ESERCITAZIONI di MICROECONOMIA (A

ESERCITAZIONI di MICROECONOMIA
(A-K) a.a. 2008/2009
M. Bonacina - Università degli Studi di Pavia
[email protected]
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LA TEORIA DELLE SCELTE DEL CONSUMATORE: Soluzioni
ESERCIZIO 1. (A) Assumendo che il prezzo del bene X sia Px , il prezzo del
bene Y sia Py ed il reddito sia I, si espliciti e si rappresenti graficamente il vincolo
di bilancio di un consumatore rappresentativo. (B) Supponendo che le preferenze
del consumatore rappresentativo siano siuntetizzate dalla curva di utilità U(X,Y) si
individui il paniere di equilibrio del consumatore rappresentativo. (C) Utilizzando
la scomposizione relativa all’effetto di reddito e all’effetto di sostituzione illustrate
graficamente il caso di un bene normale e quello di un bene inferiore.
ESERCIZIO 1. Svolgimento. (A) Se Px e Py sono i prezzi dei due beni a
disposizione ed I è il reddito del consumatore, il suo vincolo di bilancio risulta
x
I = Px X + Py Y da cui Y = − P
Py X +
I
Py
e graficamente
Y
I/Py
Pendenza: - Px /Py
Intercetta verticale: 0; I/Py
Intercetta orizzontale: I/Px; 0
I/Px X
(B) Indichiamo con X∗ e Y∗ il consumo di equilibrio di beni, graficamente tale
equilibrio è
Y
I/Py
Y*
U1
X*
1
I/Px X
Si noti che in corrispondenza di X∗ e Y∗ , sono verificate due condizioni: 1) il consumatore spende tutto il reddito a sua disposizione (siamo lungo il vincolo di bilancio); 2)
la curva di indifferenza (U1 ) ed il vincolo di bilancio sono tangenti.
(C) Un bene che a fronte di un incremento del reddito viene consumato in maggiore quantità è chiamato bene normale, mentre un bene che a fronte di un incremento
del reddito viene consumato in minor quantità è chiamato bene inferiore. Consideriamo l’effetto di una variazione del prezzo del bene X sul consumo del bene X stesso;
in particolare assumiamo che il prezzodel bene X aumenti fino a Px0 con Px0 > Px .
L’aumento di prezzo modifica il vincolo di bilancio del consumatore considerato (si
riducono i panieri accessibili). Il nuovo vincolo di bilancio è
P0
I = Px0 X + Py Y da cui Y = − Pxy X +
I
Py
con
Px0
Py
>
Px
Py
.
La pendenza del nuovo vincolo di bilancio, (-Px0 /Py ), è maggiore della pendenza del
vincolo di bilancio al punto (A). L’intercetta verticale del nuovo vincolo di bilancio
è (0; I/Py ) ed è la stessa del vincolo al punto (A). L’intercetta orizzontale del nuovo
vincolo è (I/Px0 ;0) e differisce da quella del vincolo originario (I/Px ;0). Definiamo
X∗∗ e Y∗∗ i livelli di consumo di bene X e Y in corrispondenza dei prezzi Px0 e Py .
Supponiamo che nuovo e vecchio equilibrio siano rappresentabili come nel grafico
sottostante
Y
Nuovo equilibrio
Equilibrio iniziale
I/Py
Y*
Y**
A
U1
C
X** X*
I/Px X
Come per l’equilibrio iniziale, anche nell’equilibrio finale valgono le due condizioni
individuate inizialmente: 1) tutto il reddito disponibile viene speso; 2) nuovo vincolo
di bilancio e curva di indifferenza sono tangenti. Lo spostamento da X∗ ad X∗∗ (e
quindi lo spostamento da A a C nel grafico sopra) è determinato da due effetti: un
effetto di reddito (ER) ed un effetto di sostituzione (ES). Per capire se il bene X
è un bene normale e/o inferiore è necessario scomporre i due effetti. L’effetto di
sostituzione ci dice come varia il consumo di bene X come conseguenza della variazione del prezzo relativo dei due beni. Indipendentemente dal fatto che il bene X
sia un bene normale e/o inferiore, essendo aumentato il suo prezzo, per effetto di
sostituzione il consumo del bene X si ridurrà. Il bene X è diventato relativamente
più caro del bene Y quindi il consumatore sostituirà parte del consumo di bene X
con un maggior consumo di bene Y. Nei grafici sottostanti l’effetto di sostituzione è
misurato dallo spostamento da A a B. L’effetto di reddito ci dice invece come varia
il consumo del bene al variare del reddito reale del consumatore. Nel nostro caso
l’aumento del prezzo del bene X riduce il reddito reale del consumatore. L’effetto di
reddito nei grafici sottostanti è misurato dallo spostamento da B a C. X è un bene
normale se a fronte della riduzione di reddito reale il consumo di X si riduce e quindi
se nello spostamento da B a C il consumo di bene X si contrae (in questo caso, come
indicato nel grafico, ES ed ER vanno nella stessa direzione). X è un bene inferiore
se a fronte della riduzione di reddito reale il consumo di X aumenta e quindi se nello
spostamento da B a C il consumo di bene X aumenta (in questo caso, come indicato
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nel grafico, ES ed ER vanno in direzioni opposte).
X è un bene normale
X è un bene inferiore
Y
Y
I/Py
I/Py
B
B
A
A
C
C
X*
I/Px X
X*
ES
I/Px X
ES
ER
ER
ESERCIZIO 2. (A) Si rappresentino le curve di utilità nel caso di beni (X,Y)
perfetti complementi. (B) Assumendo che il prezzo del bene X sia Px , il prezzo del
bene Y sia Py ed il reddito sia I, si espliciti e si rappresenti graficamente il vincolo
di bilancio di un consumatore rappresentativo. (C) Utilizzando la scomposizione tra
effetto di reddito ed effetto di sostituzione, si mostri che l’effetto della diminuzione
del prezzo del bene X è pari al solo effetto di reddito.
ESERCIZIO 2. Svolgimento. (A) Nel caso di beni perfetti complementi le curve
di indifferenza di un consumatore rappresentativo sono del tipo
U (X, Y ) = min {αX; βY } ;
assumendo che i beni vengano consumati in quota fissa 1:1 la funzione si semplifica
ulteriormente e diventa (α = β = 1)
U (X, Y ) = min {X; Y } .
Graficamente le curve di indifferenza sono rappresentabili come segue
Y
U3
U2
U1
Π/4
X
(B) Assumendo che il prezzo del bene X sia Px , il prezzo del bene Y sia Py ed il
reddito sia I, il vincolo di bilancio del consumatore è
x
I = Px X + Py Y da cui Y = − P
Py X +
e graficamente
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I
Py
Y
I/Py
Pendenza: - Px /Py
Intercetta verticale: 0; I/Py
Intercetta orizzontale: I/Px; 0
I/Px X
(C) Date le preferenze del consumatore e il vincolo di bilancio, indichiamo con
X∗ e Y∗ il consumo di equilibrio di beni, graficamente
Y
Ottimo
iniziale
I/Py
Y*
X*
I/Px X
Supponiamo quindi che si verifichi una riduzione del prezzo del bene X fino al livello
Px0 con Px0 < Px . La contrazione di prezzo modifica il vincolo di bilancio del consumatore considerato (aumentano i panieri accessibili). Il nuovo vincolo di bilancio
è
P0
P0
x
.
I = Px0 X + Py Y da cui Y = − Pxy X + PIy con Pxy < P
Py
La pendenza del nuovo vincolo di bilancio, (-Px0 /Py ), è minore della pendenza del
vincolo di bilancio al punto (B). L’intercetta verticale del nuovo vincolo di bilancio
è (0; I/Py ) ed è la stessa del vincolo al punto (A). L’intercetta orizzontale del nuovo
vincolo è (I/Px0 ;0) e differisce da quella del vincolo originario (I/Px ;0). Definiamo
X∗∗ e Y∗∗ i livelli di consumo di bene X e Y in corrispondenza dei prezzi Px0 e Py .
Supponiamo che nuovo e vecchio equilibrio siano rappresentabili come nel grafico
sottostante (le curve tratteggiate si riferiscono al nuovo equilibrio)
Y
Equilibrio
finale
I/Py
Y**
Y*
Equilibrio
iniziale
X* X** I/Px
X
Scomponendo lo spostamento dall’equilibrio iniziale in effetto di reddito (ER) ed
effetto di sostituzione (ES) è possibile evidenziare quanto segue. Essendo X ed Y
perfetti complementi, la variazione maggiore convenienza relativa del bene X rispetto
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la bene Y non induce il consumatore ad aumentare il consumo di bene X: l’effetto
di sostituzione è nullo. Lo spostamento dall’equilibrio iniziale all’equilibrio finale è
dovuto esclusivamente ad effetto di reddito (grafico sottostante)
Y
Equilibrio
finale
I/Py
Equilibrio
iniziale
X* X**
I/Px
X
ER
ESERCIZIO 3. Con riferimento al modello delle scelte del consumatore, si dimostri graficamente la seguente affermazione (assenza di illusione monetaria): “Un
aumento proporzionale di tutti i prezzi dei beni di consumo accompagnato da un
corrispondente aumento del reddito spendibile non modifica le scelte di un decisore
razionale”.
ESERCIZIO 3. Svolgimento. Definiamo X∗ e Y∗ i livelli di consumo di bene X
e Y in corrispondenza dei prezzi Px e Py per un consumatore dotato di reddito I e
con preferenze sintetizzate dalle funzione di utilità U(X,Y). Il vincolo di bilancio del
consumatore è
I
x
I = Px X + Py Y da cui Y = − P
Py X + Py .
Consideriamo quindi un aumento proporzionale del prezzo dei due beni di consumo
accompagnato da un aumento corrispondente del reddito spendibile; in particolare
supponiamo che il nuovo prezzo del bene X sia
Px0 = (1 + i)Px > Px ,
che il nuovo prezzo del bene Y sia
Py0 = (1 + i)Py > Py ,
e che il nuovo reddito sia
I 0 = (1 + i)I > I
essendo i > 0. Il nuovo vincolo di bilancio è
I 0 = Px0 X + Py0 Y .
da cui, ricordando la relazione tra variabili vecchie e nuove
(1 + i)I = (1 + i)Px X + (1 + i)Py Y.
Raccogliendo (1+i) nel termine a destra dell’equazione si ottiene
(1 + i)I = (1 + i) [Px X + Py Y ]
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e semplificandoI = Px X + Py Y che altro non è se non il vincolo di bilancio iniziale.
Dal momento che le preferenze del consumatore non sono cambiate ed il vincolo
di bilancio è il medesimo, ed essendo X∗ e Y∗ la migliore combinazione di X e Y
date le preferenze ed il reddito del consumatore, le scelte del decisore razionale non si
modificano per effetto dell’aumento proporzionale di tutti i prezzi dei beni di consumo
se questo è accompagnato da un aumnto corrispondente del reddito spendibile.
ESERCIZIO 4. Si consideri il seguente modello di consumo intertemporale. Si
consideri un consumatore che vive due periodi. Sia 0 il primo periodo ed 1 il secondo
periodo. Nel periodo 0 il consumatore ottiene un reddito I che può essere destinato
al consumo oggi, C0 , o risparmiato per garantire un consumo domani, C1 . Nel
secondo periodo il consumatore non ottiene reddito. Il risparmio viene remunerato
al tasso di interesse i (i>0). (A) Si specifichi il vincolo di bilancio intertemporale
e se ne fornisca una rappresentazione grafica. (B) Si rappresenti un equilibrio. Il
consumatore è risparmiatore o mutuatario? (C) Si illustri l’effetto di una riduzione
del tasso d’interesse sul risparmio del consumatore considerato.
ESERCIZIO 4. Svolgimento. (A) Trattandosi di un problema di scelta intertemporale, è necessaria l’attualizzazione delle variabili. Il valore del reddito al
periodo 0 è I. Il valore del consumo al periodo 0 è C0 +C1 /(1 + i); quindi il vincolo
di bilancio intertemporale del consumatore è
I = C0 +
C1
1+i
ovvero C1 = (1 + i)(I − C0 )
Si noti che il vincolo di bilancio intertemporale ha pendenza -(1+i); intercetta verticale (0;(1+i)I) ed intercetta orizzontale (I;0). Graficamente
C1
I x (1+i)
I
C0
(B) Un possibile equilibrio, C∗0 e C∗1 , è rappresentato nel grafico sottostante
C1
I x (1+i)
Ottimo
iniziale
C1*
C0 * I
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C0
Il consumatore è un risparmiatore: per permettersi un livello di consumo positivo
domani deve rinunciare a spendere parte del reddito disponibile oggi (C∗0 < I). Il
risparmio è I-C∗0 , viene reminerato al tassi di interesse i e consente un consumo
domani C1∗ = (1 + i) × (I − C0∗ ).
(C) Supponiamo che si verifichi una contrazione del tasso di interesse dal livello
iniziale fino a i0 con i0 < i. Il nuovo vincolo di bilancio intertemporale è
I = C0 +
C1
1+i0
ovvero C1 = (1 + i0 )(I − C0 )
e si caratterizza per una pendenza -(1+i’) inferiore a quella del vincolo iniziale, per
un’intercetta orizzontale analoga a quella del vincolo iniziale e per un’intercetta verticale (0;I(1+i’)) inferiore a quella iniziale. La riduzione del tasso di interesse, essendo
il consumatore un risparmiatore, riduce il suo reddito reale. Graficamente
C1
I x (1+i)
I x (1+i’)
I
C0
Dal momento che il risparmio è I − C0∗ , chiedersi che effetto ha una riduzione del
tasso di interesse sul risparmio delle famiglie equivale a chiedersi che effetto ha una
riduzione del tasso di interesse sul consumo oggi (il reddito è dato). In particolare. Un
aumento del consumo oggi rispetto al livello iniziale corrisponde ad una contrazione
del risparmio, mentre una contrazione del consumo oggi rispetto al livello iniziale
corrisponde ad un aumento del risparmio. L’effetto è incerto; infatti la contrazione
del tasso di interesse, rende il consumo oggi relativamente meno caro. Per effetto di
sostituzione (ES) il consumo oggi aumenta ed il risparmio si riduce. Ma essendo il
nostro individuo un risparmiatore, la contrazione del tasso di interesse comporta una
contrazione del reddito reale. Essendo il consumo oggi un bene normale, ne consegue
una diminuzione del consumo oggi (e dunque un aumento del risparmio) per effetto
di reddito (ER). Se il primo effetto prevale sul secondo, il consumo oggi aumenta
ed il risparmio diminuisce (grafico sottostante a sinistra); in caso contrario si avrà
un aumento del risparmio ed una contrazione del consumo (grafico sottostante a destra). Nei grafici sottostant l’effetto di sostituzione è misurato come spostamento
dall’equilibrio iniziale, A, a B, mentre l’effetto di reddito è lo spostamento da B a C.
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Il consumo oggi si riduce ed il
risparmio aumenta
Il consumo oggi aumenta ed il
risparmio si riduce
C1
C1
I x (1+i)
I x (1+i)
I x (1+i’)
I x (1+i’)
A
A
C
B
B
C
I
ES
C0
I
ES
C0
ER
ER
ESERCIZIO 5. Si consideri il seguente modello di consumo intertemporale. Si
consideri un consumatore che vive due periodi. Sia 0 il primo periodo ed 1 il secondo periodo. Nel periodo 0 il consumatore ottiene un reddito I0 mentre nel secondo
perioodo riceve un reddito I1 . Siano C0 e C1 il consumo oggi e domani. Sia i (i>0)
il tasso di interesse al quale il consumatore può dare e prendere a prestito. (A) Si
specifichi il vincolo di bilancio intertemporale e se ne fornisca una rappresentazione
grafica. (B) Si rappresenti l’equilibrio assumendo che il consumatore considerato si
caratterizzi per un livello di consumo corrente superiore al reddito corrente (il consumatore è mutuatario). (C) Si illustri l’effetto di una riduzione del tasso d’interesse
sul risparmio del consumatore considerato.
ESERCIZIO 5. Svolgimento. (A) Trattandosi di un problema di scelta intertemporale, è necessaria l’attualizzazione delle variabili. Il valore attuale del reddito al periodo I0 +I1 /(1 + i); in maniera analoga il valore attuale del consumo
C0 +C1 /(1 + i); quindi il vincolo di bilancio intertemporale del consumatore è
I0 +
I1
1+i
= C0 +
C1
1+i
ovvero C1 = I1 + (1 + i)(I0 − C0 )
Si noti che il vincolo di bilancio intertemporale ha pendenza -(1+i); intercetta verticale (0;I1 + (1 + i)(I0 )) ed intercetta orizzontale (I0 + I1 /(1 + i);0). Graficamente
C1
I1+I0(1+i)
I1
I0
I0+I1/(1+i)
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C0
(B) Per ipotesi il consumatore è mutuatario quindi inizialmente il suo livello di
consumo è C∗0 > I0 . Un possibile equilibrio è rappresentato nel grafico sottostante
C1
I1+I0(1+i)
Ottimo
iniziale
I1
C1 *
I0 C0* I0+I1/(1+i)
C0
(C) Supponiamo che si verifichi una contrazione del tasso di interesse dal livello
iniziale fino a i0 con i0 < i. Il nuovo vincolo di bilancio intertemporale è
C1 = I1 + (1 + i0 )(I0 − C0 )
e si caratterizza per una pendenza -(1+i’) inferiore a quella del vincolo iniziale, per
un’intercetta orizzontale (I0 + I1 /(1 + i0 );0) superiore a quella del vincolo iniziale e
per un’intercetta verticale (0;I1 + (1 + i0 )(I0 )) inferiore a quella iniziale. La riduzione
del tasso di interesse, ha un effetto diverso su risparmiatori e mutuatari: aumenta il
reddito reale dei mutuatari e conttrae quello dei risparmiatori, graficamente
C1
I1+I0(1+i)
I1+I0(1+i’)
I1
I0
C0
Dal momento che il risparmio è I0 − C0∗ , chiedersi che effetto ha una riduzione del
tasso di interesse sul risparmio delle famiglie equivale a chiedersi che effetto ha una
riduzione del tasso di interesse sul consumo oggi (il reddito, I0 , è dato). In particolare. Un aumento del consumo oggi rispetto al livello iniziale, C∗0 , corrisponde ad una
contrazione del risparmio, mentre una contrazione del consumo oggi rispetto al livello
iniziale corrisponde ad un aumento del risparmio. Essendo il consumatore un mutuatario, l’effetto della contrazione del tasso di interesse è non ambiguo: il consumo oggi
aumenta ed il risparmio si riduce (ricordando che il consumatore è già mutuatarrio,
il livello di indebitamento del nostro consumatore aumenta ulteriormente).
La contrazione del tasso di interesse, rende il consumo oggi relativamente meno
caro del consumo domani. Per effetto di sostituzione (ES) il consumo oggi aumenta
ed il risparmio si riduce (l’indebitamento aumenta). Essendo poi il nostro individuo
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un mutuatario, la contrazione del tasso di interesse comporta un aumento del reddito
reale (l’interesse sul debito è inferiore). Essendo il consumo oggi un bene normale, ne
consegue un aumento del consumo oggi (e dunque un aumento dell’indebitamento)
per effetto di reddito (ER). Nel grafico sottostante l’effetto di sostituzione è misurato come spostamento dall’equilibrio iniziale, A, a B, mentre l’effetto di reddito è
lo spostamento da B a C.
C1
I1+I0(1+i)
I1
A
B
I0 C0*
ES
ER
10
C
C0