MATEMATICA GENERALE - Dipartimento di Economia Università

MATEMATICA GENERALE
prof. Mauro Pagliacci
Argomenti svolti durante le lezioni e le esercitazioni – a.a. 2016-2017
sett
data
tipo
ore
argomento
riferimenti bibliografici
I
13-09-16
L
2
Appunti
14-09-16
LP
2
15-09-16
LP
2
19-09-16
L
2
20-09-16
L
1
21-09-16
LP
2
22-09-16
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2
26-09-16
L
2
27-09-16
LP
2
28-09-16
L
2
29-09-16
LP
2
03-10-16
L
2
04-10-16
L
05-10-16
L
05-10-16
06-10-16
SD
L
2
10-10-16
L
2
11-10-16
L
2
12-10-16
L
2
12-10-16
SD
2
13-10-16
17-10-16
19-10-16
E
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L
2
2
2
19-10-16
20-10-16
SD
L
2
2
24-10-16
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2
25-10-16
L
2
26-10-16
26-10-16
07-11-16
E
SD
L
2
2
08-11-16
L
2
Presentazione e introduzione al corso. Modalità di organizzazione del corso e
regole per il superamento dell'esame. La matematica come metodo e come
strumento. Assiomi e teoremi. Il metodo ipotetico deduttivo. Modellizzazione e
formalizzazione di contratti.
Notazioni e operazioni tra insiemi. Unione e intersezione tra insiemi Differenza
tra insiemi e prodotto cartesiano. Insiemi di numeri: i numeri naturali e la loro
struttura algebrica.
I numeri interi e razionali e reali e la loro struttura algebrica. Insiemi densi e
completi. Q e denso, R è completo. Sottoinsiemi di R: intervalli e semirette.
L'asse reale e il piano cartesiano.
Il concetto di funzione reale di variabile reale. Funzioni iniettive, suriettive e
biiettive. Il grafico di una funzione per punti.
Proprietà geometriche delle funzioni iniettive e suriettive. Funzioni lineari.
Equazioni e disequazioni di primo grado. Traslazioni del grafico di una funzione
verso l’alto e verso il basso. Dal grafico di f(x) a quello di –f(x).
Soluzione grafica di equazioni e disequazioni. Le funzioni quadratiche (casi
particolari) e le relative equazioni e disequazioni di secondo grado. Traslazioni
del grafico di una funzione a destra e a sinistra
Una generica funzione quadratica come traslata di una parabola con vertice
nell’origine. Equazioni e disequazioni di secondo grado. La funzione valore
assoluto di un numero reale e le sue traslate.
Dal grafico di f(x) a quello di |f(x)|. Equazioni e disequazioni con il modulo.
Funzioni del tipo ax^3 e loro traslate. Cenni al teorema fondamentale
dell’Algebra.
Le funzioni del tipo a/x e le loro traslate. Richiami sulle equazioni e disequazioni
fratte e sulla divisione tra polinomi.
Il grafico di una generica funzione del tipo (ax+b)/(cx+d) come traslata di una
iperbole equilatera .
La funzione radice di x e le sue traslate. Alcune equazioni e disequazioni
irrazionali.
Le funzioni del tipo x^a. Le potenze con esponente razionale. Funzioni
esponenziali. Traslazioni e dilatazioni di funzioni esponenziali.
Il logaritmo come soluzione dell’equazione esponenziale. Proprietà dei
logaritmi; cambiamento di base. La funzione logaritmica.
Dilatate e traslate delle funzioni logaritmiche. Alcune equazioni e disequazioni
logaritmiche ed esponenziali. Dilatate e traslate delle funzioni logaritmiche.
Alcune equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali.
Esercizi sulle traslazioni di funzioni elementari
Funzioni composte. Funzioni inverse. La funzione radice come inversa della
quadratica e la funzione logaritmo come inversa della esponenziale (e
-1
viceversa). Dal grafico di f a quello di f . Dal grafico di f(x) a quello di f(|x|).
Funzioni monotone: crescenti, decrescenti, non crescenti e non decrescenti.
Intorni di un punto. Punti di massimo e di minimo locali ed assoluti.
Maggioranti, minoranti, estremo superiore e inferiore di un sottoinsieme di
R.Successioni. Insiemi limitati. Funzioni limitate. Punti di accumulazione e punti
isolati.
Limiti di funzioni: definizione intuitiva e rigorosa. Limiti di funzioni: casi
particolari (aspetti geometrici e def di limite).
Ancora casi particolari. Limite destro e limite sinistro. Teorema di unicità del
limite. Operazioni tra limiti. Forme indeterminate. Calcolo di limiti di funzioni.
Esercizi sulle traslazioni di funzioni elementari e sul dominio, zeri e segno di
funzioni
Esercizi sul calcolo dei limiti.
Limiti di funzioni esponenziali e logaritmiche
Limiti di successioni. Limite della successione geometrica. Limiti di successioni
e di funzioni monotone. Teorema del confronto e della permanenza del segno
Calcolo di domini, zeri e segno di funzioni
Il numero di Nepero come limite di una successione. Teorema del limite del
prodotto tra una funzione limitata e una tendente a zero.
Infinitesimi e infiniti. Confronto tra infiniti. Teorema di cancellazione per infiniti
(con dim.).
Confronto tra infinitesimi. Teorema di cancellazione per infinitesimi.
Funzioni continue. Continuità a destra e a sinistra. Continuità
delle funzioni elementari. La funzione parte intera di un numero reale x.
Esercizi di preparazione alla prova intermedia
Esercizi di preparazione alla prova intermedia
Teorema degli zeri. Teorema dei valori intermedi. Teorema di Weierstrass.
Incrementi assoluti e relativi. Rapporto incrementale. Significato geometrico del
rapporto incrementale.
Funzioni derivabili in un punto. Derivata prima. Significato geometrico della
derivata prima. Derivata destra e sinistra. La funzione derivata prima. Ogni
funzione derivabile è continua (con dim.). Vari casi di funzioni continue, ma non
derivabili. Calcolo di derivate di funzioni elementari.
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
[BC]: 1.1.1, 1.1.2, 1.2.3
[PSS]: 1.5, 1.1.
[BC]: 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3, 1.2.5
[PSS]: 1.2, 1.3, 1.5, 1.6
[BC]: 2.1, 11.1
[PSS]: 2.1, 2.3
[BC]: 11.1, 2.2.2, 3.1, 3.2.1,
3.3.2, 4.1, 4.2
[PSS]: 2.3, 2.4.1
[BC]: 2.2.4, 3.2.2, 3.2.5,
[BC]: 2.2.6, 3.1, 3.1.3, 3.1.4,
3.2.2, 3.2.4, 4.3,
[BC]: 2.2.5, 4.6, 10.2.3, 2.2.3,
4.5.1
[PSS]: 2.4.2
[BC]: 3.2.3, 4.4, 5.2,
[BC]: 3.2.3, 4.4, 5.2, appunti
[BC]: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5
[BC]: 8.1, 8.2.
[PSS]: 2.8.1.
[BC]: 8.3, 8.4.
[PSS]: 2.8.2.
[BC]: 8.5, 8.6
BC]: 10.1, 10.2.3, 11.2
[PSS]: 2.5.1, 2.5.2, 2.9.
[PSS]: 2.2
Appunti
[PSS]: 3.2
[PSS]: 3.2, 3.5
[PSS]: 3.1, 3.3, 3.4, 3.5.3.
[PSS]: 3.4, Appunti.
[PSS]: 3.6
[PSS]: 4.1, 4.2.
PSS]: 4.3, 5.1 (parte)
[PSS]: 5.1 (completare), 5.2, 5.3.
IX
X
XI
XII
09-11-16
L
2
07-12-16
L
2
07-12-16
12-12-16
SD
L
2
2
13-12-16
L
2
14-12-16
L
2
14-12-16
15-12-16
SD
L
2
2
Calcolo di derivate di funzioni elementari e algebra delle derivate. Derivate delle
funzioni composte.
Calcolo di derivate.
Calcolo di derivate. Funzioni differenziabili.
Equivalenza tra differenziabilità e derivabilità (con dim.). Il differenziale e il suo
significato geometrico. Uso del differenziale nel calcolo approssimato
Elasticità d’arco ed elasticità puntuale. Elasticità della funzione domanda e della
funzione costo. Introduzione all’ottimizzazione. Teorema di Fermat (con dim.).
Teorema di Lagrange (o del valor medio). Conseguenze del teorema di
Lagrange. Il teorema di Rolle. Ogni funzione con derivata nulla è costante (con
dim.)
Test di monotonia (con dim.). Esercizi. sul test di monotonia.
Esercizi sul calcolo di derivate, sul differenziale e sul test di monotonia
Ancora esercizi sul test di monotonia. Teorema di de l’Hospital.
Ordine di infinito e di infinitesimo dell’esponenziale e del logaritmo. Derivate
successive. Formula di Taylor e di Mc Laurin. Uso della formula di Taylor nel
calcolo approssimato. Grafico di e^x e dei polinomi di Taylor che la
approssimano.
Insiemi convessi e funzioni convesse. Test per la convessità. Esempi di
determinazione della convessità.
Esercizi sulla determinazione della convessità. Primitive di una funzione. Due
primitive di una stessa funzione differiscono per una costante (con dim.).
Integrale indefinito. Calcolo di integrali indefiniti immediati.
Esercizi sullo studio di funzioni e sulla formula di Taylor
Integrazione per decomposizione. Integrazione per sostituzione. Integrazione
per parti. Calcolo di integrali indefiniti.
Calcolo di integrali indefiniti. Integrale definito. Funzioni integrabili.
Proprietà dell’integrale definito. Teorema della media (con dim.). Funzione
integrale.
Teorema di Torricelli Barrow (con dim.) e Teorema fondamentale del calcolo
integrale (con dim.). Calcolo di integrali definiti. Calcolo di aree. Dal grafico di
f’(x) al grafico di f(x).
Esercizi su studio di funzioni e integrali
Introduzione all’algebra lineare. Vettori in R^n. Rappresentazione geometrica di
vettori in R^2 e in R^3. Uguaglianza e somma tra vettori. Significato geometrico
della somma tra vettori. Moltiplicazione di un vettore per uno scalare e suo
significato geometrico.
Combinazioni lineari. Sottospazi vettoriali di R^2 e R^3. L’insieme delle
combinazioni lineari di k vettori è un sottospazio di R^n. Dipendenza e
indipendenza lineare
Basi e dimensioni di un sottospazio. Matrici. Uguaglianza, matrici trasposte,
simmetriche, triangolari e diagonali.
Operazioni tra matrici: somma e prodotto per uno scalare. Prodotto tra matrici.
Proprietà del prodotto. Determinante di una matrice quadrata 2x2 e suo
significato geometrico. Relazione tra dipendenza lineare e determinante.
Esercizi su studio di funzioni, integrali e disegno di f(x), noto quello di f’(x)
Determinante di una matrice 3x3. Cenno al teorema di Laplace. Calcolo del
determinante con Excel. Rango di una matrice.
Sistemi lineari. Teorema di Rouché-Capelli (con dim.). Regola di Cramer.
Risoluzione di un sistema lineare.
Molteplicità delle soluzioni di un sistema lineare. Sistemi lineari omogenei.
Esercizi sui sistemi e sui vettori linearmente dip/indip.
Esercizi di algebra lineare
Funzioni di più variabili. Grafico e curve di livello. Derivate parziali.
09-11-16
10-11-16
14-11-16
SD
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2
2
2
15-11-16
L
2
16-11-16
16-11-16
17-11-16
21-11-16
L
SD
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2
2
2
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22-11-16
L
2
23-11-16
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2
23-11-16
25-11-16
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2
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28-11-16
29-11-16
L
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2
2
30-11-16
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2
30-11-16
01-12-16
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05-12-16
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2
16-12-16
L+
E
E
SD
2
Cenni sui massimi e minimi liberi e vincolati. Esercizi di algebra lineare.
2
2
Esercizi di algebra lineare
Esercizi di preparazione alla prova scritta
06-12-16
XIII
(XIV)
19-12-16
20-12-16
Legenda
tipo
riferimenti bibliografici
[PSS]: 5.3, 5.4.1
[PSS]: 5.5 (parte)
[PSS]: 5.5 (completare).
Appunti
[PSS]: 5.6.1, 5.7, 5.8
[PSS]: 5.9
[PSS]: 5.10
[PSS]: 5.11, Appunti.
[PSS]: 2.6.4, 5.12
[PSS]: 7.5.1, 7.5.2.
[PSS]: 7.5.4, 7.5.3.
[PSS]: 7.1, 7.2
[PSS]: 7.3.1, 7.3
[PSS]: 7.4, 7.9
Appunti
[PSS]: 8.1, 8.2
[PSS]: 8.4, 8.5
[PSS]: 8.6, 8.7.
[PSS]: 8.8.1, 8.8.2, 8.9
[PSS]: 8.9, 8.11.
[PSS]: 9.1, 9.2, 9.3.
[PSS]: 9.4
[PSS]: 10.1, 10.2, 10.3, 10.6,
10.11 (parte), 10.12
PSS]: 10.11 (parte), 10.12
LP: lezione propedeutica, L: lezione, E: esercitazione, SD: attività di supporto alla didattica.
[BC]: Boieri, Chiti – Precorso di Matematica, Zanichelli
[PSS]: Peccati, Salsa, Squellati – Matematica per l’economia e l’azienda, Egea (2004)
nota: [PSS]: 2.1 significa capitolo 2, paragrafo 1 del testo [PSS].
[PSS]: 2.1.2 significa capitolo 2, paragrafo 1, sottoparagrafo 2 del testo [PSS].