Università di Trieste – Facoltà d’Ingegneria.
Corsi di laurea in
ingegneria civile e ambientale e ingegneria elettronica e informatica
Corso di Analisi Matematica 2
Anno Accademico 2016/2017
Prof. Franco Obersnel
Spazi metrici e geometria di IRN . Nozione astratta di distanza in un insieme X. Spazi metrici. Esempi. La distanza euclidea in IRN . Diverse metriche
in IRN . Spazi di funzioni. La distanza del massimo d∞ e le distanze integrali
dp nello spazio C 0 ([a, b], IR). Topologia in uno spazio metrico: palla-aperta di
centro x0 e raggio ρ, intorni di un punto, proprietà degli intorni, punti interni, interno di un insieme, punti isolati, insiemi aperti. Una palla aperta è un
insieme aperto. Punti di accumulazione, chiusura di un insieme, insiemi chiusi.
punti di frontiera, frontiera di un insieme. Un insieme E è chiuso se e solo
se è unione dell’insieme dei punti interni di E e della sua frontiera. Un insieme è chiuso se e solo se il complementare è aperto. Proprietà degli aperti e
dei chiusi. Insiemi densi. Densità di Q
I 2 in IR2 . Insiemi limitati in uno spazio
metrico. Diametro di un insieme. Punti e vettori di IRN . Prodotto scalare e
norma in uno spazio vettoriale; loro proprietà. Esempi in IRN e in C 0 ([a, b], IR).
Disuguaglianza di Buniakowsky-Cauchy-Schwarz. Dimostrazione della disuguaglianza triangolare per la distanza euclidea in IRN . Ortogonalità tra vettori.
Coseno dell’angolo tra vettori. Rette e curve di IR2 ; equazione cartesiana in forma implicita ed esplicita, equazione parametrica. Equazione parametrica di un
segmento congiungente due punti. Piani e superfici di IR3 ; equazione cartesiana
in forma implicita ed esplicita, equazione parametrica. Equazione parametrica
della sfera. Coordinate sferiche nello spazio. Cenno alle superfici quadriche di
IR3 . Cenni alla classificazione delle quadriche mediante il segno degli autovalori:
ellissoidi, iperboloidi, paraboloidi, cilindri.
Funzioni tra spazi metrici. Funzioni tra spazi metrici. Funzioni continue. Esempi: l’integrale come funzione continua tra C 0 ([a, b], IR) (con la distanza d∞ ) e IR; la derivazione non è continua tra C 1 ([a, b], IR) (con la distanza
d∞ ) e C 0 ([a, b], IR) (con la distanza d∞ ). Limiti di funzioni tra spazi metrici.
Successioni in uno spazio metrico. Limiti di una successione. Campi scalari e
campi vettoriali. Componenti di una funzione a valori vettoriali. Teorema sul
limite delle funzioni componenti. Teorema dell’unicità del limite. Teorema sul
limite della restrizione. Tecniche per controllare la non esistenza del limite per
x che tende a x0 di una funzione. Teorema sul limite delle funzioni composte.
Teorema sul limite di una combinazione lineare. Teorema sul limite della funzione prodotto. Rappresentazioni grafiche dei campi scalari, delle curve e dei
campi vettoriali. Insiemi, linee e superfici di livello di un campo scalare. Insiemi connessi per archi. Insiemi compatti per successioni. Caratterizzazione degli
insiemi compatti per successioni di IRN . Esempi di insiemi chiusi e limitati non
compatti nello spazio Q
I e nello spazio C 0 ([0, 1]). Teorema di compattezza per
funzioni tra spazi metrici. Teorema di Weierstrass per funzioni definite su uno
1
spazio metrico. Funzioni uniformemente continue. Teorema della continuità
uniforme per funzioni tra spazi metrici. Teorema di connessione. Teorema di
esistenza degli zeri. Applicazioni lineari. Matrice associata ad un’applicazione
lineare. Il teorema di rappresentazione di Riesz per le forme lineari di IRN .
Calcolo differenziale in IRN . Derivate direzionali e derivate parziali. Funzioni derivabili lungo una direzione. L’esistenza delle derivate direzionali non
implica la continuità. Il calcolo delle derivate parziali. Funzioni differenziabili.
Differenziale. Approssimante lineare. Continuità di una funzione differenziabile. Esistenza delle derivate direzionali. Derivata direzionale di una funzione
differenziabile. Matrice Jacobiana. Gradiente di un campo scalare. Interpretazione geometrica della differenziabilità per un campo scalare di IR2 : piano
tangente. Teoremi di differenziabilità della combinazione lineare e del prodotto
(solo enunciati). Teorema di differenziabilità della funzione composta. Derivate
parziali delle funzioni composte (chain rule). Un esempio: soluzioni dell’equa∂f
zione x ∂f
∂x + y ∂y = 0. Il caso particolare in cui la funzione composta è reale
di variabile reale. Vettore tangente di una curva. Ortogonalità tra un vettore e una curva in un punto della curva. Proprietà geometriche del vettore
gradiente: ortogonalità tra il gradiente di un campo e i suoi insiemi di livello,
direzione di massimo incremento. Teorema del differenziale totale. Calcolo di
∇(kxk), ∇(kxk2 ), ∇(hAx, xi) con A matrice N × N . Il calcolo del gradiente di
una funzione del tipo hh(x), vi. Formula del valor medio per i campi scalari.
La formula non vale per i campi vettoriali. Funzioni con derivate nulle sugli
aperti connessi per archi. Derivate direzionali e derivate parziali di ordine k.
Esempio in cui le derivate miste non sono uguali. Teorema di Schwarz sull’inversione dell’ordine di derivazione (dimostrazione nel caso N = 2 e k = 2).
Funzioni due volte differenziabili in un punto. Matrice Hessiana di un campo
scalare. Teorema di Young (solo enunciato) sulla simmetria della matrice Hessiana. Derivate direzionali seconde di una funzione due volte differenziabile e
loro rappresentazione mediante la matrice Hessiana. Differenziale secondo di
una funzione in un punto. Teorema di esistenza dell’approssimante di ordine 2
di una funzione in un punto (polinomio di Taylor). Punti di minimo/massimo
assoluto e relativo e punti di sella. Punti critici. Test del gradiente (teorema di
Fermat). Un punto di sella in IR2 per una funzione differenziabile è un punto
critico. Segnatura di una forma quadratica: forme quadratiche definite positive,
definite negative, indefinite. Proprietà delle forme quadratiche definite positive
(o negative). Test del differenziale secondo per la classificazione dei punti critici.
Criterio (di Jacobi-Sylvester) per stabilire la segnatura di una forma quadratica
generata da una matrice simmetrica di ordine N . Il caso particolare di N = 2.
Vincoli in IRN . Vincoli espliciti e vincoli impliciti in IR2 e IR3 . Problemi di
massimo e minimo vincolato. Parametrizzazione e sostegno di una curva in
IRN . Curve semplici, chiuse, regolari. Vettore e versore tangente. Teorema
della curva di Jordan (solo enunciato). Il teorema della funzione implicita in dimensione 2 (teorema di U. Dini). Derivabilità della funzione implicita. Derivata
seconda della funzione implicita. Teorema di parametrizzabilità locale di una
curva. Teorema del moltiplicatore di Lagrange per la determinazione dei punti
2
di estremo vincolato ad una curva in IR2 . Superfici parametrizzate in IR3 . Linee
coordinate sulla superficie (meridiani e paralleli della sfera). Superfici regolari.
Piano tangente. Vettore e versore normale. Parametrizzabilità locale di una superficie di IR3 (solo enunciato). Ortogonalità del gradiente di un campo scalare
di IR3 con le sue superfici di livello. Il teorema del moltiplicatore di Lagrange
per la determinazione dei punti di estremo vincolato ad una superficie in IR3 .
Parametrizzabilità locale di una curva di IR3 (solo enunciato). Il metodo dei
moltiplicatori di Lagrange per la determinazione dei punti di estremo vincolato
ad una curva in IR3 (solo enunciato). Integrali dipendenti da un parametro.
Rb
Continuità e derivabilità della funzione f (x) = a g(t, x) dt. Derivata di una
R β(x)
funzione del tipo f (x) = α(x) g(t, x) dt.
Serie numeriche e serie di funzioni. Il concetto di somma infinita. Serie
di numeri reali. Carattere di una serie. Termine generale di una serie. Ridotta
(somma parziale) n-esima di una serie. Serie convergente, divergente, indeterminata. Serie geometrica di ragione x ∈ IR. Condizione necessaria (non sufficiente)
per la convergenza di una serie. Le serie come particolari integrali generalizzati. Carattere della serie armonica e della serie armonica generalizzata. Serie a
termini positivi. Aut aut per le serie a termini positivi. Il carattere di una serie
non viene modificato modificando un numero finito di termini. Serie somma di
due serie. Criteri del confronto e dell’ordine di infinitesimo. Criterio del rapporto e della radice per le serie a termini positivi. Se per una serie è applicabile
il criterio del rapporto, allora il termine generale della serie è un infinitesimo
soprareale. Serie a termini di segno misto. Serie assolutamente convergenti e
serie semplicemente convergenti. Una serie assolutamente convergente è convergente. L’esempio della serie di Leibniz. Criterio di convergenza di Leibniz per
le serie a termini di segno alterno. Stima della somma di una serie a termini di
segno alterno. Criterio di Cauchy per la convergenza di una successione in IR
(solo enunciato). Criterio di Cauchy per la convergenza di una serie. L’esempio
della divergenza della serie armonica. Successioni di numeri complessi. Legame
tra la convergenza di una successione di numeri complessi e la convergenza delle
successioni delle parti reale e immaginaria. Serie di numeri complessi e loro
convergenza. Serie delle parti reale e immaginaria. Serie assolutamente convergenti. Una serie assolutamente convergente è convergente. Serie geometrica
di ragione complessa. Successioni di funzioni. Convergenza puntuale e convergenza uniforme. La convergenza uniforme implica la convergenza puntuale
(non viceversa). Convergenza in distanza d∞ . Proprietà del limite uniforme:
teorema dei due limiti, teorema di continuità del limite uniforme, teorema di
integrabilità (dimostrazione sotto l’ulteriore ipotesi di continuità), teorema sulla derivata del limite. Serie di funzioni. Serie puntualmente e uniformemente
convergenti. Serie totalmente convergenti. M-test di Weierstrass (convergenza
totale e convergenza uniforme). L’utilizzo della stima d’errore di Leibniz per la
dimostrazione della convergenza uniforme di una serie. Il problema della sviluppabilità. L’esempio delle serie di Fourier. Funzioni sviluppabili in serie di
potenze di centro x0 . Serie di potenze. Insieme di convergenza di una serie di
potenze. Proprietà dell’insieme di convergenza di una serie di potenze. Raggio
3
di convergenza. Convergenza uniforme nei compatti. Continuità della serie di
potenze. Integrazione a termine a termine di una serie di potenze. Derivazione a
termine a termine di una serie di potenze. Funzioni analitiche. Coefficienti della
serie di una funzione analitica. Serie di Taylor di una funzione di classe C ∞ (I).
Un esempio di funzione non sviluppabile in serie di potenze che ammette una
serie di Taylor convergente. Sviluppabilità di una funzione in serie di potenze
e polinomio di Taylor. Un criterio di sviluppabilità. Esempi notevoli: esponenziale, funzioni circolari. funzioni iperboliche, l’arcotangente, il logaritmo, la
serie binomiale (senza dimostrazione della sviluppabilità), la funzione arcoseno.
Calcolo della somma di una serie usando manipolazioni della serie geometrica.
Serie di potenze in C.
I Raggio di convergenza di una serie di potenze complesse.
Le funzioni ez , sen z e cos z in C.
I La formula di Eulero.
Calcolo integrale in IRN . N −Rettangoli e decomposizioni di IRN . Relazione di finezza tra decomposizioni. Somme integrali inferiori e superiori e loro
proprietà. Funzioni integrabili secondo Riemann su un N −rettangolo. Interpretazione geometrica dell’integrale di una funzione non-negativa in IR2 . Proprietà
fondamentali dell’integrale (solo enunciati): integrabilità della somma (con cenni
di dimostrazione) e linearità dell’integrale, integrabilità del prodotto, monotonia
dell’integrale, integrabilità della parte positiva e della parte negativa, integrabilità del valore assoluto, integrabilità della restrizione, additività dell’integrale.
Teorema della media integrale. Teorema di integrabilità delle funzione continue
sui rettangoli. Teorema di riduzione (di Fubini) per integrali doppi sui rettangoli. Teorema di riduzione (di Fubini) per integrali tripli sui 3−rettangoli di
IR3 (solo enunciato): formule di riduzione per corde e per sezioni. Il problema
della definizione dell’area. Funzione caratteristica di un insieme χE . Insiemi
misurabili e misura di Peano-Jordan in IRN . La definizione non dipende dal
rettangolo. Esempio di un insieme non misurabile. Proprietà della misura: misura di un N −rettangolo, positività, monotonia e additività. Insiemi di misura
nulla. Teorema di caratterizzazione degli insiemi di misura nulla. Teorema di
caratterizzazione degli insiemi misurabili mediante la frontiera. Una funzione
integrabile (su un rettangolo) di IRN ha grafico di misura nulla in IRN +1 . Proprietà verificate quasi ovunque. Integrabilità delle funzioni limitate e continue
quasi ovunque su un rettangolo. Definizione di integrale di una funzione limitata
su un insieme limitato. Integrabilità delle funzioni limitate sugli insiemi di misura nulla. Integrabilità delle funzioni limitate e continue quasi ovunque su un
insieme misurabile. Proprietà fondamentali dell’integrale su un insieme limitato
(in particolare il teorema della media integrale). Domini di IR2 normali rispetto
ad un asse e loro misurabilità. Integrali su domini normali di IR2 . Domini di IR3
normali rispetto ad un piano. Superfici cilindriche. Misurabilità dei domini normali di IR3 (cenni di dimostrazione). Teorema di riduzione per corde su domini
normali di IR3 . Sezione di un insieme di IR3 . Insiemi sezionabili di IR3 . Teorema
di riduzione per sezioni su insiemi sezionabili di IR3 . Sostituzione di variabili negli integrali multipli. Le trasformazioni lineari, l’area di un parallelogramma ed
il determinante della matrice associata; giustificazione informale della formula
del cambio di variabili. Teorema del cambio di variabili negli integrali multipli
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(solo enunciato). Integrazione in coordinate polari ed ellittiche. Integrazione
in coordinate sferiche ed ellissoidali. Applicazioni geometriche e fisiche: volume
e massa di solidi in IR3 , centro di massa, momenti di inerzia. Il volume del
cono. Il volume del toro. Solidi di rotazione. Il teorema di Pappo-Guldino per i
N
volumi. Integrali generalizzati
Z in IR . Famiglie invadenti di un insieme adatte
ad una funzione. Il lim
f |An dm non dipende dalla famiglia invadente se
n→+∞
An
f è di segno costante (solo enunciato). Funzioni integrabili in senso generalizzato
e integrale generalizzato di una funzione. Il calcolo dell’integrale di Gauss
R −x
2
1
2
e
dx. Integrabilità della funzione f (x, y) = k(x,y)
T kα su IR \ B(0, 1) e
IR
su B(0, 1) \ {(0, 0)T }. Criteri di integrabilità in senso generalizzato utlizzando
l’ordine di infinitesimo o l’ordine di infinito (cenni).
Integrali di linea e di superficie. Curve di IRN : curve equivalenti, orientazione di curve equivalenti, curve semplici, chiuse, regolari. Il sostegno identifica una curva regolare semplice non chiusa (solo enunciato). Curve continue
rettificabili. Lunghezza di una curva. Una disuguaglianza sulla norma dell’integrale. Teorema sulla rettificabilità di una curva di classe C 1 . Formula della
lunghezza per una curva di classe C 1 (solo enunciato). La lunghezza di una
curva non dipende dalla particolare parametrizzazione. Ascissa curvilinea e parametrizzazione in lunghezza d’arco. Il vettore tangente nella parametrizzazione
d’arco è unitario. Integrale di linea di un campo scalare. Indipendenza dalla
particolare parametrizzazione. Massa, baricentro e momenti di inerzia di un
filo. Curve ottenute dai grafici di funzioni reali di variabile reale. Curve in forma polare. Formula della lunghezza per una curva in rappresentazione polare.
Superfici regolari di IR3 . Area di una superficie parametrizzata. Integrale di
superficie di un campo scalare. Massa, baricentro e momenti di inerzia di una
superficie. Superficie che ha per sostegno il grafico di una funzione reale di due
variabili reali. Area laterale di una superficie cilindrica e significato geometrico
dell’integrale di linea su una curva piana. Superficie di rotazione. Il teorema di
Pappo-Guldino per le aree. Integrale di linea della componente tangenziale di
un campo vettoriale lungo una curva. Interpretazione fisica: lavoro di un campo
vettoriale lungo una curva. Indipendenza dalla parametrizzazione a meno del
segno. Campi conservativi. Il potenziale di un campo. L’integrale di linea di
un campo conservativo. Teorema di caratterizzazione dei campi conservativi.
Rotore di un campo vettoriale in IR3 e in IR2 . Campi irrotazionali. Rotore di un
campo conservativo differenziabile. Un esempio di un campo irrotazionale non
conservativo. Insiemi stellati. Il lemma di Poincaré sulla caratterizzazione dei
campi conservativi in un aperto stellato. Versore normale di una curva di IR2 .
Integrale di linea della componente normale di un campo vettoriale lungo una
curva di IR2 ; interpretazione come flusso di un campo vettoriale di IR2 attraverso
una curva. Integrale di superficie della componente normale di un campo attraverso una superficie di IR3 ; interpretazione come flusso di un campo vettoriale
di IR3 attraverso una superficie. Domini regolari con bordo orientato positivamente (secondo la normale uscente) in IR2 e in IR3 . Esistenza di superfici non
orientabili (il nastro di Möbius). Operatori differenziali: il gradiente, il rotore,
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la divergenza, il Laplaciano. Il teorema della divergenza di Gauss in IR2 e in IR3
(dimostrazione solo in IR2 per i domini normali rispetto ad entrambi gli assi).
Interpretazione fisica della divergenza. La formula di Gauss-Green (teorema
del rotore in IR2 ). Il teorema di Kelvin-Stokes in IR3 (solo enunciato). Interpretazione fisica del rotore. Il lemma di Poincaré rivisto alla luce del teorema
di Stokes. Insiemi semplicemente connessi. Campi solenoidali, campi a divergenza nulla, potenziale vettore. Applicazione della formula di Green al calcolo
dell’area di una regione
formule di integraZZZ piana racchiusa da
ZZuna curva. Alcune
ZZZ
zione per parti:
h∇f, gi dxdydz =
f hg, ni dσ −
f divg dxdydz;
K
∂K ZZZ
K
ZZZ
se f = h = 0 su ∂Ω allora
f ∆h dxdydz =
h ∆f dxdydz.
Ω
Ω
Equazioni differenziali. Definizioni e generalità. Alcuni modelli di dinamica di una popolazione: i modelli di Malthus, Gompertz, Verhulst, modelli
con difficoltà di accoppiamento, il modello della pesca (con prelievo). Equilibrio
di un’equazione differenziale. Altri modelli: caduta di un grave nel vuoto e
nell’aria, l’equazione della molla, l’equazione della curvatura media prescritta,
l’equazione delle onde, l’equazione del calore, l’equazione di Laplace. Equazioni
ordinarie (ODE) ed equazioni alle derivate parziali (PDE). Ordine di un’equazione. Equazioni autonome, equazioni in forma normale. Equazioni lineari.
Equazioni lineari omogenee. Problema di Cauchy. Definizione di soluzione di
un’equazione differenziale ordinaria e di un problema di Cauchy. Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine. Esempio di non esistenza, di non unicità,
di esistenza non globale della soluzione di un problema di Cauchy. Funzioni lipschitziane. Funzioni in due variabili lipschitziane relativamente ad una variabile
uniformemente rispetto all’altra variabile. Alcuni problemi fondamentali nello
studio di un’equazione. Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo ordine: esistenza e unicità della soluzione globale, formula risolutiva della soluzione
del problema di Cauchy. Teorema di Peano di esistenza della soluzione di un
problema di Cauchy del primo ordine (solo enunciato). Teorema di esistenza e
unicità locale della soluzione di un problema di Cauchy del primo ordine (Cauchy
- Lipschitz - Lindelöf - Picard). Teorema del confronto per le equazioni differenziali del primo ordine. Funzioni sottolineari. Teorema di esistenza globale della
soluzione di un problema di Cauchy del primo ordine (con cenni di dimostrazione). Equazioni a variabili separate. Equazioni riconducibili ad un’equazione
a variabili separate mediante sostituzione della variabile (equazioni omogenee).
Equazioni di Bernoulli. Equazione lineari del primo ordine da un nuovo punto
di vista; l’equazione omogenea e l’ equazione completa, l’operatore differenziale
L : C 1 (I) → C 0 (I), lo spazio delle soluzioni dell’equazione lineare omogenea,
l’insieme delle soluzioni dell’equazione lineare completa. Metodo della variazione
della costante per la determinazione di una soluzione particolare di un’equazione
differenziale ordinaria lineare completa del primo ordine. Problema linearizzato.
Equazioni differenziali ordinarie e problema di Cauchy di ordine N . Teoremi di
esistenza e unicità per le equazioni di ordine N (cenni). Equazioni del secondo
ordine del tipo y 00 = f (x, y 0 ) e y 00 = f (y). Legge di conservazione dell’energia
meccanica. Esempio di studio di un’equazione di tipo y 00 = f (y) nel piano delle
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fasi: l’equazione del pendolo. Equilibri stabili, instabili, eterocline. Equazioni
differenziali ordinarie lineari di ordine N : l’equazione omogenea e l’equazione
completa, l’operatore differenziale L : C N (I) → C 0 (I), lo spazio delle soluzioni
dell’equazione lineare omogenea, l’insieme delle soluzioni dell’equazione lineare
completa. Wronskiano di N funzioni. Lemma sull’annullamento del Wronskiano di N soluzioni di un’equazione differenziale ordinaria lineare di ordine N .
Metodo della variazione delle costanti per la determinazione di una soluzione
particolare di un’equazione differenziale ordinaria lineare completa di ordine N
(dimostrazione per N = 2). Nucleo risolvente. Equazioni differenziali ordinarie
lineari a coefficienti costanti di ordine N . Determinazione di una base dello
spazio delle soluzioni dell’equazione omogenea. Metodo di somiglianza per la
determinazione di una soluzione particolare per equazioni lineari a coefficienti
costanti in caso di termini noti di tipo polinomiale, esponenziale, trigonometrico.
Principio di sovrapposizione. Sistemi di equazioni differenziali. Sistemi lineari.
Esempio di risoluzione di un sistema lineare piano mediante riduzione ad un’equazione del secondo ordine. Legge di conservazione dell’energia meccanica per
un sistema del tipo γ 00 = f (γ). Legame tra un’equazione scalare di ordine N e il
sistema del primo ordine di dimensione N corrispondente. Matrice compagna.
Equazioni di Eulero. Un esempio di dinamica delle popolazioni con due variabili, il modello preda-predatore di Lotka-Volterra, linearizzazione del problema
in un intorno dell’equilibrio, l’energia del sistema, le tre leggi di Vito Volterra:
periodicità delle soluzioni, densità medie delle popolazioni, conseguenze di un
prelievo indiscriminato.
Testi consigliati P. Omari, M. Trombetta, Appunti del corso di analisi
matematica 2 (per il diploma universitario), Università degli Studi di Trieste,
Facoltà di Ingegneria. (Chiedere al docente). V. Barutello, M. Conti. D. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi matematica (con elementi di geometria e
calcolo vettoriale) Volume 2, Apogeo.
Testi di esercizi P. Omari e M. Trombetta, Temi svolti di analisi matematica II (sono i compiti d’esame assegnati nei corsi dell’Università di Trieste negli
anni 2001-2004), Ed. Goliardiche Trieste. S. Salsa, A. Squellaci, Esercizi di
matematica (calcolo infinitesimale e algebra lineare, calcolo infinitesimale, due
volumi), Zanichelli.
Alla pagina http://www.dmi.units.it/˜obersnel potete trovare ulteriori informazioni sul corso, tutti gli esercizi assegnati a lezione, esercizi svolti, compiti
assegnati agli esami.
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