Cap. 7 - Funzioni derivabili

C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
CAP. VII
FUNZIONI DERIVABILI
In molti problemi di varia natura (fisica, economica, matematica, ecc. ) si ha a che fare con
funzioni, delle quali importa determinare il tasso di variazione o di incremento, ossia il rapporto tra
l’incremento del valore della funzione e l’incremento della variabile indipendente.
Se la funzione è del tipo f(x)= ax+b con a, b ∈ R ( cioè ha come grafico una retta), allora il
f (x ) − f (x0 )
tasso di incremento è costante, infatti per ogni x0 , x ∈ R con x0 ≠ x risulta
=a .
x − x0
Se, invece, f(x) è di tipo diverso, allora il rapporto di cui sopra non sarà costante; può però
accadere che abbia limite per x tendente ad x0 . Tale limite, quando esiste, dà una misura della
rapidità con cui varia f(x) al variare di x nelle vicinanze del punto x0 , e la conoscenza dello
stesso è molto utile per lo studio della funzione e , quindi, del problema ad essa inerente.
Ciò detto, passiamo a precisare il concetto di cui sopra nelle seguenti definizioni
DEF.1 Se f : X → R e se x0 ∈ X , si chiama (funzione) rapporto incrementale di f relativo
ad x0 la funzione:
f (x ) − f (x0 )
.
x ∈ Χ − {x 0 } →
x − x0
La differenza f ( x ) − f ( x0 ) si chiama incremento di f da x0 ad x .
DEF.2 Sia f : X → R e sia x0 ∈ X , Si dice che f è derivabile in x0 se esiste ed è finito il
1)
lim
x → x0
f (x ) − f (x0 )
.
x − x0
Se f è derivabile in x0 , il limite 1) si chiama derivata di f in x0 (oppure derivata prima
o di ordine 1 di ƒ in x0 ) e si denota con uno dei simboli seguenti :
df
1
f ′ ( x0 ) , f ( ) ( x0 ) , ( Df )( x0 ) , Df ( x0 ),
( x0 ) .
dx
DEF.3 Se f : X → R e se Y ⊂ X si dice che f è derivabile in Y se f è derivabile in ogni
elemento di Y . Se f è derivabile in X si dice semplicemente che f è derivabile.
Se, poi, f è derivabile, la funzione x ∈ X → f ' ( x ) si chiama (funzione) derivata di f
(o derivata prima o di ordine 1 di f )e si denota con uno dei seguenti simboli:
df
f ′, f (1) , Df ,
.
dx
1
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
f (x ) − f (x0 )
, tale limite si chiama
x → x0
x − x0
ancora derivata di f in x0 e si denota con uno dei simboli indicati nella DEF.2 .
DEF.4 Se f non è derivabile in x0 ma esiste il lim
Una caratterizzazione della derivabilità di una funzione in un punto è contenuta nella seguente
PROP.1 Una funzione f : X → R è derivabile in un punto x0 se e solo se
il limite
f (x0 + h ) − f (x0 )
lim
.
h →0
h
In tal caso risulta
f (xo + h ) − f (x0 )
f ' ( x0 ) = lim
.
h →0
h
esiste ed è finito
Esempi
1) Se f : X → R è costante allora, per ogni x0 ∈ X , f è derivabile in x0 e risulta f ' ( x0 ) = 0 .
f (x ) − f (x0 )
=0 .
Infatti se x0 ∈ X , per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
x − x0
2) Se a, b ∈ R, la funzione f(x)=ax+b è derivabile e risulta, per ogni x0 ∈ X , f ' ( x0 ) = a .
f (x ) − f (x0 )
=a .
Infatti se x0 ∈ R , per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
x − x0
3) (Velocità di un mobile) . Sia P un mobile che si muove di moto rettilineo e sia s(t) lo spazio
percorso all’istante t.
0
Fissato un istante t 0 ,
per ogni istante
s(t)
t ≠ t 0 il rapporto
s (t ) − s (t 0 )
prende il nome
t − t0
di velocità media tra l’istante t 0 e l’istante t .
Se il moto è uniforme (cioè P percorre spazi uguali in tempi uguali) allora il rapporto
suddetto è costante e, quindi, anche il limite per t → t 0 è costante rispetto a t 0 .
s (t ) − s (t 0 )
, tale limite prende il
Se, invece, il moto non è uniforme ed esiste il limite lim
t →t 0
t − t0
nome di velocità di P all’istante t 0 e si denota con v (t 0 ) ; quest’ultima varia al variare di t 0 .
Pertanto risulta
v(t 0 ) = s ' (t 0 )
ossia la velocità all’istante t 0 è la derivata dello spazio s (t ) in t 0 .
2
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
4) Sia ϕ la funzione valore assoluto , cioè ϕ (x ) = x per ogni x ∈ R . Se x0 > 0 , considerato
l’intorno ]0,2 x0 [ di x0 risulta
∀x ∈ ]0,2 x0 [ − {x0 } :
ϕ (x ) − ϕ (x0 )
x − x0
=
x − x0
=1
x − x0
e quindi , per il carattere locale del limite si ha
ϕ (x ) − ϕ (x0 )
lim
=1
x → x0
x − x0
cioè ϕ è derivabile in x0 e risulta ϕ ' (x 0 ) = 1 .
Se, invece, x0 < 0
ϕ ' ( x0 ) = −1 .
, con considerazioni analoghe si dimostra che ϕ è derivabile in x0 e
Infine se x0 = 0 ,poiché per ogni x ≠ 0 risulta
ϕ ( x ) − ϕ (0)
x−0
1 se 0<x
=
x
x
ed essendo
x
x
=
-1 se x<0
si ha che esistono i limiti
lim−
x →0
ϕ ( x ) − ϕ (0 )
x−0
= −1
,
lim+
x →0
ϕ ( x ) − ϕ (0 )
x−0
=1
Pertanto ϕ non è derivabile nello 0.
Come accade per il concetto di limite, così anche per quello di derivata ha senso definire la
derivata destra e la derivata sinistra come nella seguente
DEF.4- Sia f : X → R e sia x0 ∈ X ∩ ∂ + X (risp. x0 ∈ X ∩ ∂ − X ) .
Si dice che f è derivabile a destra (risp. a sinistra) in x0 se esiste ed è finito il
f (x ) − f (x0 )
x − x0
⎛
f (x ) − f (x ) ⎞
⎜⎜ risp. lim
⎟ .
x→ x −
x→ x +
x − x 0 ⎟⎠
0
0
⎝
Tale limite si chiama derivata destra (risp. sinistra) di f in x0 e si denota con il simbolo
lim
f d′( x0 ) (risp. f s′( x0 ) ) .
Esempio- La funzione valore assoluto ϕ è derivabile a sinistra e a destra nello 0 e risulta (cfr. es.4,
Pag.3) ϕ ' s (0) = −1 , ϕ ' d (0) = 1 .
Ovviamente sussiste la seguente
PROP.2- Sia f : X → R e sia x0 ∈ X ∩ ∂ − X ∩ ∂ + X . Allora sono equivalenti le seguenti
proposizioni:
3
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
a) f è derivabile in x0 ,
b) f è derivabile a sinistra e a destra in x0 e f ' s ( x0 ) = f 'd ( x0 ) .
f ' ( x0 ) = f ' s ( x0 ) = f ' d ( x0 ) .
Inoltre vera a), e quindi b), risulta
PROP.3- Se f è derivabile in x0 , allora f è continua in x0 .
Dim.- Per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
al limite per x → x 0 si ha
f (x ) − f (x0 ) =
f (x ) − f (x0 )
⋅ ( x − x0 ) e , quindi, passando
x − x0
lim ( f ( x ) − f ( x 0 )) = f ' ( x0 ) ⋅ 0 = 0
x → x0
da cui
lim f ( x ) = f ( x0 )
x → x0
ossia f è continua in x0 .
OSS.1- Si noti che una funzione può essere continua in un punto senza essere ivi derivabile. Ad
esempio la funzione valore assoluto non è derivabile nello 0 (cfr. es. 4, pag.3 ), è però
continua nello 0.
Interpretazione geometrica della derivata
Rammentiamo che se r è una retta non parallela all’asse y è se y=mx+q è la sua equazione, allora
m è la tangente dell’angolo α che l’asse x deve descrivere, ruotando in senso antiorario intorno a
D, per sovrapporsi alla retta r .
Tale numero m si chiama coefficiente angolare o pendenza della retta r .
y
C
α
α
D
A
x1
B
x2
x
AB = x 2 − x1
BC = m( x 2 − x1 )
tgα =
BC
=m
AB
4
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Si consideri, ora, una funzione f : X → R derivabile in un punto x0 ∈ X . Sia P0 = ( x0 , f ( x0 )) e
per ogni t ∈ X − {x0 } sia Pt = (t , f (t )) . La retta rt passante per i punti P0 è Pt ha equazione
f (t ) − f ( x0 )
(x − x0 ) + f (x0 ) e sia chiama retta secante la curva di equazione y = f(x) nei
y=
t − x0
punti P0 e Pt .
r
y
rt
Pt
P0
x0
t
x
Si noti che la retta secante rt ha come coefficiente angolare il valore del rapporto incrementale di f
relativo ad x0 nel punto t . Poiché f è derivabile in x0 , quando t tende ad x0 il suddetto
coefficiente angolare tende alla derivata f ' ( x0 ) di f in x0 , ovvero la retta secante rt tende ad una
retta posizione limite r la cui equazione è data da
1) y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + f ( x0 ) .
y = f(x) nel punto
La retta r prende il nome di retta tangente alla curva di equazione
P0 = ( x0 , f ( x0 )) .
In definitiva si ha che la derivata di una funzione f in un punto x0 rappresenta il coefficiente
angolare ( o la pendenza ) della retta tangente al grafico di f nel punto di ascissa x0 .
Con considerazioni analoghe si può dare una interpretazione geometrica della derivata sinistra o
destra di una funzione f in x0 : la derivata sinistra (risp. destra) di f in x0 rappresenta la pendenza
della tangente sinistra (risp. destra) alla curva di equazione y = f(x) nel punto P0 = ( x0 , f ( x0 )) .
Ad esempio la funzione valore assoluto ha come grafico una curva dotata di tangente sinistra (risp.
destra) nell’origine degli assi, di equazione
y = -x ( risp. y = x )
5
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Queste sono proprio le rette passanti per i due rami del grafico .
y
y=x
y = -x
x
Esempi
1) Sia f ( x ) = ax + b ed x0 ∈ R . Poiché f ' ( x0 ) = a , la tangente alla curva di equazione y = f(x)
(cioè alla retta r di equazione y=ax+b) è la retta di equazione y = a( x − x0 ) + f ( x0 ), cioè la
stessa retta r .
f (x ) − f (x0 ) x 2 − x0
=
= x + x0
2) Sia f ( x ) = x ed x0 ∈ R . Poiché per ogni x ≠ x0 risulta
x − x0
x − x0
f (x ) − f (x0 )
si ha lim
= 2 x0 , dunque f è derivabile in x0 ed f ' ( x0 ) = 2 x0 . Perciò la
x → x0
x − x0
2
2
tangente alla curva di equazione y = f(x) (cioè alla parabola di equazione y = x 2 ) è la retta r
di equazione y = 2 x 0 ( x − x0 ) + x0 , cioè y = 2 x0 x − x0
2
2
r
x0
6
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Regole di derivazione
Nelle proposizioni che seguono sono indicate alcune regole che consentono di calcolare le
derivate del maggior numero possibile di funzioni, in particolare delle funzioni elementari.
PROP.4- (operazioni sulle derivate). Siano f : X → R e g : X → R derivabili in x0 ∈ X .
Allora
'
1) f +g è derivabile in x0 e ( f + g ) ( x 0 ) = f ' ( x0 ) + g ' ( x 0 ) ;
2) per ogni α ∈ R , α ⋅ f è derivabile in x0 e (α ⋅ f ) ( x 0 ) = α ⋅ f ' ( x0 ) ;
'
3)
f ⋅ g è derivabile in x0 e ( f ⋅ g ) (x 0 ) = f ' ( x0 ) ⋅ g ( x0 ) + f ( x0 ) ⋅ g ' ( x0 ) ;
'
f ' (x0 ) ⋅ g (x0 ) − f (x0 ) ⋅ g ' (x0 )
⎛f ⎞
f
4) se g ( x0 ) ≠ 0 ,
è derivabile in x0 e ⎜⎜ ⎟⎟ ( x0 ) =
g
(g (x0 ))2
⎝g⎠
'
Dim. A titolo d’esempio dimostriamo la 1). Per ogni x ∈ X − {x0 } risulta
( f + g )(x ) − ( f + g )(x0 ) f (x ) − f (x0 ) g (x ) − g (x0 )
=
+
x − x0
x − x0
x − x0
e da ciò, a causa dell’ipotesi di derivabilità in x0 sia di f che di g , consegue
( f + g )(x ) − ( f + g )(x0 )
f (x ) − f (x0 )
g (x ) − g (x0 )
lim
= lim
+ lim
x → x0
x → x0
x → x0
x − x0
x − x0
x − x0
e ,quindi, f +g risulta derivabile in x0 e si ha
(f
+ g ) (x0 ) = f ' (x0 ) + g ' (x0 ) .
'
PROP.5- (Derivata di una funzione composta). Siano f : X → R , g : Y → R tali che f ( X ) ⊂ Y .
Sia x0 ∈ X , sia f derivabile in x0 e sia g derivabile in f ( x 0 ) . Allora g D f è
derivabile in x0 e risulta
(g D f )' (x0 ) = g ' ( f (x0 )) ⋅ f ' (x0 )
Esempio- Sia h( x ) = (2 x + 1) e sia x0 ∈ R . La funzione h(x) è composta delle funzioni
2
f ( x ) = 2 x + 1 e g ( y ) = y 2 . Poiché f ' ( x0 ) = 2 e g ' ( f ( x0 )) = 2 f ( x0 ) = 2(2 x 0 + 1)
si ha h ' ( x0 ) = 2(2 x0 + 1) ⋅ 2 = 4(2 x0 + 1).
PROP.6- (Derivata della funzione inversa). Sia X un intervallo e sia f : X → R continua e
ingettiva. Se f è derivabile in x0 ∈ X e se f ' ( x0 ) ≠ 0 , allora l’inversa f −1 di
f è derivabile in f ( x 0 ) e risulta
'
( f −1 ) ( f ( x0 ) ) = f ' (1x ) .
0
7
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Esempio
Ricaviamo la derivata della funzione radice quadrata.
Ricordiamo che se f : R + → R è definita da f ( x ) = x 2 , la funzione radice quadrata è l’inversa di
( y ) = y . Sia, ora, y 0 ∈ R *+ .
2
Posto x0 = y 0 , si ha y 0 = x 0 = f ( x 0 ) . La funzione f risulta continua ed ingettiva, inoltre
f è derivabile in x0 e si ha f ' ( x0 ) = 2 x0 . Poiché f ' ( x0 ) ≠ 0 , allora a causa della PROP.6 anche
f −1 è derivabile in y 0 = f ( x0 ) e risulta
f , cioè f
−1
: R + → R è definita da f
−1
( f ) ( y ) = ( f ) ( f (x )) = (1 ) = 21x
f x
−1 '
−1 '
0
0
0
Pertanto la funzione radice quadrata f
−1
∀y 0 ∈ R *+ :
=
'
0
1
2 y0
.
è derivabile in R *+ e risulta
( f ) (y ) =
−1 '
0
1
2 y0
8
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Derivate delle funzioni elementari
x
f (x )
f ' (x )
x∈ R
xn
nx n −1
1
x>0
n
x∈ R
ax
a x log a
x∈ R
ex
ex
x>0
log a x
x≠0
log a x
x≠0
log x
x>0
xα
α ⋅ xα −1
x∈ R
sen x
cos x
x∈ R
cos x
− sen x
tg x
1
cos 2 x
π
+ kπ
2
k∈Z
x ≠ kπ
x≠
x
k∈Z
−1 < x < 1
x∈ R
−1 < x < 1
cotg x
arcsen x
arctg x
arccos x
n n x n −1
1
x log a
1
x log a
1
x
−
1
sen 2 x
1
1− x2
1
1+ x2
−1
1 + x2
9
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Si noti che, in conseguenza delle formule della tabella precedente e della regola di derivazione delle
funzioni composte, si ha ad esempio:
D( f (x )) = n( f ( x ))
n
D n f (x ) =
n −1
1
nn f (x )
⋅ f ' ( x ) , Da f ( x ) = a f ( x ) ⋅ log a ⋅ f ' ( x ) ,
⋅ f ' ( x ) , D( f (x )) = α ( f ( x ))
α
n −1
α −1
⋅ f ' (x ) ,
Dsenf ( x ) = cos f ( x ) ⋅ f ' ( x ) , D cos f ( x ) = − senf ( x ) ⋅ f ' ( x ) ,
Dtgf ( x ) =
1
cos f ( x )
2
Darcsenf ( x ) =
f ' (x ) , D cot gf ( x ) = −
1
1 − f (x )
2
1
f ' (x ) ,
sen f ( x )
f ' ( x ) , Darctgf ( x ) =
2
1
1 + f (x )
2
⋅ f ' (x ) .
Derivate di ordine superiore
Si pone la seguente
DEF.5- Sia f : X → R derivabile (in X). Se la funzione derivata prima f ' di f è a sua volta
derivabile in un punto x0 ∈ X , allora si dice che f è 2 volte derivabile in x0 , la derivata
di f ' in x0 si chiama derivata seconda (o di ordine 2) di f in x0 e si denota con uno dei
simboli
d2 f
(x0 ) .
f " ( x0 ), f (2 ) ( x0 ), D 2 f ( x0 ),
dx 2
OSS.2- Per quanto detto sopra si ha dunque
f " ( x0 ) = Df ' ( x0 ) .
E’ abbastanza naturale definire per ricorrenza la derivabilità ( e quindi la derivata) di ordine
maggiore di 2 di una funzione. Si dirà che una funzione f è derivabile n volte in un punto x0 se f
è derivabile n-1 volte in X e la derivata (n-1)-sima f
caso la derivata di f
n −1
n −1
di f è a sua volta derivabile in x0 ; in tal
in x0 si chiama derivata n-sima di f in x0 e si denota con uno dei simboli
dn f
(x0 ) .
dx n
Si dice, poi, che una funzione f è indefinitamente derivabile in un punto x0 se, per ogni n ∈ N * ,
f è n- volte derivabile in x0 .
f (n ) ( x0 ), D n f ( x0 ),
Ad esempio si ha che la funzione esponenziale e x è indefinitamente derivabile in R e risulta
∀n ∈ N * : D n e x = e x .
Analogamente sono indefinitamente derivabili in R le funzioni seno e coseno.
CONVENZIONE- Se f : X → R è una funzione qualunque, si pone per ogni x ∈ X
f (0 ) ( x ) = f ( x )
e si chiama derivata di ordine 0 di f in x .
10
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Punti di minimo e massimo relativi
Si rammenta che se ƒ: X → R, il minimo di ƒ (se esiste) è un valore ƒ( x0 ) tale che per ogni x ∈ X
risulti f ( x0 ) ≤ f ( x) : esso si denota con min f ( x) . Analogamente il massimo di ƒ (se esiste ) è un
x∈ X
valore f ( x0 ) tale che per ogni x ∈ X risulti f ( x) ≤ f ( x0 ) : esso si denota con max f ( x) .
x∈ X
Si noti che di punti x0 di X tali che f ( x0 ) risulti il minimo (risp. massimo) di ƒ ne possono esistere
più di uno: essi prendono il nome di punti di minimo(risp. massimo) assoluto per ƒ.
Nella definizione che segue si vanno a definire punti di minimo o di massimo di tipo più debole
rispetto ai precedenti.
DEF. 6 Se ƒ: X → R e se x0 ∈ X , si dice che x0 è un punto di minimo (risp. massimo) relativo per
ƒ, e che f ( x0 ) è un minimo (risp.massimo) relativo per f , se esiste un intorno I di x0
tale che
1) ∀x ∈ (Ι ∩ X ) − {x0 } : f ( x0 ) ≤ f ( x ) (risp. f ( x ) ≤ f ( x0 ))
Il punto x0 si dice di minimo (risp. massimo) relativo proprio per f se le disuguaglianze
in 1) risultano strette.
OSS.3- E’ evidente che un punto di massimo (risp. minimo) assoluto per f è anche di
massimo (risp. minimo) relativo per f , ma non viceversa.
Dalla DEF.6 consegue banalmente la seguente
PROP.7- Sia f : X → R ed x0 ∈ X . Se esiste un δ > 0 tale che
f
]x0 −δ , x0 ]∩ X
è crescente (risp. decrescente)
[ x0 , x0 +δ [∩ X
è decrescente (risp. crescente) ,
e
f
allora x0 è un punto di massimo (risp. minimo) relativo per f .
Teorema di FERMAT. Sia f : [a, b] → R derivabile in x0 ∈ ]a, b[ e sia x0 un punto di
minimo o massimo relativo per f . Allora
f ' (x0 ) = 0 .
Dim.- Supponiamo che x0 sia un punto di minimo relativo per f . Allora , essendo anche
x0 ∈ ]a, b[ , esiste un δ > 0 tale che ]x0 − δ , x 0 + δ [ ⊂ [a, b] e
1) ∀x ∈ ]x0 − δ , x0 + δ [ : f ( x0 ) ≤ f ( x ) .
Da 1) consegue
f (x ) − f (x0 )
2) ∀x ∈ ]x0 − δ , x0 [ :
≤0
x − x0
e
f (x ) − f (x0 )
3) ∀x ∈ ]x0 , x0 + δ [ :
≥0
x − x0
11
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Ora essendo f derivabile in x0 ed essendo x0 ∈ δ − X ∩ δ + X , si ha che f è derivabile
a sinistra e a destra in x0 e risulta f ' ( x0 ) = f ' s ( x0 ) = f ' d ( x0 ) .
D’altra parte per un teorema di confronto (cfr. PROP.11, cap. III) dalla 2) consegue che
f ' s ( x0 ) ≤ 0 e dalla 3) che f ' d ( x0 ) ≥ 0 . Dunque f ' ( x0 ) = 0 .
Si pone la seguente
DEF.7- Se una funzione f è derivabile in x0 e se f ' ( x0 ) = 0 , il punto x
per f .
0
dicesi stazionario
COR.1- Se f : [a, b] → R è derivabile in x0 ∈ ]a, b[ e se x0 è un punto di minimo o di
massimo relativo per f , allora x0 è un punto stazionario per f .
OSS.4-Si noti che non è sempre vero che un punto stazionario per una funzione sia di minimo o di
massimo relativo per la stessa. Ad esempio 0 è un punto stazionario per la funzione
f ( x ) = x 3 ma non e né di minimo né di massimo relativo per f perché, essendo f
strettamente crescente, risulta f ( x ) < f (0 ) per ogni x < 0 ed f (0 ) < f (x ) per ogni x > 0 .
Un teorema del calcolo differenziale ricco di applicazioni è il seguente
Teorema di LAGRANGE. Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ .
Allora esiste un punto c ∈ ]a, b[ tale che
f (b ) − f (a ) = f ' (c )(b − a ) .
OSS.5- Il teorema di Lagrange ha una interpretazione geometrica che passiamo a descrivere.
f (b ) − f (a )
= f ' (c ) . Ora il primo membro di
Se a ≠ b , la tesi del teorema si può scrivere
b−a
questa uguaglianza è il coefficiente angolare della retta passante per gli estremi A e B del
grafico di f , mentre f ' (c ) è il coefficiente angolare della tangente al grafico nel punto
P = (c, f (c )). Il teorema di Lagrange, dunque, afferma che esiste almeno un (e non
necessariamente uno solo) punto del grafico nel quale la tangente è parallela alla
congiungente gli estremi del grafico.
y
B
P
A
0
a c
b
x
12
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Applicazioni del teorema di Lagrange
1)
Sia f ( x ) = x . E’ ben noto che il grafico di f è una parabola. Considerati a,b ∈ R con a < b e
considerata la restrizione di f all’intervallo [a, b] , per il teorema di Lagrange esiste c ∈ ]a, b[ tale
2
a+b
b2 − a2
= 2c cioè c =
. Dunque ogni corda AB della parabola è parallela alla tangente
che
2
b−a
nel punto di ascissa uguale alla media aritmetica delle ascisse dei punti A e B .
y
B
A
0
a
cb
bc
x
2)
Sia f ( x ) =
1
. E’ ben noto che il grafico di f è una iperbole. Risulta f derivabile in ogni x0 ≠ 0 e
x
1
si ha f ' ( x 0 ) = − 2 . Dunque se 0 < a < b , applicando il teorema di Lagrange alla restrizione di f
x0
1 1
−
b
a = − 1 cioè − 1 = − 1 , oppure
all’intervallo [a, b] si ha che esiste c ∈ ]a, b[ tale che
b−a
c2
ab
c2
c = ab . Dunque ogni corda AB dell’iperbole (con A e B appartenenti ad uno stesso ramo
dell’iperbole ) è parallela alla tangente nel punto di ascissa uguale alla media geometrica delle
ascisse di A e B .
y
A
B
0
a
c
b x
13
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Conseguenze del teorema di Lagrange
Teorema di ROLLE . Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] , derivabile in ]a, b[ e tale che
f (a ) = f (b ). Allora esiste un punto c ∈ ]a, b[ tale che f ' (c ) = 0 .
PROP.8- Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[ .
Allora si ha:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) = 0 ⇔ (f è costante)
2) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) ≥ 0 ⇔ (f è crescente)
3) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) ≤ 0 ⇔ (f è decrescente)
4) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) > 0 ⇒ (f è strettamente crescente)
5) ∀x ∈ ]a, b[ : f ' ( x ) < 0 ⇒ (f è strettamente decrescente)
Dim.- Proviamo ad esempio la 1). Supponiamo che per ogni x ∈ ]a, b[ risulti
f ' (x ) = 0 .
Siano x,y ∈ [a, b] con x < y . Considerata la funzione f [ x , y ] , per il teorema di Lagrange
esiste c ∈ ]x, y[ tale che f ( y ) − f ( x ) = f ' (c )( y − x ).
Poiché per ipotesi f ' (c ) = 0 si ha anche f ( y ) − f ( x ) = 0 , cioè f ( x ) = f ( y ) .
Ciò dimostra che f è costante. E’ ben noto, poi, che se f è costante allora la derivata di f è
nulla in ogni elemento di [a, b] .
La dimostrazione di 2), 3), 4) e 5) è analoga alla precedente.
PROP.9- ( Condizione sufficiente per i minimi e massimi relativi)
Sia f : [a, b] → R e sia x0 ∈ ]a, b[ . Sia f continua in x0 e derivabile in [a, b] − {x 0 }.
⎧ f ' ( x ) > 0 (risp. < 0 ) per ogni x ∈ [a, x 0 [
Se risulta ⎨ '
⎩ f ( x ) < 0 (risp. > 0 ) per ogni x ∈ ]x0 , b]
allora x0 è un punto di massimo (risp. minimo) relativo proprio per f .
PROP.10- Sia f : [a, b] → R derivabile 2 volte in x0 ∈ ]a, b[ .
Allora si ha
( f (x ) = 0,
'
0
)
f " ( x0 ) < 0 ⇒ ( x0 è un punto di massimo relativo proprio per f )
e
14
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
( f (x ) = 0,
)
f " ( x0 ) > 0 ⇒ ( x0 è un punto di minimo relativo proprio per f ) .
'
0
Si pone la seguente
DEF.8- Sia f : [a, b] → R derivabile. Si dice che f è convessa (risp. concava) se
1) ∀x0 , x ∈ [a, b] : f (x ) ≥ f ( x0 ) + f ' ( x0 )( x − x 0 )
(risp. f (x ) ≤ f (x ) + f (x )(x − x )) .
'
0
0
0
Se f è convessa (risp. concava) si dice anche che f volge la concavità verso l’alto
(risp. verso il basso).
OSS.6- La 1) della DEF.8 ha la seguente interpretazione geometrica.
Intanto diciamo che un punto P0 = ( x0 , y 0 ) è al di sopra (risp. al di sotto) di una retta
di equazione y = mx + q se y 0 ≥ mx0 + q (risp. y o ≤ mx0 + q ).
Allora ricordando che se x0 ∈ [a, b] , la retta tangente in P0 = ( x0 , f ( x0 )) alla curva di
equazione y = f ( x ) ha equazione y = f ( x 0 ) + f ' (x 0 )( x − x0 ) , la 1) significa che la
curva di equazione y = f ( x ) è al di sopra (risp. sotto) della tangente alla stessa in un
qualunque punto.
y
y
f(x)
'
f ( x 0 ) + f (x 0 )(x − x0 )
f ( x 0 ) + f ' ( x0 )( x − x0 )
f(x)
0
x
x0
x
0
x0
f convessa
x
f concava
PROP.11- (Condizione necessaria e sufficiente per la convessità e concavità)
Sia f : [a, b] derivabile 2 volte in [a, b] . Allora si ha
1) ∀x ∈ [a, b] : f " ( x ) ≥ 0 ⇔ ( f è convessa)
2) ∀x ∈ [a, b] : f " ( x ) ≤ 0 ⇔ (f è concava) .
Nella definizione seguente si espone il concetto di punto di flesso.
(
(
)
)
DEF.9- Sia f : [a, b] → R derivabile ed x0 ∈ ]a, b[ . Se esiste un intorno ]x0 − δ , x0 + δ [ di x0 tale
che f
[ x0 −δ , x0 ]
sia convessa (risp. concava), ed f
[ x0 , x0 +δ ]
sia concava (risp. convessa), si
dice che x0 è un punto di flesso per ƒ .
15
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
PROP.12- Sia f : [a, b] → R derivabile 2 volte in x0 ∈ ]a, b[ . Se x0 è un punto di flesso per f, allora
f ' ' (x0 ) = 0 .
PROP.13- Sia f : [a, b] → R derivabile 2 volte in [a, b] e sia x0 ∈ ]a, b[ . Se esiste un intorno
]x0 − δ , x0 + δ [ di x0
∀x ∈ [x 0 − δ , x0 ] :
tale che
0 ≤ f ' ' (x ) (risp. f ' ' ( x ) ≤ 0)
e
∀x ∈ [x0 , x0 + δ ] : f ' ' ( x ) ≤ 0 (risp. f ' ' ( x ) ≥ 0)
allora x0 è un punto di flesso per ƒ.
Asintoti
Si pone la seguente
DEF.10- Sia f : X → R e sia x0 ∈ ∂ − X (risp. x0 ∈ ∂ + X ) . Si dice che la retta di equazione x = x0
è un asintoto verticale a sinistra (risp. a destra) per ƒ se
lim f ( x ) = ±∞ ⎛⎜ risp. lim+ f ( x ) = ±∞ ⎞⎟ .
x → x0 −
x → x0
⎠
⎝
Esempi.- 1) La funzione f ( x ) =
1
ha la retta x = 0 come asintoto verticale sia a sinistra che a
x
1
1
destra in quanto lim− = −∞ e lim+ = +∞ .
x →0 x
x →0 x
y
x
16
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
2) La funzione f (x ) = log x ha la retta x = 0 come asintoto verticale solo a destra in
quanto lim+ log x = −∞ .
x→0
y
x
Si dà anche la seguente
DEF.11- Sia f : X → R e sia + ∞ ∈ ∂X (risp. − ∞ ∈ ∂X ) . Si dice che la retta di equazione
y = mx + q
è un asintoto a destra (risp. a sinistra) per ƒ se risulta
lim ( f ( x ) − mx − q ) = 0
x → +∞
(risp. lim ( f (x) − mx − q ) = 0).
x → −∞
Se m = 0 l’asintoto si dice orizzontale, altrimenti si dice obliquo.
OSS.7- Si noti che la quantità f ( x ) − mx − q che compare nella DEF.11 è la distanza tra il punto
del grafico di ƒ di ascissa x e il punto dell’asintoto avente la stessa ascissa.
Pertanto la condizione lim ( f ( x ) − mx − q ) = 0 significa che, al tendere di x a + ∞ , tale
x → +∞
distanza tende a 0, ossia il punto del grafico ( x, f (x )) si avvicina indefinitamente
all’asintoto quando x tende a + ∞ .
y = ƒ(x)
y
mx + q
ƒ(x)
x
x
PROP.14- Sia f : X → R e sia + ∞ ∈ ∂X . Allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) la retta di equazione y = mx + q è un asintoto a destra per ƒ,
f (x )
b) ∃ lim
= m, ∃ lim ( f ( x ) − mx ) = q .
x → +∞
x → +∞
x
PROP.15- Sia f : X → R e sia + ∞ ∈ ∂X . Allora sono equivalenti le seguenti proposizioni:
a) la retta di equazione y = q è un asintoto orizzontale a destra per ƒ,
17
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
b) ∃ lim f ( x ) = q .
x → +∞
OSS.8- Le proposizioni 14 e 15 si enunciano in modo analogo per asintoti a sinistra.
Esempi
π
x2 + x
x2 + x π
x2 + x
. Poiché lim arctg
=
e lim arctg
= − , si ha che la
x → +∞
x → −∞
x+2
x+2 2
x+2
2
π
è un asintoto orizzontale a destra per ƒ mentre la retta di equazione
retta di equazione y =
2
π
y = − è un asintoto orizzontale a sinistra per ƒ (cfr.PROP.15).
2
x2 + 2x + 2
f (x )
x+2
2) Sia f (x ) =
. Risulta lim
= 1 mentre lim ( f ( x ) − x ) = lim
= 1 . Pertanto per
x → ±∞
x → ±∞
x → ±∞ x + 1
x +1
x
la PROP.14 la retta di equazione y = x + 1 è un asintoto obliquo sia a destra che a sinistra per ƒ.
1) Sia f ( x ) = arctg
Punti angolosi - Cuspidi
Si pone la seguente
DEF.12- Sia f : X → R continua in x0 ∈ X ma non dotata di derivata in x0 . Se ƒ è dotata di
derivata sinistra e di derivata destra in x0 , se queste sono distinte ed una almeno di esse è
finita, allora si dice che il punto P0 = ( x0 , f ( x0 )) è un punto angoloso per ƒ.
Se, invece, le due derivate a sinistra e a destra di ƒ in x0 esistono e sono una uguale a
+ ∞ e l’altra uguale a − ∞ , allora il punto P0 = ( x0 , f ( x0 )) si chiama cuspide o punto
cuspidale per ƒ.
Esempi
1) La funzione f ( x ) = x ha un punto angoloso nello 0 in quanto risulta f 's (0) = −1 ≠ 1 = f 'd (0 ) .
2) La funzione f ( x ) =
f 's (0) = lim−
x →0
x
x
x ha una cuspide nello 0 in quanto
= − lim−
x →0
y
1
= −∞,
x
f 'd (0) = lim+
x →0
x
Punto angoloso
x
x
x
= lim+
x →0
1
= +∞ .
x
y
x
Cuspide
x
18
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
I teoremi di L’Hôpital
Enunciamo due teoremi che risultano utili nel calcolo dei limiti che si presentano nelle forme
0
∞
.
indeterminate
o
0
∞
Primo teorema di L’Hôpital- Sia x0 un estremo di un intervallo aperto X e siano f , g : X → R
due funzioni assoggettate alle condizioni:
1) f e g sono derivabili;
2) ∀x ∈ X : g ' (x ) ≠ 0;
3) lim f ( x ) = lim g ( x ) = 0;
x → x0
x → x0
4) esiste il lim
x → x0
f ' (x )
.
g ' (x )
f (x )
e risulta
x → x0 g ( x )
f (x )
f ' (x )
lim
= lim
.
x → x0 g ( x )
x → x0 g ' ( x )
Allora esiste anche il lim
Secondo teorema di L’Hôpital- Sia x0 un estremo di un intervallo aperto X e siano f , g : X → R
due funzioni assoggettate alle condizioni:
1) f e g sono derivabili;
2) ∀x ∈ X : g ' (x ) ≠ 0;
3) lim f ( x ) = lim g ( x ) = +∞
x → x0
x → x0
4) esiste il lim
x → x0
(cioè
f e g sono infinite in x0 );
f ' (x )
.
g ' (x )
f (x )
e risulta
x → x0 g ( x )
f (x )
f ' (x )
lim
= lim
.
x → x0 g ( x )
x → x0 g ' ( x )
Allora esiste anche il lim
Esempi
0
sen x − x
. Tale limite si presenta nella forma indeterminata e si
3
x
0
verificano le ipotesi 1) e 2) del primo teorema di L’Hôpital. Si passa, allora, a calcolare il
limite nello 0 del rapporto delle derivate del numeratore e del denominatore, ossia il
cos x − 1
1
. Poiché tale limite esiste ed è uguale a − si conclude che anche
lim
2
x →0
3x
6
sen x − x
1
lim
=− .
x →0
x3
6
1) Si calcoli il lim
x →0
19
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
log sen x
∞
. Tale limite si presenta nella forma indeterminata
e si
x →0
log x
∞
verificano le ipotesi 1) e 2) del secondo teorema di L’Hôpital. Si calcola allora il
cos x
log sen x
lim+ sen x = 1 . Dunque esiste anche il lim
ed è uguale ad 1.
x →0
1
x →0
log x
x
2) Si calcoli il lim+
Studio del grafico di una funzione
Per descrivere il grafico di una funzione reale ƒ conviene raccogliere tutte le informazioni utili allo
scopo. In linea di massima conviene attenersi al seguente schema:
1) determinazione dell’insieme di definizione di ƒ;
2) eventuale parità, disparità o periodicità di ƒ;
3) determinazione delle intersezioni del grafico di ƒ con gli assi e studio del segno di ƒ;
4) calcolo dei limiti di ƒ nei punti del derivato dell’insieme di definizione non appartenenti
all’insieme stesso: conseguente determinazione degli asintoti verticali, orizzontali ed
obliqui;
5) calcolo della derivata della ƒ e di eventuali punti angolosi o di cuspide;
6) studio della monotonia di ƒ mediante lo studio della disequazione f ' ( x ) > 0 ; determinazione
di eventuali punti di minimo o massimo relativi mediante la risoluzione dell’equazione
f ' (x ) = 0 ;
7) calcolo della derivata seconda della ƒ;
8) studio della convessità, concavità e di eventuali flessi della ƒ mediante la risoluzione della
disequazione f ' ' ( x ) > 0 e della equazione f ' ' ( x ) = 0 ;
9) disegno approssimativo del grafico della ƒ.
20
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Esempi
1.
Si disegni il grafico G f della funzione
f (x ) =
x2 + 2
.
x −1
La funzione è definita per tutte le x ≠ 1 , per cui l’insieme di definizione è X = ]− ∞,1[ ∪ ]1,+∞[ .
L’eventuale intersezione con l’asse y (questa esiste se 0 ∈ X come nel nostro caso) si ottiene
ponendo x = 0 in f ( x ) e calcolando il corrispondente valore f ( x ) . Risulta f (0) = −2 , dunque
il punto (0,−2 ) ∈ G f . Le eventuali intersezioni con l’asse x si ottengono risolvendo l’equazione
x2 + 2
= 0 e siccome tale equazione (che è equivalente a
x −1
x 2 + 2 = 0 ) non ha soluzioni, si conclude che G f non interseca l’asse x .
f ( x ) = 0 . Nel nostro caso si ha
Si calcolano, ora, gli eventuali asintoti orizzontali calcolando i limiti di ƒ in − ∞ e + ∞ . Poiché
x2 + 2
x2 + 2
lim
= +∞ e lim
= −∞ , (ovvero tali limiti non sono reali), non esistono asintoti
x → +∞ x − 1
x → −∞ x − 1
f (x )
. Poiché
orizzontali. Si vede, dunque, se esistono asintoti obliqui andando a calcolare il lim
x → ±∞
x
f (x )
2+ x
lim
= 1 e lim ( f ( x ) − x ) = lim
= 1 , allora la retta di equazione
x → ±∞
x
→
±∞
x
→
±∞
x
x−2
y = x +1
è un asintoto obliquo sia a sinistra che a destra per ƒ.
Si vede, poi, se esistono asintoti verticali andando a calcolare il lim− f ( x ) ed il lim+ f ( x ) .
x →1
x →1
x +2
x +2
= −∞ e lim+
= +∞ , allora la retta di equazione
x
→
1
x −1
x −1
x =1
è asintoto verticale sia a sinistra che a destra per ƒ.
Si ha poi
2 x( x − 1) − x 2 − 2 x 2 − 2 x − 2
f ' (x ) =
=
(x − 1)2
(x − 1)2
Si risolve l’equazione f ' ( x ) = 0, cioè x 2 − 2 x − 2 = 0 e si ottengono le due soluzioni
2
2
Poiché risulta lim−
x →1
x1 = 1 − 3 e x2 = 1 + 3 . Questi due punti sono potenziali punti di minimo o massimo relativo per
ƒ. Per riconoscere se lo sono realmente si va a studiare la disequazione f ' ( x ) > 0 . Risulta
(
) (
)
f ' (x ) > 0 ⇔ x < 1 − 3 ∨ 1 + 3 < x
ovvero, riportando in un grafico nel quale si disegnino con tratto continuo gli intervalli in cui la
disequazione f ' ( x ) > 0 è soddisfatta e con tratto discontinuo altrove, risulta
f ′( x) > 0
1− 3
1+ 3
21
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
Si ha, dunque, che ƒ è crescente nell’intervallo ] − ∞ , − 3 ] e nell’intervallo [1 + 3 ,+∞[ , ed è
decrescente nell’intervallo[ 1− 3 ,1 [ e nell’intervallo ] 1,1 + 3 ]. Pertanto (cfr. PROP.7) il punto
1 − 3 è di massimo relativo per ƒ mentre il punto 1 + 3 è di minimo relativo per ƒ.
6
, dunque f ' ' (x ) > 0 ⇔ x > 1 , cioè ƒ è convessa nell’intervallo ] 1,+∞ [
Risulta poi f '' ( x ) =
3
( x − 1)
e concava nell’intervallo ] − ∞,1 [
y
1
1 1− 3
1
1+ 3
x
-2
y = x+1
22
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
2.
Si disegni il grafico della funzione
f (x ) = xe
x
x −1
.
Risulta X = ]− ∞,1[ ∪ ]1,+∞ [ . Si ha poi x = 0 ⇔ f ( x ) = 0 , dunque l’origine (0,0) è l’unico punto
del grafico appartenente agli assi. Si ha poi f ( x ) > 0 ⇔ x > 0 , dunque G f è al di sopra dell’asse x
sul semiasse positivo, e al di sotto su quello negativo.
Si ha poi
lim xe
x
x −1
x → +∞
= (+ ∞ ) ⋅ e = +∞,
1
lim xe
x
x −1
= (− ∞ ) ⋅ e1 = −∞
x → −∞
x
⎞
⎛
= 1⋅ 0 = 0 ⎜ in quanto lim−
= −∞ e lim e y = 0 ⎟ ,
y
→
∞
x
→
1
x −1
⎠
⎝
x
x
⎞
⎛
lim+ xe x −1 = 1 ⋅ (+ ∞ ) = +∞ ⎜ in quanto lim+
= +∞ e lim e y = +∞ ⎟ .
y
→
+∞
x →1
x
→
1
x −1
⎠
⎝
Pertanto non esistono asintoti orizzontali, mentre esiste un asintoto verticale a destra ed è la retta di
equazione
x =1
.
lim xe
x
x −1
x →1−
x
x −1
Per vedere se esistono asintoti obliqui occorre calcolare il lim
x → +∞
xe
x
. Poiché tale limite è uguale ad
⎛ x
⎞
e , si va a calcolare il lim ⎜⎜ xe x −1 − ex ⎟⎟ . Risultando
x → +∞
⎝
⎠
1
xe
x
x −1
⎛ xx−1 −1 ⎞
⎛ x1−1 ⎞
e x −1 − 1 1
⎜
⎟
− ex = ex⎜ e
− 1⎟ = ex⎜⎜ e − 1⎟⎟ = ex
⋅
,
1
x −1
⎝
⎠
⎝
⎠
x −1
si ha
1
⎛ x
⎞ ⎛
ex ⎞
e x −1 − 1
⋅ lim
=
lim ⎜⎜ xe x −1 − ex ⎟⎟ = ⎜ lim
⎟
x → +∞
x → +∞ x − 1
x → +∞
1
⎝
⎠
⎝
⎠
x −1
1
1
y=
y
e x −1 − 1
x − 1 e ⋅ lim e − 1 = e
= e ⋅ lim
x → +∞
y →0
1
y →0
y
x −1
Pertanto la retta di equazione
y = ex + e
è un asintoto obliquo a destra per ƒ. In modo analogo si dimostra che la stessa retta è anche asintoto
obliquo a sinistra.
Calcoliamo ora la derivata prima. Risulta
x
x
x
x
⎛
x ⎞
x 2 − 3x + 1
x −1− x
x −1 ⎜
x −1
⎟
=
−
f ' ( x ) = e x −1 + x ⋅ e x −1 ⋅
e
1
=
e
⋅
⎜ ( x − 1)2 ⎟
(x − 1)2
(x − 1)2
⎝
⎠
e quindi
23
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
f ' (x ) = 0 ⇔ x =
3± 5
2
3− 5
3+ 5
e, quindi
<1<
2
2
⎛
⎞
3− 5 ⎞ ⎛ 3+ 5
⎟∨⎜
f ' ( x ) > 0 ⇔ ⎜⎜ x <
< x ⎟⎟
⎟
⎜
2 ⎠ ⎝ 2
⎝
⎠
Si ha poi
Graficamente risulta
3− 5
2
f ′( x) > 0
Pertanto il punto
3+ 5
2
3− 5
3+ 5
è un punto di massimo relativo per ƒ mentre
è un punto di minimo
2
2
relativo per ƒ.
Si ha poi
3x − 2
(x − 1)4
2
2
2
e, quindi, f ' ' (x ) = 0 ⇔ x = . Poiché risulta f ' ' (x ) < 0 ⇔ x < allora per la PROP.13 il punto è
3
3
3
di flesso per ƒ.
x
f ' ' ( x ) = e x −1 ⋅
24
C. Boccaccio – Appunti di Analisi Matematica – CAP VII
y
e
1
-1
3− 5
2
2
3
3+ 5
2
x
y = ex+e
25