Elettronica dello Stato Solido
Lezione 3: La radiazione di corpo
nero
Daniele Ielmini
DEI – Politecnico di Milano
[email protected]
Outline
• Crisi della fisica classica
– Radiazione del corpo nero
– Effetto fotoelettrico
– Diffrazione da particelle
• Conclusioni
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
2
Limiti della fisica classica
• Oggi sappiamo che le leggi della fisica classica
(e.g. equazioni di Newton, di Maxwell) non sono
adatte a descrivere la fisica dell’ultrapiccolo: qui
abbiamo bisogno della meccanica quantistica
• Analogia con la teoria relativistica per l’ultraveloce
• Entrambe sono teorie generalizzate che includono
la meccanica classica come limite alle grosse
dimensioni/basse velocità
• Nuova costante universale: h (costante di Planck)
simile a c (relatività)
• Ma la meccanica classica non si rivela
necessariamente solo andando nell’ultrapiccolo, ci
sono alcune manifestazioni macroscopiche come
la radiazione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
3
Storia di una rivoluzione
• Attorno al 1900-1910, queste osservazioni
erano rompicapi che menti come Planck
ed Einstein alla fine risolsero battendo la
strada per la teoria quantistica
• Questa fu sviluppata negli anni 20-30 da
Schrödinger e Heisenberg
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4
La radiazione termica
• Radiazione termica (RT) = radiazione
elettromagnetica emanata da un corpo a
temperatura T
• RT dipende da T: RT occupa più alte frequenze e più
corte lunghezze d’onda all’aumentare di T
• Bassa temperatura: i corpi sono visibili per
riflessione/diffusione
• Alta temperatura: i corpi emettono luce propria, e.g.
filamento a incandescenza @2000 K, o ferro
incandescente rosso @1000K
• La RT viene sfruttata nei pirometri per misure di T
(e.g. una stella, o il corpo umano)
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5
Il corpo nero
• Lo spettro della radiazione dipende dalla
composizione della superficie del corpo
• Caso speciale è quello di corpi che
assorbono tutta la radiazione incidente:
questi corpi appaiono neri quando la loro
temperatura è bassa
• Per i corpi neri, la RT ha carattere universale
• A causa di questo carattere universale, questi
corpi sono stati oggetto di intenso studio
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6
Esempi di corpi neri
• Oggetti con colorazione nera/scura
• Il sole, le stelle e l’universo
• Corpi neri per esperimenti pratici: cavità con una
piccola apertura: una volta che la luce vi entra, è
molto difficile che riesca a uscire. In altre parole,
tutta la radiazione incidente è assorbita l’apertura ha le proprietà del corpo nero
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7
Radianza spettrale di un corpo nero
• RT(ν)dν = radianza spettrale = energia
emessa per unità di tempo, per unità di area
della superficie di un corpo a temperatura T,
nell’intervallo di frequenze da ν a ν+dν
RT (ν) [Wm-2Hz-11]
7,00E-05
x
6,00E-05
2000 K
5,00E-05
4,00E-05
3,00E-05
x
1500 K
Legge di
Wien:
νmax ∝ T
2,00E-05
x
1,00E-05
1000 K
0,00E+00
0
1E+14
2E+14
ν [Hz]
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8
Radianza e legge di Stefan
∞
∫
• RT = radianza = RT = RT (ν ) dν
0
• Legge di Stefan (1879): RT = σT4
• Costante di Stefan-Boltzmann
σ=5.67 x 10-8 Wm-2K-4
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Radiazione elettromagnetica
• Frequenza ν [Hz]
• Lunghezza d’onda λ [m]
• Relazione: λν = c
λ
1,5
1
t=0
2 fs
1400
1600
0,5
0
0
-0,5
200
400
600
800
1000
1200
1800
2000
Posizione x [nm]
-1
-1,5
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10
Teoria del corpo nero
• Cavità all’equilibrio a temperatura T delle pareti
• La radiazione uscente dall’apertura è un campione
della radiazione termica nella cavità
• Possiamo definire una densità di energia di
radiazione termica, data da ρT(ν) ∝ RT(ν)
• Descrizione della black-body radiation (BBR) è
possibile studiando la RT nella cavità
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11
Cavità all’equilibrio termico
• Le pareti emettono RT a seguito del moto
accelerato di portatori
• RT nella cavità può essere descritta da onde
stazionarie, cioè con il campo elettrico
costantemente nullo sulle pareti
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Numero di onde stazionarie
• Consideriamo una cavità 1D virtuale con
lunghezza = a
• Ci sono solo modi discreti con lunghezza
d’onda data da :
λ/2 = a
λ=a
3λ/2 = a
…
λ=2a/n oppure
c
ν =n
2a
n = 1, 2,3...
1,5
1
0,5
0
-25
25
75
125
175
225
-0,5
-1
-1,5
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13
Onde stazionarie 1D
http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html
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14
Numero di modi in 1D
• Valori permessi di frequenza in 1D:
c/2a
ν
• Nota: ogni punto corrisponde a due modi,
associati alle due polarizzazioni trasversali
del campo elettrico
• Quanti modi per Hz? Due per ogni c/2a 2a
N (ν ) dν = 2 dν
c
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
15
Onde stazionarie 2D
http://phys23p.sl.psu.edu/phys_anim/waves/indexer_waves.html
• Funzioni che descrivono oscillazione di
membrana stazionaria:
• E(x,y,t) = E0 sinkxx sinkyy sinωt
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16
Modi stazionari 2D
E = E0 sin kx x sin ky y sinωt
= E0
(e
ikx x
(
−e
i kx x +ky y
−ikx x
)
−e
−4
i ( kx x −ky y )
−iky y
(
) sinωt
−i kx x −ky y
)
(
− i k x x +ky y
)
−e
+e
= E0
sinωt
−4
cos ( kx x + ky y ) − cos ( kx x − ky y )
= E0
sinωt
−2
k
k
cos k ir − cos k 'ir
y
kx
= E0
sinωt
-ky
−2
k’
e
( )
−e
) (e
iky y
( )
• Come si determina ω?
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
17
Numero di modi in 2D
• Valori di frequenza permessi in 2D: composizione
di radiazione x e y, con λx=2a/nx e λy=2a/ny
• Vettore d’onda k = kx + ky, modulo k = (kx2+ky2)1/2
• Il vettore d’onda e la frequenza risultanti sono:
k=
2π
λ
c
=
2
x
2
y
2π n + n
kc
ν= =
=
λ 2π
2a
c nx2 + ny2
2a
cn
=
2a
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18
Numero di modi in 2D
• Quanti modi tra ν e ν +dν? Sono N(ν)dν =
N(n)dn, dato dal numero di nodi nella corona
circolare tra n = (nx2+ny2)1/2 e n+dn
• Area dello shell = 2πndn, la densità di modi è
2 (polarizzazioni) in ogni ‘cella unitaria’ ny
2π n
N(n)dn = 2
dn
Solo ν
4
positivi!
2a
2a
n = ν , dn = dν
c
c
2
nx
2a
N(ν )dν = π ν dν
c
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19
Numero di modi in 3D
• Lo stesso, ma considerando un guscio
sferico tra n = (nx2+ny2+nz2)1/2 e n+dn
• Volume della shell = 4πn2dn, densità di modi
= 2 (polarizzazioni) in ogni cella (cubo)
unitario nz
ny
4π n2
N(n)dn = 2
dn
8
Solo ν
positivi!
2a
2a
n = ν , dn = dν
c
c
3
nx
2a 2
N(ν )dν = π ν dν
c
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
20
Normalizzazione sul volume
• 1D
2
N (ν ) dν = 2 dν
c
[m-1]
2
• 2D
2
N(ν )dν = π ν dν
c
[m-2]
3
• 3D
2 2
N(ν )dν = π ν dν
c
[m-3]
… e la densità di modi in 4D?
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
21
Energia media per modo
• Abbiamo ricavato la densità di modi per unità di volume
tra ν e ν +dν
• Per calcolare la densità di energia dobbiamo assegnare
un’energia media per modo
• Fisica classica: principio di equipartizione dell’energia.
Ad esempio, in un gas ogni atomo ha, in media,
un’energia cinetica pari a kT/2 per grado di libertà 3kT/2 per un gas mono-atomico
• Il singolo modo RT ha due gradi di libertà (campo
magnetico + elettrico, o equivalentemente energia
cinetica + potenziale dell’oscillatore armonico) <E> =
kT
• k = costante di Boltzmann = 1.38 x 10-23 JK-1
• Fisica classica ogni modo ha la stessa energia
indipendentemente dalla sua frequenza
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22
Principio di equipartizione
∞
1
< mv x2 >=
2
1
2
mv
∫0 2 xe
∞
∫e
mv x2
−
2kT
mv x2
−
2kT
∞
dv x
= kT
∫η e
2 −η
= kT
dη
0
= kT
∞
∫e
0
−η
2
dη
∞
mv x2
−
2kT
mv x2
−
2kT
0
∞
2
mv
∫0 2kT e
∫e
dv x
0
∞
2
x
η
−∫ de
2
0
−η
∞
∫e
0
−η
mv x2
d
2kT
∞
2
dη
2
mv x2
d
2kT
∞
1 −η2
η −η
− 2 de + ∫ 2 e dη
0
0
2
= kT
∞
∫e
−η 2
dη
=
kT
2
0
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23
Formula di Rayleigh-Jeans
• Densità di energia = densità di modi x energia
media
3
2 2
ρT (ν )dν = N(ν ) < E > dν = π ν kTdν
c
ρT (ν) [Jm-3Hz-11]
2,00E-05
RJ
1,50E-05
Catastrofe ultravioletta fisica
classica è incapace di spiegare
la BBR
1,00E-05
BBR misurata
5,00E-06
0,00E+00
0
1E+14
2E+14
ν [Hz]
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24
Dov’è l’errore? Energia media
• Il principio di equipartizione deriva dalla
distribuzione di Maxwell-Boltzmann:
all’equilibrio termico, la probabilità per
un’entità (e.g. un atomo in un gas o un
oscillatore in una cavità) di avere energia
tra E ed E+dE è:
E
1 − kT
P ( E ) dE =
e
kT
∞
• Quindi <E> è:
(equipartizione)
∫ EP(E )dE
< E >=
0
∞
∫ P(E )dE
∞
E
−
1
kT
=
Ee
dE = kT
∫
kT 0
0
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
25
Postulato di Planck
• Planck osservò che, se <E> non fosse
costante (e.g. kT) ma variasse con la
frequenza, la BBR potrebbe essere riprodotta
• A bassa frequenza: <E> = kT (limite classico)
• Ad alta frequenza: <E> 0
• Come possiamo ottenere questo risultato?
Quantizzazione dell’energia
• Invece di assumere un continuo di E, Planck
postulò che E = n∆E, n = 1, 2, 3, …
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
26
Energia media classica
2,50E+18
2,00E+18
Ee
1,50E+18
−
E
kT
1,00E+18
5,00E+17
0,00E+00
0
kT
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
E [eV]
∞
E
−
1
kT
< E >=
Ee
dE
∫
kT 0
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
27
Energia media quantistica: piccolo ∆E
2,50E+18
2,00E+18
Ee
1,50E+18
−
E
kT
1,00E+18
E = n∆E
5,00E+17
0,00E+00
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
E [eV]
• L’integrale è più o meno lo stesso del caso
continuo
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
28
Energia media quantistica: grande ∆E
2,50E+18
Ee
2,00E+18
−
E
kT
1,50E+18
1,00E+18
E = n∆E
5,00E+17
0,00E+00
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
E [eV]
• L’integrale è diverso, l’area è minore del caso
continuo l’energia media <E> 0
• Per riprodurre la BBR (<E>=kT per piccola ν,
<E>=0 per grande ν) dovremmo postulare ∆E = hν
E = nhν con n = 1, 2, 3, … e h = costante di
Planck
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
29
Energia media quantistica – 1
• La discussione precedente è solo qualitativa
per rappresentare il ragionamento di Planck,
vediamo l’ipotesi con in numeri:
∞
∞
∑EP(E ) ∑nhν e
∫ EP(E )dE
< E >=
0
∞
∫ P(E )dE
0
∞
= kT
n=0
∞
−nx
e
∑
< E >= n=∞0
∑P(E )
n=0
x=hν/(KT)
−nx
nxe
∑
∞
= n=0 ∞
∑e
−
−
nhν
kT
nhν
kT
n=0
∞
∞
d
d
= −kTx log∑e−nx = −hν
log∑ e− x
dx
dx
n=0
n=0
( )
n
n=0
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
30
Energia media quantistica – 2
−x
d
1
d
e
−x
< E >= −hν
log
=
h
ν
log
1
−
e
= hν
=
−x
−x
dx 1 − e
dx
1− e
(
hν
)
e
hν
kT
−1
3,00E-02
<E> [eV]
2,50E-02
Classical = kT
2,00E-02
1,50E-02
1,00E-02
Quantum
5,00E-03
0,00E+00
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
hν [eV]
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
31
Densità di energia
• La densità di energia quindi è data da:
3
2 2
ρT (ν )dν = N(ν ) < E > dν = π ν
c
hν
e
hν
kT
−1
8πν 2
dν = 3
c
hν
e
hν
kT
dν
−1
ρT (ν) [Jm-3Hz-1]
2,00E-05
RJ
1,50E-05
1,00E-05
Planck
5,00E-06
e
ν2
0,00E+00
0
1E+14
−
hν
kT
2E+14
ν [Hz]
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
32
Intepretazione della densità di energia
• La densità di energia può essere letta in un modo
alternativo: densità di modi x energia del modo x
statistica di occupazione
• Useremo lo stesso approccio per la densità di
elettroni/lacune in metalli/semiconduttori
Energia del
modo
8πν 2
ρT (ν )dν = 3
c
Densità di modi
per unità di
volume tra ν e
ν+dν
hν
e
hν
kT
dν
−1
Numero medio <n> di
fotoni che popolano il
modo: distribuzione di
Bose-Einstein
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
33
Note
• Calcolate la densità di energia spettrale per
unità di lunghezza d’onda, non frequenza
• Postulato di Planck: ogni entità fisica che può
essere descritta da un oscillatore armonico
(radiazione EM, vibrazione termiche nel
reticolo, particelle confinate nel potenziale
parabolico) può solo possedere un’energia
totale E = nhν
• Come vedremo in una delle prossime lezioni,
l’esatta legge di quantizzazione
dell’oscillatore armonico dice E=(n+1/2)hν:
cambia il nostro risultato?
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
34
Conclusioni
• La BBR causa un empasse nella comunità
scientifica: le leggi classiche non possono
spiegarla
• Il postulato di Planck basato sulla
quantizzazione dell’energia permette
facilmente una spiegazione
• Risultato rivoluzionario che stimola la
transizione ad una nuova era scientifica
D. Ielmini – Elettronica dello Stato Solido 03
35
