C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
CAP. VII
FUNZIONI DERIVABILI
In molti problemi di varia natura (fisica, economica, matematica, ecc. ) si ha a che fare con
funzioni, delle quali importa determinare il tasso di variazione o di incremento, ossia il rapporto tra
l’incremento del valore della funzione e l’incremento della variabile indipendente.
Se la funzione è del tipo f(x)= ax+b con a, b ∈ R ( cioè ha come grafico una retta), allora il
f (x ) − f (x0 )
tasso di incremento è costante, infatti per ogni x0 , x ∈ R con x0 ≠ x risulta
=a .
x − x0
Se, invece, f(x) è di tipo diverso, allora il rapporto di cui sopra non sarà costante; può però
accadere che abbia limite per x tendente ad x0 . Tale limite, quando esiste, dà una misura della
rapidità con cui varia f(x) al variare di x nelle vicinanze del punto x0 , e la conoscenza dello
stesso è molto utile per lo studio della funzione e , quindi, del problema ad essa inerente.
Ciò detto, passiamo a precisare il concetto di cui sopra nelle seguenti definizioni
DEF.1 Se f : X → R e se x0 ∈ X , si chiama (funzione) rapporto incrementale di f relativo
ad x0 la funzione:
f (x ) − f (x0 )
.
x ∈ Χ − {x 0 } →
x − x0
La differenza f ( x ) − f ( x0 ) si chiama incremento di f da x0 ad x .
DEF.2 Sia f : X → R e sia x0 ∈ X , Si dice che f è derivabile in x0 se esiste ed è finito il
1)
lim
x → x0
f (x ) − f (x0 )
.
x − x0
Se f è derivabile in x0 , il limite 1) si chiama derivata di f in x0 (oppure derivata prima
o di ordine 1 di ƒ in x0 ) e si denota con uno dei simboli seguenti :
df
1
f ′ ( x0 ) , f ( ) ( x0 ) , ( Df )( x0 ) , Df ( x0 ),
( x0 ) .
dx
DEF.3 Se f : X → R e se Y ⊂ X si dice che f è derivabile in Y se f è derivabile in ogni
elemento di Y . Se f è derivabile in X si dice semplicemente che f è derivabile.
Se, poi, f è derivabile, la funzione x ∈ X → f ' ( x ) si chiama (funzione) derivata di f
(o derivata prima o di ordine 1 di f )e si denota con uno dei seguenti simboli:
df
f ′, f (1) , Df ,
.
dx
1
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f (x ) − f (x0 )
, tale limite si chiama
x → x0
x − x0
ancora derivata di f in x0 e si denota con uno dei simboli indicati nella DEF.2 .
DEF.4 Se f non è derivabile in x0 ma esiste il lim
Una caratterizzazione della derivabilità di una funzione in un punto è contenuta nella seguente
PROP.1 Una funzione f : X → R è derivabile in un punto x0 se e solo se
il limite
f (x0 + h ) − f (x0 )
lim
.
h →0
h
In tal caso risulta
f (xo + h ) − f (x0 )
f ' ( x0 ) = lim
.
h →0
h
esiste ed è finito
Esempi
1) Se f : X → R è costante allora, per ogni x0 ∈ X , f è derivabile in x0 e risulta f ' ( x0 ) = 0 .
f (x ) − f (x0 )
=0 .
Infatti se x0 ∈ X , per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
x − x0
2) Se a, b ∈ R, la funzione f(x)=ax+b è derivabile e risulta, per ogni x0 ∈ X , f ' ( x0 ) = a .
f (x ) − f (x0 )
=a .
Infatti se x0 ∈ R , per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
x − x0
3) (Velocità di un mobile) . Sia P un mobile che si muove di moto rettilineo e sia s(t) lo spazio
percorso all’istante t.
0
Fissato un istante t 0 ,
per ogni istante
s(t)
t ≠ t 0 il rapporto
s (t ) − s (t 0 )
prende il nome
t − t0
di velocità media tra l’istante t 0 e l’istante t .
Se il moto è uniforme (cioè P percorre spazi uguali in tempi uguali) allora il rapporto
suddetto è costante e, quindi, anche il limite per t → t 0 è costante rispetto a t 0 .
s (t ) − s (t 0 )
, tale limite prende il
Se, invece, il moto non è uniforme ed esiste il limite lim
t →t 0
t − t0
nome di velocità di P all’istante t 0 e si denota con v (t 0 ) ; quest’ultima varia al variare di t 0 .
Pertanto risulta
v(t 0 ) = s ' (t 0 )
ossia la velocità all’istante t 0 è la derivata dello spazio s (t ) in t 0 .
2
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4) Sia ϕ la funzione valore assoluto , cioè ϕ (x ) = x per ogni x ∈ R . Se x0 > 0 , considerato
l’intorno ]0,2 x0 [ di x0 risulta
∀x ∈ ]0,2 x0 [ − {x0 } :
ϕ (x ) − ϕ (x0 )
x − x0
=
x − x0
=1
x − x0
e quindi , per il carattere locale del limite si ha
ϕ (x ) − ϕ (x0 )
lim
=1
x → x0
x − x0
cioè ϕ è derivabile in x0 e risulta ϕ ' (x 0 ) = 1 .
Se, invece, x0 < 0
ϕ ' ( x0 ) = −1 .
, con considerazioni analoghe si dimostra che ϕ è derivabile in x0 e
Infine se x0 = 0 ,poiché per ogni x ≠ 0 risulta
ϕ ( x ) − ϕ (0)
x−0
1 se 0<x
=
x
x
ed essendo
x
x
=
-1 se x<0
si ha che esistono i limiti
lim−
x →0
ϕ ( x ) − ϕ (0 )
x−0
= −1
,
lim+
x →0
ϕ ( x ) − ϕ (0 )
x−0
=1
Pertanto ϕ non è derivabile nello 0.
Come accade per il concetto di limite, così anche per quello di derivata ha senso definire la
derivata destra e la derivata sinistra come nella seguente
DEF.4- Sia f : X → R e sia x0 ∈ X ∩ ∂ + X (risp. x0 ∈ X ∩ ∂ − X ) .
Si dice che f è derivabile a destra (risp. a sinistra) in x0 se esiste ed è finito il
f (x ) − f (x0 )
x − x0
⎛
f (x ) − f (x ) ⎞
⎜⎜ risp. lim
⎟ .
x→ x −
x→ x +
x − x 0 ⎟⎠
0
0
⎝
Tale limite si chiama derivata destra (risp. sinistra) di f in x0 e si denota con il simbolo
lim
f d′( x0 ) (risp. f s′( x0 ) ) .
Esempio- La funzione valore assoluto ϕ è derivabile a sinistra e a destra nello 0 e risulta (cfr. es.4,
Pag.3) ϕ ' s (0) = −1 , ϕ ' d (0) = 1 .
Ovviamente sussiste la seguente
PROP.2- Sia f : X → R e sia x0 ∈ X ∩ ∂ − X ∩ ∂ + X . Allora sono equivalenti le seguenti
proposizioni:
3
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a) f è derivabile in x0 ,
b) f è derivabile a sinistra e a destra in x0 e f ' s ( x0 ) = f 'd ( x0 ) .
f ' ( x0 ) = f ' s ( x0 ) = f ' d ( x0 ) .
Inoltre vera a), e quindi b), risulta
PROP.3- Se f è derivabile in x0 , allora f è continua in x0 .
Dim.- Per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
al limite per x → x 0 si ha
f (x ) − f (x0 ) =
f (x ) − f (x0 )
⋅ ( x − x0 ) e , quindi, passando
x − x0
lim ( f ( x ) − f ( x 0 )) = f ' ( x0 ) ⋅ 0 = 0
x → x0
da cui
lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
ossia f è continua in x0 .
OSS.1- Si noti che una funzione può essere continua in un punto senza essere ivi derivabile. Ad
esempio la funzione valore assoluto non è derivabile nello 0 (cfr. es. 4, pag.3 ), è però
continua nello 0.
Interpretazione geometrica della derivata
Rammentiamo che se r è una retta non parallela all’asse y è se y=mx+q è la sua equazione, allora
m è la tangente dell’angolo α che l’asse x deve descrivere, ruotando in senso antiorario intorno a
D, per sovrapporsi alla retta r .
Tale numero m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta r .
y
C
α
α
D
A
x1
B
x2
x
AB = x 2 − x1
BC = m( x 2 − x1 )
tgα =
BC
=m
AB
4
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Si consideri, ora, una funzione f : X → R derivabile in un punto x0 ∈ X . Sia P0 = ( x0 , f ( x0 )) e
per ogni t ∈ X − {x0 } sia Pt = (t , f (t )) . La retta rt passante per i punti P0 è Pt ha equazione
f (t ) − f ( x0 )
(x − x0 ) + f (x0 ) e sia chiama retta secante la curva di equazione y = f(x) nei
y=
t − x0
punti P0 e Pt .
r
y
rt
Pt
P0
x0
t
x
Si noti che la retta secante rt ha come coefficiente angolare il valore del rapporto incrementale di f
relativo ad x0 nel punto t . Poiché f è derivabile in x0 , quando t tende ad x0 il suddetto
coefficiente angolare tende alla derivata f ' ( x0 ) di f in x0 , ovvero la retta secante rt tende ad una
retta posizione limite r la cui equazione è data da
1) y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) .
y = f(x) nel punto
La retta r prende il nome di retta tangente alla curva di equazione
P0 = ( x0 , f ( x0 )) .
In definitiva si ha che la derivata di una funzione f in un punto x0 rappresenta il coefficiente
angolare ( o la pendenza ) della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x0 .
Con considerazioni analoghe si può dare una interpretazione geometrica della derivata sinistra o
destra di una funzione f in x0 : la derivata sinistra (risp. destra) di f in x0 rappresenta la pendenza
della tangente sinistra (risp. destra) alla curva di equazione y = f(x) nel punto P0 = ( x0 , f ( x0 )) .
Ad esempio la funzione valore assoluto ha come grafico una curva dotata di tangente sinistra (risp.
destra) nell’origine degli assi, di equazione
y = -x ( risp. y = x )
5
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Queste sono proprio le rette passanti per i due rami del grafico .
y
y=x
y = -x
x
Esempi
1) Sia f ( x ) = ax + b ed x0 ∈ R . Poiché f ' ( x0 ) = a , la tangente alla curva di equazione y = f(x)
(cioè alla retta r di equazione y=ax+b) è la retta di equazione y = a( x − x0 ) + f ( x0 ), cioè la
stessa retta r .
f (x ) − f (x0 ) x 2 − x0
=
= x + x0
2) Sia f ( x ) = x ed x0 ∈ R . Poiché per ogni x ≠ x0 risulta
x − x0
x − x0
f (x ) − f (x0 )
si ha lim
= 2 x0 , dunque f è derivabile in x0 ed f ' ( x0 ) = 2 x0 . Perciò la
x → x0
x − x0
2
2
tangente alla curva di equazione y = f(x) (cioè alla parabola di equazione y = x 2 ) è la retta r
di equazione y = 2 x 0 ( x − x0 ) + x0 , cioè y = 2 x0 x − x0
2
2
r
x0
6
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Regole di derivazione
Nelle proposizioni che seguono sono indicate alcune regole che consentono di calcolare le
derivate del maggior numero possibile di funzioni, in particolare delle funzioni elementari.
PROP.4- (operazioni sulle derivate). Siano f : X → R e g : X → R derivabili in x0 ∈ X .
Allora
'
1) f +g è derivabile in x0 e ( f + g ) ( x 0 ) = f ' ( x0 ) + g ' ( x 0 ) ;
2) per ogni α ∈ R , α ⋅ f è derivabile in x0 e (α ⋅ f ) ( x 0 ) = α ⋅ f ' ( x0 ) ;
'
3)
f ⋅ g è derivabile in x0 e ( f ⋅ g ) (x 0 ) = f ' ( x0 ) ⋅ g ( x0 ) + f ( x0 ) ⋅ g ' ( x0 ) ;
'
f ' (x0 ) ⋅ g (x0 ) − f (x0 ) ⋅ g ' (x0 )
⎛f ⎞
f
4) se g ( x0 ) ≠ 0 ,
è derivabile in x0 e ⎜⎜ ⎟⎟ ( x0 ) =
g
(g (x0 ))2
⎝g⎠
'
Dim. A titolo d’esempio dimostriamo la 1). Per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
( f + g )(x ) − ( f + g )(x0 ) f (x ) − f (x0 ) g (x ) − g (x0 )
=
+
x − x0
x − x0
x − x0
e da ciò, a causa dell’ipotesi di derivabilità in x0 sia di f che di g , consegue
( f + g )(x ) − ( f + g )(x0 )
f (x ) − f (x0 )
g (x ) − g (x0 )
lim
= lim
+ lim
x → x0
x → x0
x → x0
x − x0
x − x0
x − x0
e ,quindi, f +g risulta derivabile in x0 e si ha
(f
+ g ) (x0 ) = f ' (x0 ) + g ' (x0 ) .
'
PROP.5- (Derivata di una funzione composta). Siano f : X → R , g : Y → R tali che f ( X ) ⊂ Y .
Sia x0 ∈ X , sia f derivabile in x0 e sia g derivabile in f ( x 0 ) . Allora g D f è
derivabile in x0 e risulta
(g D f )' (x0 ) = g ' ( f (x0 )) ⋅ f ' (x0 )
Esempio- Sia h( x ) = (2 x + 1) e sia x0 ∈ R . La funzione h(x) è composta delle funzioni
2
f ( x ) = 2 x + 1 e g ( y ) = y 2 . Poiché f ' ( x0 ) = 2 e g ' ( f ( x0 )) = 2 f ( x0 ) = 2(2 x 0 + 1)
si ha h ' ( x0 ) = 2(2 x0 + 1) ⋅ 2 = 4(2 x0 + 1).
PROP.6- (Derivata della funzione inversa). Sia X un intervallo e sia f : X → R continua e
ingettiva. Se f è derivabile in x0 ∈ X e se f ' ( x0 ) ≠ 0 , allora l’inversa f −1 di
f è derivabile in f ( x 0 ) e risulta
'
( f −1 ) ( f ( x0 ) ) = f ' (1x ) .
0
7
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Esempio
Ricaviamo la derivata della funzione radice quadrata.
Ricordiamo che se f : R + → R è definita da f ( x ) = x 2 , la funzione radice quadrata è l’inversa di
( y ) = y . Sia, ora, y 0 ∈ R *+ .
2
Posto x0 = y 0 , si ha y 0 = x 0 = f ( x 0 ) . La funzione f risulta continua ed ingettiva, inoltre
f è derivabile in x0 e si ha f ' ( x0 ) = 2 x0 . Poiché f ' ( x0 ) ≠ 0 , allora a causa della PROP.6 anche
f −1 è derivabile in y 0 = f ( x0 ) e risulta
f , cioè f
−1
: R + → R è definita da f
−1
( f ) ( y ) = ( f ) ( f (x )) = (1 ) = 21x
f x
−1 '
−1 '
0
0
0
Pertanto la funzione radice quadrata f
−1
∀y 0 ∈ R *+ :
=
'
0
1
2 y0
.
è derivabile in R *+ e risulta
( f ) (y ) =
−1 '
0
1
2 y0
8
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Derivate delle funzioni elementari
x
f (x )
f ' (x )
x∈ R
xn
nx n −1
1
x>0
n
x∈ R
ax
a x log a
x∈ R
ex
ex
x>0
log a x
x≠0
log a x
x≠0
log x
x>0
xα
α ⋅ xα −1
x∈ R
sen x
cos x
x∈ R
cos x
− sen x
tg x
1
cos 2 x
π
+ kπ
2
k∈Z
x ≠ kπ
x≠
x
k∈Z
−1 < x < 1
x∈ R
−1 < x < 1
cotg x
arcsen x
arctg x
arccos x
n n x n −1
1
x log a
1
x log a
1
x
−
1
sen 2 x
1
1− x2
1
1+ x2
−1
1 + x2
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Si noti che, in conseguenza delle formule della tabella precedente e della regola di derivazione delle
funzioni composte, si ha ad esempio:
D( f (x )) = n( f ( x ))
n
D n f (x ) =
n −1
1
nn f (x )
⋅ f ' ( x ) , Da f ( x ) = a f ( x ) ⋅ log a ⋅ f ' ( x ) ,
⋅ f ' ( x ) , D( f (x )) = α ( f ( x ))
α
n −1
α −1
⋅ f ' (x ) ,
Dsenf ( x ) = cos f ( x ) ⋅ f ' ( x ) , D cos f ( x ) = − senf ( x ) ⋅ f ' ( x ) ,
Dtgf ( x ) =
1
cos f ( x )
2
Darcsenf ( x ) =
f ' (x ) , D cot gf ( x ) = −
1
1 − f (x )
2
1
f ' (x ) ,
sen f ( x )
f ' ( x ) , Darctgf ( x ) =
2
1
1 + f (x )
2
⋅ f ' (x ) .
Derivate di ordine superiore
Si pone la seguente
DEF.5- Sia f : X → R derivabile (in X). Se la funzione derivata prima f ' di f è a sua volta
derivabile in un punto x0 ∈ X , allora si dice che f è 2 volte derivabile in x0 , la derivata
di f ' in x0 si chiama derivata seconda (o di ordine 2) di f in x0 e si denota con uno dei
simboli
d2 f
(x0 ) .
f " ( x0 ), f (2 ) ( x0 ), D 2 f ( x0 ),
dx 2
OSS.2- Per quanto detto sopra si ha dunque
f " ( x0 ) = Df ' ( x0 ) .
E’ abbastanza naturale definire per ricorrenza la derivabilità ( e quindi la derivata) di ordine
maggiore di 2 di una funzione. Si dirà che una funzione f è derivabile n volte in un punto x0 se f
è derivabile n-1 volte in X e la derivata (n-1)-sima f
caso la derivata di f
n −1
n −1
di f è a sua volta derivabile in x0 ; in tal
in x0 si chiama derivata n-sima di f in x0 e si denota con uno dei simboli
dn f
(x0 ) .
dx n
Si dice, poi, che una funzione f è indefinitamente derivabile in un punto x0 se, per ogni n ∈ N * ,
f è n- volte derivabile in x0 .
f (n ) ( x0 ), D n f ( x0 ),
Ad esempio si ha che la funzione esponenziale e x è indefinitamente derivabile in R e risulta
∀n ∈ N * : D n e x = e x .
Analogamente sono indefinitamente derivabili in R le funzioni seno e coseno.
CONVENZIONE- Se f : X → R è una funzione qualunque, si pone per ogni x ∈ X
f (0 ) ( x ) = f ( x )
e si chiama derivata di ordine 0 di f in x .
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Punti di minimo e massimo relativi
Si rammenta che se ƒ: X → R, il minimo di ƒ (se esiste) è un valore ƒ( x0 ) tale che per ogni x ∈ X
risulti f ( x0 ) ≤ f ( x) : esso si denota con min f ( x) . Analogamente il massimo di ƒ (se esiste ) è un
x∈ X
valore f ( x0 ) tale che per ogni x ∈ X risulti f ( x) ≤ f ( x0 ) : esso si denota con max f ( x) .
x∈ X
Si noti che di punti x0 di X tali che f ( x0 ) risulti il minimo (risp. massimo) di ƒ ne possono esistere
più di uno: essi prendono il nome di punti di minimo(risp. massimo) assoluto per ƒ.
Nella definizione che segue si vanno a definire punti di minimo o di massimo di tipo più debole
rispetto ai precedenti.
DEF. 6 Se ƒ: X → R e se x0 ∈ X , si dice che x0 è un punto di minimo (risp. massimo) relativo per
ƒ, e che f ( x0 ) è un minimo (risp.massimo) relativo per f , se esiste un intorno I di x0
tale che
1) ∀x ∈ (Ι ∩ X ) − {x0 } : f ( x0 ) ≤ f ( x ) (risp. f ( x ) ≤ f ( x0 ))
Il punto x0 si dice di minimo (risp. massimo) relativo proprio per f se le disuguaglianze
in 1) risultano strette.
OSS.3- E’ evidente che un punto di massimo (risp. minimo) assoluto per f è anche di
massimo (risp. minimo) relativo per f , ma non viceversa.
Dalla DEF.6 consegue banalmente la seguente
PROP.7- Sia f : X → R ed x0 ∈ X . Se esiste un δ > 0 tale che
f
]x0 −δ , x0 ]∩ X
è crescente (risp. decrescente)
[ x0 , x0 +δ [∩ X
è decrescente (risp. crescente) ,
e
f
allora x0 è un punto di massimo (risp. minimo) relativo per f .
Teorema di FERMAT. Sia f : [a, b] → R derivabile in x0 ∈ ]a, b[ e sia x0 un punto di
minimo o massimo relativo per f . Allora
f ' (x0 ) = 0 .
Dim.- Supponiamo che x0 sia un punto di minimo relativo per f . Allora , essendo anche
x0 ∈ ]a, b[ , esiste un δ > 0 tale che ]x0 − δ , x 0 + δ [ ⊂ [a, b] e
1) ∀x ∈ ]x0 − δ , x0 + δ [ : f ( x0 ) ≤ f ( x ) .
Da 1) consegue
f (x ) − f (x0 )
2) ∀x ∈ ]x0 − δ , x0 [ :
≤0
x − x0
e
f (x ) − f (x0 )
3) ∀x ∈ ]x0 , x0 + δ [ :
≥0
x − x0
11
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Ora essendo f derivabile in x0 ed essendo x0 ∈ δ − X ∩ δ + X , si ha che f è derivabile
a sinistra e a destra in x0 e risulta f ' ( x0 ) = f ' s ( x0 ) = f ' d ( x0 ) .
D’altra parte per un teorema di confronto (cfr. PROP.11, cap. III) dalla 2) consegue che
f ' s ( x0 ) ≤ 0 e dalla 3) che f ' d ( x0 ) ≥ 0 . Dunque f ' ( x0 ) = 0 .
Si pone la seguente
DEF.7- Se una funzione f è derivabile in x0 e se f ' ( x0 ) = 0 , il punto x
per f .
0
dicesi stazionario
COR.1- Se f : [a, b] → R è derivabile in x0 ∈ ]a, b[ e se x0 è un punto di minimo o di
massimo relativo per f , allora x0 è un punto stazionario per f .
OSS.4-Si noti che non è sempre vero che un punto stazionario per una funzione sia di minimo o di
massimo relativo per la stessa. Ad esempio 0 è un punto stazionario per la funzione
f ( x ) = x 3 ma non e né di minimo né di massimo relativo per f perché, essendo f
strettamente crescente, risulta f ( x ) < f (0 ) per ogni x < 0 ed f (0 ) < f (x ) per ogni x > 0 .
Un teorema del calcolo differenziale ricco di applicazioni è il seguente
Teorema di LAGRANGE. Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ .
Allora esiste un punto c ∈ ]a, b[ tale che
f (b ) − f (a ) = f ' (c )(b − a ) .
OSS.5- Il teorema di Lagrange ha una interpretazione geometrica che passiamo a descrivere.
f (b ) − f (a )
= f ' (c ) . Ora il primo membro di
Se a ≠ b , la tesi del teorema si può scrivere
b−a
questa uguaglianza è il coefficiente angolare della retta passante per gli estremi A e B del
grafico di f , mentre f ' (c ) è il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto
P = (c, f (c )). Il teorema di Lagrange, dunque, afferma che esiste almeno un (e non
necessariamente uno solo) punto del grafico nel quale la tangente è parallela alla
congiungente gli estremi del grafico.
y
B
P
A
0
a c
b
x
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Applicazioni del teorema di Lagrange
1)
Sia f ( x ) = x . E’ ben noto che il grafico di f è una parabola. Considerati a,b ∈ R con a < b e
considerata la restrizione di f all’intervallo [a, b] , per il teorema di Lagrange esiste c ∈ ]a, b[ tale
2
a+b
b2 − a2
= 2c cioè c =
. Dunque ogni corda AB della parabola è parallela alla tangente
che
2
b−a
nel punto di ascissa uguale alla media aritmetica delle ascisse dei punti A e B .
y
B
A
0
a
cb
bc
x
2)
Sia f ( x ) =
1
. E’ ben noto che il grafico di f è una iperbole. Risulta f derivabile in ogni x0 ≠ 0 e
x
1
si ha f ' ( x 0 ) = − 2 . Dunque se 0 < a < b , applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f
x0
1 1
−
b
a = − 1 cioè − 1 = − 1 , oppure
all’intervallo [a, b] si ha che esiste c ∈ ]a, b[ tale che
b−a
c2
ab
c2
c = ab . Dunque ogni corda AB dell’iperbole (con A e B appartenenti ad uno stesso ramo
dell’iperbole ) è parallela alla tangente nel punto di ascissa uguale alla media geometrica delle
ascisse di A e B .
y
A
B
0
a
c
b x
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Conseguenze del teorema di Lagrange
Teorema di ROLLE . Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] , derivabile in ]a, b[ e tale che
f (a ) = f (b ). Allora esiste un punto c ∈ ]a, b[ tale che f ' (c ) = 0 .
PROP.8- Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ .
Allora si ha:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) = 0 ⇔ (f è costante)
2) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) ≥ 0 ⇔ (f è crescente)
3) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) ≤ 0 ⇔ (f è decrescente)
4) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) > 0 ⇒ (f è strettamente crescente)
5) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) < 0 ⇒ (f è strettamente decrescente)
Dim.- Proviamo ad esempio la 1). Supponiamo che per ogni x ∈ ]a, b[ risulti
f ' (x ) = 0 .
Siano x,y ∈ [a, b] con x < y . Considerata la funzione f [ x , y ] , per il teorema di Lagrange
esiste c ∈ ]x, y[ tale che f ( y ) − f ( x ) = f ' (c )( y − x ).
Poiché per ipotesi f ' (c ) = 0 si ha anche f ( y ) − f ( x ) = 0 , cioè f ( x ) = f ( y ) .
Ciò dimostra che f è costante. E’ ben noto, poi, che se f è costante allora la derivata di f è
nulla in ogni elemento di [a, b] .
La dimostrazione di 2), 3), 4) e 5) è analoga alla precedente.
PROP.9- ( Condizione sufficiente per i minimi e massimi relativi)
Sia f : [a, b] → R e sia x0 ∈ ]a, b[ . Sia f continua in x0 e derivabile in [a, b] − {x 0 }.
⎧ f ' ( x ) > 0 (risp. < 0 ) per ogni x ∈ [a, x 0 [
Se risulta ⎨ '
⎩ f ( x ) < 0 (risp. > 0 ) per ogni x ∈ ]x0 , b]
allora x0 è un punto di massimo (risp. minimo) relativo proprio per f .
PROP.10- Sia f : [a, b] → R derivabile 2 volte in x0 ∈ ]a, b[ .
Allora si ha
( f (x ) = 0,
'
0
)
f " ( x0 ) < 0 ⇒ ( x0 è un punto di massimo relativo proprio per f )
e
14
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
( f (x ) = 0,
)
f " ( x0 ) > 0 ⇒ ( x0 è un punto di minimo relativo proprio per f ) .
'
0
Si pone la seguente
DEF.8- Sia f : [a, b] → R derivabile. Si dice che f è convessa (risp. concava) se
1) ∀x0 , x ∈ [a, b] : f (x ) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x 0 )
(risp. f (x ) ≤ f (x ) + f (x )(x − x )) .
'
0
0
0
Se f è convessa (risp. concava) si dice anche che f volge la concavità verso l’alto
(risp. verso il basso).
OSS.6- La 1) della DEF.8 ha la seguente interpretazione geometrica.
Intanto diciamo che un punto P0 = ( x0 , y 0 ) è al di sopra (risp. al di sotto) di una retta
di equazione y = mx + q se y 0 ≥ mx0 + q (risp. y o ≤ mx0 + q ).
Allora ricordando che se x0 ∈ [a, b] , la retta tangente in P0 = ( x0 , f ( x0 )) alla curva di
equazione y = f ( x ) ha equazione y = f ( x 0 ) + f ' (x 0 )( x − x0 ) , la 1) significa che la
curva di equazione y = f ( x ) è al di sopra (risp. sotto) della tangente alla stessa in un
qualunque punto.
y
y
f(x)
'
f ( x 0 ) + f (x 0 )(x − x0 )
f ( x 0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 )
f(x)
0
x
x0
x
0
x0
f convessa
x
f concava
PROP.11- (Condizione necessaria e sufficiente per la convessità e concavità)
Sia f : [a, b] derivabile 2 volte in [a, b] . Allora si ha
1) ∀x ∈ [a, b] : f " ( x ) ≥ 0 ⇔ ( f è convessa)
2) ∀x ∈ [a, b] : f " ( x ) ≤ 0 ⇔ (f è concava) .
Nella definizione seguente si espone il concetto di punto di flesso.
(
(
)
)
DEF.9- Sia f : [a, b] → R derivabile ed x0 ∈ ]a, b[ . Se esiste un intorno ]x0 − δ , x0 + δ [ di x0 tale
che f
[ x0 −δ , x0 ]
sia convessa (risp. concava), ed f
[ x0 , x0 +δ ]
sia concava (risp. convessa), si
dice che x0 è un punto di flesso per ƒ .
15
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
PROP.12- Sia f : [a, b] → R derivabile 2 volte in x0 ∈ ]a, b[ . Se x0 è un punto di flesso per f, allora
f ' ' (x0 ) = 0 .
PROP.13- Sia f : [a, b] → R derivabile 2 volte in [a, b] e sia x0 ∈ ]a, b[ . Se esiste un intorno
]x0 − δ , x0 + δ [ di x0
∀x ∈ [x 0 − δ , x0 ] :
tale che
0 ≤ f ' ' (x ) (risp. f ' ' ( x ) ≤ 0)
e
∀x ∈ [x0 , x0 + δ ] : f ' ' ( x ) ≤ 0 (risp. f ' ' ( x ) ≥ 0)
allora x0 è un punto di flesso per ƒ.
Asintoti
Si pone la seguente
DEF.10- Sia f : X → R e sia x0 ∈ ∂ − X (risp. x0 ∈ ∂ + X ) . Si dice che la retta di equazione x = x0
è un asintoto verticale a sinistra (risp. a destra) per ƒ se
lim f ( x ) = ±∞ ⎛⎜ risp. lim+ f ( x ) = ±∞ ⎞⎟ .
x → x0 −
x → x0
⎠
⎝
Esempi.- 1) La funzione f ( x ) =
1
ha la retta x = 0 come asintoto verticale sia a sinistra che a
x
1
1
destra in quanto lim− = −∞ e lim+ = +∞ .
x →0 x
x →0 x
y
x
16
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
2) La funzione f (x ) = log x ha la retta x = 0 come asintoto verticale solo a destra in
quanto lim+ log x = −∞ .
x→0
y
x
Si dà anche la seguente
DEF.11- Sia f : X → R e sia + ∞ ∈ ∂X (risp. − ∞ ∈ ∂X ) . Si dice che la retta di equazione
y = mx + q
è un asintoto a destra (risp. a sinistra) per ƒ se risulta
lim ( f ( x ) − mx − q ) = 0
x → +∞
(risp. lim ( f (x) − mx − q ) = 0).
x → −∞
Se m = 0 l’asintoto si dice orizzontale, altrimenti si dice obliquo.
OSS.7- Si noti che la quantità f ( x ) − mx − q che compare nella DEF.11 è la distanza tra il punto
del grafico di ƒ di ascissa x e il punto dell’asintoto avente la stessa ascissa.
Pertanto la condizione lim ( f ( x ) − mx − q ) = 0 significa che, al tendere di x a + ∞ , tale
x → +∞
distanza tende a 0, ossia il punto del grafico ( x, f (x )) si avvicina indefinitamente
all’asintoto quando x tende a + ∞ .
y = ƒ(x)
y
mx + q
ƒ(x)
x
x
PROP.14- Sia f : X → R e sia + ∞ ∈ ∂X . Allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) la retta di equazione y = mx + q è un asintoto a destra per ƒ,
f (x )
b) ∃ lim
= m, ∃ lim ( f ( x ) − mx ) = q .
x → +∞
x → +∞
x
PROP.15- Sia f : X → R e sia + ∞ ∈ ∂X . Allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) la retta di equazione y = q è un asintoto orizzontale a destra per ƒ,
17
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
b) ∃ lim f ( x ) = q .
x → +∞
OSS.8- Le proposizioni 14 e 15 si enunciano in modo analogo per asintoti a sinistra.
Esempi
π
x2 + x
x2 + x π
x2 + x
. Poiché lim arctg
=
e lim arctg
= − , si ha che la
x → +∞
x → −∞
x+2
x+2 2
x+2
2
π
è un asintoto orizzontale a destra per ƒ mentre la retta di equazione
retta di equazione y =
2
π
y = − è un asintoto orizzontale a sinistra per ƒ (cfr.PROP.15).
2
x2 + 2x + 2
f (x )
x+2
2) Sia f (x ) =
. Risulta lim
= 1 mentre lim ( f ( x ) − x ) = lim
= 1 . Pertanto per
x → ±∞
x → ±∞
x → ±∞ x + 1
x +1
x
la PROP.14 la retta di equazione y = x + 1 è un asintoto obliquo sia a destra che a sinistra per ƒ.
1) Sia f ( x ) = arctg
Punti angolosi - Cuspidi
Si pone la seguente
DEF.12- Sia f : X → R continua in x0 ∈ X ma non dotata di derivata in x0 . Se ƒ è dotata di
derivata sinistra e di derivata destra in x0 , se queste sono distinte ed una almeno di esse è
finita, allora si dice che il punto P0 = ( x0 , f ( x0 )) è un punto angoloso per ƒ.
Se, invece, le due derivate a sinistra e a destra di ƒ in x0 esistono e sono una uguale a
+ ∞ e l’altra uguale a − ∞ , allora il punto P0 = ( x0 , f ( x0 )) si chiama cuspide o punto
cuspidale per ƒ.
Esempi
1) La funzione f ( x ) = x ha un punto angoloso nello 0 in quanto risulta f 's (0) = −1 ≠ 1 = f 'd (0 ) .
2) La funzione f ( x ) =
f 's (0) = lim−
x →0
x
x
x ha una cuspide nello 0 in quanto
= − lim−
x →0
y
1
= −∞,
x
f 'd (0) = lim+
x →0
x
Punto angoloso
x
x
x
= lim+
x →0
1
= +∞ .
x
y
x
Cuspide
x
18
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
I teoremi di L’Hôpital
Enunciamo due teoremi che risultano utili nel calcolo dei limiti che si presentano nelle forme
0
∞
.
indeterminate
o
0
∞
Primo teorema di L’Hôpital- Sia x0 un estremo di un intervallo aperto X e siano f , g : X → R
due funzioni assoggettate alle condizioni:
1) f e g sono derivabili;
2) ∀x ∈ X : g ' (x ) ≠ 0;
3) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0;
x → x0
x → x0
4) esiste il lim
x → x0
f ' (x )
.
g ' (x )
f (x )
e risulta
x → x0 g ( x )
f (x )
f ' (x )
lim
= lim
.
x → x0 g ( x )
x → x0 g ' ( x )
Allora esiste anche il lim
Secondo teorema di L’Hôpital- Sia x0 un estremo di un intervallo aperto X e siano f , g : X → R
due funzioni assoggettate alle condizioni:
1) f e g sono derivabili;
2) ∀x ∈ X : g ' (x ) ≠ 0;
3) lim f ( x ) = lim g ( x ) = +∞
x → x0
x → x0
4) esiste il lim
x → x0
(cioè
f e g sono infinite in x0 );
f ' (x )
.
g ' (x )
f (x )
e risulta
x → x0 g ( x )
f (x )
f ' (x )
lim
= lim
.
x → x0 g ( x )
x → x0 g ' ( x )
Allora esiste anche il lim
Esempi
0
sen x − x
. Tale limite si presenta nella forma indeterminata e si
3
x
0
verificano le ipotesi 1) e 2) del primo teorema di L’Hôpital. Si passa, allora, a calcolare il
limite nello 0 del rapporto delle derivate del numeratore e del denominatore, ossia il
cos x − 1
1
. Poiché tale limite esiste ed è uguale a − si conclude che anche
lim
2
x →0
3x
6
sen x − x
1
lim
=− .
x →0
x3
6
1) Si calcoli il lim
x →0
19
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
log sen x
∞
. Tale limite si presenta nella forma indeterminata
e si
x →0
log x
∞
verificano le ipotesi 1) e 2) del secondo teorema di L’Hôpital. Si calcola allora il
cos x
log sen x
lim+ sen x = 1 . Dunque esiste anche il lim
ed è uguale ad 1.
x →0
1
x →0
log x
x
2) Si calcoli il lim+
Studio del grafico di una funzione
Per descrivere il grafico di una funzione reale ƒ conviene raccogliere tutte le informazioni utili allo
scopo. In linea di massima conviene attenersi al seguente schema:
1) determinazione dell’insieme di definizione di ƒ;
2) eventuale parità, disparità o periodicità di ƒ;
3) determinazione delle intersezioni del grafico di ƒ con gli assi e studio del segno di ƒ;
4) calcolo dei limiti di ƒ nei punti del derivato dell’insieme di definizione non appartenenti
all’insieme stesso: conseguente determinazione degli asintoti verticali, orizzontali ed
obliqui;
5) calcolo della derivata della ƒ e di eventuali punti angolosi o di cuspide;
6) studio della monotonia di ƒ mediante lo studio della disequazione f ' ( x ) > 0 ; determinazione
di eventuali punti di minimo o massimo relativi mediante la risoluzione dell’equazione
f ' (x ) = 0 ;
7) calcolo della derivata seconda della ƒ;
8) studio della convessità, concavità e di eventuali flessi della ƒ mediante la risoluzione della
disequazione f ' ' ( x ) > 0 e della equazione f ' ' ( x ) = 0 ;
9) disegno approssimativo del grafico della ƒ.
20
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Esempi
1.
Si disegni il grafico G f della funzione
f (x ) =
x2 + 2
.
x −1
La funzione è definita per tutte le x ≠ 1 , per cui l’insieme di definizione è X = ]− ∞,1[ ∪ ]1,+∞[ .
L’eventuale intersezione con l’asse y (questa esiste se 0 ∈ X come nel nostro caso) si ottiene
ponendo x = 0 in f ( x ) e calcolando il corrispondente valore f ( x ) . Risulta f (0) = −2 , dunque
il punto (0,−2 ) ∈ G f . Le eventuali intersezioni con l’asse x si ottengono risolvendo l’equazione
x2 + 2
= 0 e siccome tale equazione (che è equivalente a
x −1
x 2 + 2 = 0 ) non ha soluzioni, si conclude che G f non interseca l’asse x .
f ( x ) = 0 . Nel nostro caso si ha
Si calcolano, ora, gli eventuali asintoti orizzontali calcolando i limiti di ƒ in − ∞ e + ∞ . Poiché
x2 + 2
x2 + 2
lim
= +∞ e lim
= −∞ , (ovvero tali limiti non sono reali), non esistono asintoti
x → +∞ x − 1
x → −∞ x − 1
f (x )
. Poiché
orizzontali. Si vede, dunque, se esistono asintoti obliqui andando a calcolare il lim
x → ±∞
x
f (x )
2+ x
lim
= 1 e lim ( f ( x ) − x ) = lim
= 1 , allora la retta di equazione
x → ±∞
x
→
±∞
x
→
±∞
x
x−2
y = x +1
è un asintoto obliquo sia a sinistra che a destra per ƒ.
Si vede, poi, se esistono asintoti verticali andando a calcolare il lim− f ( x ) ed il lim+ f ( x ) .
x →1
x →1
x +2
x +2
= −∞ e lim+
= +∞ , allora la retta di equazione
x
→
1
x −1
x −1
x =1
è asintoto verticale sia a sinistra che a destra per ƒ.
Si ha poi
2 x( x − 1) − x 2 − 2 x 2 − 2 x − 2
f ' (x ) =
=
(x − 1)2
(x − 1)2
Si risolve l’equazione f ' ( x ) = 0, cioè x 2 − 2 x − 2 = 0 e si ottengono le due soluzioni
2
2
Poiché risulta lim−
x →1
x1 = 1 − 3 e x2 = 1 + 3 . Questi due punti sono potenziali punti di minimo o massimo relativo per
ƒ. Per riconoscere se lo sono realmente si va a studiare la disequazione f ' ( x ) > 0 . Risulta
(
) (
)
f ' (x ) > 0 ⇔ x < 1 − 3 ∨ 1 + 3 < x
ovvero, riportando in un grafico nel quale si disegnino con tratto continuo gli intervalli in cui la
disequazione f ' ( x ) > 0 è soddisfatta e con tratto discontinuo altrove, risulta
f ′( x) > 0
1− 3
1+ 3
21
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Si ha, dunque, che ƒ è crescente nell’intervallo ] − ∞ , − 3 ] e nell’intervallo [1 + 3 ,+∞[ , ed è
decrescente nell’intervallo[ 1− 3 ,1 [ e nell’intervallo ] 1,1 + 3 ]. Pertanto (cfr. PROP.7) il punto
1 − 3 è di massimo relativo per ƒ mentre il punto 1 + 3 è di minimo relativo per ƒ.
6
, dunque f ' ' (x ) > 0 ⇔ x > 1 , cioè ƒ è convessa nell’intervallo ] 1,+∞ [
Risulta poi f '' ( x ) =
3
( x − 1)
e concava nell’intervallo ] − ∞,1 [
y
1
1 1− 3
1
1+ 3
x
-2
y = x+1
22
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
2.
Si disegni il grafico della funzione
f (x ) = xe
x
x −1
.
Risulta X = ]− ∞,1[ ∪ ]1,+∞ [ . Si ha poi x = 0 ⇔ f ( x ) = 0 , dunque l’origine (0,0) è l’unico punto
del grafico appartenente agli assi. Si ha poi f ( x ) > 0 ⇔ x > 0 , dunque G f è al di sopra dell’asse x
sul semiasse positivo, e al di sotto su quello negativo.
Si ha poi
lim xe
x
x −1
x → +∞
= (+ ∞ ) ⋅ e = +∞,
1
lim xe
x
x −1
= (− ∞ ) ⋅ e1 = −∞
x → −∞
x
⎞
⎛
= 1⋅ 0 = 0 ⎜ in quanto lim−
= −∞ e lim e y = 0 ⎟ ,
y
→
∞
x
→
1
x −1
⎠
⎝
x
x
⎞
⎛
lim+ xe x −1 = 1 ⋅ (+ ∞ ) = +∞ ⎜ in quanto lim+
= +∞ e lim e y = +∞ ⎟ .
y
→
+∞
x →1
x
→
1
x −1
⎠
⎝
Pertanto non esistono asintoti orizzontali, mentre esiste un asintoto verticale a destra ed è la retta di
equazione
x =1
.
lim xe
x
x −1
x →1−
x
x −1
Per vedere se esistono asintoti obliqui occorre calcolare il lim
x → +∞
xe
x
. Poiché tale limite è uguale ad
⎛ x
⎞
e , si va a calcolare il lim ⎜⎜ xe x −1 − ex ⎟⎟ . Risultando
x → +∞
⎝
⎠
1
xe
x
x −1
⎛ xx−1 −1 ⎞
⎛ x1−1 ⎞
e x −1 − 1 1
⎜
⎟
− ex = ex⎜ e
− 1⎟ = ex⎜⎜ e − 1⎟⎟ = ex
⋅
,
1
x −1
⎝
⎠
⎝
⎠
x −1
si ha
1
⎛ x
⎞ ⎛
ex ⎞
e x −1 − 1
⋅ lim
=
lim ⎜⎜ xe x −1 − ex ⎟⎟ = ⎜ lim
⎟
x → +∞
x → +∞ x − 1
x → +∞
1
⎝
⎠
⎝
⎠
x −1
1
1
y=
y
e x −1 − 1
x − 1 e ⋅ lim e − 1 = e
= e ⋅ lim
x → +∞
y →0
1
y →0
y
x −1
Pertanto la retta di equazione
y = ex + e
è un asintoto obliquo a destra per ƒ. In modo analogo si dimostra che la stessa retta è anche asintoto
obliquo a sinistra.
Calcoliamo ora la derivata prima. Risulta
x
x
x
x
⎛
x ⎞
x 2 − 3x + 1
x −1− x
x −1 ⎜
x −1
⎟
=
−
f ' ( x ) = e x −1 + x ⋅ e x −1 ⋅
e
1
=
e
⋅
⎜ ( x − 1)2 ⎟
(x − 1)2
(x − 1)2
⎝
⎠
e quindi
23
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
f ' (x ) = 0 ⇔ x =
3± 5
2
3− 5
3+ 5
e, quindi
<1<
2
2
⎛
⎞
3− 5 ⎞ ⎛ 3+ 5
⎟∨⎜
f ' ( x ) > 0 ⇔ ⎜⎜ x <
< x ⎟⎟
⎟
⎜
2 ⎠ ⎝ 2
⎝
⎠
Si ha poi
Graficamente risulta
3− 5
2
f ′( x) > 0
Pertanto il punto
3+ 5
2
3− 5
3+ 5
è un punto di massimo relativo per ƒ mentre
è un punto di minimo
2
2
relativo per ƒ.
Si ha poi
3x − 2
(x − 1)4
2
2
2
e, quindi, f ' ' (x ) = 0 ⇔ x = . Poiché risulta f ' ' (x ) < 0 ⇔ x < allora per la PROP.13 il punto è
3
3
3
di flesso per ƒ.
x
f ' ' ( x ) = e x −1 ⋅
24
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
y
e
1
-1
3− 5
2
2
3
3+ 5
2
x
y = ex+e
25
