Massimi e minimi con la derivata prima
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Ricerca di massimi e minimi col metodo della derivata prima
Ricordiamo che il significato geometrico della derivata prima è quello di coefficiente angolare della retta tangente alla funzione.
y
y = f(x)
retta tangente
y = mx + q
f ( x0 )
m = f ' (x 0 )
P
x0
x
Nell’esempio in figura abbiamo una funzione crescente nell’intorno del punto P, quindi anche la retta
tangente è crescente ed il suo coefficiente angolare m = f ' ( x 0 ) (che ne determina la pendenza) è positivo.
Se una funzione è crescente ha la derivata positiva. Un ragionamento analogo ci porta a capire che una
funzione decrescente avrà invece la derivata negativa .
Il segno della derivata ci fornisce quindi un semplice criterio per stabilire gli intervalli in cui la funzione è
crescente o decrescente, riassunto nello specchietto qui sotto:
f ' (x ) > 0 ⇒
f ( x ) è crescente
f ' (x ) < 0 ⇒
f ( x ) è decrescente
f ' (x ) = 0 ⇒
f (x ) è
stazionaria
Conoscendo, tramite il segno della derivata, gli intervalli in cui la funzione cresce o decresce è quindi
possibile ricavare la posizione dei suoi punti di massimo e di minimo. Queste informazioni unite a quelle
sul dominio, sulle intersezioni con gli assi cartesiani e sul segno della funzione ci permetteranno in futuro
di tracciare un grafico accurato della funzione. Nei punti di massimo e di minimo la derivata è uguale a
zero♦ e quindi la retta tangente in questi punti è orizzontale
♦
fanno eccezione i cosiddetti punti angolosi nei quali la funzione non è derivabile, essendo diverse le derivate destra e sinistra.
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I punti in cui f ' (x ) = 0 sono particolarmente interessanti perché in essi la funzione può avere un punto di
massimo , un punto di minimo o un punto di flesso a tangente orizzontale. I casi possibili sono
rappresentati qui sotto.
f ' (x ) = 0
In figura è rappresentato un punto di massimo relativo.
La retta tangente in tale punto è orizzontale
f ' (x ) < 0
f ' (x ) > 0
Il segno della derivata prima passa da positivo (funzione
crescente) a negativo (funzione decrescente).
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In figura è rappresentato un punto di minimo relativo.
f ' (x ) > 0
f ' (x ) < 0
f ' (x ) = 0
La retta tangente in tale punto è orizzontale
Il segno della derivata prima passa da negativo (funzione
decrescente) a positivo (funzione crescente).
………………………………………………………………………………………………………………...
f ' (x ) = 0
f ' (x ) > 0
In figura è rappresentato un punto di flesso ascendente.
La retta tangente in tale punto è orizzontale
Il segno della derivata prima è positivo prima e dopo il
flesso
f ' (x ) > 0
………………………………………………………………………………………………………………...
In figura è rappresentato un punto di flesso discendente.
f ' (x ) < 0
f ' (x ) = 0
La retta tangente in tale punto è orizzontale
f ' (x ) < 0
Il segno della derivata prima è negativo prima e dopo il
flesso
………………………………………………………………………………………………………………...
È anche importante sottolineare che:
nei punti di massimo la concavità della funzione è rivolta verso il basso
nei punti di minimo la concavità della funzione è rivolta verso l’alto
nei punti di flesso la concavità della funzione cambia da sinistra a destra
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A questo punto siamo in grado di trovare i punti di massimo e di minimo di una funzione y = f ( x )
seguendo il procedimento descritto qui sotto:
1. determinazione del dominio della funzione
2. calcolo della derivata f ' (x )
3. studio del segno della derivata risolvendo la disequazione f ' ( x ) ≥ 0
4. schema grafico in cui si determinano i punti di max e di minimo in base al segno di f ' (x )
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Esempio 1 : trovare i punti di massimo e di minimo della funzione y = 4 x 3 − 18 x 2 + 24 x
1. Il dominio della funzione è D = (− ∞ ; + ∞ )
f ' (x ) = 12 x 2 − 36 x + 24
2. calcolo della derivata :
3. studio del segno della derivata : 12 x 2 − 36 x + 24 ≥ 0 che diventa x 2 − 3 x + 2 ≥ 0
La disequazione è di 2° grado e si risolve col metodo della parabola.
x1 = 1
+ 3± 9 −8 3±1
con la parabola abbiamo quindi:
=
=
x1,2 =
2
2
x2 = 2
x ≤1 ∨
x≥2
4. schema grafico col segno della derivata
−∞
1
+
−
crescente
decrescente
segno di f ' ( x )
comportamento di f ( x )
+∞
2
+
crescente
è evidente dallo schema grafico che in x = 1 abbiamo un punto di massimo, mentre in x = 2 abbiamo un
punto di minimo. L’ordinata dei due punti si calcola inserendo nella funzione y = f ( x ) i valori
dell’ascissa.
1. Punto di massimo
x = 1
y = f (1) = 4 ⋅ (1)3 − 18 ⋅ (1)2 + 24 ⋅ 1 = 4 − 18 + 24 = 10
il punto di massimo è il punto A(1 ; 10 )
2. Punto di minimo
x = 2
y = f (2 ) = 4 ⋅ (2 )3 − 18 ⋅ (2 )2 + 24 ⋅ 2 = 32 − 72 + 48 = 8
il punto di minimo è il punto B (2 ; 8)
Nella pagina seguente è riportato, in scala diversa sui due assi cartesiani, il grafico della funzione con
evidenziati i punti di massimo e di minimo.
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A(1 ; 10)
B (2 ; 8)
Grafico della funzione y = 4 x 3 − 18 x 2 + 24 x con evidenziati i due punti di massimo e di minimo.
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Esempio 2 : trovare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x 3 − 6 x 2 + 12 x − 4
1. Il dominio della funzione è D = (− ∞ ; + ∞ )
2. calcolo della derivata :
f ' (x ) = 3x 2 − 12 x + 12
3. studio del segno della derivata : 3x 2 − 12 x + 12 ≥ 0 che diventa
x 2 − 4x + 4 ≥ 0
La disequazione è di 2° grado e si risolve col metodo della parabola. Con formula ridotta:
x1 = 2
+2± 4−4
x1,2 =
=2±0=
1
x2 = 2
le soluzioni sono coincidenti e con la parabola abbiamo quindi:
x≤2 ∨
x≥2
4. schema grafico col segno della derivata
−∞
segno di f ' ( x )
comportamento di f ( x )
+∞
2
+
+
crescente
crescente
La funzione risulta sempre crescente, non ha quindi né massimi né minimi.
Però questa volta in x = 2 abbiamo un punto di flesso ascendente.
3. Punto di flesso
x=2
x = 2
y = f (2 ) = (2 )3 − 6 ⋅ (2 )2 + 12 ⋅ 2 − 4 = 8 − 24 + 24 − 4 = 4
il punto di flesso è il punto B (2 ; 4 )
Qui sotto è riportato, in scala diversa sui due assi cartesiani, il grafico della funzione.
B (2 ; 4 )
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Esempio 3 : trovare i punti di massimo e di minimo della funzione y = 3x 4 − 8 x 3 − 6 x 2 + 24 x
1. Il dominio della funzione è D = (− ∞ ; + ∞ )
f ' ( x ) = 12 x 3 − 24 x 2 − 12 x + 24
2. calcolo della derivata :
3. studio del segno della derivata : 12 x 3 − 24 x 2 − 12 x + 24 ≥ 0 che diventa x 3 − 2 x 2 − x + 2 ≥ 0
La disequazione si risolve scomponendo in fattori e confrontando i segni dei vari fattori
x 3 − 2 x 2 − x + 2 ≥ 0 → x 2 ⋅ ( x − 2 ) − 1 ⋅ ( x − 2 ) ≥ 0 → ( x − 2 ) ⋅ x 2 − 1 ≥ 0 e quindi:
(x − 2 ) ⋅ (x − 1) ⋅ (x − 1) ≥ 0
o segno del 1° fattore: x − 2 ≥ 0 → x ≥ 2
o segno del 2° fattore: x − 1 ≥ 0 → x ≥ 1
o segno del 2° fattore: x + 1 ≥ 0 → x ≥ −1
(
)
4. schema grafico col segno della derivata
−∞
1° fattore
2° fattore
3° fattore
segno di f ' ( x )
−1
−
−
−
−
−
−
1
−
+
+
−
+
+
+
+
decrescente
crescente
+
+
decrescente
crescente
2
+∞
comportamento di
f (x )
è evidente dallo schema grafico che in x = 1 abbiamo un punto di massimo, mentre in x = −1 e x = 2
abbiamo due punti di minimo. L’ordinata dei tre punti si calcola inserendo nella funzione y = f ( x ) i valori
dell’ascissa.
1° punto di minimo
x = −1
y = f (− 1) = 3 + 8 − 6 − 24 = −19
il 1° punto di minimo è il punto B (− 1 ; − 19 )
Punto di massimo
x = 1
y = f (1) = 3 − 8 − 6 + 24 = 13
il punto di massimo è il punto A(1 ; 13)
2° punto di minimo
x = 2
y = f (2 ) = 3 ⋅ 2 4 − 8 ⋅ 2 3 − 6 ⋅ 2 2 + 24 ⋅ 2 = 48 − 64 − 24 + 48 = 8
il 2° punto di minimo è il punto C (2 ; 8)
