Limiti di funzioni

Limiti di funzioni
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Comportamento agli estremi: operazione di
limite
Sia f (x) una funzione definita su R e supponiamo di voler
studiare l’andamento della funzione agli estremi del dominio:
x → +∞,
x → −∞
Indichiamo tale operazione con
lim f (x),
x→+∞
lim f (x)
x→−∞
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Esempi
f (x) = 2x
lim 2x = +∞
x→+∞
lim 2x = 0
x→−∞
La retta y = 0 si dice asintoto orizzontale per la funzione f .
x
1
+1
g(x) =
2
x
x
1
1
lim
+1 = 1
lim
+ 1 = +∞
x→+∞ 2
x→−∞ 2
La retta y = 1 si dice asintoto orizzontale per la funzione g.
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Esempi
La seguente funzione non ammette limite.
f (x) = cos(x)
lim cos(x) = @
x→+∞
lim cos(x) = @
x→−∞
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Limite di una funzione all’infinito
• Si dice che il limite per x che tende a +∞ della
funzione f (x) é +∞
lim f (x) = +∞
x→+∞
se ∀M > 0 ∃k > 0 tale che ∀x > k si ha f (x) > M.
• Si dice che il limite per x che tende a +∞ della
funzione f (x) é l ∈ R
lim f (x) = l
x→+∞
se ∀ε > 0 ∃k > 0 tale che ∀x > k si ha |f (x) − l| < ε.
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Definizione intuitiva generale di limite
Se f (x) é una funzione definita sui R, e c, l ∈ R, dire che:
"l é il limite di f (x) per x tendente a c"
equivale a dire che
"se x é molto prossimo, ma non identico, a c, allora f (x) é
molto vicina a l".
lim f (x) = l
x→c
Esempio. Verificare che
x
=2
x→2 x − 1
lim
Osservazione. L’esistenza del limite di una funzione in un
dato punto c, é assolutamente indipendente dal comportamento della funzione nel punto stesso.
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Limite finito per una funzione in un punto
• Si dice che il limite per x che tende a c della funzione
f (x) é l ∈ R
lim f (x) = l
x→c
se ∀ε > 0 si puó sempre determinare un intorno completo
H del punto x0 tale che ∀x ∈ H (x 6= x0 ) si ha
|f (x) − l| < ε
ossia
l − ε < f (x) < l + ε.
Esempio. Verificare che risulta
x−1
lim √
=2
x→1 x − 1
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Limite infinito per una funzione in un punto
Sia data la funzione
1
x
questa funzione non é definita su tutto l’insieme R.
f (x) =
Il suo dominio di esistenza é D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞).
Possiamo allora studiare il comportamento della funzione
agli estremi, finiti e/o infiniti, del suo intervallo di definizione.
Per quanto riguarda gli estremi infiniti si ha
1
1
lim = 0
lim = 0
x→+∞ x
x→−∞ x
La retta y = 0 é un asintoto orizzontale della funzione.
Osservazione Nell’operazione di limite dividere per una
quantitá che tende a ∞ da 0 (basti pensare a 1/1000 =
0.001)
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Limite infinito per una funzione in un punto
Per quanto riguarda gli estremi finiti si hanno invece le
seguenti operazioni
1
1
= − = −∞
0
x→0− x
e si dice che x tende a 0 da sinistra;
lim
lim
x→0+
1
1
= + = +∞
x 0
e si dice che x tende a 0 da destra.
La retta x = 0 si dice asintoto verticale della funzione.
Osservazione Nell’operazione di limite dividere per una
quantitá che tende a zero produce una quantitá infinita
(basti pensare a 1/0.001 = 1000).
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Limite infinito per una funzione in un punto
• Si dice che il limite per x che tende a x0 ∈ R della funzione f (x) é +∞
lim f (x) = +∞
x→x0
se ∀M > 0 si puó sempre determinare un intorno completo
H del punto x0 tale che ∀x ∈ H (x 6= x0 ) si ha
f (x) > M.
• Se limx→x0 f (x) = −∞ allora ∀M > 0 si puó sempre determinare un intorno completo H del punto x0 tale che ∀x ∈ H
(x 6= x0 ) si ha
f (x) < −M.
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Condizione esistenza limite
Condizione necessaria e sufficiente perché esista il limx→x0 f (x)
é che esistano il limite destro (x → x0+ ) e il limite sinistro
(x → x0− ) e siano uguali.
Esempio
1
=@
x→0 x
lim
infatti
lim
x→0−
1
1
= −∞ 6= lim = +∞
+
x
x→0 x
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Riepilogando: limite di una funzione
all’infinito
Si possono avere tre situazioni:
• la funzione converge
lim f (x) = l
x→±∞
allora l’equazione y = l é un asintoto orizzontale
• la funzione diverge
lim f (x) = ±∞
x→±∞
• la funzione non ha limite
lim f (x) = @
x→±∞
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Riepilogando: limite di una funzione in un
punto
Sia x0 ∈ R. Si possono avere tre situazioni:
• la funzione converge
l = f (x0 )
lim f (x) = l =⇒
l 6= f (x0 )
x→x0
• la funzione diverge
lim f (x) = ±∞
x→x0
allora l’equazione x = x0 é un asintoto verticale
• la funzione non ha limite
lim f (x) = @
x→x0
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Riepilogando: limite di una funzione in un
punto
Sia data la funzione
 2
se x < 0
 x
1 se x = 0
f (x) =
 2
x
se x > 0
allora
lim f (x) = 0 6= f (0) = 1
x→0
dove limx→0 f (x) = 0 perché limx→0+ f (x) = 0 = limx→0− f (x)
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Operazioni sui limiti: somma
Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune
D (⊆ R) e a valori in R:
• Se, per x0 ∈ R finito o infinito, limx→x0 f (x) = l1 e limx→x0 g(x) =
l2 allora
lim (f (x) ± g(x)) = l1 ± l2
x→x0
Esempi
lim −3x +3x = 0−∞ = −∞
x→−∞
lim 10x+3x2 = 10(3)+3(32 ) = 57 = f (3)
x→3
lim −2x + x3 = +∞ − ∞ =?
x→+∞
Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando
l1 = +∞
e
l2 = −∞ =⇒ l1 + l2 = +∞ − ∞
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Operazioni sui limiti: somma
Valgono le seguenti regole per il limite della somma:
a+∞ = ∞
a − ∞ = −∞
+∞ + ∞ = +∞
−∞ − ∞ = −∞
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Operazioni sui limiti: prodotto
Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune
D (⊆ R) e a valori in R:
• Se, per x0 ∈ R finito o infinito, limx→x0 f (x) = l1 e limx→x0 g(x) =
l2 allora
lim (f (x)g(x)) = l1 l2
x→x0
Esempi
lim 3x log(x−2) = 32 (−∞)
x→2
lim 3−x (x+1) = (+∞)(−∞) = −∞
x→−∞
lim 3−x (x + 1) = (0)(+∞) =?
x→+∞
Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando
l1 = 0
l1 = ±∞
l2 = ±∞ =⇒ l1 l2 = 0(±∞)
e
e
l2 = 0 =⇒ l1 l2 = (±∞)0
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Operazioni sui limiti: rapporto
Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un dominio comune
D (⊆ R) e a valori in R:
• Se, per x0 ∈ R finito o infinito, limx→x0 f (x) = l1 e limx→x0 g(x) =
l2 allora
f (x) l1
lim
=
x→x0 g(x)
l2
Esempi
9
3x
= =3
x→2 log2 (4x)
3
lim
x2 + 4
8
= + = +∞
+
0
x→−2 x + 2
lim
2−x
+∞
=
=?
x→−∞ x + 1
−∞
lim
x + x3
0
= =?
2
x→0 4x − 3x
0
lim
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Operazioni sui limiti: rapporto
Si ha una forma indeterminata/ di indecisione quando
l1 = ±∞
l1 = 0
e
e
l2 = ±∞ =⇒
l2 = 0 =⇒
l1 ±∞
=
l2 ±∞
l1 0
=
l2 0
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Operazioni sui limiti: prodotto e rapporto
Valgono le seguenti regole per il limite del prodotto e del
rapporto:
a(∞) = ∞ con a 6= 0
a
∞
=0
a
0
= ∞ con a 6= 0
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Operazioni sui limiti
Sia c ∈ R e limx→+∞ f (x) = +∞, allora
1.
lim (c + f (x)) = +∞
x→+∞
2. se c 6= 0 allora
lim (cf (x)) =
x→+∞
3.
+∞
−∞
se c > 0
se c < 0
c
=0
x→+∞ f (x)
lim
Esempio Studiare il comportamento della funzione f (x) =
−5e3x agli estremi del suo dominio.
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Polinomi e forme indeterminate
Risolvere i seguenti limiti sui polinomi con forme indeterminate:
• Forma indeterminata ∞ − ∞
√
√
p
( 9x2 + 1 − 3x)( 9x2 + 1 + 3x)
√
lim ( 9x2 + 1 − 3x) = lim
x→+∞
x→+∞
( 9x2 + 1 + 3x)
(9x2 + 1 − 9x2 )
1
√
= lim √
=0
x→+∞ ( 9x2 + 1 + 3x)
x→+∞ ( 9x2 + 1 + 3x)
= lim
• Forma indeterminata 00
x + x3
x(1 + x2 )
(1 + x2 )
1
= lim
= lim
=
2
x→0 4x − 3x
x→0 x(4 − 3x)
x→0 (4 − 3x)
4
lim
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Polinomi e forme indeterminate
Risolvere i seguenti limiti sui polinomi con forme indeterminate:
• Forma indeterminata ±∞
±∞
q
√
2
+
1 − x12
2
√
2x + x − 1
3
3
q
lim √
=
lim
=√
= 9
3
3
x→+∞ 3x3 − 2x2 + 1
x→+∞ 3
1
2
3
3− + 3
x
x
• Forma indeterminata 0(±∞): si risolve
trasformandola nella forma
lim
1
x→−∞ x2
(x + 1) = lim
x→−∞
±∞
±∞
o
0
0
(x + 1)
1
1
= lim =
=0
x→+∞ x
x2
−∞
• Risolvere i seguenti esercizi
x2 + x3 + 1
lim
x→+∞ 4x − 3x2
√
x2 + x
lim
x→+∞ x + 2
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Confronti: ordine di infiniti
Una funzione che diverge (a ±∞) si dice infinito.
Siano f (x) e g(x) due infiniti. Allora il rapporto dei loro limiti
puó essere:
f (x)
• lim
= ±∞ =⇒ f (x) diverge piú velocemente di
x→x0 g(x)
g(x) (f é un infinito di ordine superiore)
f (x)
= 0 =⇒ f (x) diverge piú lentamente di g(x)
x→x0 g(x)
(f é un infinito di ordine inferiore)
• lim
f (x)
= l 6= 0 =⇒ f (x) e g(x) divergono con la
x→x0 g(x)
stessa velocitá (f e g sono infiniti dello stesso ordine)
• lim
f (x)
= 1 =⇒ f (x) e g(x) divergono
x→x0 g(x)
asintoticamente a +∞.
• lim
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Confronti: ordine di infiniti
Nel caso dei polinomi esiste una semplice regola per calcolare l’ordine degli infiniti. Siano
P(x) = pr xr + pr−1 xr−1 + . . . + p1 x + p0
e
Q(x) = qs xs + qs−1 xs−1 + . . . + q1 x + q0
due polinomi di grado r ed s rispettivamente. Si ha

±∞
se r > s
P(x) 
0
se r < s
lim
=
x→+∞ Q(x)
 pr
se r = s
qs
dove il segno di ±∞ dipende dal rapporto tra i polinomi.
Quindi l’ordine di infinito corrisponde al grado dei polinomi.
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Confronti: ordine di infiniti
Per gli altri infiniti esiste la seguente scala di velocitá
logaritmi << polinomi << esponenziali
y
ex
x2
x
x
log(x)
x
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Esempi
Calcolare i seguenti limiti applicando il confronto fra ordini
di infinito.
−x2
√
lim
x→−∞ 5x
5x
lim 2x
x→+∞ e
−x2
√
lim
x→−∞ 5x3
log(x)
lim
x→+∞ 2x
−x2
√
lim
x→−∞ 5x2
√
5 x
lim
x→−∞ log(2x)
√ 2
lim −e3x + 3ex
x→+∞
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Confronti: ordine di infinitesimo
Una funzione che converge a 0 si dice infinitesimo.
Siano f (x) e g(x) due infinitesimi. Allora il rapporto dei loro
limiti puó essere:
f (x)
= ±∞ =⇒ f (x) tende a zero piú lentamente
g(x)
di g(x) (f é un infinito di ordine inferiore)
• lim
x→x0
f (x)
= 0 =⇒ f (x) tende a zero piú velocemente
x→x0 g(x)
di g(x) (f é un infinito di ordine superiore)
• lim
f (x)
= l 6= 0 =⇒ f (x) e g(x) tendono a zero con la
x→x0 g(x)
stessa velocitá (f e g sono infiniti dello stesso ordine)
• lim
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Confronti: ordine di infinitesimo
Per gli infinitesimi esistono le seguenti scale di velocitá
1
esponenziali
<<
x→+∞
1
polinomi
<<
x→+∞
1
logaritmi
x→+∞
[xn ]x→0 << [xn−1 ]x→0 << . . . << [x2 ]x→0 << [x]x→0
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Confronti: ordine di infinitesimo
Risolvere i seguenti esercizi:
x5
= lim x2 = 0
x→0 x3
x→0
lim
x3
1
= lim 7 = 0
1
x→0 x 0
x→0 x
lim
x2 + 3x
lim 3
= lim
x→0 x − 2x2 + 4x
x→0
x2
x
x3
x
−
+ 3x
x
2x2
x
+ 4x
x
x+3
3
=
x→0 x2 − 2x + 4
4
= lim
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Asintoti
• Se lim f (x) = ±∞ =⇒ x = x0 é un asintoto
x→x0
verticale;
• Se lim f (x) = l =⇒ y = l é un asintoto
x→±∞
orizzontale;
f (x)
= m ∈ R e lim (f (x) − mx) = q ∈ R =⇒
x→±∞ x
x→±∞
y = mx + q é un asintoto obliquo.
• Se lim
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Studio del comportamento agli estremi del
dominio
Sia data la funzione
f (x) =
x2 + 1
x
il suo dominio sará dato da D = (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Cosa
succede agli estremi dell’intervallo?
x2 + 1
= −∞ =⇒ x = 0 asintoto verticale
x
x→0−
lim
lim
x→0+
x2 + 1
= +∞ =⇒ x = 0 asintoto verticale
x
x2 + 1
= −∞ =⇒ ?
x→−∞
x
lim
x2 + 1
= +∞ =⇒ ?
x→+∞
x
lim
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Ricerca dell’asintoto obliquo
Se limx→−∞ f (x) = ±∞ potrebbe esistere un asintoto obliquo
per la funzione di equazione y = mx + q.
L’asintoto obliquo esiste solo se esistono e sono finiti i limiti:
f (x)
lim
=m e
lim (f (x) − mx) = q
x→−∞ x
x→−∞
che determinano i coefficienti della retta.
Un discorso analogo va fatto per il caso limx→+∞ f (x) = ±∞.
In tal caso i coefficienti della retta vanno calcolati come:
f (x)
=m
x→+∞ x
lim
e
lim (f (x) − mx) = q
x→+∞
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Ricerca dell’asintoto obliquo
Riprendendo l’esempio della funzione
f (x) =
x2 + 1
x
abbiamo
x2 + 1
= −∞ =⇒ possibile asintoto obliquo
x→−∞
x
lim
verifichiamolo:
x2 + 1
= 1 ∈ R =⇒ m = 1
x→−∞ x2
m = lim
x2 + 1
x2 + 2 − x2
2
− 1x = lim
= lim = 0 =⇒ q = 0
x→−∞
x→−∞
x→−∞
x
x
x
q = lim
per cui y = x é asintoto obliquo per la funzione.
• Esiste l’asintoto obliquo per x → +∞?
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Ricerca dell’asintoto: esercizi
Determinare gli asintoti delle seguenti funzioni e rappresentarli nel piano cartesiano:
f (x) =
x2 − 4
x+1
p
x2 + 1
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Funzione continua
• Una funzione f : D ⊆ R → R si dice continua in un punto
x0 ∈ D se
lim f (x) = f (x0 )
x→x0
• Si dice che f é continua in un intervallo I ⊆ R se essa é
continua in tutti i punti dell’intervallo.
In termini non rigorosi si ha che una funzione é continua
quando é possibile tracciarne il grafico con un tratto continuo, senza dover mai staccare la penna dal foglio.
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Funzione continua: esempi
Le funzioni seguenti sono continue in x0 = 0?
f (x) = x2
e
 2
se x < 0
 x
1 se x = 0
g(x) =
 2
x
se x > 0
f(x)
g(x)
y
y
●
●
x
lim x2 = 0 = f (0)
x→0
x
lim g(x) = 0 6= g(0) = 1
x→0
f (x) é continua, g(x) no.
Questa discontinuitá si puó eliminare definendo g(0) = 0 = limx→0 g(x).
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Funzione continua: esempi
La funzioni seguente é continua?
x
f (x) =
= sign(x) =
|x|
−1 se x < 0
1 se x > 0
y
1
x
0
−1
lim f (x) = −1
x→0−
lim f (x) = 1
x→0+
I limiti destro e sinistro sono diversi, per cui non esiste il limite limx→0 f (x).
Nel punto x = 0 si ha un salto uguale a 2. Si parla di discontinuitá di
prima specie.
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Funzione continua: esempi
La funzioni seguente é continua?
f (x) =
1
x
y
x
0
lim f (x) = −∞
x→0−
lim f (x) = +∞
x→0+
Entrambi i limiti divergono e si dice che la funzione ha una discontinuitá di seconda specie.
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Funzione continua: punti di discontinuitá
Data una funzione di variabile reale in R, e x0 un punto del
dominio (o un estremo del dominio) diciamo che la funzione f (x) ha in x0 un punto di discontinuitá se si ha:
1. lim f (x) = l ∈ R e l 6= f (x0 ) =⇒ discontinuitá eliminabile.
x→x0
2. lim− f (x) = l1 e lim+ f (x) = l2 , l1 6= l2 =⇒ discontinuitá
x→x0
x→x0
di prima specie (salto).
3. x→x
lim f (x) = ±∞ oppure lim f (x) = @ =⇒ discontinuitá
x→x
0
0
di seconda specie.
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Funzione continua: esercizi
Dire se le seguenti funzioni sono continue nel loro dominio,
studiare il loro andamento agli estremi del dominio e rappresentare queste informazioni nel grafico:
x + 2 se x > 0
f (x) =
3x + 1 se x ≤ 0
f (x) =
1
x−1
2
f (x) = e 1−x
f (x) =
1 + log(x) se x > 1
x2 se x ≤ 1
p
f (x) = x2 − 1
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