Dipartimento di Elettronica ed informazione

Elettronica dello Stato Solido
Lezione 3: La radiazione di corpo
nero
Daniele Ielmini
DEI – Politecnico di Milano
[email protected]
Outline
• Crisi della fisica classica
– Radiazione del corpo nero
– Effetto fotoelettrico
– Diffrazione da particelle
• Conclusioni
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
2
Limiti della fisica classica
• Oggi sappiamo che le leggi della fisica classica
(e.g. equazioni di Newton, di Maxwell) non sono
adatte a descrivere la fisica dell’ultrapiccolo: qui
abbiamo bisogno della meccanica quantistica
• Analogia con la teoria relativistica per l’ultraveloce
• Entrambe sono teorie generalizzate che includono
la meccanica classica come limite alle grosse
dimensioni/basse velocità
• Nuova costante universale: h (costante di Planck)
simile a c (relatività)
• Ma la meccanica classica non si rivela
necessariamente solo andando nell’ultrapiccolo, ci
sono alcune manifestazioni macroscopiche come
la radiazione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
3
Storia di una rivoluzione
• Attorno al 1900-1910, queste osservazioni
erano rompicapi che menti come Planck
ed Einstein alla fine risolsero battendo la
strada per la teoria quantistica
• Questa fu sviluppata negli anni 20-30 da
Schrödinger e Heisenberg
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4
La radiazione termica
• Radiazione termica (RT) = radiazione
elettromagnetica emanata da un corpo a
temperatura T
• RT dipende da T: RT occupa più alte frequenze e più
corte lunghezze d’onda all’aumentare di T
• Bassa temperatura: i corpi sono visibili per
riflessione/diffusione
• Alta temperatura: i corpi emettono luce propria, e.g.
filamento a incandescenza @2000 K, o ferro
incandescente rosso @1000K
• La RT viene sfruttata nei pirometri per misure di T
(e.g. una stella, o il corpo umano)
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5
Il corpo nero
• Lo spettro della radiazione dipende dalla
composizione della superficie del corpo
• Caso speciale è quello di corpi che
assorbono tutta la radiazione incidente:
questi corpi appaiono neri quando la loro
temperatura è bassa
• Per i corpi neri, la RT ha carattere universale
• A causa di questo carattere universale, questi
corpi sono stati oggetto di intenso studio
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
6
Esempi di corpi neri
• Oggetti con colorazione nera/scura
• Il sole, le stelle e l’universo
• Corpi neri per esperimenti pratici: cavità con una
piccola apertura: una volta che la luce vi entra, è
molto difficile che riesca a uscire. In altre parole,
tutta la radiazione incidente è assorbita 
l’apertura ha le proprietà del corpo nero
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Radianza spettrale di un corpo nero
• RT(n)dn = radianza spettrale = energia
emessa per unità di tempo, per unità di area
della superficie di un corpo a temperatura T,
nell’intervallo di frequenze da n a n+dn
RT (n) [Wm-2Hz-1]
7,00E-05
x
6,00E-05
2000 K
5,00E-05
4,00E-05
3,00E-05
x
1500 K
Legge di
Wien:
nmax  T
2,00E-05
x
1,00E-05
1000 K
0,00E+00
0
1E+14
n [Hz]
2E+14
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8
Radianza e legge di Stefan

• RT = radianza = RT  RT n  dn

0
• Legge di Stefan (1879): RT = sT4
• Costante di Stefan-Boltzmann
s=5.67 x 10-8 Wm-2K-4
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9
Radiazione elettromagnetica
• Frequenza n [Hz]
• Lunghezza d’onda l [m]
• Relazione: ln = c
l
1,5
1
t=0
2 fs
1400
1600
0,5
0
0
-0,5
200
400
600
800
1000
1200
1800
2000
Posizione x [nm]
-1
-1,5
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10
Teoria del corpo nero
• Cavità all’equilibrio a temperatura T delle pareti
• La radiazione uscente dall’apertura è un campione
della radiazione termica nella cavità
• Possiamo definire una densità di energia di
radiazione termica, data da rT(n)  RT(n)
• Descrizione della black-body radiation (BBR) è
possibile studiando la RT nella cavità
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11
Cavità all’equilibrio termico
• Le pareti emettono RT a seguito del moto
accelerato di portatori
• RT nella cavità può essere descritta da onde
stazionarie, cioè con il campo elettrico
costantemente nullo sulle pareti
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Numero di onde stazionarie
• Consideriamo una cavità 1D virtuale con
lunghezza = a
• Ci sono solo modi discreti con lunghezza
d’onda data da :





l/2 = a
l=a
3l/2 = a
…
l=2a/n oppure
c
n n
2a
n  1, 2, 3...
1,5
1
0,5
0
-25
25
75
125
175
225
-0,5
-1
-1,5
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13
Onde stazionarie 1D
http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html
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14
Numero di modi in 1D
• Valori permessi di frequenza in 1D:
c/2a
n
• Nota: ogni punto corrisponde a due modi,
associati alle due polarizzazioni trasversali
del campo elettrico
• Quanti modi per Hz? Due per ogni c/2a 
2a
N n  dn  2 dn
c
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15
Onde stazionarie 2D
http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html
• Funzioni che descrivono oscillazione di
membrana stazionaria:
• E(x,y,t) = E0 sinkxx sinkyy sinwt
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16
Condizione di stazionarietà
• Identica a quella in 1D:





lx/2 = a
lx = a
3lx/2 = a
…
lx=2a/nx





ly/2 = a
ly = a
3ly/2 = a
…
ly=2a/ny
2 2

kx 

nx  nx
lx 2a
a
2 2

ky 

ny  n y
ly 2a
a
nx  1, 2, 3...
ny  1, 2, 3...
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17
Modi stazionari 2D
E  E 0 sin k x x sin k y y sin wt
 E0
e
ik x x

e
i k x x ky y
 ik x x

e
4
i  k x x k y y 
 ik y y
 sinwt

 i k x x k y y


 i k x x k y y
e
e
 E0
4
cos  k x x  k y y   cos  k x x  k y y 
 E0
sin wt
2
e
 E0
e
 e
ik y y
 
  sinwt
cos k r  cos k ' r
ky
2
-ky
• Come si determina w, n?
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03

sin wt
k
kx
k’
18
Determinazione di n
• Vettore d’onda k = kx + ky, modulo k =
(kx2+ky2)1/2
• Il vettore d’onda e la frequenza risultanti sono:

k x  nx
a

k y  ny
a
nx , ny  1, 2, 3...
k  k x2  k y2 
c kc
n 

l 2
n  nx2  ny2
 nx2  ny2
a
c nx2  ny2
2a
cn

2a
(non è intero!)
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19
Numero di modi in 2D
• Quanti modi tra n e n +dn? Sono N(n)dn =
N(n)dn, dato dal numero di nodi nella corona
circolare tra n = (nx2+ny2)1/2 e n+dn
• Area dello shell = 2ndn, la densità di modi è
2 (polarizzazioni) in ogni ‘cella unitaria’ 
ny
2 n
N (n )dn  2
dn
4
Solo n
positivi!
2a
2a
n  n , dn  dn
c
c
2
nx
 2a 
N (n )dn     n dn
c 
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20
Numero di modi in 3D
• Lo stesso, ma considerando un guscio
sferico tra n = (nx2+ny2+nz2)1/2 e n+dn
• Volume della shell = 4n2dn, densità di modi
= 2 (polarizzazioni) in ogni cella (cubo)
unitario 
nz
ny
4 n 2
N (n )dn  2
dn
8
Solo n
positivi!
2a
2a
n  n , dn  dn
c
c
3
nx
 2a  2
N (n )dn     n dn
c 
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21
Normalizzazione sul volume
• 1D
2
N n  dn  2 dn
c
[m-1]
2
• 2D
2
N (n )dn     n dn
c 
[m-2]
3
• 3D
2 2
N (n )dn     n dn
c 
[m-3]
… e la densità di modi in 4D?
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
22
Energia media per modo
• Abbiamo ricavato la densità di modi per unità di volume
tra n e n +dn
• Per calcolare la densità di energia dobbiamo assegnare
un’energia media per modo
• Fisica classica: principio di equipartizione dell’energia.
Ad esempio, in un gas ogni atomo ha, in media,
un’energia cinetica pari a kT/2 per grado di libertà 
3kT/2 per un gas mono-atomico
• Il singolo modo RT ha due gradi di libertà (campo
magnetico + elettrico, o equivalentemente energia
cinetica + potenziale dell’oscillatore armonico)  <E> =
kT
• k = costante di Boltzmann = 1.38 x 10-23 JK-1
• Fisica classica  ogni modo ha la stessa energia
indipendentemente dalla sua frequenza
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23
Principio di equipartizione

1
 mv x2 
2
1
2
mv
0 2 xe

e
mv x2

2 kT
mv x2

2 kT

dv x
 kT
2 

 e d
 kT
0

e
0

2
d
 kT

mv x2

2 kT
mv x2

2 kT
0
 
  de
2
0

e
0

2
d
2
mv x2
d
2kT
mv x2
d
2kT


2
mv
0 2kT e
e
dv x
0

2
x

1  2
   
  2 de    2 e d
0
0
2
 kT

e
 2
d
kT

2
0
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24
Formula di Rayleigh-Jeans
• Densità di energia = densità di modi x energia
media
3
2 2
rT (n )dn  N(n )  E  dn     n kTdn
c 
rT (n) [Jm-3Hz-1]
2,00E-05
RJ
1,50E-05
Catastrofe ultravioletta  fisica
classica è incapace di spiegare
la BBR
1,00E-05
BBR misurata
5,00E-06
0,00E+00
0
1E+14
n [Hz]
2E+14
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25
Postulato di Planck
• Planck osservò che, se <E> non fosse
costante (e.g. kT) ma variasse con la
frequenza, la BBR potrebbe essere riprodotta
• A bassa frequenza: <E> = kT (limite classico)
• Ad alta frequenza: <E>  0
• Come possiamo ottenere questo risultato?
Quantizzazione dell’energia
• Invece di assumere un continuo di E, Planck
postulò che E = nDE, n = 1, 2, 3, …
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26
Calcolo dell’energia media
• Il principio di equipartizione deriva dalla
distribuzione di Maxwell-Boltzmann:
all’equilibrio termico, la probabilità per
un’entità (e.g. un atomo in un gas o un
oscillatore in una cavità) di avere energia
tra E ed E+dE è:
1  kTE
P  E  dE 
e
kT

• Quindi <E> è:
(equipartizione)
 E 
 EP (E )dE
0

 P (E )dE

E

1
kT

Ee
dE  kT

kT 0
0
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27
Energia media classica
2,50E+18
2,00E+18
Ee
1,50E+18

E
kT
1,00E+18
5,00E+17
0,00E+00
0
kT
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
E [eV]

E

1
kT
 E 
Ee
dE

kT 0
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28
Energia media quantistica: piccolo DE
2,50E+18

 Ee
2,00E+18

E
kT
dE  nDE 2e
0
1,50E+18


nDE
kT
n 0
1,00E+18
E = nDE
5,00E+17
0,00E+00
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
E [eV]
• L’integrale è ancora circa pari al caso
continuo
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
29
Energia media quantistica: grande DE
2,50E+18

2,00E+18
 Ee
1,50E+18

E
kT

dE  nDE 2e
0

nDE
kT
n 0
1,00E+18
E = nDE
5,00E+17
0,00E+00
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
E [eV]
• L’integrale è diverso, l’area è minore del caso
continuo  l’energia media <E>  0 per DE > kT
• Per riprodurre la BBR (<E>=kT per piccola n,
<E>=0 per grande n) dovremmo postulare DE = hn
 E = nhn con n = 1, 2, 3, … e h = costante di
Planck
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
30
Energia media quantistica – 1
• La discussione precedente è solo qualitativa per
rappresentare il ragionamento di Planck
• Vediamo ora la sua ipotesi in termini analitici:

 E 
 EP (E )dE
0

 P (E )dE
0

 kT
 nx
e


 E 

 EP (E )  nhn e
n 0

 P (E )
n 0
x=hn/(KT)
 nx
nxe

n 0



n 0

e


nhn
kT
nhn
kT
n 0


d
d
 kTx
log  e  nx  hn
log  e  x
dx
dx
n 0
n 0
 
n
n 0
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
31
Energia media quantistica – 2
x
d
1
d
e
x
 E  hn
log

h
n
log
1

e
 hn

x
x
dx
1 e
dx
1 e

hn

e
hn
kT
1
3,00E-02
<E> [eV]
2,50E-02
Classical = kT
2,00E-02
1,50E-02
1,00E-02
Quantum
5,00E-03
0,00E+00
0
kT
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
hn [eV]
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
32
Densità di energia
• La densità di energia quindi è data da:
hn
3
2 2
rT (n )dn  N (n )  E  dn     n
c 
e
hn
kT
1
8n 2
dn  3
c
hn
e
hn
kT
dn
1
rT (n) [Jm-3Hz-1]
2,00E-05
RJ
1,50E-05
1,00E-05
Planck
5,00E-06
e
n2
0,00E+00
0
1E+14
n [Hz]

hn
kT
2E+14
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
33
Intepretazione della densità di energia
• La densità di energia può essere letta in un modo
alternativo: densità di modi X energia del modo X
statistica di occupazione
• Useremo lo stesso approccio per la densità di
elettroni/lacune in metalli/semiconduttori
Energia del modo
8n 2
rT (n )dn  3 hn
c
Densità di modi
per unità di
volume tra n e
n+dn
1
e
hn
kT
dn
1
Numero medio <n> di
fotoni che popolano il
modo: distribuzione di
Bose-Einstein
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
34
Note
• Calcolate la densità di energia spettrale per
unità di lunghezza d’onda, non frequenza
• Postulato di Planck: ogni entità fisica che può
essere descritta da un oscillatore armonico
(radiazione EM, vibrazione termiche nel
reticolo, particelle confinate nel potenziale
parabolico) può solo possedere un’energia
totale E = nhn
• Come vedremo in una delle prossime lezioni,
l’esatta legge di quantizzazione
dell’oscillatore armonico dice E=(n+1/2)hn:
cambia il nostro risultato?
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
35
Conclusioni
• La BBR causa un empasse nella comunità
scientifica: le leggi classiche non possono
spiegarla
• Il postulato di Planck basato sulla
quantizzazione dell’energia permette una
spiegazione
• Risultato rivoluzionario che stimola la
transizione ad una nuova era scientifica
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
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