Laurea Triennale in Scienze della Natura
Corso di Matematica ed Elementi di Statistica
programma – a.a. 2013/14
Docente: Annunziata Loiudice
Richiami di linguaggio insiemistico
Insiemi, operazioni tra insiemi: unione, intersezione, prodotto cartesiano. Cenni di logica elementare.
Connettivi e quantificatori. Funzioni e relative proprietà: iniettività, suriettività, bigettività; funzione composta;
funzione inversa.
Insiemi numerici
Gli insiemi numerici N, Z, Q. Esistenza di numeri non razionali: irrazionalità di 2 (*). L'insieme R dei numeri
reali. Gli assiomi dei numeri reali. La retta reale. Intervalli, aperti e chiusi, limitati e illimitati.
Rappresentazione decimale: allineamenti finiti, infiniti periodici e non periodici. Approssimazione con un
numero prefissato di cifre: arrotondamento e troncamento. Errore assoluto, relativo, percentuale.
Propagazione dell'errore nelle operazioni: errore della somma, differenza, prodotto e quoziente. Notazione
scientifica.
Richiami di geometria analitica
Piano cartesiano; distanza tra due punti; equazione della retta, della circonferenza, della parabola.
Funzioni reali di variabile reale
Generalità. Grafico nel piano cartesiano. Funzioni monotone. Monotonia e invertibilità. Estremo inferiore e
superiore di una funzione. Funzioni simmetriche, pari e dispari. Funzioni periodiche.
Funzioni elementari: Funzione costante, funzioni lineari, valore assoluto. Funzione potenza ad esponente
intero. Funzione radice n-esima. Funzione potenza ad esponente reale. Funzione esponenziale. Modelli
esponenziali: crescita di una popolazione batterica; decadimento di sostanze radioattive. Funzioni
logaritmiche. Proprietà algebriche dei logaritmi. Principali basi dei logaritmi. Funzioni trigonometriche e
rispettive inverse. Equazioni e disequazioni con le funzioni elementari. Trasformazioni di grafici.
Limiti di successioni
Successioni. Limite di successione. Successioni convergenti, divergenti, non regolari. Operazioni con i limiti.
Forme indeterminate. Successioni monotòne. Definizione del numero di Nepero e. I teoremi di unicità del
limite(*), permanenza del segno(*), teorema dei carabinieri per successioni(*).
Limiti di funzioni e continuità
Definizione di intorno e di punto di accumulazione. Definizione di limite di funzione. Teoremi di unicità del
limite, permanenza del segno, teorema dei carabinieri (*). Limiti delle funzioni elementari. Operazioni con i
limiti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Gerarchia degli infiniti e degli infinitesimi. Asintoti di una funzione:
orizzontali, verticali, obliqui.
Definizione di funzione continua in un punto e in un intervallo. Classificazione delle discontinuità:
discontinuità eliminabili, di salto (o di prima specie), di seconda specie. Continuità delle funzioni elementari.
Teoremi sulle funzioni continue: Teorema della permanenza del segno, Teorema di Weierstrass, Teorema di
esistenza degli zeri, Teorema dei valori intermedi.
Calcolo differenziale
Rapporto incrementale. Definizione di derivata. Derivabilità e continuità. Significato geometrico di derivata e
retta tangente. Punti angolosi e cuspidali. Derivate delle funzioni elementari. Regole di derivazione: derivata
del prodotto, del quoziente, della funzione composta e inversa.
Massimi e minimi relativi. Teoremi sulle funzioni derivabili: Teorema di Fermat(*), Teorema di Rolle(*),
Teorema di Lagrange(*). Caratterizzazione delle funzioni a derivata nulla in un intervallo. Criterio di
monotonia(*). Convessità e concavità. Punti di flesso. Criterio di convessità. Ricerca dei punti di massimo e
di minimo relativo. Teorema di de l'Hopital. Polinomio di Taylor (cenni). Studio del grafico di una funzione.
Calcolo integrale
Partizione di un intervallo. Somme inferiori e somme superiori relative ad una partizione. Definizione di
funzione integrabile secondo Riemann. Integrale definito. Interpretazione geometrica dell'integrale. Proprietà
di linearità e additività dell’integrale. Media integrale. Teorema della media integrale(*). Primitive di una
funzione. Teorema fondamentale del calcolo integrale(*). Caratterizzazione delle primitive in un intervallo(*).
Formula fondamentale del calcolo integrale(*). Integrale indefinito. Integrali indefiniti immediati. Integrazione
di funzioni razionali. Integrazione per sostituzione, integrazione per parti. Cenni sugli integrali impropri.
Elementi di calcolo combinatorio
Disposizioni semplici e con ripetizione. Permutazioni. Combinazioni. Coefficienti binomiali.
Elementi di probabilità
Esperimenti aleatori. Spazio dei campioni. Eventi aleatori. Definizione assiomatica di probabilità. Probabilità
dell’unione e dell’evento contrario. Probabilità condizionata. Eventi indipendenti. Formula di Bayes. Variabili
aleatorie. Variabili aleatorie discrete. Funzione di distribuzione di una variabile aleatoria. Valore atteso,
varianza e deviazione standard. Esempi di variabili aleatorie discrete: Variabile aleatoria di Bernoulli, di
Poisson. Variabili aleatorie continue. Densità di probabilità. Media e varianza di una variabile aleatoria
continua. La distribuzione normale e normale standard. Caratteristiche della funzione gaussiana. Teorema
del limite centrale.
Elementi di statistica
Statistica descrittiva. Terminologia: popolazione statistica, unità statistica, caratteri (o variabili statistiche)
qualitativi e quantitativi, modalità di un carattere. Tabelle di frequenza e rappresentazioni grafiche.
Istogramma delle frequenze. Frequenze assolute, relative, percentuali, cumulate. Indici di posizione: media,
moda, mediana. Quartili, percentili. Indici di dispersione: intervallo di variazione (o range), varianza e
deviazione standard, varianza e deviazione standard campionarie, scarto interquartile.
Statistica inferenziale. Distribuzioni di due caratteri. Diagramma a dispersione. Retta di regressione.
Coefficiente di correlazione lineare di Pearson.
Campioni e popolazione. Stima dei parametri media e varianza attraverso il campione. Intervalli di
confidenza per la media.
Test di ipotesi (cenni): ipotesi nulla, quantità pivotale, valore di soglia, livello di affidabilità. Esempi: Test Z,
test T di Student.
Nota: I teoremi con dimostrazione sono contrassegnati con il simbolo (*) .
Testi consigliati
Per la teoria:
M. Abate - Matematica e statistica, Le basi per le scienze della vita - McGraw-Hill
Villani e Gentili - Matematica. Comprendere e interpretare fenomeni delle scienze della vita, quinta
edizione McGraw-Hill
Marcellini e Sbordone, Elementi di calcolo, Liguori editore.
Appunti di calcolo combinatorio e probabilità a cura del docente, disponibili sul sito web del docente:
http://www.dm.uniba.it/Members/loiudice/esercizi-sn/appunti-delle-lezioni-probabilita
Per gli esercizi:
Alvino, Carbone, Trombetti, Esercitazioni di Matematica, Vol I , parte I e II, Liguori editore
Fogli di esercizi disponibili nella sezione Esercizi e Appunti della pagina web del docente.
Il docente del corso
Annunziata Loiudice
