Incertezza di misura
Introduzione e richiami
• Come già detto i risultati numerici ottenibili dalle misurazioni
sono intrinsecamente caratterizzati da aleatorietà…
• è dunque sempre necessario stimare una fascia di valori attribuibili
come misura al misurando; tale fascia di valori è data da un valore
numerico accompagnato da un valore di incertezza (e da un’unità di
misura)
• l’incertezza deve dunque essere opportunamente stimata, affinché
sia possibile assegnare misure compatibili.
• Le modalità secondo le quali si deve operare il calcolo
dell’incertezza di misura sono fissate dalla norma internazionale
ISO 13005, recepita in Italia come UNI CEI EN 13005 - Guida
all’espressione dell’incertezza di misura.
Incertezza di misura
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1
Definizioni
Incertezza
• “Intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli
elementi della fascia di valore assegnatagli come misura” (UNI
4546)
• “Parametro, associato con il risultato di una misurazione, che
caratterizza la dispersione dei valori che possono ragionevolmente
essere attribuiti al misurando” (VIM e UNI CEI EN 13005 - GUM)
La Guida all’Espressione dell’Incertezza adotta come vocabolario
metrologico di riferimento quello proposto dal VIM; dunque, nella
GUM si fa riferimento alla seconda definizione di incertezza sopra
riportata.
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Incertezza di misura
Incertezza
• Nella GUM si dice che l’incertezza associata alla misura è legata alla presenza di
effetti casuali (o in generale accidentali) e di effetti sistematici; a rigore, prima di
stimare l’incertezza, questi ultimi dovrebbero essere corretti, tuttavia resta
comunque un contributo d’incertezza legato alla correzione stessa.
• Esistono molte possibili fonti d’incertezza, fra le quali:
- definizione incompleta del misurando;
- non rappresentatività della campionatura;
- imperfetta conoscenza delle grandezze d’influenza;
- risoluzione ed incertezza intrinseca dello strumento;
- distorsione delle letture da parte dell’operatore;
- valori approssimati di costanti, coefficienti, ecc.;
- approssimazioni ed ipotesi semplificatrici (modelli).
Incertezza di misura
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2
• Secondo la guida le componenti dell’incertezza di misura possono
essere raggruppate in due categorie: A e B. Tale suddivisione non è
in alcun modo da mettere in relazione con la distinzione fra errori
sistematici ed errori accidentali!!!
• A e B indicano esclusivamente la modalità secondo la quale i
contributi di incertezza sono valutati.
• In entrambi i casi si considera che le possibili misure costituiscano
una popolazione, descritta statisticamente da una funzione di
distribuzione di probabilità. In entrambi i casi viene calcolata
un’incertezza tipo (u), coincidente con lo scarto tipo associato a tale
distribuzione.
Incertezza di misura
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A ⇒ si considera un campione (misure ripetute) e quindi si stima lo
scarto tipo della distribuzione stimata sulla base delle osservazioni.
(distribuzione osservata)
B ⇒ non si considera un campione! Si ipotizza una distribuzione
teorica sulla basa del grado di conoscenza del fenomeno (e
dell’esperienza). Di conseguenza si stima uno scarto tipo.
(distribuzione ipotizzata)
La distinzione riguarda esclusivamente le modalità secondo le quali i contributi
d’incertezza vengono valutati. In diverse situazioni lo stesso contributo può essere
valutato secondo modalità differenti.
Incertezza di misura
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3
• Si parla di incertezza composta per indicare l’incertezza associata
alla misura di una grandezza ottenuta (misura indiretta) a partire
dalla misura di altre grandezze alle quali essa è legata da una forma
funzionale. Per stimare tale valore di incertezza si utilizza la legge di
propagazione dell’incertezza considerando varianze e covarianze
associate alle grandezze indipendenti.
• Si parla, infine, di incertezza estesa. Una volta calcolata
l’incertezza tipo u, l’incertezza estesa è ottenuta come k·u, dove k è
detto fattore di copertura (solitamente è compreso fra 2 e 3). In
questo modo si costruisce un intervallo fiduciario ad un opportuno
livello di fiducia (tipicamente 95%).
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Incertezza di misura
Modello della misurazione
• In molti casi la misura da assegnare al misurando Y non viene
direttamente ottenuta, ma viene ricavata dalla misura di altre N
quantità X1, X2, … Xn. Y è legata alle Xi da una relazione funzionale f.
Y = f ( X 1 , X 2 ,..., X N )
• I simboli Y ed Xi sono rappresentativi di misurandi; tuttavia al fine
della valutazione dell’incertezza vengono impiegati per definire
corrispondenti variabili casuali per le quali si considerano opportune
distribuzioni di probabilità.
• La funzione f va interpretata nell’accezione più ampia possibile: può
essere una forma funzionale analitica, un tabella empirica, un
algoritmo numerico, ...
Incertezza di misura
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4
• Le quantità Xi sono anch’esse dei misurandi, che possono a loro volta
essere ottenuti indirettamente… nella forma funzionale devono
rientrare anche correzioni e fattori di correzione di errori sistematici.
• Dalla relazione f si ricava una stima del misurando, indicata con y,
ottenuta a partire da stime delle N grandezze Xi, indicate con xi
(normalmente si considerano le medie).
y = f ( x1 , x 2 ,..., x N )
• La relazione sopra riportata è approssimata e vale a rigore solo nel
caso lineare.
• Per ogni quantità di ingresso xi è possibile procedere al calcolo della
relativa incertezza tipo u(xi) mediante valutazioni di categoria A
oppure B; una volta stimate le u(xi), si può procedere al calcolo di u(y)
secondo un metodo opportuno, spiegato dalla norma.
Incertezza di misura
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Se si considera un certo modello per la misura di una grandezza Y,
del tipo
Y = f ( X 1 , X 2 ,..., X N )
è necessario procedere ad una identificazione dei fattori Xi che
abbiano influenza su Y.
Si devono individuare tutti i fattori che abbiano effetti significativi
sulla misura di Y.
È difficile individuare la presenza di ogni fattore e identificarne l’effetto, in quanto
si crea un circolo vizioso per cui un fattore può essere individuato dal momento in
cui se ne rileva l’effetto, ma se si ignora la presenza del fattore non se ne può
nemmeno valutare l’effetto.
⇒i
fattori di incertezza sono contenuti nelle procedura di misura allo
stato dell’arte, che escludono sulla base dell’esperienza quelli
trascurabili! (es. lunghezza di un manufatto L20 = LT ⋅ [1 + α ⋅ (20 − T )] )
Incertezza di misura
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5
Incertezza tipo: valutazione di categoria A
• Data una certa quantità X, sottoposta a misurazione, è possibile
procedere attraverso n osservazioni ripetute. Indicando con xk il
valore assunto da X in ogni osservazione, la misura da assegnare ad
X come misura è dato dalla media aritmetica delle n osservazioni
(media campionaria per X).
x=
1 n
⋅ ∑ xk
n k =1
• La varianza della popolazione delle misure viene stimata sulla base
dei valori xk costituenti il campione (osservazioni ripetute) attraverso
la varianza campionaria.
s n2 ( x) =
n
1
⋅ ∑ (xk − x )
n − 1 k =1
2
11
Incertezza di misura
• La varianza della media è data dalla seguente relazione ed indica
quanto bene la media campionaria stimi la media della popolazione.
s 2 (x) =
s n2 ( x)
n
• L’incertezza tipo (di categoria A) associata alla misura di x è data
da:
Nota: elemento presente
s ( x)
nell’espressione
u ( x) = s( x ) = n
dell’intervallo fiduciario per
la media, costruito a partire
n
da un campione di n
elementi.
• Caso particolare:
Nel caso di misurazione ben caratterizzata e sotto controllo statistico, se è stimata
per la popolazione una varianza cumulata s 2p , allora se sono state eseguite n
osservazioni conviene comunque stimare l’incertezza come:
u ( x) =
Incertezza di misura
sp
n
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Incertezza tipo: valutazione di categoria B
• La valutazione dell’incertezza di categoria A presenta dei limiti che
possono essere riassunti in due punti:
- comporta il prendere in considerazione un numero elevato di dati
sperimentali, mediante i quali stimare l’incertezza tipo;
- comporta la necessità che il campione sia rappresentativo delle caratteristiche
della popolazione: vi deve essere una opportuna variazione dei parametri che
influenzano la popolazione (delle misure).
• In molti casi è da preferirsi una valutazione dell’incertezza di
categoria B, effettuata sulla base di informazioni differenti dai
campioni di dati rilevati e da analizzarsi statisticamente.
• Le replicazioni consentono in generale di stimare una parte del
contributo d’incertezza complessivo legato ad un singolo fattore.
Incertezza di misura
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• Nella caso si proceda alla stima, per una grandezza x,
dell’incertezza associata u(x), senza impiegare dati sperimentali
relativi ad osservazioni ripetute, si ricorre ad una valutazione di
categoria B di u(x) sulla base di un giudizio scientifico, basato su
tutte le informazioni note relativamente a x. Tali informazioni
possono comprendere:
- dati di misurazioni precedenti;
- esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle proprietà
dei materiali e strumenti di interesse;
- specifiche tecniche del costruttore;
- dati forniti in certificati di taratura o altri;
- incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.
• Una valutazione di categoria B è tanto valida quanto una di
categoria A, soprattutto quando quest’ultima è basata su un numero
ridotto di osservazioni ripetute.
Incertezza di misura
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7
• Alcune possibili situazioni...
1. È fornita un’incertezza estesa (I) ed è dato il fattore di copertura (k): l’incertezza
tipo u(x) è data da:
u ( x) =
I
k
2. Si sa che i valori attribuibili a x sono distribuiti normalmente e viene data la
probabilità che x si trovi in un certo intervallo (di ampiezza 2a) con un opportuno
livello di fiducia. Per esempio se si considera un intervallo fiduciario al 95% (a cui
corrisponde z = 1.96), allora l’incertezza tipo u(x) è stimabile come:
u ( x) =
2⋅a
2⋅a
=
2 ⋅ z 2 ⋅1.96
α = 5% ⇒ p = 0.975
⇒ z = 1.96
f
-a
a
95%
z
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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Incertezza di misura
3. Se si può ritenere che le misure siano distribuite uniformemente (distribuzione
rettangolare), ovvero se la probabilità di avere un qualsiasi valore all’interno di un
intervallo (a,b) è diversa da zero e costante, mentre è nulla la probabilità di avere
valori fuori da tale intervallo, allora l’incertezza tipo è data da:
u ( x) 2 =
(b − a ) 2
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Nel caso in cui si consideri un intervallo simmetrico rispetto alla miglior stima di
X indicata con x, di semiampiezza a, si ottiene:
u ( x) 2 =
a2
3
4. Nel caso di distribuzione triangolare di semiampiezza a, si ha:
u ( x) 2 =
Incertezza di misura
a2
6
16
8
5. In alcuni casi la singola grandezza x è soggetta ad una variabilità che può essere
ritenuta periodica; tipicamente accade per variazioni naturali di temperatura ed
umidità oppure vibrazioni od oscillazioni indotte…
Ad esempio per quanto concerne la temperatura, se si considerano misure che si
protraggono per tutto l’arco delle 24 ore in ambiente non condizionato, si può
ritenere che la temperatura vari secondo una sinusoide di periodo 24 h e ampiezza a.
A questa tipologia di grandezze è associata una distribuzione ad U fra i valori -a e
+a. Si ricava una varianza per tale distribuzione data da:
a2
u ( x) 2 =
2
0.25
x [u.m.]
5
4
3
f
0.2
2
0.15
1
tempo [s]
0
-1 0
4
8
12
16
20
0.1
24
-2
0.05
-3
-4
x [u.m.]
0
-5
-5
-3
-1
1
3
5
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Incertezza di misura
Incertezza tipo composta
Si fa riferimento alla relazione
y = f ( x1 , x 2 ,..., x N )
L’incertezza tipo associata alla stima y del misurando Y è ottenibile
componendo opportunamente le incertezze tipo associate alle stime xi
delle quantità Xi. Tale incertezza è detta incertezza tipo composta e si
indica con uc(y). Tale incertezza è una stima della dispersione dei
valori che ragionevolmente possono essere attribuiti al misurando Y
attorno al valore di misura y.
Si possono considerare due casi: grandezze d’ingresso Xi
indipendenti oppure grandezze d’ingresso Xi interdipendenti o
correlate.
Incertezza di misura
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9
• CASO 1: quantità d’ingresso Xi indipendenti.
L’incertezza tipo composta uc(y) associata alla stima y di Y è la
radice quadrata della varianza composta uc(y)2, data da:
2
∂f 2
⋅ u ( xi )
u ( y ) = ∑
i =1 ∂xi
N
2
c
chiamata legge di propagazione dell’incertezza.
Nella relazione ciascuna u(xi) è un’incertezza tipo stimata per le
grandezze d’ingresso xi secondo valutazione di categoria A o di
categoria B.
La relazione è ottenuta semplicemente come sviluppo in serie di
Taylor troncato al primo ordine della funzione f; tale sviluppo è
operato in corrispondenza della N-upla costituita dalle stime (x1, x2,
…, xN) delle quantità d’ingresso Xi.
19
Incertezza di misura
Tale relazione vale dunque a rigore solo nel caso lineare; risulta
approssimata nei casi in cui f sia una funzione non lineare delle Xi.
Se la non linearità è significativa si ricorre all’utilizzo di una relazione ottenuta da
uno sviluppo in serie con termini di ordine superiore, riportata nella norma.
∂f
∂f
rappresentano le derivate parziali
calcolate in
∂xi
∂X i
corrispondenza delle stime xi, quindi in corrispondenza della n-upla
(x1, x2, …, xN). Tali termini vengono definiti coefficienti di sensibilità
e indicati con ci (possono anche essere determinati sperimentalmente
o numericamente).
I termini
La varianza stimata uc(y)2 è data dalla somma dei termini (ci⋅xi)2,
ognuno dei quali rappresenta il contributo di varianza dato su y dalla
varianza relativa ad ogni termine xi. Ciò si può tradurre
2
nell’equazione:
N
N
uc2 ( y ) = ∑ [ci ⋅ u ( xi )] = ∑ ui2 ( y )
i =1
Incertezza di misura
i =1
Contributo alla varianza di y
dovuto alla varianza sul
singolo ingresso xi.
20
10
• CASO 2: quantità d’ingresso Xi correlate.
Se le Xi quantità in ingresso hanno un grado di correlazione non
trascurabile, allora è necessario tenere conto delle covarianze,
attraverso l’applicazione della seguente espressione della legge di
propagazione dell’incertezza:
2
N N
N
N −1 N
∂f ∂f
⋅ u ( xi , x j ) = ∑ ∂f u 2 ( xi ) + 2∑ ∑ ∂f ∂f ⋅ u ( xi , x j )
uc2 ( y ) = ∑∑
i =1 j =1 ∂xi ∂x j
i =1 ∂xi
i =1 j = i +1 ∂xi ∂x j
Dove i termini u(xi,xj) rappresentano le covarianze fra le medie dei termini i e j.
Se si considerano due medie campionarie q e r che stimano le medie delle
popolazioni relative a due quantità m ed r rispettivamente, calcolate su n coppie di
misurazioni simultanee di q ed r, nelle stesse condizioni di misurazione, si ha:
u ( q, r ) = s ( q , r ) =
n
1
(qk − q )(rk − r )
∑
n(n − 1) k =1
21
Incertezza di misura
Incertezza estesa
• La norma indica che una volta valutata l’incertezza tipo composta
uc(y), si passi alla definizione di un intervallo che, ad un dato livello
di fiducia P, contenga i valori che ragionevolmente possono essere
attribuiti al misurando Y. Si deve cioè estendere il valore di
incertezza tipo ricavato in modo da determinare un intervallo
fiduciario al livello di fiducia P.
• In tal modo si definisce il valore dell’incertezza estesa U(y)
associata alla misura y assegnata al misurando Y.
• Vale la relazione U ( y ) = k ⋅ uc ( y )
• k è detto fattore di copertura e di norma deve assumere valori
compresi fra 2 e 3.
Incertezza di misura
22
11
In particolare:
• nel caso il misurando X venga misurato per osservazioni ripetute e
l’incertezza associata sia dunque considerata attraverso una
valutazione di categoria A, determinare l’incertezza estesa coincide
con definire un intervallo fiduciario per la media. In tal caso k
coincide con il valore della variabile t di Student assunto in
corrispondenza di n-1 gradi di libertà e di una probabilità 1-α/2 (dove
1-α è il livello di fiducia considerato);
• nel caso particolare di misura indiretta di un misurando Y,
dipendente da N quantità d’ingresso Xi, se la distribuzione di Y può
essere considerata normale, allora:
- k = 2 ⇒ il livello di probabilità è 95.45 %
- k = 3 ⇒ il livello di probabilità è 99.73 %
23
Incertezza di misura
Tuttavia, in generale, se si vuole stimare l’incertezza estesa associata
alla misura indiretta di una quantità Y dipendente da N quantità
d’ingresso Xi, si deve considerare, al fine di calcolare il fattore di
copertura k, la distribuzione t di Student, con un numero di gradi di
libertà opportuno ed il livello di probabilità scelto.
Il numero di gradi di libertà da considerarsi per Y è dato dalla
relazione di Welch-Satterthwaite, riportata nella GUM:
ν eff =
uc4 ( y )
N
ui4 ( y )
∑
i =1
νi
dove: υeff indica il numero di gradi di libertà effettivi da attribuire
alla distribuzione t per Y; υi indica il numero di gradi di libertà
associato a ciascun contributo Xi; ui(y) coincide con il prodotto
ci·u(xi); uc(y) è l’incertezza composta stimata per Y.
Incertezza di misura
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12
Nota sui gradi di libertà
• Per ogni contributo d’incertezza di categoria A il numero di gradi di libertà υi da
considerare è uguale al numero dei dati considerati n a cui va sottratto il numero di
vincoli considerati.Se ad esempio la stima della misura xi da assegnare alla quantità
Xi è ottenuta da un campione di n misure, si dovranno considerare n-1 gradi di
libertà (il vincolo è dato dalla stima, attraverso i dati del campione, della media
campionaria assegnata come misura).
• Per i contributi di categoria B si assegna un numero di gradi di libertà
(tipicamente 15, 30, 50, 100) in funzione del livello di credibilità che si può
attribuire alla fonte dei dati.
• Se è assegnato un valore di incertezza strumentale, nel caso in cui non siano
dichiarati livello di fiducia e gradi di libertà con cui tale valore è stato ottenuto, il
contributo d’incertezza si calcola come metà del valore di incertezza strumentale
dichiarato; nel computo dei gradi di libertà ci si comporta prudenzialmente
considerando 5 gradi di libertà. Questo modo di procedere è in favore di sicurezza,
ovvero porta a sovrastimare l’incertezza complessiva.
25
Incertezza di misura
Esempio di calcolo
Si consideri il caso della seguente misura indiretta di lunghezza.
L20 = LT [1 + α (20 − T )] (*)
• LT: valore assunto dalla lunghezza alla temperatura T;
• L20: valore assunto dalla lunghezza a 20°C;
• α: coefficiente di dilatazione termica del materiale.
Per quanto concerne la misura della lunghezza sono noti i seguenti dati:
• accuratezza: A = 8 µm (data come semiampiezza di una distribuzione rettangolare);
• ripetibilità: Rip = 5 µm (data come scarto tipo della media calcolato su 10 replicazioni)
• risoluzione: r = 4 µm.
• il valore di misura da assegnare a LT è stimato in 800 mm;
• coefficiente di dilatazione termica (da manuale) α = 2.50·10-6 °C-1;
• il valore di misura da assegnare alla temperatura è 25 °C ( si considera la temperatura
variabile sinusoidalmente sulle 24h con semiampiezza a=2.5°C).
Incertezza di misura
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13
Al fine di valutare la misura da assegnare ad L20 si deve procedere alla
determinazione di un valore di misura y e di una connessa incertezza estesa U(y),
dove y è il misurando (L20)
• Il valore di misura si ottiene dall’espressione di (*) L20, sostituendo gli opportuni
valori per LT, α, T. I valori sono forniti nell’elenco dei dati, si ha dunque:
L20 = LT [1 + α (20 − T )] = 800mm ⋅ [1 + 2.50·10-6°C -1 ⋅ (20 − 25)°C ] = 799.99mm
•Il calcolo dell’incertezza combinata associata al valore di misura di L20 e
dell’incertezza estesa viene svolto mediante tabella opportuna.
27
Incertezza di misura
Misura di lunghezza a 20°C
L20 = LT [1 + α (20 − T )]
Dati:
LT
α
T
800
2.50E-06
25
[mm]
[1/°C]
[°C]
y
799.99
[mm]
Variabile
Valore
LT
u.m.
8.00E+05 Accuratezza
[ µ m]
Riproducibil.
Risoluzione
2.50E-06 Da manuale
25 Oscillante
Note
Categoria
Derivate:
∂Y
= 1 + α (20 − T )
∂LT
∂Y
= LT (20 − T )
∂α
∂Y
= −αLT
∂T
[µm]
[µm]
[°C]
0.008
0.005
0.004
ampiezza
[mm]
[mm]
[mm]
ui2(y)=ci 2ui 2(x i)
Incertezza
Simbolo
α
T
[µm]
Accuratezza
8
Riproducibilità 5
Risoluzione
4
Variab. T
2.50
0.9999875
B
A
B
B
B
si
g.d.l.
ai
ui 2(x i)
ci
8.00E+00
2.13E+01
2.50E+01
1.33E+00
1.33E-16
3.13E+00
1.00E+00
1.00E+00
1.00E+00
-4.00E+06
-2.00E+00
5
2.00E+00
2.00E-08
2.50E+00
2.13E+01
2.50E+01
1.33E+00
2.13E-03
1.25E+01
uc 2(y)
60.16760834
uc (y)
g.d.l.
P
k
U(y)
7.756778219
40.28
95%
2.02
15.67702727
νi
30
9
30
100
30
sensibilità
ui4(y)/ν
νi
ui 2(y)/uc2(y)
1.52E+01
6.94E+01
5.93E-02
4.55E-08
5.21E+00
35.46%
41.55%
2.22%
0.00%
20.78%
somma 8.99E+01
[µm]
100%
40.00
[µm]
1.960%
-4000000
Incertezza di misura
-2
28
14
Note per il calcolo dell’incertezza
• Se viene fornito un valore di incertezza strumentale (ad esempio attraverso un
diagramma di taratura) per una dato strumento di misura mediante il quale si sia
assegnata la misura di una delle grandezze indipendenti Xi , dalle quali la misura
di Y dipende, si possono verificare diverse situazioni.
A - Viene assegnato un livello di fiducia (P=1-α) e viene assegnato il numero n di
osservazioni ripetute che sono state impiegate per valutare l’intervallo assegnato
come incertezza strumentale; in tal caso il fattore di copertura k è immediatamente
determinabile e coincide con il valore assunto dalla variabile si Student t con n-1
g.d.l. in corrispondenza di un livello di probabilità P (t1-α/2,n-1). Noto il valore k
dall’incertezza strumentale estesa si ricava il valore di scarto tipo si, che va trattato
come incertezza di categoria A, con assegnati n-1 g.d.l.
B - Viene assegnato il livello di fiducia P, ma non viene detto nulla riguardo al
numero di osservazioni effettuate. In tal caso si ricava il fattore di copertura k
ipotizzando una distribuzione normale in luogo di quella di Student. Si ricava
dunque lo scarto tipo si, che va trattato come incertezza di categoria A, con
assegnati 5 g.d.l. (per convenzione).
Incertezza di misura
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C - Non vengono assegnati né il valore di probabilità P né il numero di
osservazioni ripetute eseguite. Si procede come nel caso B, tuttavia per ricavare k
si divide il valore di incertezza estesa semplicemente per 2.
• Analogamente si procede per altre caratteristiche metrologiche assegnate:
ripetibilità, riproducibilità, stabilità.
• Per accuratezza, risoluzione, isteresi, errori di zero, ecc. si procede di norma con
valutazioni di categoria B.
Incertezza di misura
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Bibliografia
• G. Barbato, Misurare per decidere, Progetto Leonardo, Bologna
(Capitoli 8, 9, 10)
• UNI CEI ENV 13005, Guida all’espressione dell’incertezza di
misura
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