A.A. 2013/2014
Corso di studio Triennale in Matematica
Algebra 2
Codice SCC0053
Valerio Monti
CFU
SSD
Lezioni
Esercitazioni
Laboratorio
(ore)
(ore)
(ore)
8
MAT/
02
48
24
-
[inserire voce: es. attività
di campo; seminari;
uscite;…]
(ore)
Anno
2
Lingua
Italiano
Obiettivi dell’insegnamento e risultati di apprendimento attesi
Conoscenza dei principali risultati nell'ambito della teoria degli anelli e della teoria dei
moduli.
Prerequisiti
Contenuti del corso di algebra 1: teoria degli insiemi, teoria dei gruppi.
Contenuti e programma del corso
Anelli. Definizione di anello. Zero-divisori. Elementi invertibili. Anelli interi,
domini di integrità, corpi, campi. Quaternioni.
Sottoanelli, omomorfismi di anelli. Campo dei quozienti di un dominio.
Teoremi di isomorfismo per anelli. Ideali e anelli quoziente.
Caratteristica di un anello. Campo minimo.
Anello dei polinomi a coefficienti in un anello. Anello delle serie di potenze
formali.
Proprietà universale dell'anello dei polinomi. Polinomi in più variabili.
Divisibilità in domini di integrità. Elementi associati.
Elementi irriducibili e primi. Domini a fattorizzazione unica e loro
caratterizzazione.
Massimo comun divisore e minimo comune multiplo.
Domini euclidei. Algoritmo di Euclide. Divisione di polinomi. Zeri di polinomi.
Fattorizzazione di polinomi. Lemma di Gauss. Teorema: l'anello dei polinomi a
coefficienti in un UFD è un UFD
Fattorizzazione di polinomi.
Estensioni di campi. Elementi algebrici. Polinomio minimo
Elementi algebrici e trascendenti. Radice n-esime dell'unità.
Campi finiti.
Moduli. Anello degli endomorfismi di un gruppo abeliano. Moduli sinistri e
destri su un anello. Anello opposto. Ideali destri e sinistri. Sottomoduli.
Omomorfismi di moduli. Prodotto diretto di moduli. Moduli indipendenti.
Elementi linearmente indipendenti. Sottomodulo generato da elementi di un
modulo. Moduli liberi su un anello. Basi. Annullatori di elementi e moduli.
Condizioni per la ciclicità di un modulo.
Domini a ideali principali (PID). Teorema di classificazione dei moduli
finitamente generati su un PID. Gruppi abeliani finitamente generati. Forma
canonica di Jordan.
Complementi di teoria dei gruppi. Sottogruppi di p-gruppi finiti. Teoremi di
Sylow. Prodotto semidiretto di gruppi.
Tipologia delle attività didattiche
Lezioni frontali ed esercitazioni
Testi e materiale didattico
Testo consigliato: P.M. Cohn, Classic Algebra, Wiley.
Esercizi corretti, temi d'esame e complementi di teoria liberamente scaricabili dal sito
del corso.
Modalità di verifica dell’apprendimento
Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore ed è solitamente composta da 3 o 4 esercizi
divisi in sottoquesiti. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in
trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è
richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio: il superamento dell'esame e il voto finale
(espresso in trentesimi) dipende dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello
scritto.
Orario di ricevimento
Il ricevimento avviene su appuntamento.
Calendario delle attività didattiche
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Appelli d'esame
Collegamento ipertestuale alla bacheca appelli
