Interpolazione
Tecnica per determinare i valori assunti
Interpolazione
Spaziale
da una grandezza in punti intermedi tra
punti in cui tale grandezza è nota
V
?
(cenni)
P1
m.rumor
P3
Px
P4
P5
P6
Interpolazione spaziale
Interpolazione spaziale
Dato uno spazio dove sono
stati misurati in alcuni punti
i valori assunti da una
grandezza, l’interpolazione
spaziale è la tecnica che
consente di determinare i
valori nei punti dove non
sono stati misurati
P2
?
P4
P1
Px
P2
P5
P3
Interpolazione spaziale
Superficie statistica
Il risultato dell’interpolazione
Si rappresenta attraverso un
campionamento:
viene definita su di un
numero finito di punti o celle
spaziale è una superficie
S = f (x,y)
detta anche superficie
statistica, continua
o discreta
punti o celle sono distribuiti
• regolarmente
• irregolarmente
nel piano
1
superficie statistica
Metodi di
interpolazione
Metodi di Interpolazione spaziale
I metodi di interpolazione
si scelgono in funzione di:
Metodi di Interpolazione spaziale
Metodi puntuali
entità spaziali interessate: punti
• entità spaziali interessate
Metodi areali
• caratteristiche della variabile
entità spaziali interessate: aree
in esame
(non li trattiamo)
Metodi di Interpolazione spaziale
Interpolazione spaziale
Metodi esatti
Metodi esatti
onorano i dati noti
V
Metodi approssimati
non onorano i dati noti
P1
P2
P3
Px
P4
P5
P6
2
Interpolazione spaziale
Metodi approssimati
Metodi puntuali
• isolinee
V
• punto più vicino
• metodi lineari
P1
P2
P3
Px
P4
P5
P6
• metodi non lineari
metodo delle isolinee
Isolinee
metodo delle isolinee
Si tracciano linee che collegano
i punti aventi uguale valore
procedimento manuale
soggettivo
che richiede conoscenza della
Poligoni di
Thiessen
variabile
sistemi automatici
3
Metodo del punto più vicino
Si assegna a ciascun punto il valore
che la variabile assume nel punto
osservato più vicino
V
P1
P2
P3 Px1
P4Px2 P5
P6
Metodo del punto più vicino
nello spazio
si utilizza una suddivisione del
piano basata su poligoni aventi la
proprietà che tutti i punti interni
sono più vicini al punto osservato
interno che a tutti gli altri punti
osservati
Poligoni di Thiessen o di
Voronoi
poligoni di Thiessen
Triangolazioni
Interpolazione lineare
Si attribuisce un valore proporzionale
alla distanza fra due punti osservati
V
Interpolazione lineare
Nello spazio
si usa una opportuna suddivisione
del piano detta triangolazione
TIN Triangulated Irregular Network
per tre punti passa un solo piano:
P1
P2
P3
Px1 P4
P5
P6
il piano interpolante
4
Triangulated Irregular Network
Triangulated Irregular Network
Triangulated Irregular Network
Triangulated Irregular Network
Triangolazione di Delaunay
dato un insieme N di punti sul
piano e T una triangolazione,
Se la condizione è soddisfatta
da tutti i triangoli t∈T la
triangolazione è detta di
Delaunay
t∈T è un triangolo di Delaunay
se soddisfa la condizione che il
perché si usa questa triangolazione?
cerchio circoscritto non
genera triangoli il più equiangoli
possibile
contiene altri punti di N
Interpolazione non lineare
• tecniche pesate
Interpolazione
non lineare
• superfici di trend
• kriging
5
tecniche pesate
interpolatori a media mobile
il valore in ogni punto è
funzione dei valori in un intorno
• determinazione dell’intorno
• determinazione della funzione
P2
d2
d1
si applica:
d3
Px
• in casi di funzioni con significativa
P3
P1
variabilità locale
• dove i valori osservati sono soggetti
ad errori
interpolatore a media mobile
interpolatore a media mobile
4
2
6
5
13
2
10
11
10
13
2
5
IDW
Inverse Distance Weighting
4
6
5
11
4
9
Vpx= Σ( Vi/di ) / Σ( 1/di )
si può variare il peso della distanza
si può scegliere l’intervallo in cui
includere i punti i
13
Superfici di trend
superficie che non tiene
Superfici di trend
conto di irregolarità locali
descrive l’andamento
generale del fenomeno
6
trend o andamento
Superfici di trend
si rappresenta attraverso
polinomi di grado n
la scelta del grado dipende
dalle caratteristiche del
fenomeno in esame
V
P1
P2
P4
P3
P5
P6
qualsiasi sezione di una
superficie di grado n non può
avere al massimo n-1 minimi e
massimi alternati
D
7
