PROGRAMMA DEFINITIVO
DI ELEMENTI DI ALGEBRA COMMUTATIVA 2003-2004
(Roberto Dvornicich)
- Richiami di teoria degli anelli commutativi; estensione e contrazione. Spettro
primo. Anello dei polinomi.
- Moduli, sottomoduli e quozienti; somma diretta e prodotto diretto; moduli liberi,
moduli finitamente generati, lemma di Nakayama e sue applicazioni. Moduli
finitamente generati su anelli locali. Definizione di moduli iniettivi e moduli
proiettivi.
- Localizzazione di anelli e di moduli. Ideali estesi e contratti negli anelli di frazioni.
Proprietà locali. Applicazioni.
- Moduli noetheriani e artiniani; serie di composizione, lunghezza di un modulo.
- Anelli noetheriani; teorema della base di Hilbert; teorema degli zeri di Hilbert.
- Decomposizione primaria: teoremi di esistenza e unicità; primi minimali e immersi; decomposizione primaria e localizzazione. Ideali monomiali di K[X1 , . . . , Xn ].
- Estensioni intere, chiusura integrale. Ideali primi nelle estensioni intere; teoremi del going-up e del going-down. Lemma di normalizzazione di Noether.
Dimensione di Krull di un anello.
- Anelli di valutazione e valutazioni. Estensione degli omomorfismi in un campo
algebricamente chiuso agli anelli di valutazione.
- Classificazione degli anelli artiniani.
Testi di riferimento:
M.F. Atiyah, I.G. Macdonald, Introduzione all’ algebra commutativa, Feltrinelli.
H. Matsumura, Commutative ring theory, Cambridge University Press.
