Testo e svolgimento della prima prova in itinere

Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente
quante sono:
z 3 + 5z jzj = 0:
1
2. Operazioni sui gra…ci. Tracciare il gra…co della seguente funzione, a
partire dal gra…co noto della funzione Sh x, applicando esclusivamente successive
operazioni sul gra…co (traslazione, dilatazione, ri‡essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra…ci “di passaggio”utilizzati per costruire il gra…co della
funzione, mettendo ben in evidenza il gra…co di f (x). Segnare sugli assi ascissa
o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con
gli assi, di max./min, ecc.)
f (x) = jSh jx
1j
Sh 1j :
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite).
Giusti…care i passaggi citando i teoremi utilizzati.
n3n
:
n!+1 (3n)!
lim
2
4. Stime asintotiche e gra…ci locali. Dare una stima asintotica della funzione
f (x)per x ! x0 , e tracciare, di conseguenza, il gra…co qualitativo di f (x)in un intorno
di x = x0 . Classi…care questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide,
angoloso, di ‡esso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile,
asintoto verticale: : :). Nota: l’esercizio chiede di tracciare il gra…co locale e classi…care il
punto in base alla sola stima asintotica.
f (x) =
p
log j1 + 3 xj jlog (1
tan2 2x1=3
3x)j
;
x0 = 0:
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra…co qualitativo della seguente
funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta
la stima asintotica nei punti in cui
f si
annulla e alla frontiera dell’insieme di de…nizione, e
la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali punti notevoli (a
tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’in…nito.
h x+1 1=3
f (x) = x e( x+2 )
3
i
1 :
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = arctan 1
x3 + 5
x
:
a. Provare (senza utilizzare il calcolo di¤erenziale) che la funzione è strettamente monotona su R e quindi invertibile.
b. Calcolare f 0 (x) :
c. Detta g la funzione inversa di f , calcolare g 15 e g 0 15 .
4
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Tema n 2
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
p
2 z5
= i:
3z 5 + 2i
5
2. Funzione inversa. Si consideri la funzione
f (x) =
2e
1
x
+3
;
e x
che è invertibile in tutto il suo dominio di de…nizione. Scrivere esplicitamente la
funzione inversa x = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio
di de…nizione di g.
3. Limiti di funzioni. Calcolare i seguenti limiti, riportando i passaggi in
modo chiaro e corretto:
2
log x x+3x+1
2 +2
lim
2jxj
x! 1
e x+1 e2
6
4. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x) per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso
a¤ermativo determinandolo.
2
4=3
2
f (x) = xe(x +3x )=(x +1) :
5. Studio qualitativo di funzione.Tracciare il gra…co qualitativo della seguente
funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In
particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme
di de…nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali
punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento
all’in…nito.
x2 4
x+3
f (x) = e1=x
7
1=3
:
6. Derivata e retta tangente. Sia
sin x
f (x) = (sin x)
:
a. Determinare, nell’intervallo [0; 2 ], l’insieme di de…nizione di f , calcolare
la derivata f 0 (x) e sempli…care l’espressione ottenuta.
b. Scrivere l’equazione della retta tangente al gra…co di f nel punto di ascissa
;
sempli…cando
l’espressione ottenuta.
6
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Tema n 3
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
z 4 + 2iz 2
(1 + 2i) = 0:
9
2. Operazioni sui gra…ci. Tracciare il gra…co della seguente funzione, a partire dal gra…co noto della funzione x3=5 , applicando esclusivamente successive operazioni sul
gra…co (traslazione, dilatazione, ri‡essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra…ci
“di passaggio” utilizzati per costruire il gra…co della funzione, mettendo ben in evidenza il
gra…co di f (x). Segnare sugli assi ascissa o ordinata di qualche punto noto della funzione
(ad esempio di intersezione con gli assi, di max./min, ecc.)
f (x) = (2
3=5
jxj)
:
3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi
in modo chiaro e corretto:
p
2
3
xe 1=x + 3 Sh (2x)
lim
:
2
x!0
log x +5x+3
x+3
10
4. Stime asintotiche e gra…ci locali. Dare una stima asintotica della funzione
f (x)per x ! x0 , e tracciare, di conseguenza, il gra…co qualitativo di f (x)in un intorno
di x = x0 . Classi…care questo punto (cioè dire se si tratta ad es. di un punto di cuspide,
angoloso, di ‡esso a tangente verticale, di discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile,
asintoto verticale: : :). Nota: l’esercizio chiede di tracciare il gra…co locale e classi…care il
punto in base alla sola stima asintotica.
f (x) =
log2 x log (1 + 2x)
(x2
1=3
1)
;
x0 = 1:
5. Studio qualitativo di funzione. Determinare l’insieme di de…nizione e
tracciare il gra…co qualitativo della seguente funzione utilizzando opportunamente limiti e
stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei
punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di de…nizione e la determinazione degli
eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o
verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’in…nito.
f (x) = x log
11
x+1
2x 1
:
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = 6 arcsin
2x + 1
x
+
:
2
x+2
a. Provare (senza utilizzare il calcolo di¤erenziale) che la funzione è strettamente monotona in ( 2; 2) e quindi invertibile su tale intervallo.
b. Calcolare f 0 (x) :
c. Detta g la funzione inversa di f su ( 2; 2), calcolare g ( + 1) e g 0 ( + 1),
sempli…cando l’espressione ottenuta.
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Tema n 4
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
Cognome e nome (in stampatello)_______________________________
codice persona (o n di matricola)_______________________________
n d’ordine (v. elenco)______________________________________
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
z 2 + (Im z) (Re z) + 1 + i = 0:
13
2. Funzione inversa. Si consideri la funzione
f (x) = e2x + 4ex
12;
che è invertibile in tutto il suo dominio di de…nizione. Scrivere esplicitamente la
funzione inversa x = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio
di de…nizione di g.
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite).
Giusti…care i passaggi citando i teoremi utilizzati.
lim
n!+1
n
1
e 2n+3
p
e
2n cos
14
1
n
n2 sin
1
+ 3 sin n :
n
4. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x) per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso
a¤ermativo determinandolo.
p
4
f (x) = x4 + 3x3 2x2 4:
5. Studio qualitativo di funzione.
Tracciare il gra…co qualitativo della seguente
funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In
particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme
di de…nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali
punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento
all’in…nito.
f (x) = xe
15
x
jxj 1
:
6. Derivata e retta tangente. Si consideri la funzione
f (x) = p
x
6
x2
+
p
3
1
x:
a. Determinare l’insieme di de…nizione di f , calcolare la derivata f 0 e sempli…care l’espressione trovata; determinare l’insieme di de…nizione di f 0 :
b. Scrivere l’equazione della retta tangente al gra…co di f nel punto di ascissa
2.
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Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 1
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica e dicendo esplicitamente
quante sono:
z 3 + 5z jzj = 0:
z3 =
5z jzj :
Ponendo z = (cos # + i sin #) si ha:
3
2
(cos (3#) + i sin (3#)) = 5
(cos ( # + ) + i sin ( # + ))
3
=5 2
3# = # +
+ 2k
= 0; = 5
4# = + 2k ; # =
4
+
k
2
che dà le cinque soluzioni:
z1 = 0
5
5
5
5
ip
z2 = p + i p ; z 3 = p
2
2
2
2
5
5
5
5
z4 = p + i p ; z 5 = p
ip
2
2
2
2
2. Operazioni sui gra…ci. Tracciare il gra…co della seguente funzione, a
partire dal gra…co noto della funzione Sh x, applicando esclusivamente successive
operazioni sul gra…co (traslazione, dilatazione, ri‡essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra…ci “di passaggio”utilizzati per costruire il gra…co della
funzione, mettendo ben in evidenza il gra…co di f (x). Segnare sugli assi ascissa
o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con
gli assi, di max./min, ecc.)
f (x) = jSh jx
17
1j
Sh 1j :
Sh x
Sh jx
Sh jxj
1j
Sh jx
Sh 1
jSh jx
1j
1j
Sh 1j
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite).
Giusti…care i passaggi citando i teoremi utilizzati.
n3n
:
n!+1 (3n)!
lim
Successione a termini positivi, applichiamo il criterio del rapporto.
3(n+1)
3n+3
an+1
(n + 1)
(3n)!
(3n)! (n + 1)
=
=
3n
an
(3 (n + 1))! n
(3n + 3)!
n3n
=
1
1
3
(n + 1) 1 +
(3n + 3) (3n + 2) (3n + 1)
n
n3
3
(3n)
1+
1
n
n 3
!
18
3n
e3
< 1 (perché e < 3),
27
quindi per il criterio del rapporto la successione converge a zero.
4. Stime asintotiche e gra…ci locali. Dare una stima asintotica della
funzione f (x) per x ! x0 , e tracciare, di conseguenza, il gra…co qualitativo
di f (x) in un intorno di x = x0 . Classi…care questo punto (cioè dire se si
tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di ‡esso a tangente verticale, di
discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale: : :). Nota:
l’esercizio chiede di tracciare il gra…co locale e classi…care il punto in base alla
sola stima asintotica.
p
log j1 + 3 xj jlog (1 3x)j
f (x) =
; x0 = 0:
tan2 2x1=3
Per x ! 0 si ha:
p
log j1 + 3 xj jlog (1
tan2 2x1=3
3x)j
=
=
p
log (1 + 3 x) jlog (1 3x)j
tan2 2x1=3
p
3
x j 3xj
3 x1=3 jxj
=
2
4 x2=3
2x1=3
3 jxj
3
= x2=3 sgn (x) :
1=3
4x
4
Perciò x = 0 è un punto di discontinuità eliminabile, ‡esso a tangente verticale
ascendente. Gra…co locale:
0.2
0.4
0.2
.4
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra…co qualitativo della
seguente funzione, in base alla conoscenza delle proprietà delle funzioni elementari ed utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare
derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si
annulla e alla frontiera dell’insieme di de…nizione, e la determinazione degli
eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali punti notevoli (a tangente
orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’in…nito.
h x+1 1=3
i
f (x) = x e( x+2 )
1 :
19
x+1
x+2
De…nita per x 6= 2. Si annulla per x = 0 e per
x = 1. Studieremo perciò anche questi punti.
Per x ! 2 ;
h x+1 1=3
2 e( x+2 )
f (x)
e poiché
x+1
x+2
1=3
1
x+2
1=3
!
i
1 =2
1=3
= 0; quindi
1=3
( x+1
x+2 )
2e
1;
1=3
( x+1
x+2 )
e
!
f (x) !
0+
;
+1
2
1:
Quindi x = 2 è asintoto verticale per x ! 2 ; punto d’arresto (a tangente
orizzontale, perché la funzione si annulla con velocità esponenziale) per x !
2+ :
Per x ! 0;
h 1 1=3
i
f (x) x e( 2 )
1 = cx con c > 0:
La funzione in x = 0 taglia l’asse delle x con tangente obliqua crescente.
Per x ! 1;
h
i
1=3
1=3
f (x)
e(x+1)
1
(x + 1) ;
quindi x = 1 punto di ‡esso a tangente verticale, discendente
Per x ! 1;
f (x) x [e 1] ! 1
con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obliquo. Per x !
h x+1 1=3
i
f (x) x [e 1] = x e( x+2 )
1
x [e 1]
h x+1 1=3
i
h x+1 1=3
1
= x e( x+2 )
e = xe e( x+2 )
"
#
1=3
x+1
xe
1
x+2
perché l’esponente tende a zero. Ora, poiché
1=3
(1 + " (x))
"
x+1
xe
x+2
1
1=3
" (x) =3 abbiamo
#
"
1 = xe
1
1
x+2
20
x+1
x+2
1=3
1
#
1;
i
1
! 1; usando la stima
xe
1
3
1
x+2
!
e
3
perciò la funzione ha asintoto obliquo
y = x (e
1)
e
:
3
Gra…co qualitativo:
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = arctan 1
x3 + 5
x
:
a. Provare (senza utilizzare il calcolo di¤erenziale) che la funzione è strettamente monotona su R e quindi invertibile.
b. Calcolare f 0 (x) :
c. Detta g la funzione inversa di f , calcolare g 15 e g 0 15 .
a. La funzione 1 x3 è descrescente in tutto R; la funzione arctan t è
crescente in tutto R; la loro composizione arctan 1 x3 è descrescente in tutto
R. La funzione 5 x è descrescente in tutto R, quindi lo è anche f (x) ; come
somma di funzioni strettamente decrescenti in tutto R:
b.
3x2
5 x log 5:
f 0 (x) =
2
1 + (1 x3 )
c.
1
f (1) = arctan (0) + 5 1 = ,
5
21
perciò
g
g0
1
5
1
5
=1
=
f0
1
=
(1)
1
1
5
3
22
log 5
=
1
3+
1
5
log 5
:
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 2
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
p
2 z5
= i:
3z 5 + 2i
Risolviamo prima in z 5 :
2
z5
p
z 5 = i 3z 5 2
p
i 3+1 =4
p
4 1 i 3
4
p =
=1
z =
1+3
1+i 3
5
da cui
e poiché 1
z=
p
5
p
i 3
q
p
5
z= 1 i 3
p
p
i 3 = 2 e arg 1 i 3 = 53 , si ha:
2 cos
3
+
2k
5
+ i sin
3
+
2k
5
con k = 0; 1; 2; 3; 4
e le soluzioni sono 5 in tutto.
2. Funzione inversa. Si consideri la funzione
f (x) =
2e
1
x
+3
;
e x
che è invertibile in tutto il suo dominio di de…nizione. Scrivere esplicitamente la
funzione inversa x = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio
di de…nizione di g.
23
Risolviamo l’equazione
2e x + 3
=y
1 e x
2e x + 3 = y
e
de…nita per
2+y
y 3
x
x
ye
(2 + y) = y 3
y 3
e x=
2+y
y 3
x = log
2+y
y 3
x = log
2+y
> 0; dunque y <
= log
2+y
y 3
;
2; y > 3:
3. Limiti di funzioni. Calcolare i seguenti limiti, riportando i passaggi in
modo chiaro e corretto:
2
log x x+3x+1
2 +2
lim
2jxj
x! 1
e x+1 e2
Per x ! 1;
log
log
x2 + 3x + 1
x2 + 2
x2 + 3x + 1
x2 + 2
! 0;
x2 + 3x + 1
x2 + 2
1=
3x 1
x2 + 2
3
x
Per x ! +1;
2jxj
e x+1
2x
e x+1
2x
1
e2 = e x
e2 ! 0;
2x
e2 = e2 e x+1
mentre per x !
2
2x
x+1
e2
1
2
=
2
e2 :
1;
2jxj
e x+1
e2 = e x
2x
1
e2 ! e
Perciò per x ! +1;
3
x
2e2
x
f (x)
mentre per x !
1;
f (x)
=
3
2e2
e2
! 0:
3
x
e
2
24
2e2
x+1
2e2
x
4. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x) per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso
a¤ermativo determinandolo.
2
4=3
2
f (x) = xe(x +3x )=(x +1) :
x2 + 3x4=3 = x2 + 1 ! 1 per x !
f (x)
1; perciò
xe !
1
con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obliquo.
f (x)
h 2
4=3
2
xe = xe e(x +3x )=(x +1)
= xe
3x4=3 1
x2 + 1
xe
1
i
1
xe
3x4=3
x2
x2 + 3x4=3
x2 + 1
= 3ex1=3 !
1
1;
perciò non esiste asintoto obliquo.
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra…co qualitativo della
seguente funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non
calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui
f si annulla e alla frontiera dell’insieme di de…nizione e la determinazione degli
eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali punti notevoli (a tangente
orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’in…nito.
x2 4
x+3
f (x) = e1=x
1=3
:
De…nita per x 6= 0; x 6= 3. Si annulla in x = 2; punti in cui mi aspetto
‡essi a tangente verticale, per la presenza della radice cubica. Studierò quindi
questi punti.
Per x ! 0 ;
1=3
4
1
f (x)
e1=x
!
0
3
Perciò x = 0 asintoto verticale per x ! 0+ , x = 0 punto d’arresto a tangente
orizzontale per x ! 0 (la funzione si annulla con velocità esponenziale).
Per x ! 3 ;
1=3
5
f (x) e 1=3
! 1;
x+3
quindi x = 3 asintoto verticale.
Per x ! 2;
f (x)
e1=2
4 (x 2)
5
1=3
= e1=2
25
4
5
1=3
(x
1=3
2)
;
perciò x = 2 punto di ‡esso a tangente verticale, ascendente.
Per x ! 2;
f (x)
e
1=2
1=3
( 4 (x + 2))
41=3 e
=
1=2
1=3
(x + 2)
;
perciò x = 2 punto di ‡esso a tangente verticale, discendente.
Per x ! 1;
f (x) x1=3 ! 1
con crescita sottolineare. In particolare, non c’è asintoto obliquo. Gra…co qualitativo:
6. Derivata e retta tangente. Sia
sin x
f (x) = (sin x)
:
a. Determinare, nell’intervallo [0; 2 ], l’insieme di de…nizione di f , calcolare
la derivata f 0 (x) e sempli…care l’espressione ottenuta.
b. Scrivere l’equazione della retta tangente al gra…co di f nel punto di ascissa
;
sempli…cando
l’espressione ottenuta.
6
a. De…nita per sin x > 0; quindi in (0; ) : Riscrivendo f (x) = esin x log(sin x)
26
si calcola:
sin x
f 0 (x) = (sin x)
0
(sin x log (sin x))
sin x
= (sin x)
sin x
= (sin x)
b. f 6 =
Retta tangente:
1
2
1
2
=
p1 ;
2
f0
cos x log (sin x) +
sin x cos x
sin x
cos x (log (sin x) + 1) :
6
=
p1
2
p
3
2
log
y = f (x0 ) + f 0 (x0 ) (x x0 )
p
3
1
y = p + p (1 log 2) x
2 2 2
27
1
2
6
+1 =
:
p
p3
2 2
(1
log 2) :
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 3
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
z 4 + 2iz 2
(1 + 2i) = 0:
Equazione biquadratica, risolviamo prima in z 2 :
z2 =
=
i+
p
i
(1 + i) =
1 + (1 + 2i) =
i+
p
2i =
i
p
2
1+i
p
2
1
1
2i:
Ora, z 2 = 1 dà
z=
mentre z 2 =
z=
1
2i, dà (poiché j 1
p
4
5 cos
1
2ij =
1
arctan 2 +
2
2
p
5 e arg ( 1
2i) = arctan 2 + ):
1
arctan 2 +
2
2
+ i sin
e le soluzioni sono in tutto 4.
2. Operazioni sui gra…ci. Tracciare il gra…co della seguente funzione, a
partire dal gra…co noto della funzione x3=5 , applicando esclusivamente successive
operazioni sul gra…co (traslazione, dilatazione, ri‡essione, valore assoluto). Riportare anche i vari gra…ci “di passaggio”utilizzati per costruire il gra…co della
funzione, mettendo ben in evidenza il gra…co di f (x). Segnare sugli assi ascissa
o ordinata di qualche punto noto della funzione (ad esempio di intersezione con
gli assi, di max./min, ecc.)
f (x) = (2
28
3=5
jxj)
:
x3=5
(2
3=5
(2 + x)
3=5
jxj)
(2
3=5
x)
3=5
(2
jxj)
3. Limiti di funzioni. Calcolare il seguente limite, riportando i passaggi
in modo chiaro e corretto:
p
2
3
xe 1=x + 3 Sh (2x)
:
lim
2
x!0
log x +5x+3
x+3
Poiché, per x ! 0, 3 Sh (2x) 6x mentre
damente di qualsiasi potenza di x;
Num.
Per x ! 0 si ha
2
x +5x+3
x+3
p
3
xe
1=x2
tende a zero più rapi-
6x:
! 1; perciò
x2 + 5x + 3
x+3
x2 + 4x
4x
=
:
x+3
3
x2 + 5x + 3
x+3
Den. = log
Pertanto
f (x)
6x
4x
3
=
1
9
:
2
4. Stime asintotiche e gra…ci locali. Dare una stima asintotica della
funzione f (x) per x ! x0 , e tracciare, di conseguenza, il gra…co qualitativo
di f (x) in un intorno di x = x0 . Classi…care questo punto (cioè dire se si
29
tratta ad es. di un punto di cuspide, angoloso, di ‡esso a tangente verticale, di
discontinuità a salto, di discontinuità eliminabile, asintoto verticale: : :). Nota:
l’esercizio chiede di tracciare il gra…co locale e classi…care il punto in base alla
sola stima asintotica.
f (x) =
log2 x log (1 + 2x)
1=3
(x2
1)
;
x0 = 1:
Per x ! 1;
f (x)
(x
21=3
2
1) log 3
(x
1=3
1)
=
log 3
(x
21=3
5=3
1)
:
Quindi x = 1 è punto di discontinuità eliminabile, di ‡esso a tangente orizzontale, ascendente. Gra…co locale:
5. Studio qualitativo di funzione. Determinare l’insieme di de…nizione
e tracciare il gra…co qualitativo della seguente funzione utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui f si annulla e alla frontiera dell’insieme di
de…nizione e la determinazione degli eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co
eventuali punti notevoli (a tangente orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto,
ecc.), e l’andamento all’in…nito.
f (x) = x log
De…nita per
x+1
2x 1
> 0; cioè x <
x+1
2x 1
:
1; x > 1=2:
Inoltre f si annulla (essendo x 6= 0 nel dominio) per log
x+1
2x 1
= 1; cioè x + 1 = 2x 1; x = 2:
Studieremo pertanto la funzione per x !
Per x ! 1 ;
x+1
f (x)
log
3
30
x+1
2x 1
= 0; cioè
1 ; x ! 1=2+ ; x ! 2; x !
!
1;
1:
x = 1 asintoto verticale da sinistra.
Per x ! 1=2+ ;
1
log
2
f (x)
3=4
(x 1=2)
! +1;
x = 1=2 asintoto verticale da destra.
Per x ! 2; poiché l’argomento del logaritmo tende a 1,
f (x)
x+1
x+1
2
2x 1
2x 1
2
x+2
jx 2j ;
=2
2x 1
3
2 log
1
perciò la funzione ha un punto angoloso e di minimo relativo in x = 2:
Per x ! 1;
f (x)
x log
1
2
= x log 2 !
1
con crescita lineare. Cerchiamo asintoto obliquo. Per x ! 1 l’argomento
x+1
del logaritmo tende a 1=2; quindi il logaritmo è negativo perciò log 2x
=
1
log
x+1
2x 1
= log
f (x)
2x 1
x+1
e
x log 2 = x log
2x 1
x+1
x log 2 = x log
1
2
2x 1
x+1
e poiché l’argomento dell’ultimo logaritmo scritto tende a 1 vale la stima asintotica
x log
1
2
2x 1
x+1
1
2
x
2x 1
x+1
1 =x
e la funzione ha asintoto obliquo
y = x log 2
31
3
:
2
3=2
x+1
!
3
2
Gra…co qualitativo:
6. Derivata di funzione inversa. Sia
f (x) = 6 arcsin
x
2x + 1
+
:
2
x+2
a. Provare (senza utilizzare il calcolo di¤erenziale) che la funzione è strettamente monotona in ( 2; 2) e quindi invertibile su tale intervallo.
b. Calcolare f 0 (x) :
c. Detta g la funzione inversa di f su ( 2; 2), calcolare g ( + 1) e g 0 ( + 1),
sempli…cando l’espressione ottenuta.
a. Per x 2 ( 2; 2) ; quindi x2 2 ( 1; 1) ; la funzione arcsin
crescente, quindi lo è anche 6 arcsin x2 .
La funzione y = 2x+1
x+2 è un’iperbole, di gra…co:
x
2
è strettamente
in particolare è strettamente crescente in ( 2; +1) : Perciò in ( 2; 2) ; essendo
somma di due funzioni strettamente crescenti, f (x) è strettamente crescente e
quindi invertibile.
32
b.
6
f 0 (x) = q
1
c.
x 2
2
1 2 (x + 2) (2x + 1)
+
=q
2
2
(x + 2)
3
1
f (1) = 6 arcsin
1
2
+
2+1
=6
+1=
1+2
6
x 2
2
+ 1;
quindi
g ( + 1) = 1
g 0 ( + 1) =
f0
1
=
(1)
1
q
3
1
33
2
( 12 )
+
3
32
1
= p
:
2 3 + 13
+
3
2:
(x + 2)
Prima prova in itinere di Analisi Matematica 1
Ingegneria Elettronica. Politecnico di Milano
A.A. 2015/2016. Prof. M. Bramanti
Svolgimento Tema n 4
Es.
Punti
1
2
3
4
5
6
Tot.
1. Numeri complessi. Risolvere la seguente equazione nel campo complesso, scrivendo tutte le soluzioni in forma algebrica o trigonometrica e dicendo
esplicitamente quante sono:
z 2 + (Im z) (Re z) + 1 + i = 0:
Ponendo z = x + iy abbiamo:
x2
y 2 + 2ixy + xy + 1 + i = 0
x2 y 2 + xy + 1 = 0
2xy + 1 = 0
1
2x
1
4x2
y=
x2
1
2
+1=0
4x4 + 2x2 1 = 0
p
1
5
2
x =
di cui è accettabile perché non negativa:
4p
1+ 5
x2 =
4
q
1 p
1
1
x=
5 1; y =
= pp
2
2x
5 1
e le soluzioni sono due in tutto:
z=
1
2
q
p
5
1
pp
i
5
1
!
:
2. Funzione inversa. Si consideri la funzione
f (x) = e2x + 4ex
12;
che è invertibile in tutto il suo dominio di de…nizione. Scrivere esplicitamente la
funzione inversa x = g (y) (riportando tutti i passaggi), e determinare il dominio
di de…nizione di g.
34
Risolviamo l’equazione
y = e2x + 4ex
2x
e
x
+ 4e
(12 + y) = 0
ex =
poiché ex > 0; la soluzione
p
4 + 12 + y =
2
p
2
12
p
2
16 + y
16 + y non è accettabile, rimane
p
ex = 2 + 16 + y
p
x = log
2 + 16 + y ;
che è la funzione inversa cercata. E’de…nita per 16 + y
porta a
0e
p
16 + y > 2, che
16 + y > 4
y > 12:
3. Limiti di successioni. Stabilire se la seguente successione è convergente, divergente o irregolare (nei primi due casi, precisandone il limite).
Giusti…care i passaggi citando i teoremi utilizzati.
n
e 2n+3
n
p
1
e 2n+3
p
1
lim
n!+1
e
2n cos
e =
p
e e 2n+3
=
p
e
n
1
1
n
1
2
n2 sin
p
1
+ 3 sin n :
n
n 1
2n + 3
5 p
e
4n
1
5
2 (2n + 3)
e
1
2
perché l’esponente tende a zero; si è usata la stima asintotica e"n
"n ! 0:
2n cos
1
n
n2 sin
dove
2 cos
1
n
perché: cos n1 ! 1; sin n1
Quindi
1
+ 3 sin n
n
n sin
1
n
2n cos
In de…nitiva,
an
= n 2 cos
1
sin n
+3
n
n
1
n
!2
e sin n limitata, perciò
1
n
n2 sin
1
+ 3 sin n
n
5 p
e n=
4n
35
5p
e
4
n sin
1
sin n
+3
n
n
1 + 0 = 1;
sin n
n
! 0:
n:
1
"n con
e questo è il limite cercato.
4. Stima all’in…nito e asintoto obliquo. Dare una stima asintotica di
f (x) per x ! 1; stabilire quindi se f possiede un asintoto obliquo, in caso
a¤ermativo determinandolo.
p
4
f (x) = x4 + 3x3 2x2 4:
r
4
f (x) = jxj
con crescita lineare, per x !
Per x ! +1;
"r
f (x)
x
3
1+
x
4
x=x
2
4
3
jxj ! +1
x x2
x4
1. Cerco eventuale asintoto obliquo.
1+
1
4
3
x
2
x2
2
x2
e c’è asintoto obliquo y = x + 34 :
Per x ! 1;
"r
f (x) + x =
x
x
e c’è asintoto obliquo y =
4
3
1+
x
1
4
3
x
#
4
x4
1
4
x4
2
x2
2
x2
x
4
x4
1
1
4
3
x
=
3
4
#
4
x4
x
1
4
3
x
=
3
4
3
4:
x
5. Studio qualitativo di funzione. Tracciare il gra…co qualitativo della
seguente funzione, utilizzando opportunamente limiti e stime asintotiche (non
calcolare derivate). In particolare, è richiesta la stima asintotica nei punti in cui
f si annulla e alla frontiera dell’insieme di de…nizione e la determinazione degli
eventuali asintoti. Evidenziare nel gra…co eventuali punti notevoli (a tangente
orizzontale o verticale, angolosi, di asintoto, ecc.), e l’andamento all’in…nito.
f (x) = xe
De…nita per jxj 6= 1; cioè x 6=
anche questo punto.
Per x ! 1 ;
f (x)
x
jxj 1
:
1: Si annulla in x = 0; quindi studieremo
e
x
x
1
!
0+
+1
e x = 1 è asintoto verticale da sinistra, punto d’arresto a tangente orizzontale
da destra, perché la funzione si annulla con velocità esponenziale.
36
Per x !
1 ;
x
f (x)
e x+1 !
0
1
e x = 1 è asintoto verticale da sinistra, punto d’arresto a tangente orizzontale
da destra, perché la funzione si annulla con velocità esponenziale.
Per x ! 0;
f (x) x
quindi la funzione attraversa l’origine con tangente y = x:
Per x ! 1;
f (x) xe 1 ! 1
con crescita lineare. Cerco eventuale asintoto obliquo.
Per x ! +1;
x
x
x
x
x
f (x)
= xe x 1
=
e x 1 +1 1
e
e
e
x
x
1
x
+1 =
!
e
x 1
e x 1
e c’è asintoto obliquo y =
Per x ! 1;
f (x)
x
e
1
e.
x
xe = xe x+1
xe
1
e
x
xe = xe e x+1
x
x+1
1
e c’è asintoto obliquo y = xe e.
Gra…co qualitativo non in scala:
37
= xe
1
1
1
x+1
!
e
6. Derivata e retta tangente. Si consideri la funzione
f (x) = p
x
6
x2
+
p
3
1
x:
a. Determinare l’insieme di de…nizione di f , calcolare la derivata f 0 e sempli…care l’espressione trovata; determinare l’insieme di de…nizione di f 0 :
b. Scrivere l’equazione della retta tangente al gra…co di f nel punto di ascissa
2.
p
p
a. f de…nita per
6 < x < 6.
p
2x)
p
6 x2 2x(
1
6
6 x2
0
f (x) =
=
2
2=3
3=2
6 x
3 (1 x)
(6 x2 )
p
p
de…nita per
6 < x < p 6, x 6= 1:
1
1
p3
b. f (2) = p22 1 = 2 1; f 0 (2) = (2)63=2
3 =
3
2
y = f (2) + f 0 (2) (x 2)
p
3
1
y = 2 1+ p
(x 2)
2 3
p
3
1
1
y= p
x
2 2+
:
3
2 3
38
1
3 (1
2=3
x)
;