AREA 1: FUNZIONI E LIMITI

A REA
1:
FUNZIONI E LIMITI
INSIEMI NUMERICI E FUNZIONI
1
Per ricordare
H
H
Un insieme E si dice:
limitato superiormente se esiste un numero k, non necessariamente appartenente a E, che eÁ maggiore o uguale di tutti i suoi elementi; il piuÁ piccolo fra questi numeri k eÁ l'estremo superiore dell'insieme
(si indica con sup E ) che, se appartiene a E, eÁ anche il massimo di E
limitato inferiormente se esiste un numero h, non necessariamente appartenente a E, che eÁ minore o
uguale di tutti i suoi elementi; il piuÁ grande fra questi numeri h eÁ l'estremo inferiore dell'insieme (si
indica con inf E) che, se appartiene a E, eÁ anche il minimo di E.
Quando un insieme eÁ limitato sia superiormente che inferiormente, si dice semplicemente che eÁ limitato.
Quando un insieme non eÁ limitato superiormente si dice che sup E ˆ ‡1; quando non eÁ limitato inferiormente si dice che inf E ˆ 1.
Per esempio:
7
7
eÁ un insieme limitato ed eÁ inf A ˆ 3, sup A ˆ ; 3 eÁ anche il mini Aˆ x2Rj 3x<
2
2
7
non appartiene ad A.
mo perche appartiene ad A, mentre non esiste il massimo percheÁ
2
n
po
p
B ˆ x 2 R j x > 3 eÁ un insieme limitato a sinistra e illimitato a destra; allora inf B ˆ 3,
p
sup B ˆ ‡1; questo insieme non ha il minimo perche 3 non gli appartiene e ovviamente non
ha il massimo essendo illimitato superiormente.
L'insieme dei numeri reali che sono compresi fra altri due numeri a e b si chiama intervallo; se a e b
sono entrambi finiti l'intervallo si dice limitato, se uno dei due non eÁ finito l'intervallo si dice illimitato; in
particolare, la scrittura:
…a, b † indica un intervallo limitato aperto che rappresenta l'insieme degli x 2 R tali che a < x < b
‰a, b Š indica un intervallo limitato chiuso che rappresenta l'insieme degli x 2 R tali che a x b
…a, ‡ 1† indica un intervallo illimitato a destra, aperto a sinistra, che rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che x > a
…
1, b Š indica un intervallo illimitato a sinistra, chiuso a destra, che rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che x b
In pratica la parentesi tonda indica che l'estremo dell'intervallo non appartiene all'insieme, quella quadra indica che gli appartiene; sul simbolo di infinito si usa solo la parentesi tonda.
4
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
Per esempio:
… 5, 10Š eÁ un intervallo limitato, aperto a sinistra e chiuso a destra e rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che 5 < x 10
‰1, ‡ 1† eÁ un intervallo limitato e chiuso a sinistra, illimitato a destra e rappresenta l'insieme degli
x 2 R tali che x 1.
H
H
Si dice intorno di un punto x0 ogni intervallo aperto che contiene x0 al suo interno; intorno di ‡1 eÁ un
qualunque intervallo del tipo …a, ‡ 1†, intorno di 1 eÁ un qualunque intervallo del tipo … 1, b †,
intorno di infinito eÁ l'unione di un intorno di 1 con un intorno di ‡1.
Un punto x0 si dice di accumulazione per un insieme E se ogni intorno di x0 contiene infiniti punti di E.
Per esempio:
un qualunque numero reale a eÁ punto di accumulazione in R perche qualunque intorno di a contiene
infiniti numeri reali
un numero intero n non eÁ punto di accumulazione in Z percheÁ gli intorni di n non contengono infiniti
numeri interi (per esempio l'insieme degli interi compresi fra 5 e 20 eÁ un intorno di 10 ma contiene
solo un numero finito di interi).
Una funzione eÁ una corrispondenza univoca fra due insiemi A e B, eÁ cioeÁ una legge che ad ogni elemento x di A associa uno e uno solo elemento y di B; in questa corrispondenza x rappresenta la variabile indipendente, y la variabile dipendente.
Quando A e B sono insiemi numerici, questa legge si esprime di solito con un'equazione della forma
y ˆ f …x †, dove f …x † eÁ un'espressione nella variabile x, che esprime il legame fra gli elementi dei due
insiemi.
Per esempio, l'equazione y ˆ x 2 1 esprime il fatto che gli elementi y si ottengono da quelli x elevandoli al quadrato e sottraendo 1 al risultato.
L'elemento y 2 B che corrisponde ad un particolare x 2 A si dice immagine di x; viceversa, ogni elemento x 2 A che resta associato nella corrispondenza a un elemento y 2 B si dice controimmagine di
y. L'insieme delle controimmagini costituisce il dominio della funzione, l'insieme delle immagini ne eÁ il
codominio.
Quando eÁ nota la sua equazione y ˆ f …x †, il dominio della funzione f si determina chiedendosi quali
sono i valori che puoÁ assumere la variabile indipendente x. Per rispondere a questa domanda occorre
tenere presente che:
un polinomio ha sempre significato in R, quindi le funzioni polinomiali hanno come dominio R
una frazione esiste se il denominatore non eÁ nullo
una radice di indice pari esiste se il radicando eÁ positivo o nullo
una radice di indice dispari esiste sempre in R
un logaritmo di base assegnata esiste se il suo argomento eÁ positivo
di un logaritmo a base variabile occorre imporre che la base sia positiva e diversa da 1
le funzioni esponenziali a base fissa (e positiva) esistono se esiste l'esponente
delle funzioni esponenziali a base varabile occorre chiedere che la base sia positiva e che esista
l'esponente
le funzioni goniometriche sin x e cos x hanno significato per qualsiasi x 2 R, la funzione tan x ha
significato se x 6ˆ ‡ k; occorre poi ricordare che la funzione seno e la funzione coseno sono pe2
riodiche di periodo 2, mentre la funzione tangente eÁ periodica di periodo le funzioni arcsin x e arccos x devono avere un argomento compreso fra
funzione arctan x esiste per ogni x 2 R.
1 e 1 (estremi inclusi), la
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
H
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Se una funzione f …x † eÁ definita in un punto x0 e si verifica che:
f … x0 † f … x †
f … x0 † f … x †
per ogni x del dominio, allora si dice che x0 eÁ un punto di massimo assoluto e che
f …x0 † eÁ il massimo assoluto della funzione
per ogni x del dominio, allora si dice che x0 eÁ un punto di minimo assoluto e che
f …x0 † eÁ il minimo assoluto della funzione.
Una funzione f …x † eÁ:
monotoÁna crescente in un intervallo I se 8x1 , x2 2 I da x1 < x2
segue che f …x1 † < f …x2 †
Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeÁ se f …x1 † f …x2 †, allora la funzione eÁ monotoÁna non decrescente, cioeÁ in pratica cresce o tutt'al piuÁ si mantiene costante, ma non
decresce mai
monotoÁna decrescente in un intervallo I se 8x1 , x2 2 I da x1 < x2 segue che f …x1 † > f …x2 †
Se in quest'ultima relazione vale anche il segno di uguaglianza, cioeÁ se f …x1 † f …x2 †, allora la funzione eÁ monotoÁna non crescente, cioeÁ in pratica decresce o tutt'al piuÁ si mantiene costante, ma non
cresce mai.
pari se f … x † ˆ f …x †
dispari se f … x † ˆ
e allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all'asse y
f …x †
e allora il suo grafico presenta una simmetria rispetto all'origine
periodica di periodo k se f …x ‡ k † ˆ f …x † e allora il suo grafico si ripete ad ogni periodo.
E SERCIZI
Descrivi le caratteristiche degli insiemi soluzione delle seguenti disequazioni.
ESERCIZIO GUIDATO
1
jx2
1j > 8
Risolvendo la disequazione si ottiene l'insieme x < 3 _ x > 3; si tratta dell'unione dei
due intervalli … 1,
3† e …3, ‡ 1†.
Del primo intervallo si puoÁ dire che eÁ aperto, eÁ illimitato a sinistra e limitato a destra, l'estremo inferiore eÁ 1, l'estremo superiore eÁ 3, non possiede ne massimo ne minimo; del
secondo intervallo si puoÁ dire che eÁ aperto, limitato a sinistra e illimitato a destra, l'estremo
inferiore eÁ 3, l'estremo superiore eÁ ‡1, non possiede ne massimo ne minimo.
2 jx ‡ 1j ‡ j3x
p
3
8x 4 x
4 ln …2x2
5 sin x
5j > 1
x† < 0
cos x > 0
in ‰0, 2Š
Dei seguenti insiemi numerici individua gli eventuali punti di accumulazione.
6 A ˆ fx 2 Z j
10 < x < 15g
7 B ˆ fx 2 Q j
1 < x < 5g
5
6
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8 C ˆ fx 2 R j x ˆ 2n ‡ 3, n 2 Ng
9 D ˆ x 2 R j x ˆ 3 …n2 ‡ 1†, n 2 N
2
p
10 E ˆ x 2 R j x ˆ 2…k ‡ 1†, k 2 Q
Traccia il grafico delle seguenti funzioni f di cui sono assegnate le equazioni e stabilisci:
- qual eÁ il dominio
- qual eÁ il codominio e se la funzione eÁ limitata
- quali sono l'estremo superiore e l'estremo inferiore
- se la funzione possiede il massimo e il minimo assoluti.
(I risultati si trovano al termine dell'unitaÁ)
11 y ˆ 1 ‡ jx2 ‡ 2xj
(Suggerimento: analizzando il segno dell'argomento del modulo, la funzione ha la seguente
2
x ‡ 2x ‡ 1
x 2 _ x0
espressione: y ˆ
ed il grafico eÁ formato dagli archi di
2
x
2x ‡ 1
2<x<0
due parabole)
12 y ˆ j3x
1j ‡ x2
13 y ˆ 1
2x ‡ jxj
14 y ˆ j4
x2 j ‡ x
15 y ˆ jxj jx2 1j
p
16 y ˆ 9 x2
(Suggerimento: posto y 0, elevando al quadrato entrambi i membri dell'equazione ottieni una
semicirconferenza)
p
17 y ˆ 1 ‡ 4 x2
p
18 y ˆ x2 4
p
19 y ˆ 3 x
p
20 y ˆ 2
1 x2
p
21 y ˆ 5 x ‡ 1
p
22 y ˆ x2 1 2
p
23 y ˆ 2x x2 ‡ 1
24 y ˆ 2x 1
x
25 y ˆ 1 ‡4
2
26 y ˆ 3jxj ‡ 1
jx 1j
27 y ˆ 2
3
1 jxj
28 y ˆ 3
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
7
Costruisci il grafico di una funzione f …x† che soddisfi alle caratteristiche indicate.
29 Abbia come dominio l'insieme D ˆ ‰ 2, 4†, sia crescente in ‰ 2, 2† e tale che inf f ˆ
1.
30 Abbia come dominio l'insieme D ˆ … 1, 0†, sia sup f ˆ ‡1, sia limitata inferiormente con
minimo assoluto 2 in x ˆ 3.
31 Abbia come dominio l'insieme R f 1, 1g, sia limitata, abbia massimo assoluto 4 per x ˆ 2,
non abbia minimo assoluto e sia inf f ˆ 3.
32 Abbia come dominio l'insieme ‰2, 3†, sia sup f ˆ ‡1, abbia un punto di minimo assoluto uguale a zero in x ˆ 2.
33 Abbia come dominio l'insieme D ˆ … 1, 2† [ …5, ‡ 1†, sia decrescente nell'intervallo … 1, 2†
e crescente in …5, ‡ 1†.
34 Abbia come dominio l'insieme D ˆ … 1,
uguale a 2, sia inf f ˆ 1.
1† [ …1, ‡ 1†, sia pari, abbia massimo assoluto
Determina il dominio delle seguenti funzioni e rappresentalo nel piano cartesiano.
p
x

‰… 1, 3† [ … 3,
35 f …x† ˆ
x‡ p
3
x2 ‡ 4x ‡ 3
x 2
36 f …x† ˆ …x ‡ 2†

p
3
37 f …x† ˆ ln x3 ‡ x2
1† [ … 1, 0ŠŠ
‰… 2, ‡ 1†Š
p
x2 3
38 f …x† ˆ arccos …x2 ‡ x ‡ 1†
arcsin x
plnx
x‡2
x
‡
1
39 f …x† ˆ arctan
2 x
p
3, ‡ 1
‰‰ 1, 0ŠŠ
40 f …x† ˆ
q
log 12 ‰1 log2 …3 ‡ x†Š
41 f …x† ˆ log2 log 12 x
x
3
‰…0, 2†Š
‰… 2,
1†Š
‰…3, ‡ 1†Š
42 f …x† ˆ arctan ln …x3 1†
p 43 f …x† ˆ arccos 1
2x x2
‰…1, ‡ 1†Š
‰‰0, 2ŠŠ
Costruisci il grafico delle seguenti funzioni dopo averne determinato il dominio.
p
44 f …x† ˆ 2 ‡ x jx ‡ 1j
(Suggerimento: l'espressione della funzione puoÁ essere riscritta nella seguente forma:
1
x 1
3
, ‡ 1 ; il grafico eÁ composto da un
f …x† ˆ p
. Il dominio eÁ l'insieme
2
2x ‡ 3 x < 1
arco di parabola e dalla retta y ˆ 1)
p
45 f …x† ˆ 1 ‡ x j2x 5j
46 f …x† ˆ
1 j2x ‡ 3j
x2 2
x<0
x0
8
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
47
48
49
50
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
8
2x 1
x< 1
>
>
>
>
<x‡1
1x3
f …x† ˆ
x
>
>
>
>
: 1 x2 2x x > 3
2
(Suggerimento: nell'intervallo ‰ 1, 3Š la curva eÁ la funzione omografica di asintoti y ˆ 1 e x ˆ 0)
cos x x < 0
f …x† ˆ
tan x x 0
2sin x 1 x < 0
f …x† ˆ
2x2
x0
Determina il dominio della funzione f …x† ˆ ln x 1 e stabilisci in quali intervalli eÁ positiva.
x‡1
‰D ˆ fx 2 R j x <
1 _ x > 1g; positiva per x <
1Š

p q
4
51 Determina il dominio della funzione f …x† ˆ x2 9x ‡ 18 ‡ ln … x2 ‡ 9x 17† e stabilisci
se il suo grafico eÁ costituito da:
a. un numero illimitato di punti
b. un numero finito di punti
‰due punti: …3, 0†, …6, 0†Š
c. nessun punto.
q
1
‡ ln …x2 8† e stabilisci se il suo grafico
52 Determina il dominio della funzione f …x† ˆ p
9 x2
eÁ costituito da:
a. un numero illimitato di punti
b. un numero finito di punti
c. nessun punto.
‰nessun puntoŠ
r
2
53 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ sin x 1 e stabilisci se il suo grafico eÁ
cos x ‡ 1
costituito da:
a. un numero illimitato di punti
b. un numero finito di punti
h
n
o
i
D ˆ x 2 R j x ˆ ‡ k ; infiniti punti isolati
c. nessun punto.
2
s
p
2
4x  ; da quanti punti eÁ co54 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ p xp
x‡
x2 3x
stituito il grafico della funzione?
‰D ˆ 1; nessun puntoŠ
p
55 Determina il dominio della funzione di equazione y ˆ p3 ‡ ln …cos x† e indica qual eÁ la sua
x
caratteristica.
‰D ˆ fx 2 R j x ˆ 2k, k > 0gŠ
56 Sia D1 il dominio della funzione di equazione y ˆ ln …x 4† ‡ ln …x2 1† e D2 il dominio della
funzione di equazione y ˆ ln …x 4†…x2 1† ; si puoÁ dire che:
a. D1 ˆ D2
b. D1 D2
c. D1 D2
‰D1 : …4, ‡ 1†, D2 : … 1, 1† [ …4, 1†; b:Š
Motiva esaurientemente la risposta.
57 Confronta i domini delle funzioni f …x† ˆ x ln x e g…x† ˆ x ln jxj e stabilisci che relazione in
tercorre fra essi.
Df : …0, ‡ 1†; Dg : … 1, 0† [ …0, ‡ 1†
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
9
r
p
x 1 cos …ln x† nell'inter2
sin
x
1

ln …cos x† e g…x† ˆ 2psin
58 Date le funzioni f …x† ˆ
tan x
tan x
vallo ‰0, 2Š, che relazione esiste fra i loro domini?
h
h
D1 ˆ , [ 3 , 2 ; D2 ˆ , 6 2
2
6 2
p
p
59 Trova i domini delle funzioni f 1 …x† ˆ ln ‰arctan …x ‡ 1†Š, f 2 …x† ˆ ln arctan …x ‡ 1†,
p f 3 …x† ˆ ln arctan x ‡ 1 e descrivi la relazione che sussiste fra gli insiemi ottenuti.
h
h
D1 ˆ 4
60 Date le funzioni f …x† ˆ 2 1
x
1
f …x† ‡ g…x† ˆ f …x† ‡ g…x†.
61 Considerate le funzioni f …x† ˆ
cata la relazione f …x†
g…x† ˆ
e g…x† ˆ x2
i
1, ‡ 1 ; D2 ˆ D3 ˆ … 1, ‡ 1†
4, determina per quali valori di x si ha che
‰x 2x ‡ 6 e g…x† ˆ
1 f …x† g…x†.
2
x
1 < x < 1 _ x 2Š
2 _
x , calcola per quali valori di x eÁ verifi1
xˆ
62 Dopo aver determinato il dominio delle funzioni f …x† ˆ log3 … x† e g…x† ˆ log3 …9
la per quali valori di x eÁ verificata la relazione f …x† g…x† ˆ f …x† ‡ g…x†.
5
p 7
3
x†, calco‰x ˆ
1Š
1†ln x, dopo averne determinato dominio e sep
‰…0, 1† [ …1, ‡ 1†Š
gno, stabilisci qual eÁ il dominio della funzione h…x† ˆ f …x† g…x†.
x
a
1
64 Considerata la funzione f …x† ˆ
, stabilisci per quali valori del parametro reale a la
a
‰a < 0Š
funzione eÁ monotoÁna decrescente.
2
63 Date le funzioni f …x† ˆ 3x
1
e g…x† ˆ …x2
65 Stabilisci per quali valori del parametro reale a la funzione y ˆ log a ‡2a x eÁ monotoÁna decrea 1
‰ 2 < a < 0Š
scente.
x
66 Stabilisci per quali valori del parametro reale k le funzioni f …x† ˆ k ‡ 1
e g…x† ˆ log k2 1 x
p
k 1
sono entrambe monotoÁne decrescenti.
2<k<1
2
p p
67 Determina in quali intervalli sono identiche le funzioni f …x† ˆ x3 1 4x2 1 e
p
‰‰1, 1†Š
g…x† ˆ …x3 1†…4x2 1†.
x‡ x0
68 Date le funzioni f …x† ˆ sin x e g…x† ˆ
, definisci l'espressione della funzione
x<0
sin x x 0
h…x† ˆ
h…x† ˆ f …g…x†† e costruiscine il grafico.
0
x
1
69 Date le funzioni f …x† ˆ ln x e g…x† ˆ
h…x† ˆ f …g…x†† e costruiscine il grafico.
x>1
, definisci l'espressione della funzione
x<1
h…x† ˆ
70 Date le funzioni f …x† ˆ x2
1
1 e g…x† ˆ
ne h…x† ˆ f …g…x†† e costruiscine il grafico.
x 1
2x
x<0
ln …x
0
1†
x>1
x<1
x<1
, definisci l'espressione della funzio"
#
x1
2
h…x† ˆ
2x
x
4x2 1
x<1
x1
10
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
71 Date le funzioni f …x† ˆ ln x e g…x† ˆ
h…x† ˆ f …g…x†† e costruiscine il grafico.
8 x
e
>
>
<
cos
x
72 Date le funzioni f …x† ˆ
>
>
: p
x
della funzione g f …x† .
x‡2
x2
x0
0<x 3
2
3
x> 2
x0
, definisci l'espressione della funzione
x>0
ln …x ‡ 2†
2ln x
h…x† ˆ
e g…x† ˆ ln x
1
2
2<x0
x>0
determina il dominio
ln 2, [
3
3 , ‡ 1
2
73 Sia f …x† una funzione definita in D : …0, ‡ 1† tale che sia:
a. f …1† ˆ 0
b. f …ab† ˆ f …a† ‡ f …b† con a, b 2 D.
Dimostra che:
1. f a ˆ f …a†
b
2. f …an † ˆ nf …a†
f …b†
per n intero non nullo
3. f …a † ˆ n f …a† per n, m interi e m 6ˆ 0.
m
Dai un esempio di funzione f che soddisfa le condizioni a. e b.
n
m
74 Una funzione f : R ! R si dice convessa se per ogni coppia di punti x1 , x2 2 R e per ogni
2 ‰0, 1Š vale la seguente uguaglianza f ‰x1 ‡ …1 †x2 Š f …x1 † ‡ …1 †f …x2 †.
Dai un'interpretazione geometrica di tale disuguaglianza e dimostra che la funzione esponenziale
f …x† ˆ ex eÁ convessa.
Risultati di alcuni esercizi.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
44.
45.
46.
11
12
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
47.
48.
49.
68.
69.
70.
71.
2
A REA
1:
FUNZIONI E LIMITI
FUNZIONI E LIMITI
Per ricordare
H
Una funzione ha per limite un numero ` finito per x ! c (con c finito o infinito) se la disequazione
f …x † ` < " eÁ verificata in un intorno di c.
Una funzione ha per limite 1 per x ! c (con c finito o infinito) se la disequazione f …x † > M eÁ verificata in un intorno di c.
Se
lim f …x † ˆ `
e
x!c
lim g…x † ˆ ` 0
x!c
e
` e
`0
lim ‰ f …x † g…x †Š ˆ ` ` 0
lim ‰ f …x † g…x †Š ˆ ` ` 0
lim k f …x † ˆ k`
lim ‰ f …x †Š ˆ ` n
x!c
x!c
lim
x!c
H
sono due valori finiti, allora:
f …x †
`
ˆ 0
`
g …x †
x!c
n
con k 2 R
x!c
se ` 0 6ˆ 0
Nel calcolo di un limite si puoÁ giungere a quelle che si chiamano forme di indeterminazione che
sono:
1
…‡1† …‡1†
…‡1† ‡ … 1†
0 …1†
1
0
0
11
…1†
00
0
Per risolvere queste forme occorre tenere presenti queste regole:
il limite per x ! 1 di un polinomio eÁ uguale al limite del termine di grado massimo:
lim a0 x n ‡ a1 x n 1 ‡ :::: ‡ an 1 x ‡ an ˆ lim a0 x n
x!1
Per esempio:
x!1
lim …6x
x!‡1
lim …1
x!1
3
4x ‡ 3† ˆ lim 6x 3 ˆ ‡1
2
x!‡1
7x ‡ 3x † ˆ lim
4
x!1
7x 4 ˆ
1
il limite per x ! 1 del rapporto fra due polinomi eÁ uguale al limite del rapporto fra i termini di grado
massimo:
a0 x k ‡ ::::ak
a0 x k
ˆ
lim
lim
x!1 b0 x h ‡ ::::bh
x!1 b0 x h
14
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
e si ha che:
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
se k > h
il limite vale 1
se k ˆ h
il limite vale
se k < h
il limite vale 0
Per esempio:
a0
b0
lim
6x 3
6x
6
ˆ0
ˆ lim 2 ˆ lim
x!1 x
x!1 x
x2 ‡ 1
lim
3x 3 2
3x 3
3
ˆ
lim
ˆ
4x 3 ‡ x 6 x!1 4x 3
4
lim
x4 1
x4
x2
ˆ
lim
ˆ ‡1
ˆ
lim
2x 2 ‡ x x!1 2x 2 x!1 2
x!1
x!1
x!1
q q
se lim
A…x † B…x † si presenta nella forma 1 1, si moltiplica e si divide per
x!1
p p
A…x † B…x † e si calcola il limite della funzione che si ottiene.
Per esempio:
p
x‡1
lim
p
x ‡ 1 2x 5
x 4
2x ‡ 5 ˆ lim p p ˆ lim p p ˆ
x!‡1
x ‡ 1 ‡ 2x ‡ 5 x!‡1 x ‡ 1 ‡ 2x ‡ 5
x!‡1
se lim
x!c
A…x †
0
si presenta nella forma , semplificando la frazione si riesce di solito ad eliminare la
0
B…x †
causa dell'indeterminazione.
Per esempio:
H
lim
x!2
x2
3x
2
… x 2† … x ‡ 2 †
4
x‡2
4
ˆ
ˆ lim
ˆ lim
x!2
x!2
…x 2†…3x ‡ 1†
3x ‡ 1
7
5x 2
Valgono i seguenti limiti notevoli:
sin x
ˆ1
lim
x!0
x
1
1‡
x
lim
x!1
x
ˆe
dai quali si ricavano anche i seguenti:
lim
x!0
lim
tan x
ˆ1
x
1
x!0
lim
x!0
lim
x!0
1
lim
x!0
cos x
1
ˆ
x2
2
loga …x ‡ 1†
1
ˆ loga e ˆ
x
ln a
ax
1
x
…1 ‡ x †
lim
x!0
x
ˆ ln a
k
1
ˆk
1
cos x
ˆ0
x
1
lim …1 ‡ x † x ˆ e
x!0
in particolare
in particolare
lim
x!0
lim
x!0
ln …x ‡ 1†
ˆ1
x
ex
1
x
ˆ1
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
H
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Una funzione f …x † possiede:
un asintoto orizzontale di equazione y ˆ ` se:
un asintoto verticale di equazione x ˆ c se:
lim f …x † ˆ `
x!1
lim f …x † ˆ 1
x!c
un asintoto obliquo di equazione y ˆ mx ‡ q se:
lim
x!1
f …x †
ˆm
x
lim ‰f …x †
x!1
(con m finito e non nullo)
mx Š ˆ q
(con q finito)
Se una funzione possiede asintoto orizzontale, non puoÁ avere asintoto obliquo e viceversa, altrimenti
avrebbe due comportamenti diversi per x ! 1.
H
H
H
Si dice che:
la funzione y ˆ f …x † eÁ un infinitesimo per x ! c se
lim f …x † ˆ 0
la funzione y ˆ f …x † eÁ un infinito per x ! c se
lim f …x † ˆ 1.
x!c
x!c
Di due funzioni f …x † e g…x † entrambe infinitesime per x ! c diciamo che:
f …x † eÁ di ordine superiore a g…x † se
lim
f …x†
ˆ0
g…x†
f …x † eÁ dello stesso ordine di g…x † se
lim
f …x†
ˆ ` 6ˆ 0
g…x†
f …x † eÁ di ordine inferiore a g…x † se
lim
f …x†
ˆ1
g…x†
x!c
x!c
x!c
Di due funzioni f …x † e g…x † entrambe infinite per x ! c diciamo che:
f …x † eÁ di ordine superiore a g…x † se
lim
f …x†
ˆ1
g…x†
f …x † eÁ dello stesso ordine di g…x † se
lim
f …x†
ˆ ` 6ˆ 0
g…x†
f …x † eÁ di ordine inferiore a g…x † se
lim
f …x†
ˆ0
g…x†
x!c
x!c
x!c
Per facilitare il calcolo di limiti di funzioni che, per x ! 1, sono infinite eÁ utile stabilire una gerarchia
degli infiniti che indichiamo di seguito in ordine decrescente; per ogni a > 1, > 0:
ax
Per esempio: lim
x!‡1
lim
x!‡1
2x
ˆ ‡1
x3
x
loga x
perche 2x eÁ di ordine superiore a x 3
x
ˆ ‡1
loga x
perche x eÁ di ordine superiore a loga x
15
16
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
E SERCIZI
SUI LIMITI
Calcola i seguenti limiti.
3…2x 1†
1
‡
1 lim
x!1
x3 1
1 x
p
2 x 1
2 lim
1 16x2
1
x! 4
p
x‡1 2
3 lim
x!3
x2 9
4 lim
tan2 x …1
x
sin x†
5 lim
tan2 x …1
x
sin x†
6 lim
ln …x ‡ 1†
3 sin x
x! 2
x!0
x!0
x!0
ln …x ‡ 3†
x
1
4
1
24
1
‰0Š
1
3
3x
1
7 lim e
x!0
4x
x3 ‡2
3
x
‡
1
8 lim
x!1
x3
x 1
9 lim x 3
x!1 x ‡ 2
10 lim
‰1Š
3
4
‰eŠ
‰e 5 Š
1
3
ln 3
x 2
x
11 lim xe
2
x!2 x
x 2
(Suggerimento: il limite si presenta nella forma di indecisione 0 ; riscrivilo scomponendo nume0
x…ex 2 1†
ex 2 1
x
2
ex 2 1
2
ˆ lim
)
ratore e denominatore: lim
ˆ lim
3
x!2 …x ‡ 1†…x
x 2
x‡1
3 x!2 x 2
2† x!2
12 lim
x!0
13 lim
x! 2
14 lim
x!0
ln …x2 ‡ 2x ‡ 1†
x2 ‡ 2x
1
‰1Š
cos2 …2x †
…2x †2
‰1Š
…x ‡ 3x2 †4 x4
2x5
2x 1
ex
15 lim e
x!1
2x 2
‰6Š
1e
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
16 lim
x!1
17
…1 ‡ ln x†3 1
ln x
‰3Š
1
2
1
1
lim x e 2x
x!1
2
18 lim sin x ‡ 2 sin x
x! 2
2x 2x 19 lim e
x! 2
4x2
20 lim 2 3
x!3
21
17
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
lim
x!1
1
3
‰0Š
sin x
2
x x 1
2
2x 1
2x ‡ 7
‰e 4 Š
5x 1
x!0 log5 …x ‡ 1†
2 3x
x
3
23 lim
x!1
x‡1
p p
x‡3
2x ‡ 2 ln x
24 lim
x!1
…1 x†2
‰ln2 5Š
‰e12 Š
1
4
2
x!0
lim
x!1
27
lim
x!1
x2 6x ‡ 5
x2 ‡ 2x ‡ 3
x x 1
2
1 ‡ tan 5x2 1
x ‡2
cotan
1
e
2
25 lim …cos x† x
26
‰x ! 3 : ‡1; x ! 3‡ : 0Š
x
22 lim
1
2
5x 1
x2 ‡2
1
e8
‰eŠ
28 Determina il valore del parametro reale a in modo che sia lim
x2
x!a 2x2
29 Determina i valori dei parametri a e b per i quali si ha lim
x!‡1
a2
ˆ 1.
2
ax a2
‰a ˆ 0Š
aex ‡ bx2 ‡ 1 ˆ 1 .
2x2
3
aˆ0 ^ bˆ 2
3
4
3x2 ‡ b ˆ 3 .
30 Determina i valori dei parametri reali a e b per i quali si ha lim ax
2
x!1
2bx ‡ 5
4
‰a ˆ 0 ^ b ˆ
2Š
p
2
4 , determina i parametri a e b in modo che si abbia
31 Data la funzione f …x† ˆ ax
bx ‡ 3
‰a ˆ 4 ^ b ˆ 1Š
lim f …x† ˆ 2 e f …1† ˆ 0:
x!‡1
ax 3b
x ‡2
32 Considerata la funzione f …x† ˆ 1
, determina i parametri a e b in modo che si abbia
3
1
lim f …x† ˆ 3 e lim f …x† ˆ .
aˆ 1 ^ bˆ 4
3
x!1
x!0
9
2
2
18
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
8
2x 1
>
>
< x 8
33 Data la funzione f …x† ˆ
>
>
: 1 cos ax
x2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
x<0
, determina il valore del parametro a in modo
x>0
aˆ1
2
esista il limite di f …x† per x ! 0.
34 Determina i valori dei parametri a e b per i quali si ha che lim arcsin
x!‡1
ex‡a ‡ 7
ebx 1
ˆ 0.
‰b > 1, a qualsiasiŠ
35 Stabilisci per quali valori reali dei parametri a, b, c si ha che:
hp
i
2
4
2
…
†
lim
2x ‡ 7x ‡ 1
ax ‡ bx ‡ c ˆ 0
x
x!‡1
‰a ˆ 1, b ˆ 0, c ˆ
1Š
36 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ 2r e centro O. Preso un punto P sull'arco AM,
essendo M il punto medio dell'arco AB, siano s la retta tangente in B e t la retta tangente in P
alla semicirconferenza che si intersecano in K; siano poi H il punto di intersezione di t con la
d ˆ x, sia f …x† ˆ OH KL; calcola
retta AB e L la proiezione ortogonale di P su s. Posto POH
il limite di f …x† per x ! .
2
‰ r2 Š
37 Sia P il punto, oltre all'origine, in cui la parabola y ˆ x2 incontra la retta y ˆ mx; indicata con H
la proiezione di P sull'asse x, siano Q e R rispettivamente i punti in cui la tangente e la normale
alla parabola in P intersecano l'asse x. Calcola il limite del rapporto fra le aree dei triangoli OPH
‰2Š
e QPR al tendere di P verso l'origine degli assi.
38 Sia AOB un settore circolare di ampiezza 2 di una circonferenza di centro O e raggio r; preso
3
un punto P sull'arco AB, siano H la sua proiezione sulla corda AB e K la sua proiezione sul raggio OA. Calcola il limite del rapporto PH ‡ PK al tendere di P ad A.
AK
‰‡1Š
39 E' data una semicirconferenza di diametro AB ˆ 2r; una retta parallela al diametro incontra la
retta tangente in B nel punto P e la semicirconferenza in due punti dei quali K eÁ il piuÁ distante da
P. Calcola il limite a cui tende il rapporto fra le aree del triangolo ABP e del trapezio ABPK al
tendere di P verso B.
1
2
40 Data una circonferenza di centro O e raggio unitario, traccia da O una semiretta s che incontra
la circonferenza in Q. Indicato con P un generico punto di s esterno a , traccia da esso le tangenti alla circonferenza e siano A e B i punti di tangenza. Indicata con x la lunghezza del segmento PQ, calcola il limite per x ! ‡1 del rapporto k ˆ
AQ ‡ BQ
.
AB
p 2
41 Sono dati un quadrato PQRS di lato ` e una circonferenza di centro O e raggio ` tangente al
2
lato SR del quadrato nel vertice R in modo che O si trovi sul prolungamento del lato QR dalla parte di R. Per il punto medio B del lato SR si traccia una retta che incontra il lato PS del
quadrato in A e la circonferenza in C e in D (con C piuÁ vicino a B). Calcola le misure delle
aree del triangolo SBA e del segmento circolare delimitato dalla corda CD e dall'arco CRD in
d e valuta il limite del rapporto fra queste due aree al
funzione dell'ampiezza x dell'angolo SBA
‰0Š
tendere di x a 0.
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
19
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
42 Sia L un punto di una semicirconferenza di centro O e diametro AB ˆ 2r e sia K un punto di AB
d ˆ x, calcola in funzione di x il rapporto fra l'area del cerchio intale che AL ˆ AK. Posto ABL
scritto nel triangolo ABL e l'area del triangolo ALK e determinane il limite al tendere di L ad A.
hi
2
43 Dato un quadrato ABCD di lato `, costruisci la semicirconferenza di diametro AB esterna al
quadrato; prendi poi un punto P su AB e un punto Q su AD in modo che sia PB ˆ AQ. Indicato
con K il punto della semicirconferenza la cui proiezione ortogonale su AB coincide con P, calcola
il rapporto tra l'area del triangolo PAQ e quella del triangolo KPB al tendere di P prima a B e
‰quando P ! B : ‡1; quando P ! A : 0Š
poi ad A.
44 Sul lato AB ˆ ` del quadrato ABCD ed esternamente ad esso si costruisce un triangolo equilatero ABE. Preso un punto P su AE e un punto Q su BC in modo che sia AP  BQ, considera il
solido che si ottiene facendo ruotare il triangolo APD di una rotazione completa attorno alla
retta AD e il solido che si ottiene da una analoga rotazione del triangolo PBQ attorno alla retta
BC. Posto AP ˆ x, esprimi in funzione di x il rapporto fra i volumi dei due solidi e calcola il
‰0Š
limite dell'espressione ottenuta per P che tende a A.
45 In un sistema di riferimento cartesiano ortogonale, considera un punto P sull'arco OA della parabola y ˆ x2 delimitato dall'origine O e dal punto A…1, 1†. Tracciata la tangente t alla parabola
in A, trova l'espressione della distanza PT del punto P dalla retta t e determina il limite del rap p
5 5
2
porto k ˆ PA al tendere di P ad A.
PT
46 Date due circonferenze C1 e C2 di raggio unitario tangenti esternamente in O, sia t la retta tangente comune passante per O; preso un punto P su t, considera la circonferenza di raggio minore
avente centro in P e tangente a C1 e C2 e sia r1 il suo raggio.
Fissato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale di centro O, avente la retta t come asse
delle ordinate orientata da O verso P e la retta passante per i centri di C1 e C2 come asse delle
ascisse, considera la parabola di equazione y ˆ x2 . Sia r2 il raggio della circonferenza di centro P
r
e tangente a tale parabola nel suo vertice. Calcola il limite del rapporto 1 al tendere di P ad O.
r2
‰0Š
SUGLI ASINTOTI
2
47 Determina i valori dei parametri reali a, b, c per i quali la funzione f …x† ˆ 3ax ‡ 2bx ‡ 8 ha
x‡c
come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ 2 e come asintoto verticale la retta x ˆ 1.
(Suggerimento: la retta y ˆ 2 eÁ asintoto orizzontale se lim f …x† ˆ 2; la retta x ˆ 1 eÁ asinx!1
toto verticale se lim f …x† ˆ 1 e cioÁ capita solo se il denominatore si annulla per x ˆ
x! 1
‰a ˆ 0 ^ b ˆ
1)
1 ^ c ˆ 1Š
48 Determina i valori reali dei parametri a e b in modo che la funzione f …x† ˆ ln x ‡ a passi per il
x‡b
…
†
punto di coordinate 1, 2 e abbia come asintoto verticale la retta di equazione x 3 ˆ 0.
‰a ˆ
4 ^ bˆ
3Š
2
49 Determina i parametri reali a e b della funzione y ˆ ax ‡2 3x ‡ b in modo che passi per l'ori2x ‡ 1
‰a ˆ 8, b ˆ 0Š
gine degli assi e ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4.
20
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
2
50 Determina i valori di a e b per i quali la funzione f …x† ˆ 1 2 ax ha come asintoto verticale la
bx
4
‰a ˆ 1, b ˆ 1Š
retta x ˆ 2 e come asintoto orizzontale la retta y ˆ 1.
2
51 Data la funzione f …x† ˆ ax ‡ bx ‡ 1 , determina i valori reali dei parametri a, b, c in modo che
cx ‡ 2
essa abbia la retta x ˆ 2 come asintoto verticale e la retta y ˆ 1 come asintoto orizzontale.
‰a ˆ 0, b ˆ
1, c ˆ 1Š
p
2
b passi per i
52 Determina i valori reali dei parametri a, b e c in modo che la funzione f …x† ˆ x
ax ‡ c
punti A…1, 0†, B…2, 3† e abbia come asintoto verticale la retta di equazione 3x ‡ 2 ˆ 0.
aˆ
p
p 3
3
^ bˆ1 ^ cˆ
8
12
53 Determina i valori dei parametri reali a e b in corrispondenza dei quali la funzione
3ax ‡ b
ha come asintoto orizzontale la retta di equazione y ln 3 ˆ 0 e passa per
f …x† ˆ ln
x‡2
‰a ˆ 1 ^ b ˆ 2Š
il punto A…2, 0†.
3
2
54 Determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in modo che la funzione f …x† ˆ ax 2 2x ‡ 5 abbx ‡ ax c
bia come asintoto orizzontale la retta di equazione y ˆ 1 e per asintoti verticali le rette di equap
‰a ˆ 0, b ˆ 2, c ˆ 6Š
zioni x ˆ 3.
2
55 Data la funzione f …x† ˆ log2 ax ‡ bx ‡ c , determina i valori reali dei coefficienti a, b, c in mox‡4
do che f …x† abbia per asintoto orizzontale destro la retta di equazione y ˆ 1 e passi per il punto
‰a ˆ 0, b ˆ 2, c ˆ 3Š
A…1, 0†.
p
2
4 , determina i valori reali dei parametri a e b in modo
56 Data la funzione f …x† ˆ 3x ‡ b ‡ x
ax
1
che f …x† ammetta la retta y ˆ come asintoto orizzontale sinistro e passi per il punto di coor2
dinate …2, 1†. Qual eÁ in questo caso l'equazione dell'asintoto orizzontale destro?
‰a ˆ 4, b ˆ 2, y ˆ 1Š
2
57 Determina i parametri reali a, b, c per i quali la funzione f …x† ˆ bx ‡ sin 2ax ammette la retta
x ‡ cx
3
y ˆ 2 come asintoto orizzontale, passa per il punto di coordinate …, 1† ed eÁ lim f …x† ˆ .
x!0
‰a ˆ 3, b ˆ 2, c ˆ 1Š
p
ax2 ‡ 2x ‡ 1 non eÁ
bx ‡ c
definita in x ˆ 0, ha come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 4 e passa per il punto di coor
dinate … 1, 0†.
1
58 Determina i valori reali dei parametri a, b, c per i quali la funzione f …x† ˆ
a ˆ 1, b ˆ
4
,cˆ0
59 Determina i valori dei parametri reali a e b in corrispondenza dei quali la funzione
f …x† ˆ
ax3 4 ha come asintoto obliquo la retta di equazione 2x
x2 bx ‡ 1
y ‡ 1 ˆ 0.
aˆ2 ^ bˆ 1
2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
21
2
2 ammetta come asintoto
60 Determina i valori di a e di b in modo che la funzione f …x† ˆ 3ax
x‡b
‰a ˆ 3, b ˆ 3Š
obliquo la retta di equazione y ˆ 9x 27.
3
2
61 Determina i valori dei parametri reali a, b, c per i quali la funzione y ˆ ax ‡ bx ‡ cx ‡ 1 amx‡1
mette come asintoto obliquo la retta y ˆ 2x.
‰a ˆ 0, b ˆ 2, c ˆ 2Š
2
62 Determina i valori reali dei parametri a, b, c in modo che la funzione f …x† ˆ ax ‡ bx passi per il
x‡c
punto P…1, 0†, abbia come asintoto verticale la retta di equazione x ‡ 2 ˆ 0 e come asintoto obli‰a ˆ 3, b ˆ 3, c ˆ 2Š
quo una retta di coefficiente angolare 3.
p
x
a2 x2 1 abbia come
63 Trova i valori reali dei parametri a, b, c in modo che la funzione f …x† ˆ
bx ‡ c
asintoto obliquo destro una retta di coefficiente angolare 2, come asintoto verticale la retta
2x 1 ˆ 0 e intersechi l'asse x, oltre che nell'origine, nel punto di ascissa 1. Quali sono le equazioni degli asintoti obliqui delle funzioni ottenute?
a ˆ 1, b ˆ 1 , c ˆ
2
1 _ aˆ
4
1, b ˆ
1 , c ˆ 1 ; asintoti: y ˆ 2x ‡ 1, y ˆ
2
4
2x
1
64 Considerata la funzione f …x† ˆ logb …ax ‡ b† ‡ c, determina i valori reali dei parametri in essa
contenuti in modo che f …x† abbia come asintoto verticale la retta x ‡ 3 ˆ 0, passi per il punto
di coordinate …0, 5† e sia monotoÁna crescente.
1
f …x† ˆ logb
3
x ‡ 1 ‡ 5, b > 1
ax3 ‡ x2 ‡ c
stabilisci:
bx2 c
in quali condizioni esiste asintoto orizzontale
‰a ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š
in quali condizioni esiste asintoto obliquo
‰a 6ˆ 0 ^ b 6ˆ 0Š
in quali condizioni la funzione non ha asintoti
‰a ˆ 0 ^ b ˆ 0 ^ c 6ˆ 0Š
per quali valori dei parametri la funzione ha come asintoto obliquo la retta 3x 2y ‡ 1 ˆ 0 e
‰a ˆ 3, b ˆ 2, c ˆ 4Š
interseca l'asse x nel punto di ascissa 1.
65 Considerata la funzione f …x† ˆ
a.
b.
c.
d.
p
p
2x4 ‡ 7
7x4 ‡ 2
e g…x† ˆ 2
, determina per quali
66 Considerate le due funzioni f …x† ˆ 2
ax ‡ bx ‡ c
cx ‡ bx ‡ c
valori dei parametri a, b, c sono verificate contemporaneamente le seguenti condizioni:
entrambe le funzioni hanno lo stesso asintoto orizzontale
la funzione f …x† ha un solo asintoto verticale
p
si ha che f …0† ˆ 7.
In queste ipotesi, quanti sono gli asintoti verticali della funzione g…x†?
"
#
r
r
4 2
2
, b ˆ 2
aˆ
, c ˆ 1; g…x† non ha asintoti verticali
7
7
log3 …x2 ‡ a†
cx , determina i valori reali dei pae g…x† ˆ p
x2 ‡ b
x2 ‡ b
rametri a, b, c in modo che siano verificate le seguenti condizioni:
67 Considerate le funzioni f …x† ˆ
f …2† ˆ p1 g…2†
3
g…x† abbia come asintoto orizzontale destro la retta y ˆ 1
f …x† abbia come asintoto verticale la retta x ˆ 1.
‰a ˆ 5, b ˆ
1, c ˆ 1Š
22
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
p
2
ln …2x ‡ 3†
68 Data la funzione f …x† ˆ
2 2x ‡ 1 con > 0, determina i valori dei parametri
3
…
†
ax
‡
bx 2
1
ln x
reali che in essa compaiono in modo che:
lim
p f …x† ˆ 1
x! 2
p ˆ 2, a ˆ 0, b ˆ 2
abbia come asintoto orizzontale la retta y ˆ 2 .
3
INFINITI E INFINITESIMI
Dopo aver verificato che le seguenti funzioni sono infinitesime, stabilisci se sono confrontabili.
p
p
5x ‡ x2 ‡ 1
g…x† ˆ 7 5x
69 f …x† ˆ
per x ! ‡1
2x ‡ 3
f …x† infinitesimo inferiore a g…x†
2
g…x† ˆ 9x ‡ 13‡ 6x
3x
70 f …x† ˆ 0,32x
x2 ‡ x
71 f …x† ˆ 2 sin x
g…x† ˆ cos x ‡ sin x
per x ! ‡1
f …x† infinitesimo superiore a g…x†
2x3
1
per x ! 0
‰infinitesimi dello stesso ordineŠ
72 f …x† ˆ
p
1 ‡ cos x
73 f …x† ˆ …1
p
2
sin x†tan x
g…x† ˆ x ‡ tan x
per x ! 0
g…x† ˆ cos x
per x ! 2
f …x† infinitesimo superiore a g…x†
‰infinitesimi dello stesso ordineŠ
Determina l'ordine dei seguenti infinitesimi.
3
74 f …x† ˆ p
2
x
1
per x ! ‡1
‰1Š
per x ! ‡1
‰2Š
76 f …x† ˆ x sin x
x ‡ sin x
per x ! 0
‰2Š
77 f …x† ˆ e2x
per x ! 0
‰1Š
75 f …x† ˆ
p

3
x3 1
x
1
Stabilisci per quale valore del parametro reale positivo k le seguenti funzioni sono infinitesime di
ordine n per x ! x0 in ciascuno dei seguenti casi.
q
k
‰k ˆ 4Š
per x ! 3
e
nˆ2
78 f …x† ˆ …2x 3†
2
79 f …x† ˆ sink x …e3x ‡ 1†
per x ! 0
e
nˆ3
‰k ˆ 3Š
80 f …x† ˆ tank x
per x ! 0
e
nˆ4
‰k ˆ 2Š
per x ! 1
e
nˆ6
‰k ˆ 3Š
81 f …x† ˆ
x2k
1
1 ‡ cos2 x
2x
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
23
Dopo aver verificato che le funzioni f …x† e g…x† sono degli infiniti, stabilisci se sono confrontabili.
p

5
per x ! 1
82 f …x† ˆ ln 3x ‡ 4
g…x† ˆ 2x2 ‡ 1
f …x† infinito inferiore a g…x†
83 f …x† ˆ cos x
x
84 f …x† ˆ …x2
2†tan x
g…x† ˆ sin2 x
x
per x ! 0
g…x† ˆ x2 ‡ 2
per x ! 1
‰infiniti dello stesso ordineŠ
‰infiniti non confrontabiliŠ
85 f …x† ˆ …x
86 f …x† ˆ
1†ln2 x
p
x5 1
…x 2†2
g…x† ˆ x2
per x ! 1
3
x 1
g…x† ˆ x ‡
x2 4
per x ! 2
f …x† infinito inferiore a g…x†
f …x† infinito superiore a g…x†
Determina l'ordine dei seguenti infiniti.
87 f …x† ˆ
…1
1
2
sin x†
88 f …x† ˆ 2x ‡ 7
x 1
89 f …x† ˆ
1
tan x
sin x
x
90 f …x† ˆ 10
x5 ‡ x3
p
91 f …x† ˆ x2 ‡ 3x ‡ 9
92 f …x† ˆ ln x
1
x
x3
per x ! 2
‰4Š
per x ! 1
‰1Š
per x ! 2
‰3Š
per x ! 0
‰3Š
per x ! 1
‰3Š
per x ! 0‡
‰1Š
A REA
1:
FUNZIONI E LIMITI
LA CONTINUITAÁ DELLE FUNZIONI
3
Per ricordare
H
Una funzione f …x † definita in un insieme D eÁ continua in un punto x0 di accumulazione per D se
lim f …x † ˆ f …x0 †.
x!x0
Quindi per vedere se una funzione eÁ continua si deve:
calcolare f …x0 †
calcolare lim f …x †
x!x0
verificare che i due valori trovati coincidano.
Se due funzioni f …x † e g…x † sono continue nel punto x0 , allora sono continue in x0 anche le funzioni:
f …x † e f …x †
f …x † g…x †
f …x † g…x †
f …x †
g…x †
e in particolare
k f …x †
e
e in particolare
1
g…x †
se
n
‰ f …x †Š
g…x0 † 6ˆ 0
In conseguenza di cioÁ sono continue nel loro insieme di definizione:
le funzioni polinomiali
le funzioni razionali fratte
le funzioni logaritmiche ed esponenziali
le funzioni goniometriche fondamentali
H
le funzioni composte se sono continue tutte le funzioni componenti.
Se una funzione non eÁ continua in un punto x0 si dice che x0 eÁ un punto di discontinuitaÁ o anche che eÁ
un punto singolare.
I punti di discontinuitaÁ si possono classificare con il seguente criterio:
discontinuitaÁ di prima specie se il limite sinistro e il limite destro sono finiti ma diversi:
lim f …x † ˆ `1 ^ lim‡ f …x † ˆ `2
x!x
0
x!x
con
`1 6ˆ `2
0
discontinuitaÁ di seconda specie se almeno uno dei due limiti dalla sinistra o dalla destra eÁ infinito o
non esiste:
lim f …x † ˆ 1 _ lim‡ f …x † ˆ 1
x!x
0
x!x
0
_
6 9 lim f …x †
x!x 0
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
25
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
discontinuitaÁ di terza specie o eliminabile se esiste finito il limite per x ! x0 ma tale valore eÁ diverso
da quello assunto dalla funzione o se la funzione non esiste in x0 :
lim f …x † 6ˆ f …x0 †
H
x!x0
Per le funzioni continue valgono alcune proprietaÁ fondamentali che sono enunciate dai seguenti teoremi:
Teorema di Weierstrass. Se una funzione f …x † eÁ continua in un intervallo chiuso e limitato ‰a, b Š, essa
eÁ limitata in tale intervallo ed esiste almeno un punto appartenente ad ‰a, b Š in cui assume il suo valore massimo ed almeno un punto in cui assume il suo valore minimo.
Teorema di esistenza degli zeri. Se una funzione f …x † eÁ continua in un intervallo chiuso e limitato
‰a, b Š e se f …a† e f …b † hanno segno opposto, allora esiste almeno un punto c 2 …a, b † nel quale
la funzione si annulla.
E SERCIZI
Stabilisci per quali valori reali dei parametri che in esse compaiono le seguenti funzioni sono continue nel loro insieme di definizione.
8
>
< cos x 1 x 0
‰a ˆ 0, b ˆ 1Š
1 f …x† ˆ eax ‡ b
0<x<1
>
:
ln x
x1
8
3a sin x ‡ b x < >
>
2
<
2 f …x† ˆ b cos x ‡ 2
x<
>
2
>
:
x
x
8 p
2
4
x 2
>
< x
2
3 f …x† ˆ ax
2x 3
2<x<3
>
:
b log2 …x 1† x 3
h
aˆ ,bˆ2
3
aˆ
1,bˆ
4
45
4
i
4 Dopo averne determinato il dominio, calcola il valore del parametro a per il quale la funzione
8 x
1
<e
x>0
sin
2x
aˆ 1
f …x† ˆ
eÁ continua in x ˆ 0.
4
:
a…x ‡ 2† x 0
5 Determina per quali valori dei parametri reali a e b eÁ continua in x ˆ 0 la funzione
8
xˆ0
<0
‰8a 2 R ^ b ˆ 0Š
.
f …x† ˆ
x3 bx
x 6ˆ 0
: 2
jx2 xj
ax
26
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
6 Trova i punti di discontinuitaÁ della funzione f …x† ˆ ln sin2 x e classificali.
7 Studia la continuitaÁ della funzione f …x† ˆ
8 4
x
>
>
< x2
>
x3
>
:
2x
‰x ˆ k, seconda specieŠ
16
4
x 6ˆ 2
xˆ2
xˆ 2
classificando le eventuali discontinuitaÁ.
‰continua in x ˆ 2, disc. eliminabile in x ˆ
2Š
8 Studia i punti di discontinuitaÁ delle seguenti funzioni:
a. f …x† ˆ
jx ‡ 2j x 1 1
e
x‡2
jsin xj
b. f …x† ˆ p
1 cos x
8 x 2
e
>
>
<
c. f …x† ˆ 5
>
>
: sin…x 3†
x 3
‰x ˆ 1 : seconda specie; x ˆ
2 : prima specieŠ
‰x ˆ 2k : terza specie (eliminabile)Š
x<3
xˆ3
‰x ˆ 3 : prima specieŠ
x>3
8
ln…jxj 2†
>
>
>
>
>
< x…x ‡ 2†
9 Studia i punti di discontinuitaÁ della funzione f …x† ˆ
x2
>
>
>
> sin x
>
:
5
x< 2 _ x>2
2x0
0<x1
.
1<x2
‰x ˆ 0 : continua, x ˆ 1 : prima specie, x ˆ 2 : seconda specieŠ
8 2
<x
10 Data la funzione f …x† ˆ
x
:
x‡2
x0
1x<0
x< 1
verifica che f …x† eÁ continua e tracciane il gra-
fico. A partire da esso, costruisci poi i grafici di:
a. y ˆ f …x†
b. y ˆ f …jxj†
c. y ˆ f …x† ‡ 1
d. y ˆ f …x ‡ 1†
e. y ˆ 2f …x†
f. y ˆ f …2x†.
8
<x ‡ 2
11 Determina il valore reale di a per il quale la funzione f …x† ˆ ax2 8
:
x
x4
x>4
eÁ continua in
x ˆ 4; posto poi a ˆ 1, determina il tipo di discontinuitaÁ che si presenta nello stesso punto.
‰continua per a ˆ 2, discontinuit
a di prima specie se a ˆ 1Š
8 3 x
x1
>
<5
ax ‡ b 1 < x < 3 determina i valori dei parametri reali
12 Considerata la funzione f …x† ˆ
>
: p
x2 9
x3
a e b per i quali f …x† eÁ continua in x ˆ 1 e presenta una discontinuitaÁ di prima specie con salto
uguale a 4 in x ˆ 3.
a ˆ 21 , b ˆ 71 ; a ˆ 29 , b ˆ 79
2
2
2
2
13 Determina il valore del parametro reale c in modo che la funzione f …x† ˆ
e in x ˆ
1 una discontinuitaÁ di prima specie con salto uguale a 1.
jxj
jx2
1
abbia in x ˆ 1
cj
‰c ˆ 1Š
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
14 Determina i valori dei parametri reali a e b (con a > 0) in modo che i punti x ˆ
27
3 e x ˆ 1 siano
2
.
discontinuitaÁ di seconda specie per la funzione f …x† ˆ 2 4 x
jx ‡ axj ‡ b
‰a ˆ 5, b ˆ
6 _ a ˆ 2, b ˆ
3Š
15 Stabilisci per quali valori dei parametri reali a e b risulta continua e inoltre passa per il punto di
8 a
‡ 2b
1x0
<
‰a ˆ 2, b ˆ 1Š
coordinate …0, 4† la funzione f …x† ˆ 1 x
.
:
b ln…x ‡ 1† ‡ 2a x > 0
16 Stabilisci per quale valore del parametro reale a risulta continua la funzione di equazione
(
jx 3j ‡ ajx 2j x 0
.
aˆ 1
y ˆ p
2
x<0
x2 ‡ 4
8 x
1 ‡ a x 6ˆ 0
<e
x
si
17 Stabilisci per quale valore del parametro reale a la funzione f …x† ˆ
:
2a 1
xˆ0
puoÁ prolungare con continuitaÁ nell'origine e determina, in corrispondenza di tale valore, se
f …x† possiede asintoto orizzontale e qual eÁ la sua equazione. ‰a ˆ 2, asintoto orizz. sinistro y ˆ 2Š
18 Trova il valore del parametro reale a in modo che abbia una discontinuitaÁ eliminabile in x ˆ 0 la
8 ax
1
>e
x<0
>
< x
funzione f …x† ˆ
aˆ 2
.
3
>
>
: ln…1 ‡ 2x†
x>0
3x
e
1
19 Stabilisci, motivando adeguatamente la risposta, se eÁ continua in x ˆ 2 la funzione
8
>
x2 4
<
x 6ˆ 1 ^ x 6ˆ 2
f …x† ˆ jx 2j…x 1†
. Traccia poi il grafico di f …x† e determinane il co>
:
0
xˆ2
‰non continua in x ˆ 2, codominio: … 1, 4† [ … 1, ‡ 1†Š
dominio.
20 Trova i valori dei parametri reali a e b per i quali risulta continua su tutto R la funzione
8
2 sin x
x
>
>
>
2
>
<
< x < . Dopo averne costruito il grafico, determina il massimo
f …x† ˆ a sin x ‡ b
2
2
>
>
>
>
:
cos x
x
2
‰a ˆ 1, b ˆ 1, minimo ass.
2, massimo ass. 2Š
e il minimo assoluti della funzione.
8
1
>
…1 ‡ xa † x
>
>
>
>
>
>
<b
21 Considerata la funzione f …x† ˆ …1 ‡ tan x†cotan x
>
>
>
>
> … x
>
e4 †
>
: ce
sin x cos x
2
dei parametri reali a, b, c essa eÁ continua.
x<0
xˆ0
0<x 4
x> 4
determina per quali valori
p
a ˆ 2, b ˆ e, c ˆ 2 2e
4
28
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
22 Verifica se le seguenti funzioni soddisfano il teorema degli zeri negli intervalli indicati e determina i punti di tali intervalli in cui f …x† ˆ 0.
1
3
3
2
‰x ˆ 1Š
,
2x ‡ 2x 3
in
a. f …x† ˆ 3x
2 2
b. f …x† ˆ 3x3
19x2
c. f …x† ˆ log3 …x2
9†
xˆ 1
3
f …4† f …6† > 0
in ‰0, 3Š
18x ‡ 8
in ‰4, 6Š
3x ‡ 16
2
5
ammette alme23 Dimostra, utilizzando un opportuno teorema, che l'equazione etan x ‡
…
ln sin x†
h i
,
.
no una soluzione nell'intervallo
6 3
h
i
24 Dimostra, utilizzando un opportuno teorema, che nell'intervallo 0, la funzione di equazione
2
p
sin x
…
†
‡ x cos x ln x ‡ 3 interseca l'asse delle ascisse almeno una volta.
yˆe
25 Data la funzione f …x† ˆ
jx2 9j
bx ‡ c
a
0x<4
x4
determina in quali ipotesi l'equazione
f …x† ˆ 0 ammette almeno una soluzione nell'intervallo ‰3, 5Š in base al teorema degli zeri ed
inoltre eÁ f …4† ˆ 1; posto poi b ˆ 2, determina le soluzioni che appartengono a questo inter2
3
vallo.
a ˆ 8, b > 1, c ˆ 1 4b;
4
5
per b ˆ 2 : x ˆ 9
2
26 Trova una funzione f …x† continua nell'intervallo ‰0, 1Š che ammette infiniti zeri positivi minori di
h
i
1 e uno zero in x ˆ 0.
esempio: f …x† ˆ x sin 2x
1
27 Usando in modo opportuno il teorema degli zeri, dimostra che la funzione f …x† ˆ e x sin x possiede infiniti zeri. Dimostra poi che la funzione f …x† ˆ e x ‡ sin x possiede infiniti zeri per x > 0
e nessuno zero per x < 0.
(Suggerimento: sfrutta il fatto che sin x eÁ una funzione periodica e che e x 1 per x 0)
Dopo aver tracciato i grafici delle funzioni assegnate, verifica che soddisfano le ipotesi del teorema
di Weierstrass e determinane massimo e minimo assoluti.
8 p
>
x2 ‡ 3x
0x<3
<
28 f …x† ˆ
‰massimo ˆ 2; minimo ˆ 2Š
x‡3
3x5
>
:
x2 10x ‡ 23 5 < x 7
8 p
x2 4x
>
>
>
<
29 f …x† ˆ 5 x
>
4
>
>
:
p
5
x2 ‡ 12x 32
8
2
4x
>
< 2x
p
30 f …x† ˆ
x2 ‡ 2x
>
:
5x2 ‡ 20x 16
2x<0
0x4
‰massimo ˆ 5; minimo ˆ
2Š
‰massimo ˆ 4; minimo ˆ
1Š
4<x7
2x0
0<x<1
1x2
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
8 p
2
>
< 1 x
31 Stabilisci se la funzione f …x† ˆ e x
>
: p
1 ‡ ln x
1x<0
0x1
29
soddisfa le ipotesi del teorema di
1<xe
Weierstrass; in caso contrario modifica la definizione della funzione in modo che il teorema sia
applicabile.
32 Determina il valore del parametro a in modo che la funzione
8
< sin ax
x<0
x
verifichi le ipotesi del teorema di
f …x† ˆ
: 2
jx
j
3x ‡ 2
x0
Weierstrass nell'intervallo ‰ , 4Š. Considerato che il grafico di questa
funzione nell'intervallo ‰ , 0† eÁ quello in figura, tracciane il grafico completo in ‰ , 4Š e determina poi il minimo e il massimo assoluti di f …x†.
a ˆ 2; minimo assoluto in x (
33 Considerata la funzione f …x† ˆ
1
x2
lnjxj
2,25 : f … 2,25† jxj < 1
jxj 1
0,43; massimo assoluto in x ˆ 4 : f …4† ˆ 6
determina:
i suoi zeri
il segno della funzione
i limiti agli estremi del dominio.
Costruiscine il grafico e studia la continuitaÁ.
34 Sia f …x† ˆ
e x
a cos …x
1†
0x1
; determina il valore del parametro reale a in modo
1 < x 2
che f …x† soddisfi le ipotesi del teorema di Weierstrass e trovane poi il massimo e il minimo
assoluti. Costruisci quindi il grafico di f …x†.
a ˆ e 1 ; minimo:
e 1 , massimo: 1
35 Di una funzione f …x† si sa che:
ha dominio D : … 1, 5† [ …5, ‡ 1†
la sua espressione eÁ una frazione che ha un radicale quadratico al denominatore e un polinomio al numeratore
ha come asintoto orizzontale sinistro la retta y ‡ 2 ˆ 0 e come asintoto orizzontale destro la
retta y 2 ˆ 0.
‡1 

esempio: f …x† ˆ p2x
Scrivi una possibile espressione di f …x†.
2
x
36 Di una funzione f …x† si sa che:
ha dominio D : … 1, 1† [ … 1, 4† [ …4, ‡ 1†
ha come asintoto orizzontale la retta y ˆ 3
interseca l'asse y nel punto di ordinata 1
ha come asintoto verticale la retta x ˆ 1 ma la retta x ˆ 4 non eÁ un asintoto.
Scrivi una possibile espressione di f …x†.
3x2
esempio: f …x† ˆ
37 Di una funzione f …x† si sa che:
ha dominio D : … 1, 1† [ …1, ‡ 1†
ha come asintoto orizzontale l'asse x e come asintoto verticale la retta x ˆ 1
x2
25
13x ‡ 4
3x 4
30
AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
Q Re Fraschini - Grazzi, Atlas SpA
passa per l'origine
eÁ positiva per x < 0 _ x > 1 e negativa altrove.
Scrivi una possibile espressione di f …x†.
h
esempio: f …x† ˆ
x3
38 Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti proprietaÁ:
sia simmetrica rispetto all'asse y
ammetta come asintoto orizzontale la retta y ˆ 4
ammetta come asintoti verticali le rette x ˆ 1 e x ˆ 1
2
esempio: f …x† ˆ 4x2
assuma il valore 2 per x ˆ 0.
x
i
x
1
2
1
39 Determina l'equazione di una funzione che soddisfa le seguenti proprietaÁ:
ha dominio D : … 1, ‡ 1†
la sua espressione eÁ una frazione che ha un'esponenziale di base e al numeratore e un radicale
quadratico al denominatore
ha asintoto verticale destro di equazione x ˆ 1
x‡1
eÁ sempre positiva nel suo dominio.
esempio: f …x† ˆ pe
x‡1
Risultati di alcuni esercizi.
10. Grafico di f …x†
a. Grafico di f …x†
b. Grafico di f …jxj†
c. Grafico di f …x† ‡ 1
d. Grafico di f …x ‡ 1†
e. Grafico di 2f …x†
f. Grafico di f …2x†
.
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AREA 1 - FUNZIONI E LIMITI
19.
20.
28.
29.
30.
32.
33.
34.
31
4
A REA
1:
FUNZIONI E LIMITI
LE SUCCESSIONI
H
H
Una successione eÁ una funzione che ha come dominio l'insieme N dei numeri naturali. I suoi termini si
possono rappresentare:
3n 1
mediante il suo termine generale an espresso in funzione di n; per esempio an ˆ
2n ‡ 3
mediante una formula ricorsiva definita in questo modo
a0 ˆ valore del primo termine della successione
a0 ˆ 2
; per esempio
an ˆ regola che esprime an in funzione di an 1
an ˆ 3an 1 ‡ 1
Una successione puoÁ essere:
convergente se lim an ˆ `
n!‡1
cioeÁ se 8" > 0 esiste un indice tale che, 8n > , sia jan
`j < "
divergente se lim an ˆ 1
n!‡1
cioeÁ se 8M > 0 esiste un indice tale che, 8n > , sia jan j > M
irregolare se neÁ converge neÁ diverge.
Per il calcolo del limite di una successione valgono teoremi analoghi a quelli studiati per i limiti delle
funzioni di numeri reali.
H
H
Una progressione aritmetica eÁ una successione di numeri reali per la quale la differenza fra un termine
ed il suo precedente si mantiene costante ed eÁ uguale ad un numero d non nullo che si chiama ragione
della progressione. In particolare:
a n ˆ a 1 ‡ … n 1† d
il termine an si calcola con la formula
il termine as , noto il termine ar , si calcola con la formula
a s ˆ a r ‡ …s
la somma Sn dei primi n termini si calcola con la formula
Sn ˆ
r† d
n …a 1 ‡ a n †
2
Una progressione geometrica eÁ una successione di numeri reali per la quale il rapporto fra un termine
ed il suo precedente si mantiene costante ed eÁ uguale ad un numero q che si chiama ragione della
progressione. In particolare:
il termine an si calcola con la formula
an ˆ a1 q n
il termine as , noto il termine ar , si calcola con la formula
as ˆ ar q s
la somma Sn dei primi n termini si calcola con la formula
Sn ˆ a1
il prodotto Pn dei primi n termini si calcola con la formula
1
r
qn 1
q 1
q
Pn ˆ … a 1 a n † n
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33
E SERCIZI
Verifica che le successioni definite in modo ricorsivo da ciascuna delle seguenti espressioni non sono
ne convergenti ne divergenti.
1
(
2
3
a0 ˆ 2
an ˆ … 1†n an
1
a0 ˆ 0
an ˆ … 1†n cos an
1
2
a0 ˆ 1
n
an ˆ … 1† …an 1 †2
8
< a0 ˆ 3
n
4
1
: an ˆ
an 1
8
<a ˆ 1
0
2
5
:
n
an ˆ an 1 ‡ … 1†
6
7
8
9
2n2 ‡ 1
, con n 2 N .
Determina le caratteristiche dell'insieme numerico I ˆ x 2 R j x ˆ
2n ‡ 1
n 1
,n2N e
Individua i punti di accumulazione degli insiemi C ˆ x 2 R j x ˆ
n‡1
p
n
Dˆ x2Rjxˆ
, n 2 N0 .
2n
a0 ˆ 2
Data la successione
p , determinane il carattere.
‰converge a zeroŠ
an ˆ an 1
a0 ˆ 3
.
Verificare che diverge a 1 la successione definita dalla formula ricorsiva
an ˆ 3an 1
10 Data la successione 1, 3, 5, 7, .... scrivi l'espressione di an in funzione di an 1 e definisci ricorsivamente la successione; successivamente, se possibile, scrivi l'espressione di an in funzione di n e
determinane il carattere.
a0 ˆ 1
an ˆ an
1
‡2
; an ˆ 2n ‡ 1, n 2 N; divergente
11 Data la successione 0, 1, 3, 6, 10, 15, .... scrivi l'espressione di an in funzione di an 1 e definisci
ricorsivamente la successione; successivamente, se possibile, scrivi l'espressione di an in funzione
di n e determinane il carattere.
a0 ˆ 0
n…n ‡ 1†
an ˆ an
1
‡n
; an ˆ
2
, n 2 N; divergente
12 Considera la successione definita in modo ricorsivo dalla seguente formula
a1 ˆ 0
an ˆ 3an
1
‡2
per n 2. Stabilisci se la successione fbn g definita ponendo bn ˆ an ‡ 1 …n > 0† eÁ una progressione geometrica; esprimi bn in funzione di n e stabilisci il carattere delle due successioni.
bn ˆ 3n 1 , entrambe divergenti
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8
< a0 ˆ 2
2
:
13 Data la successione definita per ricorrenza dalla formula
: an ˆ an 1 ‡ 2
p
2an 1
a. mostra che an > 2
b. mostra che la successione eÁ decrescente
c. usa il teorema della monotonia per stabilire il carattere della successione
p
d. dimostra che lim an ˆ 2.
n!‡1
(
a0 ˆ x
; stabilisci poi se per x ˆ 1 la
14 Scrivi i primi quattro termini della successione an‡1 ˆ 1
2 ‡ an
successione converge e, in caso affermativo, calcolane il limite anche in modo approssimato.
p
(Suggerimento: si tratta della successione delle frazioni continue)
2 1
a ˆ x, a ˆ y
0
1
n‡1
15 Verifica che la successione definita ricorsivamente dalla formula
an‡1 ˆ an ‡ …an an 1 † n
con x, y 2 R converge quando jx yj < 1, diverge se jx yj > 1 oppure se y x ˆ 1, eÁ indeterminata se x y ˆ 1.
x2 xy ‡ y
Nel caso in cui la successione converge, dimostra che lim an ˆ
.
n!‡1
x y‡1
16 Considerata la successione definita in modo ricorsivo dalla formula
8
>
< a0 ˆ 1
per n pari
an‡1 ˆ sin …an †
>
:a
per n dispari
n‡1 ˆ cos …an †
verifica, servendoti anche di una calcolatrice, che si tratta di una successione oscillante fra i due
valori limite p ˆ 0,768169 e q ˆ 0,6948197.
Verifica inoltre che arcsin p ˆ cos q e arccos q ˆ sin p.
17 Sia ABC un triangolo equilatero di lato unitario. Costruisci la successione dei triangoli inscritti
ciascuno nel precedente che hanno vertici nei punti medi dei lati del triangolo precedente.
a. Stabilisci che tipo di successione si ottiene considerando le aree di tali triangoli e determinane
il carattere.
b. Calcola la somma dei primi n termini di tale successione e calcolane poi il limite per n ! ‡1.
2
p 3
1 , termine iniziale a ˆ 3 ;
progressione
geometrica
di
ragione
q
ˆ
1
6
4 7
4
6
7
6
7
p


p


6
7
4
5
3
3
1
1
la successione converge a 0; Sn ˆ
, limite:
n
3
3
4
18 Sia Q0 un quadrato di lato unitario; costruisci la successione dei quadrati inscritti ciascuno nel
precedente e aventi i vertici nei punti medi dei lati del quadrato precedente. Dopo aver trovato
l'espressione della lunghezza del lato di ciascuno di tali quadrati:
a. verifica che si tratta di una successione geometrica e determinane il carattere
b. calcola la somma dei primi n termini della successione dei perimetri di tali quadrati e deterh
pi
minane il limite per n ! ‡1.
converge a 0; 4 2 ‡
2
19 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eÁ dato il punto
p a 3
, a (con a > 0). Siano A1 la proiezione di A0 sull'asse x, A2 la proiezione di A1 sulla
A0
3
retta OA0 , A3 la proiezione di A2 sull'asse x e cosõÁ di seguito i punti Ai si ottengono proiettando
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alternativamente quello immediatamente precedente sull'asse x e sulla retta OA0 ; si ottiene in
questo modo la spezzata : A0 A1 A2 A3 ::::::: nella quale i vertici di indice dispari appartengono
all'asse x.
a. Dimostra che le lunghezze dei lati di sono in progressione geometrica e calcola la lunghezza
"
"
n ##
`n della spezzata.
1
2
`n ˆ 2a 1
b. Determina il limite a cui tende `n al tendere di n all'infinito.
‰2aŠ
20 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O eÁ dato il punto P…a, a†
(con a > 0). Considerato il quadrato Q0 che ha un vertice in P e le cui diagonali si intersecano in
O, inscrivi in esso il cerchio C0 ; nel cerchio inscrivi il quadrato Q1 con i lati paralleli a Q0 , in Q1
inscrivi il cerchio C1 e cosõÁ via. Ottieni cosõÁ la successione di quadrati Q0 , Q1 , Q2 , ..... e quella dei
cerchi C0 , C1 , C2 , ..... Dimostra che le successioni dei perimetri, delle aree dei quadrati, delle lunghezze delle circonferenze e delle aree dei cerchi sono convergenti e trova il limite a cui tende la
h
i
p
p
somma dei termini di ciascuna di esse.
2
2
8a 2 ‡
2 ; 8a ; 2a 2 ‡
2 ; 2a
21 In un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali di origine O, una retta r passa per
il punto A…0, 1† e eÁ l'angolo che essa forma con semiasse positivo delle ascisse, con 0 .
2
p
Sia Bn il punto sulla retta r che dista n2 ‡ 1 da A e sia Cn il punto del segmento ABn che soddisfa
la condizione ACn : ABn ˆ 1 : n. Indicate con C 0n e B 0n rispettivamente le proiezioni di Cn e Bn suln
OB 0n
n .
l'asse delle ascisse, calcola, al variare di , il limite della successione fan g dove an ˆ
OC 0n
‰ ˆ 0 : an ˆ 1; 6ˆ 0 : an ! ‡1Š
22 Data la funzione f …x† ˆ 2x e preso un punto Pn …xn , f …xn †† sul suo grafico, proiettalo sull'asse
x‡2
y ottenendo il punto Qn . Sia Hn il simmetrico di Qn rispetto alla retta y ˆ x e sia Pn‡1 il punto del
grafico di f che ha la stessa ascissa di Hn .
a. Calcola l'ascissa xn‡1 di Pn‡1 in funzione di xn ottenendo una successione data per
ricorrenza.
xn‡1 ˆ
2xn
xn ‡ 2
b. Posto x0 ˆ 3, stabilisci se la successione precedente converge e calcola l'eventuale limite.
(Suggerimento: mostra che la successione eÁ decrescente, limitata inferiormente dal valore 0;
questo garantisce la convergenza. Il valore del limite, che esiste, si calcola imponendo che
h
i
lim an‡1 ˆ lim an )
lim xn ˆ 0
n!‡1
n!‡1
n!‡1
23 In un piano riferito a un sistema di assi cartesiani ortogonali di centro O eÁ data la circonferenza
di raggio unitario e centro O. Sia A0 un punto di tale circonferenza appartenente al primo quadrante; il punto A1 si ottiene ruotando il raggio OA0 di un angolo (in radianti) pari all'ascissa di
A0 ; il punto A2 si ottiene ruotando il raggio OA1 di un angolo (in radianti) pari all'ascissa di A1 e
cosõÁ via. Determina la posizione sulla circonferenza del punto limite della successione giustifican‰punto limite: A…0, 1†Š
do il risultato ottenuto.
24 Siano C1 e C2 le due circonferenze di equazioni:
C1 : …x
2
1† ‡y2 ˆ 1
2
C2 : …x ‡ 1† ‡y2 ˆ 1
Considerato un punto A1 su C1 si definisce il punto A2 come il punto di intersezione del cerchio
C2 con la semiretta che ha origine nel centro di C2 e passante per A1 . Allo stesso modo si definisce A3 come il punto di intersezione del cerchio C1 con la semiretta che ha origine nel centro di
C1 e passante per A2 .
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Continuando con questa procedura si determina una successione di punti tali che A2n‡1 appartiene a C1 e A2n appartiene a C2 .
Stabilisci se questa successione converge e, in caso affermativo, trovane il limite.
(Suggerimento: le ascisse dei punti di indice dispari sono date dall'espressione
p
1 ‡ x2n 1 2 1 ‡ 4x2n 1
x2n‡1 ˆ q
p ;
5 ‡ 20x2n 1 4…1 ‡ x2n 1 † 1 ‡ 4x2n 1
per n ! ‡1 tale espressione tende a zero, e quindi la successione converge nell'origine)