i valori medi - Docenti.unina

I VALORI MEDI
Valori che vengono calcolati per esprimere
sinteticamente l’intensità di un fenomeno
e per consentire la comparazione del fenomeno
con fenomeni analoghi
MEDIE COME CENTRI
I numeri xi∈ R (i=1,…,s) possono essere rappresentati lungo una
retta orientata:
Cr
0
x1 x2
xs-1 xs
Si dice distanza tra due punti xi ,xj∈ R e si indica con dij la
differenza in modulo tra essi:
d ij = xi − x j
La distanza rappresenta quindi la lunghezza del segmento tra i due
punti considerati.
Si dice centro di ordine r d’un insieme di punti xi∈ R (i=1,…,s) e
si indica con Cr il numero che rende minima la somma delle potenze resime delle distanze dei punti da esso:
r
s
∑x
i =1
per r=0
per r=1
per r=2
i
− C r = m in
Cr =Moda
Cr =Mediana
Cr =Media Aritmetica
I valori medi possono essere distinti in:
1. Valori Medi Razionali
Vengono calcolati attraverso le normali operazioni
aritmetiche
Tutti i valori della distribuzione sono utilizzati per il loro
calcolo
- Media Aritmetica
- Media Geometrica
- Media Armonica
2. Valori Medi di Posizione
Vengono calcolati tenendo conto della posizione delle
modalità
Solo alcuni valori della distribuzione sono utilizzati per il
loro calcolo
- Mediana
- Quartili e Percentili
3. Valori Medi di Frequenza
Vengono calcolati in base alla frequenza con cui si presenta
ciascuna modalità della variabile statistica
- Moda
MEDIA ARITMETICA
SUCCESSIONE
s
M=
∑x
i=1
i
s
VARIABILE STATISTICA
s
∑x n
M=
i i
i=1
N
s
N=∑ni
i=1
VARIABILE STATISTICA IN CLASSI
s
M=
c
x
∑ i ni
i=1
N
c
s
N=∑ni
i=1
dove x i rappresenta il valore centrale di ogni classe
ALCUNE PROPRIETA’ DELLA MEDIA
ARITMETICA
1.EQUIRIPARTIZIONE
La media aritmetica realizza un processo di equiripartizione e
lascia invariante la funzione somma
x1 + x2 +...xs = M+ M+...M= sM
2.INTERNALITA’
La media aritmetica è sempre compresa tra il valore più piccolo ed
il valore più grande delle modalità del carattere
min ( xi ) ≤ M ≤ max ( xi )
3.SCARTI NULLI
La somma degli scarti di ciascun termine dalla media aritmetica è
sempre nulla
s
∑ (x
i =1
i
−M)= 0
infatti:
s
s
∑(x
i =1
i
s
s
∑x
i =1
i =1
s
− M ) = ∑ x i − sM = ∑ x i − s
i =1
i
=0
4.TRANSLATIVITA’
Se a ciascun termine della distribuzione si aggiunge una costante
(c) la media aritmetica della nuova distribuzione è uguale alla
media aritmetica della distribuzione originaria aumentata di (c)
x1+c, x2 +c, …xi+c ,……. xs+c= M+c
5.OMOGENEITA’
Se si moltiplica ciascun termine della distribuzione per una
costante (c) la media aritmetica della nuova distribuzione è uguale
alla media aritmetica della distribuzione originaria moltiplicata per
(c)
x1•c, x2 •c, …xi•c ,……. xs•c=M•c
6.CONDIZIONE DI MINIMO
La media aritmetica è un centro di ordine 2 e quindi la somma dei
quadrati degli scarti di ciascun termine della distribuzione dalla
media aritmetica è un minimo
s
∑
i = 1
(
x
i
− M
)
2
= M in
infatti:
se aggiungo una costante d
s
∑
i = 1
=
(xi − M + d )
s
∑
i = 1
(
x
i
− M
)
2
2
s
∑
=
i = 1
+ Nd
(xi − M )
2
+ Nd
2
il m inim o di questa funzione si ottiene per d= 0
2
s
∑
+ 2
i = 1
(xi − M + d ) =
PROBLEMI DI EQUIDISTRIBUZIONE
La seguente tabella riporta il numero di imprese per alcuni comuni
della provincia di Ferrara (Fonte: Censimento Industria e Servizi,
’91, Istat)
COMUNI
Berra
Cento
Comacchio
Ferrara
Formignana
Jolanda di Savoia
Masi Torello
Massa Fiscaglia
Portomaggiore
NUMERO DI IMPRESE
379
2352
2262
9370
148
153
181
274
874
Se ci fosse equidistribuzione delle imprese tra i comuni desiderati
quale sarebbe il numero di imprese per ciascun comune?
M=(379+2352+….+874)/9=1777
MEDIA GEOMETRICA
SUCCESSIONE
1/ s
s
⎛
⎞
s
M g = ( x1 i x 2 i...x i ...i x s ) = ⎜ ∏ x i ⎟
⎝ i =1 ⎠
VARIABILE STATISTICA
Mg =
N
(x
n1
1
i x i...x ...i x
n2
2
ni
i
)
ns
s
1/ N
⎛
ni ⎞
= ⎜ ∏ xi ⎟
⎝ i =1
⎠
s
s
dove N= ∑ n i
i=1
VARIABILE STATISTICA IN CLASSI
(
Mg = N x1 n1 ix2n2 i...xi ni ...ixs ns
c
c
c
c
)
1/ N
⎛ s c ni ⎞
= ⎜ ∏xi ⎟
⎝ i=1
⎠
c
x
dove i rappresenta il valore centrale di ogni classe
PROPRIETA’ DELLA MEDIA
GEOMETRICA
La media geometrica lascia invariante la funzione prodotto
x1 • x2 •...xs = Mg iMg •...Mg = ( Mg )
s
CALCOLO DELLA MEDIA GEOMETRICA
1/ s
s
⎛
⎞
s
M g = ( x1 i x 2 i...x i ...i x s ) = ⎜ ∏ x i ⎟
⎝ i =1 ⎠
1/ s
⎛
⎞
Log ( M g ) = Log ⎜ ∏ x i ⎟
⎝ i =1 ⎠
1
⎛ s
⎞
Log ( M g ) = Log ⎜ ∏ x i ⎟
s
⎝ i =1 ⎠
1
Log ( M g ) = ( Logx1 + ... + Logx i + ... + Logx s )
s
s
Il logaritmo della Media Geometrica è uguale
alla media aritmetica dei logaritmi dei termini
PROBLEMI DI CAPITALIZZAZIONE
La media geometrica è la media più opportuna quando si
vuole determinare un Tasso Medio Composto di Variazione
ES:
I tassi annui di sviluppo della popolazione italiana dal 1981 al
1984 sono risultati in ciascun anno pari a:
1981-1982
1982-1983
1983-1984
3,64%
3,29%
2,66%
Calcolare il tasso medio annuo di incremento della popolazione
italiana dal1981 al 1984
Log(M g ) =
Log(0, 0364) + Log(0, 0329) + Log(0, 0266)
=-1,49894
3
Mg=0,0317
i=3,2%
P84=P81 (1+0,0320)3
MEDIA ARMONICA
SUCCESSIONE
Mh =
s
s
1
∑
i =1 x i
VARIABILE STATISTICA
Mh =
N
s
1
ni
∑
i =1 x i
s
dove N= ∑ n i
i=1
VARIABILE STATISTICA IN CLASSI
Mh =
c
N
s
1
ni
∑
c
i =1 x i
dove x i rappresenta il valore centrale di ogni classe
PROBLEMI DI PROPORZIONALITA’
INVERSA
Un ciclista percorre un percorso costituito da un circuito da
ripetere 4 volte e percorre i 4 giri alle velocità di 40, 38, 36,
39km/h. Calcolare il tempo che impiega il ciclista a percorrere
l’intero percorso costituito da 4 chilometri (1 da effettuare in ogni
giro)
Mh =
4
1
1
1
1
+ + +
40 38 36 39
= 38,19
Velocità Media=38,19