Generalit9 sulle funzioni Dati due insiemi A e B una

Generalità sulle funzioni
Dati due insiemi A e B una funzione
f :A!B
è una legge che associa ad ogni elemento dell’insieme A un elemento dell’insieme
B.
L’insieme A è detto dominio della funzione. L’insieme B è detto codominio.
Dato a 2 A l’elemento dell’insieme B associato ad a dalla funzione viene
indicato con f (a). Si dirà anche che f (a) è il valore che la funzione f assume
in corrispondenza del valore a.
Esempi
1. f : R ! R tale che f (x) = x + 1.
2. Sia R+ = fx 2 R : x > 0g e f : R ! R+ tale che f (x) = x2 .
3. Consideriamo
f (x) =
8
< 1
:
0
x2Q
x2RnQ
4. Sia T l’insieme dei triangoli del piano. Consideriamo f : T ! R+ tale che
se T 2 T allora f (T ) è l’area del triangolo T .
Sia f : A ! B una generica funzione. Indichiamo con A B il prodotto
cartesiono degli insiemi A e B. Come noto A B = f(a; b) : a 2 A e b 2 Bg. Il
gra…co della funzione f è quel sottoinsieme di A B de…nito da
Graf (f ) = f(a; b) 2 A
B : b = f (a)g :
Poiché R R è identi…cabile con il piano cartesiano (coppie di numeri reali)
quando A e B sono sottoinsiemi di numeri reali il gra…co di f è identi…cabile
con un sottoinsieme di punti del piano cartesiano.
Esempio. Gra…co di f (x) = x2 .
Osservazione. Dal gra…co di f è possibile ricavare i gra…ci di f (x + 1),
f (x), f (x) + 1 e jf (x)j.
De…nizione. Una funzione f : A ! B si dice iniettiva se dati a1 ; a2 2 A
tali che f (a1 ) = f (a2 ) si ha necessariamente a1 = a2 .
De…nizione. Una funzione f : A ! B si dice suriettiva se preso b 2 B
esiste a 2 A tale che f (a) = b.
De…nizione. Una funzione che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva si dice biunivoca.
Osserviamo ora che le funzioni biunivoche sono invertibili. Se f : A ! B
è biunivoca è possibile cioè de…nire una funzione
f
1
:B!A
1
in modo che x = f
allora
1
(y) sia l’unico elemento di A tale che f (x) = y. Si ha
f
f
1
x 7 ! f (x) 7 ! f
e
f
1
y7 !f
1
1
(f (x)) = x
f
(y) 7 ! f f
1
(y) = y:
Esempio. Sia f : R ! R de…nita da x 7 ! log 1 + x2 . Fissiamo y 2 R e
vediamo se esiste un unico x 2 R tale f (x) = y. Poiché
y = log 1 + x2
avremo
ey = 1 + x2
e quindi
ey
1 = x2 :
A questo punto dobbiamo osservare due cose:
1) questa equazione ha soluzione solo se y 1.
2) La soluzione non è unica. Infatti si avrà
p
ey 1:
x=
La prima osservazione ci dice che per ottenere una funzione suriettiva dobbiamo restringere il codominio a [1; +1). La seconda osservazione ci dice che
per avere una funzione iniettiva bisogna scegliere come dominio [0; +1) oppure
( 1; 0].
Gra…co della funzione inversa
Sia (x; y) 2 Graf (f ) allora (y; x) 2 Graf f 1 . Da questo segue che si
passa dal gra…co di f al gra…co di f 1 mediante una simmetria rispetto alla
retta y = x.
Consideriamo ad esempio
p
f (x) = x2 ; f 1 (x) = x
2
y
5
3.75
2.5
1.25
0
0
1.25
2.5
3.75
5
x
Ci sono funzioni che sono sicuramente invertibili?
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