ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
1
Introduzione
La funzione
y=
3x 2 + 2x − 1
x2 − 1
non è definita per x = 1 e x = −1.
Non possiamo, quindi, calcolare il valore della funzione in questi due valori di x, ma possiamo
chiederci quanto vale la funzione vicino a 1 e vicino a −1.
x
Cominciamo sostituendo valori prossimi a 1.
Dalla tabella si nota che per valori di x poco più piccoli di 1
la funzione decresce rapidamente assumendo valori sempre
più piccoli, mentre per valori di x poco più grandi di 1 aumenta
rapidamente il suo valore.
In questo caso si dice che il limite della funzione per x che tende a
0,9
0,99
0,999
0,9999
1,1
1,01
1,001
1,0001
y=(3x2+2x-1)/(x2-1)
-17
-197
-1997
-19997
23
203
2003
20003
1 è ∞. Si deve inoltre distinguere il limite per x che tende a 1 da sinistra (valori più piccoli) e da
destra (valori più grandi), in simboli
lim f ( x ) = − ∞
e
x → 1−
lim f ( x ) = + ∞
x → 1+
Sostituiamo ora valori di x vicini a −1, per eccesso e per difetto.
In questo caso osserviamo una situazione diversa:
si nota che per valori di x molto vicini a −1, sia da sinistra che da
destra, il valore della funzione è molto vicino a 2.
In questo caso si dice che il limite della funzione per x che tende a
– 1 vale 2, in simboli
lim f(x) = 2 .
x
-0,9
-0,99
-0,999
-0,9999
-1,1
-1,01
-1,001
-1,0001
y=(3x2+2x-1)/(x2-1)
1,947368421
1,994974874
1,99949975
1,999949997
2,047619048
2,004975124
2,00049975
2,000049997
x→ − 1
Della stessa funzione ci interessa conoscere l’andamento per
valori di x molto grandi in valore assoluto:
osservando la tabella ci accorgiamo che per valori di x molto
grandi, il valore della funzione si avvicina sempre di più a 3, così
come per valori molto piccoli.
In questo caso si dice che il limite della funzione per x che tende
a
x
100
1000
10000
100000
-100
-1000
-10000
-100000
-1000000
y = (3x2+2x-1)/(x2-1)
3,02020202
3,002002002
3,00020002
3,00002
2,98019802
2,998001998
2,99980002
2,99998
2,999998
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
2
± ∞ vale 3, in simboli xlim
f(x)=3 e xlim
f(x)=3 .
→ +∞
→ −∞
Consideriamo ora la funzione
y=
x2 − 5x + 6
x− 4
.
Sostituendo valori prossimi a 4 ci accorgiamo che
lim f ( x ) = − ∞
x → 4−
e
lim f ( x ) = + ∞ .
x → 4+
x
3,99
3,9999
3,99999999
4,0001
4,00001
4,000001
y = (x2 -5x+6)/(x-4)
-197,01
-19997,0001
-199999998,2
20003,0001
200003,000018
2000002,999721
Se andiamo a studiare la funzione all’∞, osservando la tabella,
notiamo che all’aumentare di x cresce anche il valore della
funzione e viceversa.
In questo caso si dice che il limite della funzione per x che tende
a + ∞ è +∞ e per x che tende a −∞ è −∞:
lim f ( x ) = − ∞
x→ − ∞
e
lim f ( x ) = + ∞ .
x→ + ∞
x
y =(x2-5x+6)/(x-4)
10000
9999,0002
100000
99999,00002
1000000 999999,0000020000
-10000
-10001,0002
-100000
-100001
-1000000
-1000001
Conclusioni
Nello studio di una funzione, dopo averne determinato il dominio, il segno e le intersezioni con gli
assi, bisogna analizzarne il comportamento nei punti esclusi dal dominio e all’infinito, +∞ e −∞, (in
generale, negli estremi individuati nel dominio).
Gli esempi proposti rappresentano le quattro situazioni che si possono incontrare:
• x tende ad un valore finito e il risultato del limite è un valore finito (tabella 2)
• x tende ad un valore finito e il risultato del limite è un valore infinito (tabelle 1 e 4)
• x tende ad un valore infinito e il risultato del limite è un valore finito (tabella 3)
• x tende ad un valore infinito e il risultato del limite è un valore infinito (tabella 5).
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
3
Limiti e andamento della funzione
Limite finito per x tendente ad un valore finito:
lim f ( x ) = ± ∞
x→ x0
o
Tornando al primo esempio: dire che per valori di x
molto vicini a −1, il valore della funzione è molto vicino
a 2, equivale a dire che in un intorno di −1, la differenza
tra il valore di f(x) e (2) è molto piccola (osservando la
tabella si vede come la differenza sia 0,001, 0,0001…).
Graficamente quindi la funzione si avvicina al punto
(-1;2) senza toccarlo.
Limite finito per x tendente ad infinito :
lim f(x)=ℓ
x→ ± ∞
Nello studio all’∞ della prima funzione
introdotta nel capitolo abbiamo visto che
y = f(x) si avvicina al valore 3, per valori
di x molto grandi o molto piccoli:
graficamente quindi la funzione tende a
stabilizzarsi sul valore y=3.
Limite infinito per x tendente ad un valore finito
lim f ( x ) = + ∞
x→ x0
Studiando la prima funzione in valori prossimi a
x=1 (e la seconda in x=4) abbiamo visto che la funzione
decresce rapidamente avvicinandosi a 1 da sinistra e aumenta
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
4
rapidamente il suo valore avvicinandosi da destra: graficamente la funzione si avvicina alla retta x=1
senza mai toccarla, come in figura.
Limite infinito per x tendente ad infinito:
lim f ( x ) = ± ∞
x→ ± ∞
lim f ( x ) = + ∞
Nella figura a lato sono rappresentate le 4
possibili situazioni che si possono incontrare.
•
Se
lim f ( x ) = + ∞
x→ + ∞
lim f ( x ) = + ∞
x→ − ∞
x→ + ∞
y
la funzione cresce al
crescere della variabile x: sul piano cartesiano
disegnerò un tratto di curva al centro del I
x
quadrante (x e y positive).
•
Se
lim f ( x ) = − ∞
x→ + ∞
la funzione decresce al
crescere della variabile x: sul piano cartesiano
lim f ( x ) = − ∞
x→ − ∞
lim f ( x ) = − ∞
x→ + ∞
disegnerò un tratto di curva nel IV quadrante.
•
Se
lim f ( x ) = + ∞
x→ − ∞
la funzione cresce al decrescere della variabile x: sul piano cartesiano
disegnerò un tratto di curva al centro del II quadrante.
•
Se
lim f ( x ) = − ∞
x→ − ∞
la funzione decresce al decrescere della variabile x: sul piano cartesiano
disegnerò un tratto di curva al centro del III quadrante.
PROPRIETA’ DEI LIMITI
TEOREMI
Teorema di unicità del limite
Se per x che tende a x0 la funzione f(x) ha per limite ℓ , allora tale limite è unico.
Teorema di permanenza del segno
Se la funzione f(x) per x che tende ad x0 tende ad ℓ diverso da zero allora esiste un intorno completo I
di x0, escluso al più x0, in cui la funzione assume lo stesso segno di ℓ.
Teorema del confronto
Se in un intorno di x0 escluso al più x0 vale la disuguaglianza f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) e si ha
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lim
lim
lim
x → x 0 f(x) = x → x 0 h(x) = ℓ , allora x → x 0 g(x) = ℓ.
5
OPERAZIONI
• Il limite della somma di due funzioni
Supponiamo che
lim f(x) = ℓ
x→ x0
e
lim g(x)=m,
x→ x0
si dimostra che
lim [f(x)+g(x)] = ℓ + m
x→ x0
cioè il limite per x→x0 (o per x→∞) della somma di due funzioni è uguale alla somma dei limiti.
•
Il limite del prodotto di due funzioni
Supponiamo che
lim f(x)= ℓ
x→ x0
e
lim g(x)=m, si dimostra che lim [f(x)∙g(x)] = ℓ ∙ m
x→ x0
x→ x0
cioè il limite per x→x0 (o per x→∞) del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto dei limiti.
•
Il limite del reciproco di una funzione
Supponiamo che
lim f(x) = ℓ ≠0 ,si dimostra che lim 1 = 1
x→ x0 f (x)
x→ x0
cioè il limite per x→x0 (o per x→∞) del reciproco di una funzione è uguale al reciproco del limite.
•
Il limite del quoziente di due funzioni
Supponiamo che
lim f(x)=ℓ
x→ x0
e
lim g(x)=m≠0, si dimostra che lim f ( x ) =
x→ x 0 g(x )
m
x→ x0
cioè il limite per x→x0 (o per x→∞) del quoziente di due funzioni è uguale al quoziente dei limiti.
Definizione di continuità in punto
La funzione f(x) si dice continua nel punto x 0 interno al suo dominio se vale la seguente uguaglianza:
lim f(x) = f(x0) . In altre parole esiste ed è finito il limite per x→x 0 e tale limite è uguale al valore
x→ x0
che la funzione assume in x0.
Da un punto di vista intuitivo una funzione è continua se “si può disegnare senza staccare la penna
dal foglio”.
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
Sono funzioni continue:
y = x n (con n numero naturale)
;
6
y=ax
;
y = log a x
;
y = sen x
;
y = cos x
Teoremi sulle funzioni continue
Teorema della permanenza del segno
Se la funzione f(x) è continua nel punto x0 e f(x0)≠0 allora esiste un intorno completo I di x0 in cui la
funzione assume lo stesso segno di f(x0).
Teorema dell’esistenza degli zeri
Se una funzione è definita e continua in un intervallo chiuso
[a,b] e se f(a) e f(b) hanno segno opposto, allora esiste almeno
un x0 interno ad (a,b) tale che f(x0)= 0.
Intuitivamente, se la funzione è continua e deve andare
a
b
dal punto (a; f(a)) al punto (b; f(b)) senza staccare la penna
dal foglio, deve necessariamente attraversare l’asse x almeno
una volta.
Teorema di Bolzano
Se una funzione è definita e continua in un intervallo I, qualunque siano i punti a e b dell'intervallo,
allora la funzione nell'intervallo (a,b) assume tutti i valori compresi fra f(a) e f(b).
In termini intuitivi il teorema di Bolzano afferma che una funzione continua non procede a salti.
Teorema. Una funzione continua in un insieme chiuso è limitata.
Teorema di Weierstrass
Una funzione continua su un intervallo chiuso assume sempre un massimo ed un minimo.
Anche in questo caso è importante notare che per la validità del teorema è necessario che l'intervallo
in cui la funzione è continua sia chiuso.
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7
Calcolo del limiti di funzioni continue
Il limite
lim f(x) di una funzione continua si ottiene semplicemente sostituendo x0 alla variabile x.
x→ x0
Nel calcolo di limiti si deve tener conto delle regole sulle operazioni precedentemente indicate.
lim
Ad esempio
x→ 3
5x + 1
2
x −1
5⋅ 3+ 1
=
2
3 −1
=
16
= 2
8
Nel calcolo di limiti delle funzioni esponenziali e logaritmiche basta ricordare l’andamento delle
funzioni.
Osservando il grafico della funzione esponenziale a fianco
si deduce che:
se a>1
lim a x = + ∞
e
x→ + ∞
al contrario, se 0<a<1
lim a x = 0
x→ − ∞
lim a x = 0
x→ + ∞
lim a x = + ∞
e
x→ − ∞
Osservando il grafico delle funzioni logaritmiche a fianco si deduce che
Se a>1
lim log a x = − ∞
e
lim log a x = + ∞
e
x→ 0+
Se 0<a<1
x→ 0+
lim log a x = + ∞
x→ + ∞
lim log a x = − ∞
x→ + ∞
Quando nel calcolo si ha un valore infinito o lo zero, bisogna tener conto delle
regole raccolte nella tabella a fianco, dove n indica un qualsiasi numero reale.
ESEMPI:
lim
x→ 1
lim
x→ ∞
lim
x→ 3
lim
x→ 0
5x + 1
2
x −1
=
5⋅ 1+ 1
2
1 −1
=
16
= ∞
0
5
5
5
=
=
= 0
x− 1 ∞ − 1 ∞
x− 3
2
x −1
senx
e
2x + 1
=
=
3− 3
2
3 −1
sen 0
e
2⋅ 0 + 1
=
0
= 0
8
=
0
= 0
e
∞ + n= ∞
∞ ⋅n= ∞
∞
= ∞
n
n
= ∞
0
n
= 0
∞
0
= 0
∞
0
= 0
n
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
ESERCIZI:
8
Calcolare i seguenti limiti:
1
lim 3x + x 2 − 3 +
x→ + ∞
x4
1
lim ln
x → + ∞ 2x
2x 2 − 3x + 1
x→ 3
1 − 2x
lim
lim
ex
1 − 2x 3
3x + 1
lim
x → 1 Log x
x→ − ∞
x
2
x→ 0 2 − 2x
lim
2 x 3 − 3x + 1
2
4 − 2x
lim
x→
2x 3 − 3x + 1
x→ 1
1 − 2x
lim
Forme indeterminate
+ ∞ − ∞
∞ ⋅0
Nel calcolo dei limiti, possono verificarsi delle situazioni in cui
non è possibile effettuare le comuni operazioni algebriche.
Ad esempio: lim
x→ 1
ln x
x2 − 1
=
ln 1
12 − 1
=
∞
∞
0
0
00
0
= ?
0
Si parla allora di forme indeterminate.
In tabella sono riportate le forme indeterminate più comuni che è possibile
1∞
incontrare.
La risoluzione delle forme indeterminate richiede tecniche di calcolo opportune.
∞
0
Noi risolveremo solo le forme indeterminate (∞/∞), (+∞ −∞) e, dopo aver trattato
l’argomento Derivata di una funzione, quella (0/0).
Risoluzione delle forme indeterminate (∞/∞) e (+∞−∞):
confronto di infiniti
Diciamo che la funzione f(x) è un infinito per x che tende a x0 se
lim f(x)= ∞ .
x→ x0
Intuitivamente il termine ordine di infinito di una funzione indica la rapidità con cui la funzione
cresce verso l’infinito.
Nel limite a +∞ della funzione y = 2x – 3x4 + 2 si presenta la forma indeterminata +∞ −∞.
Ricordando le proprietà dei logaritmi si ha:
(
)
( )
( )
lim 2x − 3x 4 + 2 = lim ( 2 x ) − lim 3x 4 + lim ( 2) = lim ( 2 x ) − lim 3x 4 + 2
x→ + ∞
x→ + ∞
x→ + ∞
x→ + ∞
x→ + ∞
x→ + ∞
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
9
Per stabilire quale sia il risultato bisogna chiedersi quale delle tra le funzioni y = 2x e y = 3x 4 va
all’infinito più rapidamente: basta sostituire valori grandi di x alle due funzioni per capire che quando
y = 3x4 è all’∞ y = 2x è un valore inferiore e per questo trascurabile. L’andamento all’∞ della
funzione è quindi stabilito dal termine (– 3x4), al confronto del quale gli altri termini sono
trascurabili, e il risultato del limite è quindi −∞.
Vale il seguente teorema:
nel calcolo all’∞ di una funzione si possono trascurare i termini della funzione con ordine d’ ∞
inferiori.
(
)
(
)
4
4
Nel nostro esempio: lim 2x − 3x + 2 = lim − 3x = − ∞
x→ + ∞
x→ + ∞
Dati due infiniti in x0, il limite del loro rapporto per x che tende ad x0 è una forma indeterminata ∞/∞.
Per risolverla occorre confrontare l’ordine di infinito della funzione al numeratore con quella al
denominatore.
Si possono presentare quatto diversi casi:
se f(x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x)
0
se f(x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x)
f (x ) ∞
lim
=
x → x 0 g(x )
se f(x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine
≠ 0
non esiste se f(x) e g(x) sono infiniti non confrontabili
Ordine di infinito delle funzioni elementari
•
FUNZIONI POLINOMIALI y = axn + bxn-1 +…..
L’ordine di infinito coincide con il grado del polinomio.
Applicando il teorema precedente il limite di un quoziente tra funzioni polinomiali è uguale al
limite del quoziente tra i termini di grado massimo delle due funzioni:
lim
x→ + ∞
3x − 5
2
x − x+ 1
= lim
x→ + ∞
3x
x
2
= lim
x→ + ∞
3
= 0
x
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
3x 2 + x − 5
3x 2
3 3
lim
= lim
= lim
=
2
2
2 2
x→ − ∞
x
→
−
∞
x
→
−
∞
2x + 1
2x
10
(numeratore e denominatore sono entrambi
infiniti di ordine 2 → il limite è uguale al rapporto dei coefficienti delle x a grado massimo )
3x 4 − 5
lim
x→ − ∞
•
x2
= lim
x→ − ∞
3x 4
x2
= lim 3x 2 = + ∞
x→ − ∞
FUNZIONE ESPONENZIALE
y = ax , con a>1, è un infinito di ordine superiore a qualunque funzione polinomiale perché
cresce più rapidamente di qualsiasi funzione polinomiale.
•
FUNZIONE LOGARITMICA
y = log a x è un infinito di ordine inferiore a qualunque funzione polinomiale.
Nel grafico sono rappresentate la funzione esponenziale y = 2x,
la retta di equazione y = x (infinito di ordine 1) e la funzione
y = log2 x.
Si nota come, per x→+∞, la funzione esponenziale sia la più rapida
ad andare all’∞ e la funzione logaritmica vada invece all’infinito
molto più lentamente delle altre. Tra le due ci sono le funzioni
polinomiali che vanno all’∞ tanto più rapidamente quanto più è
alto il loro grado.
ESEMPI:
lim
x→ + ∞
lim
x→ + ∞
lim
x→ + ∞
ln x
2x
= 0 perché 2x è un infinito di ordine superiore a ln x (vince il denominatore)
x
= ∞ perché x è un infinito di ordine superiore a ln x (vince il numeratore)
ln x
2x
x7
= ∞ perché 2x è un infinito di ordine superiore a x7 (vince il numeratore)
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ESERCIZI:
lim
x→ − ∞
x→ + ∞
lim
x→ + ∞
Calcolare i seguenti limiti:
2 x 3 − 3x + 1
1 − 2x
lim
11
lim
2 x 2 − 3x + 1
x→ − ∞
ex
lim
1 − 2x 3
x→ + ∞
x 2 − 3x + 1
1 − 2x
lim
x→ − ∞
1 − 2x
lim
2
x→ + ∞
ex
3x
7
1
lim
x→ + ∞ 2
1 − 2x 3
x 2 − 3x + 1
1 − 2x
lim
x
lim
x→ + ∞
3x + 1
lim 2
1 − 2x
x→ + ∞
x2
4x + 1
x
2 x 3 − 3x + 1
(
2x
ln 1 − 2 x
1
lim
x→ − ∞ 2
2
x→ − ∞
7
3
lim
x→ + ∞
)
lim
x→ + ∞
x2
4x + 1
log 3 ( x + 1)
1 − 2x 2
2 x 3 − 3x + 1
ln x
2x 4 +
lim ln
x → − ∞ 2x 4
1
Limiti notevoli
I limiti notevoli sono particolari limiti chiamati così perché fondamentali in analisi, a partire dai quali
se ne possono calcolare altri.
Nell’ultima pagina sono riportati, per conoscenza, tutti i limiti notevoli. Noi ne utilizzeremo solo due:
•
lim
x→ 0
senx
= 1
x
I limiti conseguenza immediata del limite notevole suesposto sono i seguenti:
lim
x→ 0
•
1
lim 1 +
x→ ∞
x
tgx
=1
x
lim
e
1 − cos x
x→ 0
x2
=
1
2
x
= e
(e = 2,718... numero di Eulero)
Da questo derivano i seguenti limiti:
1
lim (1 + x ) x = e
x→ ∞
e
lim
x→ ∞
ex − 1
=1
x
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ANALISI – LIMITI E ASINTOTI
12
Tabella riassuntiva dei limiti notevoli
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