Teoria di stringa perturbativa
Francesco Dalla Piazza
Programma
1. Introduzione e idee della meccanica quantistica
2. Introduzione alla teoria di stringa
3. Costruzione della misura in teoria di stringa
Fisica classica
A fine ottocento l’interpretazione dei fenomeni fisici del mondo macroscopico
era fondata su:
Equazione di Newton
F = ma
Che descrive i fenomeni
meccanici, acustici e
termici
Equazioni di Maxwell
ρ
∇·E=
ε0
∂B
∇×E+
=0
∂t
∇·B=0
∂E
∇ × B − µ 0 ε0
= µ0 j
∂t
Che descrivono i fenomeni
elettrici, magnetici e ottici
Netta distinzione tra natura ondulatoria e corpuscolare della materia
Crisi della fisica classica
•
Spettro del corpo nero
•
Effetto fotoelettrico
•
Effetto Compton
•
Modelli atomici
Spettro del corpo nero
I corpi solidi e liquidi a qualsiasi temperatura emettono
una radiazione a spettro continuo.
Energia della radiazione emessa dal corpo per unità di tempo e di superficie entro un cono
di angolo solido dΩin una direzione che forma un angoloθcon la normale alla superficie e
in un intervallo di frequenza (v,v+dv):
e(ν, T ) cos θdΩdν
Potere emissivo
Se sul corpo incide
una radiazione essa verrà
in parte riflessa e in parte assorbita
a(ν,T): potere assorbente
Quando un corpo assorbe tutta la
radiazione incidente qualunqe sia la
frequenza e la temperatura T allora il
corpo si dice CORPO NERO
Spettro del corpo nero
Per una cavità
(Kirchoff, 1859):
e(ν, T )
c
=
u(ν, T )
a(ν, T )
4π
c
e(ν, T ) =
u(ν, T )
4π
E quindi per un corpo nero:
La grandezza che si osserva è l’energia irradiata
dal foro della cavità per unità di superficie, tempo
e intervallo di frequenza:
� π2
c
c
E(ν, T ) = 2π
dθ sin θ cos θ u(ν, T ) = u(ν, T )
4π
4
0
Primi risultati quantitativi:
• legge di Stefan – Boltzman:
�
• legge dello spostamento:
∞
0
dνE(ν, T ) = σT 4 ,
σ = 5, 67 · 10−8 W/(m2 K 4 )
λmax T = cost. = 2898 µm · K
ν2
hν
Conseguenza della legge di Wien (di carattere qualitativo): E(ν, T ) =
kT
f
(
)
4c2
kT
Spettro del corpo nero
Impostazione statistica classica
• Il campo elettromagnetico all’interno
di una cavità equivale ad un sistema di
oscillatori armonici disaccoppiati e con
frequenze uguali alle frequenze proprie
della cavità.
• Tale sistema può essere equiparato ad
un gas ideale in equilibrio ad una
temperatura T.
• Probabilità che l’oscillatore abbia
energia compresa tra W e W+dW
(statistica classica):
W
e− kT dW
�∞
0
e
W
− kT
dW
• Dal teorema di equipartizione
dell’energia della statistica classica si
ottiene la formula di Rayleigh-Jeans:
2π
E(ν, T ) = 2 kT ν 2
c
Ipotesi di Planck
• Gli scambi di energia tra radiazione
e materia possono avvenire per ogni
determinata frequenza solo per multipli interi
di una quantità finita ε.
• Ammettendo solo valori discreti Wn=nε
la probabilità che l’oscillatore abbia energia
Wn:
e
�∞
W
− kT
n=0
W
−
e kT
Da cui, ponendo ε=hν:
2π 2 hν
E(ν, T ) = 2 ν hν
c
e kT − 1
Spettro del corpo nero
1. Nel limite classico (h → 0) il risultato di Planck si riduce
a quello ottenuto con la statistica classica:
2πν 2 hν
2π
lim 2
= 2 kT ν 2
hv
h→0 c
c
e kT − 1
2. L’espressione classica concorda con i dati sperimentali
per grandi valori di !
3. La formula di Rayleigh-Jeans non è teoricamente corretta in quanto:
�
∞
0
E(ν, T )dν = ∞
∀T
4. Per opportuni valori di h e k si ottiene perfetto accordo con i dati sperimentali.
La costante k concorda con la costante dei gas kB=1,3806488e-23 JK-1 e il valore
oggi accettato per la costante di Planck è h=6,62606957e-34 Js.
5. Gli scambi di ENERGIA tra radiazione e materia si manifestano come una successione
di eventi elementari, in cui la quantità di energia scambiata è ε=hν.
Effetto fotoelettrico
Una superficie metallica investita da una radiazione di frequenza sufficientemente
elevata emette elettroni.
Empiricamente emersero alcune leggi:
1. Il numero di elettroni è proporzionale
all’intensità della radiazione.
2. Per ogni metallo c’è una frequenza di soglia
ν0 sotto la quale non c’è emissione.
3. L’energia cinetica massima degli elettroni
emessi è proporzionale a ν-ν0 ed
è indipendente dall’intensità della radiazione.
4. L’emissione degli elettroni è istantanea.
Queste osservazioni sono INCOMPATIBILI con la teoria e.m. classica!!!
Se l’energia si ripartisce in maniera uniforme su tutta la superficie illuminata
come mai il fenomeno si verifica istantaneamente anche per intensità
estremamente basse?
Effetto fotoelettrico
(Einstein 1905)
Einstein spiega il fenomeno sulla base dell’ipotesi di Planck:
L’energia non è quantizzata solo al momento dello scambio, ma viaggia anche nello
spazio in granuli di energia ε=hν→ QUANTI di radiazione.
Processo d’urto tra FOTONE e ELETTRONE che riceve tutta
assieme l’energia hν e l’elettrone può essere estratto solo se hν>ω0.
Quindi ν0=ω0/h e se ν>ν0 l’energia cinetica dell’elettrone è:
E=hν-ω0 =h(ν-ν0).
Variando l’intensità I della radiazione cambia il numero di fotoni e non la loro
Energia. Einstein attribuisce ai fotoni anche una quantità di moto p=hν/c=h/λ.
Mediante questa interpretazione Einstein spiega perfettamente le osservazioni!!!
Effetto Compton
Diffusione di raggi X (λ= 0,0709 nm) su un campione di grafite e la successiva
misura dello spettro dei raggi diffusi.
• I raggi X si irradiano in tutte
le direzioni.
• Ad un angolo " i raggi hanno
lunghezza d’onda λ’ lievemente
minore di λ.
• È presente anche radiazione
di lunghezza d’onda λ.
λ-λ’ è indipendente dal campione e λ-λ’=0,024 (1-cos ")
Posso interpretare questo effetto come un processo d’urto FOTONE - ELETTRONE
Imponendo la conservazione dell’energia e della quantità di moto:
λ-λ’=h/(2#m
mec) (1-cos ")
con h/(2#m
mec)=0,0024
Un esperimento con pallottole
Feynman, “Lectures on Physics” vol. 3
RISULTATO
Se apro solo F1 ottengo la curva P1
Se apro solo F2 ottengo la curva P2
La probabilità totale è P12=P1+P2
Non osservo INTERFERENZA
• “Mitragliatore” spara
pallottole con una certa
distribuzione angolare
abbastanza grande.
• Pallottole indistruttibili
• Nel rilevatore c’è sempre
una pallottola intera
• La dimensione non dipende
dalla frequenza
• Qual è la probabilità che
una pallottola arrivi nella
posizione x passando
attraverso i fori?
Un esperimento con onde
• Il detector misura
I∝A2∝E
• I può assumere
qualunque valore
• I non è a blocchi
|D1-D2|=λm
|D1-D2|=λ(2m+1)/2
Interferenza
costruttiva
Feynman, “Lectures on Physics” vol. 3
Interferenza
distruttiva
I12≠I1+I2
L’altezza dell’onda si può esprimere come Re(hjeiωt) e Ij∝|hj|2
2 fori → (h1+h2) eiωt
I12∝|h1+h2|2=|h1|2+|h2|2+2|h1||h2|cosδ→ INTERFERENZA
Un esperimento con elettroni
• Rivelatore: “clic” tutti uguali,
non c’è differenza di “grandezza”.
• Diminuendo la temp. del filo
diminuisce il numero di “clic”,
non la loro intensità.
• Usando 2 rivelatori: o clicca
l’uno o clicca l’altro, mai
contemporaneamente.
Feynman, “Lectures on Physics” vol. 3
Ciò che arriva è in
GRANULI tutti UGUALI!
Qual è la probabilità che un elettrone arrivi
sulla parete al variare della distanza x dal centro?
P12≠P1+P2
Interferenza delle “onde elettroniche”
Prop. A: ciascun elettrone attraversa F1 OPPURE F2.
Ammesso A → tutti gli elettroni nel rivelatore possono essere divisi in 2 gruppi:
quelli passati da F1 e quelli passati da F2.
La curva finale deve essere la somma degli effetti di F1 e F2.
Ripeto l’esperimento chiudendo alternativamente i fori → curve P1 e P2.
P12≠P1+P2!!!!!
La prop. A sembra falsa!
Posso descrivere il risultato con due numeri complessi $1 e $2 tali che |$i|2=Pi
e come per le onde |$1 + $2|2=P12.
Gli elettroni arrivano in GRANULI, ma presentano INTERFERENZA!
“Osserviamo” gli elettroni
Aggiungiamo una sorgente di luce dietro lo schermo a metà trai fori.
Un clic → un lampo
La prop. A sembra vera!!!
Costruisco una tabella:
F1 F2
x
x
x
x
x
P1’
P12’ totale? …fingo di non aver visto i lampi e sommo…
P12’=P1+P2≠P12
Non c’è interferenza!!!
Quando osservo gli elettroni ottengo una diversa distribuzione!
Forse la luce è troppo “forte”? …diminuisco l’intensità…
P2’
P1’=P1 e P2’=P2
…i lampi rimangono identici, ma alcuni “clic”
non sono preceduti da alcun lampo
…disturbo meno…
F1 F2
Aggiungo una colonna…
P1’
?
x
P2’
x
x
x
x
P12’=P1’+P2’ → NON INTERFERENZA
P=P12 “tipo onda” → INTERFERENZA
Se descrivo la luce in maniera corpuscolare (fotoni),
diminuendo l’intensità diminuisce
il numero di fotoni emessi → qualche elettrone non viene
colpito!
Fotone → p=h/λquindi perturbo meno se aumento λ, non se diminuisco I,
Lampo “rossiccio” e “cicciotto” che non permette
Nulla cambia finché λ∼ F1F2 più di distinguere se l’elettrone è passato in F o in F .
1
2
P12=P12’ CON INTERFERENZA
Principio di indeterminazione
P. ind. Heisenberg: è impossibile costruire un apparecchio in grado di
determinare se gli elettroni sono passati da F1 o F2 e che non
perturbi gli elettroni in modo da preservare la figura di interferenza.
Le leggi della natura sono coerenti se esiste un’INTRINSECA
limitazione alle nostre possibilità sperimentali.
ΔxΔp≳h
E la prop. A?
Se si ha un apparecchio che permette di vedere in quale foro
è passato l’elettrone, allora posso dire se è passato in F1 o F2.
Se NON si prova a determinarlo, allora non si può dire dove è passato.
E se osservo le fenditure?
hν
hν x − a/2
sin θ1 �
c
c
d
hν
hν x + a/2
p2 =
sin θ2 �
c
c
d
p1 =
Condizione necessaria per rilevare da quale
fenditura è passato l’elettrone:
hv
ha
∆p < |p1 − p2 | �
|θ1 − θ2 | �
c
λd
Le frange di interferenza possono essere osservate se la posizione dello schermo è
misurata con una precisione Δx minore della separazione tra le frange di interferenza:
λd
∆x <
a
Se queste condiziono sono verificate entrambe:
λd ha
∆x∆p <
=h
a λd
Violando il principio
di indeterminazione!!!
Riassunto e principi della MQ
1. La P di un evento è data dal modulo quadro di un numero complesso $,
detto ampiezza di probabilità:
ψ : ampiezza di probabilità
P : probabilità
P = |ψ|2
2. Quando un evento può avvenire secondo varie alternative si sommano le ampiezze
di probabilità → interferenza:
ψ = ψ1 + ψ2
P = |ψ|2 = |ψ1 + ψ2 |2
Se si effettua un esperimento in grado di determinare se si verifica l’una o l’altra
possibilità, la probabilità totale è la somma delle probabilità e non delle ampiezze
di probabilità → no interferenza.
P = P1 + P2 = |ψ1 |2 + |ψ2 |2
3. Quando una particella percorre un particolare cammino, l’ampiezza associata si può
scrivere come il prodotto dell’ampiezza relativa ad una parte di esso per l’ampiezza
riguardante il resto del cammino.
Riassunto e principi della MQ
Queste idee sono alla base della formulazione di Feynman della meccanica quantistica
attraverso l’integrale di cammino.
Nell’esperimento con elettroni immaginiamo di aggiungere molti schermi
con molte fenditure ciascuno…
ψ=
�
�
ψSi ψiα ψαx
i=1,2 α=a,b,c
…e così via…
Sfruttando questa idea si può ottenere l’ampiezza perché una particella in uno stato iniziale “i”
possa trovarsi in nello stato finale “f” dopo un tempo t la cui dinamica è governata dalla
Hamiltoniana classica H=p2/2m+V(q) e la cui corrispondente lagrangiana è L=L(q,q’):
� tf
i
� ti L(q,q̇)dt
ψ=N
�
Dqe
Grazie!
