
3
− 2 ; 5
3 2
− 8 ; 3
2 x 2 − 7 x − 15 = 0
x2 −
7
1
x− =0
24
4
5
5;
3
3x 2 − 4 5 x + 5 = 0
(
) (
2
2−x + 2 2−x
− 3]
)
2
=2
( x + 3) − 9 + 3x = 0
2
(1 + 2 x ) 2 x + 1
2
3x 2 − 4 x + 1
1
x−2
+
−
=0
2
x −4
x−2 x+2
2; 2 2
9
0; − 7
1
−1; 2
I problemi di secondo grado
•
Sommando al triplo di un numero intero il quadrato del suo consecutivo si ottiene 267. Qual è il
numero?
[ −19; 14]
•
Determina l’area di un rettangolo il cui perimetro è di 56 cm, sapendo che esso è inscritto in una
192 cm2
circonferenza di raggio 10 cm.
•
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa è 20 cm più lunga di un cateto e questo è
proiezione sull’ipotenusa stessa. Determina il perimetro del triangolo.
•
5
della sua
3
[120 cm]
Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo 7 cm più dell’altro e il perimetro di 30 cm. Calcolane
30 cm2
l’area.
Risolvi l’equazione fratta di secondo grado nell’incognita x.
7x − 5
3x 4
5
9 x 2 + 43 x + 8
3
+
−
:
+
=
x 2 − x − 2 x + 1 x − 2 x + 3 4 ( x 2 + 4 x + 3)
[ −3, non accettabile; 7]
7
Le equazioni di grado superiore al secondo
8 x 3 + 10 x 2 − 7 x = 0
2 x3 − 7 x 2 + 4 x + 4 = 0
1
7
− 4 ; 0; 2
1
2;
2;
−
2
3x3 + 192 = 0
[ −4 ]
x 4 − 7 x 2 − 18 = 0
[ ±3]
2 x 4 − 19 x 2 + 9 = 0
2
; ± 3
±
2
8
PROBABILITA’
Ripasso
Dato uno spazio campionario S la probabilità P(A) di un evento A è un numero reale tale che:
• P(A)≥0
Lancio di una moneta qual è la probabilità che esca testa?
[0.5]
• P(S) =1
Lancio di un dado, qual è la probabilità che esca un numero minore di 7?
[1]
• P(Ø) = 0
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero maggiore di 6?
[0]
Si conclude che 0 ≤ P(A) ≤1
Evento contrario P(Ā) = P(NON A) = 1- P(A)
Lancio di un dado,qual è la probabilità che non esca un numero multiplo di 3? [1-2/6 = 4/6]
P(A1 ∩ A2) significa la probabilità che si verifica A1 e A2, cioè che si verifichino entrambi gli eventi.
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 e un multiplo di 3? [1/6]
Se P(A1 ∩ A2)=0 gli eventi sono incompatibili (in caso contrario si dicono compatibili)
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore e maggiore di 4?
[0]
P(A1 U A2) significa la probabilità che si verifica A1 o A2 , cioè che si verifichino o un evento o
l’altro o entrambi
Lancio di un dado, qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un multiplo di 3?
[Gli eventi favorevoli sono: 1,2,3,6 ...]
[2/3]
P(A1 U A2) = P(A1)+ P(A2 )- P(A1 ∩A2) se A1 A2 sono eventi compatibili
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un multiplo di 3?
[3/6+2/6-1/6]
P(A1 U A2) = P(A1)+ P(A2 ) se A1 A2 sono eventi incompatibili
Lancio di un dado,qual è la probabilità che esca un numero minore di 4 o un maggiore di 4?
[3/6+2/6]
P(A1 ∩ A2) = P(A1)* P(A2|A1) se A1 A2 sono eventi dipendenti
Un’urna contiene 2 palline rosse e 3 verdi. Estraggo una pallina e senza rimetterla nell’urna ne
estraggo una seconda. Qual è la probabilità di estrarre la prima rossa e la seconda verde?
[2/5*3/4]
P(A1 ∩ A2) = P(A1)* P(A2) se A1 A2 sono eventi indipendenti
Un’urna contiene 2 palline rosse e 3 verdi. Estraggo una pallina e dopo aver rimesso la pallina
estratta nell’urna ne estraggo una seconda. Qual è la probabilità di estrarre la prima rossa e la
seconda verde?
[2/5*3/5]
9
Risolvi i seguenti problemi
1] Tre libri A, B, C vengono disposti in uno scaffale uno di fianco all’altro. Costruisci il diagramma
ad albero con tutti i possibili modi per disporre i libri. Qual è la probabilità che il libro B stia agli
estremi?
[2/3]
2] Lanciando un dado due volte,
• quanti sono i possibili risultati (eventi elementari)
[36]
• qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia 3?
[0.06]
• qual è la probabilità che entrambi i numeri siano pari?
[0.25]
• qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti non sia 3?
[0.94]
• qual è la probabilità che il primo numero uscito superi il secondo di un’unità?
[5/36]
• qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia 3 oppure che il primo numero superi il
secondo di un’unità?
[1/6]
• qual è la probabilità che la somma dei numeri usciti sia3 oppure che entrambe i numeri siano
pari?
[11/36]
3] Un fiorista mette in svendita 200 fiori, in parte rose e in parte tulipani. Sia le rose sia i tulipani
sono di due tipi: o di colore rosso o di colore giallo. Il 60% dei fiori in offerta sono rossi e il 35%
sono tulipani. Inoltre le rose rosse sono 70. Completa la tabella
colore
Rosso
Giallo
Totale
Rose
specie
Tulipani
Totale
200
•
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia un giacinto?
[0%]
•
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia una rosa?
[65%]
•
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che sia una rosa gialla? [30%]
•
Scegliendo a caso un fiore tra quelli in svendita, qual è la probabilità che non sia una rosa gialla?
[70%]
•
Viene estratto casualmente un fiore, sapendo che è una rosa, quale è la probabilità che sia gialla? . . .
[46%]
4] Un contadino decide di fare un impianto di more. E’ noto che il 5% delle piantine sono malate e
non sopravvivono oltre la prima settimana. La piantina malata ha la probabilità di essere identificata
e scartata pari al 70%. Scegliendo a caso una piantina qual è la probabilità che sia malata e che
venga scartata?
[3,5%]
10
La risoluzione algebrica di problemi geometrici
•
Determina le lunghezze dei tre segmenti sapendo che la loro somma è 60 cm, il quadruplo del
3
primo meno il secondo è uguale al terzo e che il secondo è del terzo. [12 cm; 18 cm; 30 cm]
5
•
Determina le misure dei lati del triangolo in figura (le misure sono rispetto al centimetro).
[ x = 2]
•
Il perimetro di un triangolo isoscele è 100 dm. La base è
triangolo.
16
del lato obliquo. Calcola l’area del
17
[480 dm2]
•
5
. La
3
proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa è 32 cm. Calcola il perimetro e l’area del triangolo.
120 cm; 600 cm2
...........
•
In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui e il piede dell’altezza
16
. Sapendo che l’altezza è 24 cm,
divide la base maggiore in due segmenti il cui rapporto è
9
124 cm; 768 cm2
determina il perimetro e l’area del trapezio.
•
Il perimetro di un triangolo rettangolo isoscele è di 6 2 + 2
In un triangolo rettangolo il rapporto fra un cateto e la sua proiezione sull’ipotenusa è
(
)
cm. Determina l’area del
18 cm2
triangolo.
•
Un trapezio scaleno ha gli angoli adiacenti alla base maggiore di 30° e di 60°. Sapendo che
l’altezza è di 12 cm e che la base maggiore è doppia della minore, determina il perimetro del
24 + 56 3 cm
trapezio.
(
•
)
L’area di un rombo è 480 cm2 e il lato misura 26 cm. Calcola la misura delle diagonali del
rombo.
[20 cm; 48 cm]
11
•
2
della maggiore. Sapendo che
3
l’angolo acuto adiacente alla base maggiore è 45°, calcola il perimetro e l’area del trapezio.
72 + 12 2 a; 360a 2
In un trapezio rettangolo l’altezza è 12a e la base minore è
(
)
•
In un parallelogramma i cui angoli acuti sono di 30° il lato maggiore è quadruplo del minore
e l’area misura 72m2 . Calcola la lunghezza della proiezione del lato minore su quello
3 3m; 3m; 12m
maggiore e delle altezze del parallelogramma.
•
In un trapezio isoscele le diagonali sono perpendicolari ai lati obliqui, che misurano
•
4
2
della base maggiore BC, AD è
5
3
di BC e il perimetro è 50a. Prolunga l’altezza AB dalla parte di A e il lato obliquo CD dalla parte
di D fino a farli incontrare nel punto E. Da A conduci la perpendicolare a DE e indica con H il
720
piede di tale perpendicolare. Calcola il perimetro del triangolo AHE.
13 a
5
4
dell’altezza, e la base maggiore è di 25 cm. Prolungando i lati obliqui si ottiene un triangolo
625 2
cm
isoscele avente per base la base maggiore del trapezio. Calcola l’area del triangolo.
3
Disegna un trapezio rettangolo ABCD in cui l’altezza AB è
12
