Programma di
Elementi di Matematica Computazionale (L-35)
Computational Mathematics(L-31)
Analisi Numerica (L-31)
A.A. 20016/2017
Docente: Nadaniela Egidi
Errori e numeri di macchina. Dal problema in natura al modello matematico, le fasi di risoluzione
di problema in natura. Origine degli errori, errori assoluti e relativi, errore di troncamento ed errore
di propagazione. Problemi matematicamente stabili e problemi numericamente stabili. Numero di
condizionamento di un problema. Rappresentazione dei numeri in una base : rappresentazione
posizionale, rappresentazione posizionale normalizzata e forme polinomiali corrispondenti. Metodo
delle suddivisioni successive e metodo delle moltiplicazioni successive. Rappresentazione degli
interi: rappresentazione in modulo e segno; rappresentazione in complemento ad uno;
rappresentazione in complemento a due, range ed errori di overflow. Rappresentazione dei numeri
reali, i numeri floating-point ed i numeri macchina, operazioni di macchina, l’errore di macchina.
Errori di overflow, di underflow, di approssimazione, di abbreviazione, di incolonnamento e di
cancellazione. Effetto e propagazione degli errori.
Le matrici. L’ordine di una matrice, la matrice trasposta. Le matrici: diagonali, triangolari inferiore
e superiore, simmetriche, definite positive. Il determinate di una matrice. La regola di Laplace per il
calcolo del determinante. La norma vettoriale e la norma matriciale, norme matriciali compatibili
con norme vettoriali e norme matriciali naturali. Le p-norme vettoriali e matriciali.
Sistemi lineari. La regola di Cramer per la risoluzione dei sistemi lineari. I metodi diretti: il metodo
delle sostituzioni all'indietro, il metodo delle sostituzioni in avanti, il metodo di eliminazione di
Gauss, complessità e spazio in memoria. Le tecniche di pivoting parziale e totale nel metodo di
eliminazione di Gauss. Fattorizzazione LU ottenuta tramite il procedimento di eliminazione di
Gauss. L’inversione di matrici. Fattorizzazione di Crout, il metodo di Doolittle e di Cholesky.
Analisi della stabilità della soluzione di un sistema lineare e numero di condizionamento di una
matrice. I metodi iterativi: il metodo di Jacobi, il metodo di Gauss-Seidel, metodo della matrice di
splitting, il metodo del rilassamento (SOR) il metodo del precondizionamento. I test d’arresto per i
metodi iterativi.
Equazioni non lineari. Il problema della ricerca degli zeri di funzioni reali scalari o vettoriali.
L’ordine di convergenza di un metodo. Il metodo di bisezione. Il metodo delle secanti, il metodo
delle corde, il metodo di Newton. Il teorema di convergenza del metodo di Newton. Cenni nel caso
di sistemi non lineari. Il metodo delle iterazioni del punto fisso e il relativo teorema di convergenza.
Test d’arresto: controllo del residuo e controllo dell’incremento. Equazioni algebriche: la regola di
Cartesio, il teorema di Cauchy, il metodo di Horner, il metodo di Newton per equazioni polinomiali.
Approssimazione Polinomiale. Interpolazione di Lagrange e l’errore di interpolazione. Il
controesempio di Runge. Interpolazione di Hermite e l’errore di interpolazione. L’interpolazione di
Lagrange composita e stima dell’errore. L’interpolazione di Hermite composita e le splines cubiche.
Polinomio interpolante sotto forma di differenze finite di Newton. Costruzione delle differenze
divise di Newton e delle differenze finite in avanti, all’indietro e centrali.
Testi di riferimento:
Kendall E. Atkinson, “An introduction to numerical analysis”, John Wiley & Sons, New
York (1978)
Alfio Quarteroni, “Elementi di Calcolo Numerico”, Progetto Leonardo, Bologna, (1997)
