CAPITOLO
20 . Storia
dei calcolatori
20/1
Capitola
Le macchine calcolatrici - Primi calcolatori sperimentali - G~nerazioni di calcolatori
_ Le prospettive future - Riferimenti bibliografici
1
Elementi di algebra
OTTAVIO
1.0
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
M.S. Professore Associato di Sistemi per I'Elaborazione
Universita degli Studi, Milano
D'ANTONA,
del/'Informazione,
Introduzione
Insiemi
Operazioni tra insiemi
Relazioni
Funzioni
Funzioni iniettive, suriettive e biiettive
Rappresentazione analitica di curve nel
piano
Monoidi e gruppi
1.7.1 Monoidi
1.7.2 Gruppi
Anelli
1.8.1 Detinizioni di base
1.8.2 Tipi di anelli
Algebre di Boole, algebre stocate,
duoidi
1.9.1 Algebra di Boole
1.9.2 Algebre stocate, duoidi
1.10 Elementi di algebra lineare
1.10.1 Spazi vettoriali
1.10.2 Matrici
1.10.3 Determinanti
1.10.4 Trastormazioni lineari
1.10.5 Sistemi lineari
1.10.6 Considerazioni tinall
Riterimenti bibliogratici
1.9
II concetto di funzione e basilare in tutto il contesto delIa educazione scientifica. Tuttavia dedicheremo gran parte di questo capitolo introduttivo alIa definizione del concetto di relazione. Vedremo poi come Ie funzioni possano essere viste come una particolare classe di relazioni. In seguito presenteremo alcune tra Ie piu diffuse strutture
algebriche e forniremo i primi elementi del calcolo matriciale e delI'algebra lineare.
II concetto di insieme di cui faremo uso in questo testa corrisponde sostanzialmente
a quelIo delIa vita quotidiana: un gruppo di amici, Ie carrozze di un treno, i componenti di un'orchestra, i numeri interi e cos! via. Anche per tale motivo non daremo
una definizione del concetto di insieme, ma piuttosto prenderemo in considerazione
i seguenti problemi: come si costruisce un insieme? come si individua uno specifico
insieme? come si lavora con gli insiemi?
Nel caso di insiemi finiti (ovvero costituiti da un numero finito di elementi) un insieme e individuato dalI'elenco dei suoi elementi separati da una virgola. Tale elenco
deve essere delimitato da una coppia di parentesi graffe. Ai sensi di tale convenzione,
I'insieme costituito dalle prime tre lettere delI'alfabeto Italiano e denotato dalla scrittura:
E chiaro
altres! che nelI'ambito delIa nostra convenzione sono ammesse delle abbreviazioni. Ad esempio l'insieme dei numeri che possono essere estratti dall'urna del
lotto puo essere rappresentato dalla scrittura
invece che dall'elenco effett!vo dei novanta interi in questione. Spesso e utile fare riferimento ad un particolare insieme mediante un simbolo (di solito una lettera .mai~scola) che 10identifica cos! come i cittadini sono individuati dal loro numero dl COdlce fiscale. Tanto per fissare Ie idee, precisiamo che in questo paragrafo useremo la
lettera L per identificare I'insieme dei numeri del lotto e la lettera A per identificare
l'alfabeto Italiano. Pertanto scriveremo:
Puo essere utile considerare una definizione equivalente del concetto di sottoinsieme:
un insieme X e un sottoinsieme di un insieme Y se ogni elemento di X e (anche) un
elemento di Y.
In base a questa definizione e facile vedere che... ogni insieme e un sottoinsieme di
se stesso. Va anche aggiunto che l'insieme vuoto e considerate un sottoinsieme di ogni
insieme. Pertanto, per ogni insieme X, si puo scrivere:
Ricordiamo infine che la appartenenza di un oggetto ad un insieme e universalmente
indicata dal simbolo speciale E. Ovvero, si scrive:
per indicare che x e un elemento di X. Viceversa, per indicare che x non e un elemento di X, si scrive:
~impiego di un simbolo per denotare uno specifico insieme si estende anche al caso
di insiemi infiniti per i quali sarebbe ovviamente impossibile stendere l'elenco completo dei lore elementi. In questo testo faremo c.on~i~t~nt~uso de! simboli. P, ~'.~'
Q, R, C per indicare, rispettivamente, gli insiemi mfmltl del numen .naturah P?SltIVI,
dei numeri naturaIi, degii interi (relativi), dei razionali, dei reali e del complessl. Useremo poi il simbolo tSl per indicare l'insieme ... privo di elementi. Tale insieme e detto
insieme vuoto.
Un secondo modo di identificare un insieme 10 si ha specificando (a parole 0 con
simboli matematici) una proprieta di alcuni elementi di un insieme gia definito. Quando
si usa questo principio per definire un nuovo insieme si fa ricorso al cosiddetto assioma di specificazione (in tedesco: Aussonderungsaxiom). Per fare un esempio di quanto
sopra detto, possiamo considerare che l'insieme dei numeri del lotto puo anche essere
definite come l'insieme di tutti i numeri naturali positivi (cioe gli elementi di P) che
siano pili piccoli di 91. Pertanto, nel nostro formalismo potremo scrivere:
In generale la sovrapposizione delIa sbarra «!» ad un simbolo da luogo ad un nuovo
simbolo con significato opposto. Potremo dunque correttamente affermare, a mo' d'esempio, che:
L= [x:x e un intero positive minore di 91J
Si noti poi che gli insiemi cos! definiti (cioe mediante I'assioma di specificazi?ne) co~servano, per cos! dire, un rapporto di ereditarieta rispetto all'insieme. prees~stente.m
termini del quale sono stati definiti. Questo fatto e precisato dalla nOZlOned.lsottomsieme che puo essere definita come segue: se-X e un insieme definibile medIante una
proprieta di elementi di un insieme Y, si dice che X e un sottoinsieme di Y. La notazione usata e:
Siano X e Y due insiemi. Definiamo due operazioni su X e Y che daranno luogo (in
generale) a dei nuovi insiemi. ~unione di X con Y e I'insieme i cui elementi sono
gli elementi degii insiemi X e Y. Tale insieme e indicato con il simbolo XUY. In altre
parole gli elementi di XUY appartengono ad almeno uno dei due insiemi X e Y. ~intersezione di X con Y e l'insieme i cui elementi sono elementi di entrambi gli insiemi
X e Y. Tale insieme e indicato con il simbolo Xny. In altre parole gli elementi di xny
appartengono ad entrambi gli insiemi X e Y.
In simboli si ha:
XUY=YUX= [x:XEX 0 xEYJ
Xny=ynx=
[x:XEXe xEYJ
Xs;;XUY
YS;;YUX
XU{Sl=X
xn{Sl = {Sl
Inoltre si vede facilmente che I'unione di un insieme con uno qualunque dei suoi sottoinsiemi fornisce l'insieme stesso, mentre I'intersezione di un insieme con un suo sottoinsieme fornisce il sottoinsieme.
Siano ora X e Y due insiemi che non hanno elementi in comune. Per due insiemi siffatti deve necessariamente risultare:
In tal caso si dice che X e Y sono due insierni disgiunti.
Sia ora X un sottoinsieme di Y, e consideriamo l'insieme di tutti gli elementi di Y
che non appartengono a X. Tale insieme, indicato con Y - X, I: detto il complemento
relativo di X rispetto a Y. In simboli si pub scrivere:
Y-{Sl=Y
Y-Y={Sl
Y-XS;;Y
(Y - X)nx = {Sl
(Y-X)UX= Y
Esiste un metoda grafico (assolutamente informale, ma molto intuitivo) per rappresentare Ie operazioni di unione e di intersezione ora definite. II metoda consiste nell'associare delle semplici figure piane agli insiemi e ai sottoinsiemi con cui si lavora.
Illustriamo brevemente il metodo (detto dei diagrammi di Venn) con un esempio: la
figura seguente rappresenta due sottoinsiemi (diciamo X e Y) di un insieme S.
Siano ora A e B due sottoinsiemi disgiunti di S, e supponiamo, per semplicita, che
S sia finito. Indichiamo con IAI e con IBI il numero di elementi dell'insieme A e dell'insieme B. Segnaliamo che, per il generico insieme S, il numero ISI (ovvero il numero dei suoi elementi) I:detto la cardinalita di S. Oltre a quella qui indicata, va ricordata la notazione equivalente «card (A)>>.Tornando ai nostri due sottoinsiemi, I: ovvio
che:
Consideriamo ora un problema piu generale: siano X e Y due generici sottoinsiemi
(ciol: non necessariamente disgiunti) di S. Come possiamo calcolare il numero IXUYI?
E chiaro che la formula precedente non I:piu valida. Infatti sommando IXI e IYI contiamo due volte gli elementi che appartengono contemporaneamente ad X e ad Y.
Ma I:proprio questa considerazione che ci suggerisce come rispondere alla domanda.
Bastenl infatti sottrarre alla somma IXI + IYI il numero di elementi contati due volte,
per ottenere il conteggio esatto degli elementi che appartengono ad almeno uno dei
due insiemi X, Y. Abbiamo pertanto stabilito la formula:
Si noti, tra l'altro, che abbiamo potuto risolvere il nostro problema utilizzando l'ulteriore informazione sui numero di elementi di Xny.
La generalizzazione del risultato ora ottenuto al caso di piu insierni e nota sotto il
nome di Principio di Inclusione-Esclusione. Questo principio (che ora illustreremo
brevemente), insieme con Ie sue generalizzazioni, I: di frequente utilizzo in teoria delIa probabilita e in statistica.
Siano AI, Az, ... , An dei sottoinsiemi di un insieme S. Supponiamo note Ie
cardinalita delle mutue intersezioni degli insiemi AI, Az, ..., An, ovvero i numeri
IAinAjl, IAinAjnAkl, ..., IAlnAzn ...nAnl, per tutte Ie possibili scelte degli indici.
Supponiamo anche noti i numeri IA11, IAzl, ..., IAnl.
Nonostante questa ragguardevole massa di informazioni, non I:immediatamente evidente come procurarsi il numero:
IAIUAzU...UAnl=
+
1:
1:
lE;;i~n
IAinAjnAkI
lAd -
1: IAinAj I+
l~i<j:S;;n
- ... + (_l)n+
1
IAlnAzn ...nAnl
l~i<j<k,n
risponde esaurientemente alia nostra domanda.
Concludiamo il paragrafo occupandoci di un nuovo concetto. ~insieme di tutti i sottinsiemi di un generico insieme X I:detto I'insieme delle parti di X, 0, anche, l'insieme
potenza di X.
II simbolo piu comunemente usato per indicare tale insieme I: <P(X), ma a volte si
incontra anche il simbolo 2x. Un esempio:
Si noti, tra l'altro, che cosi facendo abbiamo un metoda per ottenere nuovi (e piil
grandi) insiemi a partire da insiemi gift noti.
Poniamoci ora la seguente domanda: quanti sono i sottoinsiemi di un insieme?
Per trovare una risposta al quesito, supponiamo che X abbia n elementi. Ebbene tutti i sottoinsiemi di X possono essere ripartiti a seconda del numero di eleme~ti di
cui so no costituiti. Ad esempio possiamo considerare'la
tabella:
k
sottoinsiemi di {a, b, c,]
con k elementi
numero di sottoinsiemi di (a, b, c)
con k elementi
0
is)
1
1
{a], (b]. {c]
3
2
(a. b]. {a, c], (b, c]
3
3
(a, b, c]
1
4
\
0
5
\
0
suggerisce un tasso di crescita piuttosto
Si noti anche l'identita:
ragguardevole.
valida per ogni n intero positivo. Ricordiamo
stabilite, ,si ha:
(0)° -__
Tornando
binomio)
anche che, in base alle definizioni
o!
-
o! o!
-
1
al nostro quesito, ricordiamo una formula (formula della potenza
senz'altro nota fin dai tempi della scuola media superiore:
(x+yt=
(g)
xn l+
(~)
ovvero, piil compattamente,
E
(x+yt=
e
k=O
I
xn-
yl+
... + (~)
(n)
xn-k
yk
k
ora
di un
Xo yn,
y
Qui importante osservare che x e so no due variabili, e pertanto ad esse PUQ essere
sostltuito qualunque valore numerico senza alterare la validita della relazione sopra
I sottoinsiemi
binomiale
con k elementi di un insieme di n elementi sono contati dal coefficiente
(~).
Tale coefficiente
(no to anche come numero di combinazioni
oggetti presi da k a k) PUQ essere calcolato
(n)
k
=
mediante
scritta.
Se, ad esempio,
poniamo
x=y=l,
avremo la nuova identita
di n
(1+1t=
E
k=O
la formula:
n!
kl (n-k)!
Ec,?o ora la giustificazione della scrittura «nl»: per ogni numero naturale positivo
n, 11 prodotto, del nu~ero st~sso per tutti i suoi predecessori positivi (ovvero n -1,
n - 2, ;.. 2, 1) e detto II fattonale di n, e 10 si indica, appunto, con nl Quindi, in generale, SI ha:
numerica:
n
Abbiamo cosi scoperto che la somma dei coefficienti binomia!i
e
(g)
+ (~)
vale 2n• Ma questa
proprio la risposta alla nostra domanda in quanta
proprio il numero di sottoinsiemi di un insieme di n elementi.
Concludendo
si ha:
e
per ogni insieme di n elementi.
Si noti anche che <P(19) = (19] e che, coerentemente
+ ... + (~)
tale somma
con quanta appena stabilito, si ha:
\2(9\=2°=1.
o! = 1
1! = 1
21=2
3! =6
4!
5!
6!
7!
8!
=24
= 120
=720
=5040
=40320
Segnaliamo infine che la dizione sottoinsieme proprio di un insieme X indica un qualunque sottoinsieme non vuoto di X che non coincida con X stesso. Se S un sottoinsieme proprio di X, scriveremo:
e
Iniziamo la esposizione introducendo una notazione esplicita per il concetto intuitivo di cop pia ordinata. Siano a e b due oggetti; allora la coppia ordinata avente a corne primo elemento e b corne secondo elemento e indicata cos!:
Ricordiamo anche che, se gli insiemi X e Y (usati nella definizione di una relazione)
coincidono, allora si parla di relazione sull'insieme X. Gli elementi di tale relazione
sono coppie ordinate di elementi di X. . .
.
.,
.,
Le relazioni possono essere rappresentate III dlversl modI. NO! ne consldenamo due
tramite un esempio.
Dati gli insiemi X= [Xl, XZ, Xl, )4, xs) e Y= (Yhyz, Yl, Y4),il grafico:
Siamo ora in grado di dare una definizione della massima importanza per tutto quanto
segue. Siano A e B due insiemi. II prod otto cartesiano di Aeon Be I'insieme di tutte
Ie coppie ordinate aventi elementi di A corne primo elemento ed elementi di B corne
secondo elemento.
In simboli avremo:
Quanti sono gli elementi del prodotto cartesiano di due insiemi? Ovvero, corne possiamo esprimere il numero IXxYI in funzione dei valori IXI e IYI?La risposta e data
dalla formula:
rappresenta la relazione: [(Xl,Yl), (Xl, Y3), (xz, Yz), (Xl, Yl), (Xl, Y3), (Xs, Y3), (Xs, Y4»).
La stesso contenuto informativo
"
Corne esempio possiamo considerare l'elenco dei 25 elementi dell'insieme VxV dove
con V abbiamo indicato l'insieme delle 5 vocali dell'alfabeto italiano:
"
(a, a), (a, e),
(e,. a), (e, e),
:
, (a, u)
, (e, .u)
'3
:-
A questo proposito e importante ricordare che se x' ex" sono elementi di un insieme
X, allora Ie due coppie (x', x") e (x", x') sono due elementi distinti dell'insieme XxX.
Infatti, parlando di coppie ordinate, I'ordine con cui sono elencati gli elementi che
formano la coppia e determinante.
Cio detto, passiamo ad en unci are una definizione della massima importanza.
Una relazione (binaria) R dall'insieme X all'insieme Y e un sottoinsieme del prodotto
cartesiano di X con Y. In simboli scriviamo:
La prima osservazione da fare a proposito di questa nozione e che il concetto di relazione e intrinsecamente asimmetrico nei confronti degli insiemi che la definiscono.
Questo fatto e una ovvia conseguenza delia natura dei suoi elementi: Ie coppie ordinate.
"
"
e fornito
dal seguente grafo bipartito:
:E:
.~.
:/.
y,
y,
Y3
Y,
Fig. 1.4
Diamo ora un elenco di proprieta di relazioni in termini delle quali e possibile definire classi di relazioni particolarmente importanti.
Per semplicita faremo sistematico riferimento ad una relazione R su un insieme X= [Xl,
X2, ... , Xn].
R e riflessiva se Ie coppie (Xl, Xl), (xz, xz), ... , (xn, xn) appartengono ad R.
In altre parole, R e riflessiva se ogni elemento di X e in relazione con se stesso.
-
R e simmetrica se, per ogni coppia (Xi,Xj)di R, anche la coppia (Xj,Xi)appartiene
ad R. La ra~presentazione grafica delle relazioni simmetriche ha una forma particolare che II lettore puo facilmente individuare.
R e ~ntisimmetrica se, per ogni coppia (Xi,Xj)di R tale che risulti i,e j, allora la
coppla (Xj,Xi) non appartiene ad R.
R e transitiva se, ogniqualvolta (Xi,Xj)e (Xj,Xk)appartengono ad R anche la coppia (Xi,Xk) appartiene ad R.
'
Per iII1;!s,trare~ueste de~inizioni possiamo considerare alcuni esempi. II rapporto di
patermta (ossla la relazlOne «essere padre di») e un caso di relazione antisimmetrica
che non e ~ffa~to t:ansitiva. Mentre la relazione di discendenza genealogica (<<essere
antenato dI») e chlaramente antisimmetrica e transitiva.
~n e~empio ?! rel~zi~n,e,ri!I,es,siva,transitiva e antisimmetrica e costituito dalle copple dl numen mten dlvlslbIlI I uno per I'altro. Relazioni che come quest'ultima hanno proprieta di riflessivita, transitivita e antisimmetria son~ dette relazioni di ~rdine
parziale. Vista la loro,riI.e~anz.a,,ne consideriamo alcuni esempi. Vinsieme DIV24= [1,
2, 3, 4, 6~8, 12, 24J del dlYlson dl 24 puo essere parzialmente ordinato per divisibilita.
La relazlOne che se ne ottiene e costituita da 27 elementi.
Co?,sideriamo ora il seguente diagramma (grafo) detto diagramma di Hasse delIa relazlOne:
questo ?iagra,mma rapp~esenta la informazione minima necessaria (e sufficiente) a
ncostrUlre la .1I~t~rarelazl~r:e.. I,n sost~nza sno state omesse Ie coppie di tipo (x, x)
e quelle ottembI11per transItlYlta del dlagramma stesso: nel diagramma la transitivita
e ottenuta mediante la composizione delle frecce. II fatto che 2 sia un divisore di 12
e deducibile dalla presenza del sottodiagramma:
II diagramma di Hasse delIa relazione di inclusione definibile sugli elementi di CP ([a,
b, c]), ovvero sui sottoinsiemi di [a, b, cJ e:
Consideriamo ora gli insiemi [aJ, [bJ.E chiaro che nessuna delle due coppie ([aJ, [b]),
([bJ, [a])e contenuta nella relazione ora definita. E giustamen~e. Infatti ris~l~a [~J [bJ
e [bJ$ [aJ.'In altre parole Ie coppie ([aJ, [bJ)e ([bJ, [a]) sono mconfrontabIlI (nspetto
alIa relazione di inclusione).
A volte, invece, questa circostanza non si verifica. , ,
,
Cioe alcune relazioni d'ordine parziale hanno la propneta che sela coppla (x, y) non
appartiene alIa relazione, allora la c?p~ia, (y, ~) necessaria~ente vi appart,ie~e e vi~eversa. Tali relazioni sono dette relazlOm d ordme totale (0 Imeare). EsempI dl relazlOni d'ordine totale sono forniti dai numeri reali (razionaIi, interi) ordinati secondo la
naturale relazione «maggiore di». Un altro esempio e costituito dalla guida del telefono in cui gli utenti sono elencati in ordine alfabetic?
"
, . ,
Un'altra classe di relazioni delIa massima importanza e costltUlta dalle relazlOm dl
equivalenza ovvero relazioni riflessive, simm~trich~ e t:ansit,ive. Per iIIustr~re,qu~s~o
concetto consideriamo I'insieme di tutte Ie cItta d Itaha. Dlrem~ che la cltta X e m
relazione con la citta y se si puo andare da X a y... in bicicletta. E chiaro che questa
relazione gode delle proprieta prescritte e inoltre induce u~a ,«nat~rale» ripartizione
delle citta. Le parti di questa suddivisione sono dette classl dl eqUlvalenza delIa relazione.
,
Pur senza entrare in dettagli e chiaro che Trieste, Palermo, Cagliari e PortoferralO
appartengono a diverse classi (isole) di equivalenza. Terminiamo il paragrafo con.un~
definizione: una partizione di un insieme X in k blocchi e un insieme di sottoins~eml
non vuoti Bl, B2, ..., Bkdi X che siano a due a due disgiunti e tali che la loro umone
sia esattamente X. In formule si ha che:
'*
12
4
/
Fi9.1.6~2
C;:ons!deriaI?? ora I'insieme delle parti di [a, b, c}.
,
E facIle venflcare che la relazione «essere sottoinsieme di» e una relazione di ordine
parziale. Tale relazione e detta di inclusione.
(1) Bi,e (S)
(2) B/iBj = (S)
(3) B1UB2U ... UBk=X
i=1,2, ..., k
i,e j, (i, j = 1, 2, ..., k)
Questo concetto e legato alIa nozione.di ,relazi?ne di equivale~a, dal segu~nt~.~isuI,~ato~';:,.
una relazione di equivalenza su un mSleme mduce una partIzlOne dell m,geme I CUI" ",
blocchi sono Ie classi di equivalenza e viceversa.
c:- '
"J
I-
i:
k
e detta il dominio della R, ed e indicata con il simbolo dom(R).
Relativamente all'esempio pili volte considerato risulta ran(R) =Y, e dom(R) = [XloX2,
X3, X4].
il. cui grafico e riportato a pag. 1/9.
FIssa~oun ele:nento di X, possiamo individuare l'insieme (ovviamente, un sottoinsieme dl Y) d.e~h elementi di Y con cui quel dato elemento e messo in relazione da R.
Nello speclflco, avremo la seguente corrispondenza:
[Yh Y3J
[Y2]
[Yh Y3]
o
E inoltre facile vedere che, in generale, ran(R) ~ Y e dom(R) ~ X. Se poi, il rango di
una generica relazione R da X a Y coincide con Y (ran(R) =Y), allora tale relazione
e detta suriettiva, e se il suo dominio coincide con X (dom(R)=X), allora tale relazione e detta totale. Vesempio ripetutamente utilizzato rappresenta una relazione suriettiva che non e totale.
Possiamo ora, finalmente, introdurre il concetto di funzione. Le funzioni sono una
particolare classe di relazioni. E precisamente quelle relazioni R da X a Y con la proprieta che tutti gli elementi di X ammettono almena una R-immagine (IR(x) ~ 11) e
che tutti gli elementi di X ammettono al pili una R-immagine (IR(x) ~ 11).
Sia R una relazione da X a Y conla proprieta che IR(x)1= 1 per tutti gli elementi x di X.
Tale relazione e detta una funzione di dominio X ed e indicata con il simbolo:
[YJ.Y4]
~a gene:alizzazione de!la precedente costruzione conduce ad una importante definiZlOne.Sla R una relazlOne da X a Y. Per ogni elemento x di X, l'insieme:
e detto !'insien:e. d~lle immagini di x (rispetto a R), 0, pili semplicemente, l'insieme
delle R-immagllll ~hx. Tale insieme e indicato dal simbolo R(x). Nel nostro caso potr~mo dunque scn~ere R(Xl)=~(X3)= [YhY3J,R(X2)= [Y2],R(X4)= 0, R(xs) = [YJ.Y4J.
Vlceversa,.per Og.lllelemento dl Y, si puo considerare l'insieme degli elementi di X
c~e ~ono m relazlOne con tale elemento. Formalmente si definisce per ogni Y di Y
l'msleme:
'
,
delle R-con~roimmag.ini di Y e 10 si indica con il simbolo R -l(y).
Nel caso pnma conslderato avremo:
Mediante Ie def~nizio~i ora date, e possibile introdurre due concetti di cui faremo largo uso nel segmto. Sla, al solito, R una relazione da X = [Xl' X2,
Xn] a Y-- [y h Y2,
"'J
... , Ym.J
R(Xl)UR(X2)U... UR(xn) ,
e detta il rango (0 codorninio) delIa relazione R, ed e indicata con il simbolo ran(R).
Vunione degli insiemi delle R-controimmagini degli elementi di Y, ovvero l'insieme:
Vista l'importanza di questo concetto conviene soffermarci sulla sua definizione ricordando che, se una relazione R da X aYe totale, allora chiaramente si ha:
per tutti gli elementi x di X.
Se ora definiamo Ie relazioni univoche come quelle relazioni R da X a Y per cui risolta IR(x)1~ I per tutti gli elementi x di X, possiamo dare una nuova e pili compatta
(ancorche equivalente) definizione di funzione di dato dorninio:
una funzione di dominio X
e una relazione univoca e totale
da X al generico insieme Y.
Per fare un ese~io, sia R + l'insieme dei numeri reali non negativi. Ebbene l'insieme
di coppie [(x, YX):XER
+J e una relazione (totale) su R + che non e una funzione di
dominio R + (0 di qualunque sottoinsieme di R + che contenga pili di un elemento).
Basta infatti osservare che:
A questa punta e opportuno ribadire esplicitamente che, strettamente parlando, noi
non abbiamo definito il concetto di funzione, bens! il concetto di «funzione di dato
dominio». E doveroso segnalare che la nostra scelta puo far sorgere una apparente
contraddizione rispetto alIa consueta terminologia. Le righe che seguono hanno 10
scopo di risolvere questa imbarazzante situazione e di chiarire ogni possibile dubbio.
Una classe di esercizi che viene proposta nei corsi di Analisi Matematica chiede la
determinazione del dominio di una funzione. Ebbene, nella nostra ottica, tale problema e mal posto. Tuttavia questa contraddizione e subito ricomposta non appena ci
si rende conto che, nella tradizione dell'insegnamento delIa Analisi Matematica, il
termine funzione viene usato in Iuogo del termine relazione univoca. Questa abitudi-
rappresenta il resto delia divisione intera di a per n (qui a e un intero, e n e un intero
positivo) ed e spesso indicata con la notazione «a mod n». Ad ogni buon canto e
chiaro che queste due funzioni sono suriettive, ma non iniettive.
Le due funzioni che ora definiremo ci consentiranno di introdurre un nuovo concetto: quello di biiettivita. Consideriamo inizialmente la funzione che associa ad ogni
numero naturale il suo successore. Con notazione ovvia potremo scrivere:
ne e giustificata in quanto in tali esercizi si fa generalmente riferimento a funzioni
che hanno come dominio un sottoinsieme di R. Per maggior concretezza, corrediamo queta discussione critica con un esempio. Si consideri dunque la relazione univoca che, ad ogni numero reale, associa il suo inverso moltiplicativo, qualora esso esista. E ovvio che tale relazione da R in R e costituita dall'insieme:
1
(x, -)
x
: x;<,O)
per ogni numero naturale n. E chiaro poi che dom(succ)=N, e che ran(succ)=P.
Analogamente definiamo la funzione (indicata col simbolo «pred») che associa ad
ogni numero naturale positivo l'intero che 10 precede. Tale funzione e individuata scrivendo:
Infatti non esiste numero reale x tale che il suo prodotto per 0 dia 1. Abbiamo cosi
individuato una ben definita funzione di dominio R - (0). Chiamiamola IPE. Ebbene,
la domanda di determinare il dominio delia funzione IPE va intesa come la richiesta
di determinare il dominio delia relazione univoca IPE, ovvero di determinare quel
sottoinsieme di R in cui la relazione (univoca) IPE puo essere considerata una funzione.
1.5 FUNZIONI INIETTIVE, SURIETTIVE E BIIETTIVE
II concetto di suriettivita introdotto nel paragrafo precedente per Ie relazioni si puo
applicare senz'altro aile funzioni. Diremo pertanto che f:A ->B e una funzione suriettiva se il suo codominio coincide con B. Un esempio di funzione suriettiva e dato
dalla funzione g che ad ogni numero reale x associa iI numero (reale) x3 - 4x. E facile
vedere che g( - 2) = g(O)= g(2) = O. In altre parole 10 zero ammette tre controimmagini
(sotto la g) e precisamente - 2, 0, 2. Ma c'e di pili: tutti i valori del codominio di
g che sono compresi nell'intervallo di estremi + 16/Y3 e -16/Y3 non hanno unica
controimmagine.
La circostanza opposta (unicita delia controimmagine) costituisce il concetto di iniettivita. Diremo pertanto che f:A ->B e una funzione iniettiva se ogni elemento del suo
codominio ammette controimmagine unica. Un esempio di funzione iniettiva e dato
dalla funzione h che ad ogni numero reale x associ a iI numero (reale) 2x•
Col pretesto di fornire esempi di funzioni che servano a chiarire Ie definizioni ora
date, consideriamo due funzioni di largo uso nel contesto informatico. Introduciamo
la funzione flo:R->Z che, ad ogni numero reale x, associa il pili grande intero che
non eccede x. Analogamente si puo definire hi funzione cei:R->Z che, ad ogni numero reale x, associa il pili piccolo intero non inferiore ad x. Tanto per fissare Ie idee
ricordiamo che:
~~
per ogni numero naturale positivo. E anche chiaro che dom(pred)=P, e che
ran(pred)=N. Siamo quindi in presenza di due funzioni (chiaramente iniettive e suriettive) che, per cosi dire, si scambiano dominio e codominio. In altre parole abbiamo stabilito una corrispondenza biunivoca senza eccezioni (biiezione) tra gli insiemi
N e P. Tale circostanza puo essere generalizzata come segue: siano A e B due insiemi
e siano f:A ->B e g:B ->A due funzioni iniettive e suriettive. In tal caso Ie f e g sono
dette funzioni biiettive 0, pili semplicemente, biiezioni. Si noti che per due biiezioni
f e g valgono Ie seguenti relazioni:
g(f(a)) = a
f(g(b)) = b
per ogni a di A
per ogni b di B
Inoltre Ie due funzioni f e g risultano essere I'una l'inversa dell'altra.
I..:esistenzadi una biiezione (corrispondenza biunivoca senza eccezioni) tra due insiemi costituisce un forte legame tra essi. In particolare ogni insieme che puo essere messo
in corrispondenza biiettiva con N e detto numerabile. E noto, ad esempio, che I'insieme Q e numerabile, mentre I'insieme R non 10 e. Concludiamo il paragrafo annunciando un risultato molto importante, che non dimostriamo per brevita.
Sia X un insieme qualunque. Allora non esiste biiezione tra X e 6'(X).
flo(x) = cei(x) = x se e solo se x e intero;
flo(x) + 1= cei(x) se e solo se x non e intero.
Queste due funzioni costituiscono una forma di approssimazione, rispettivamente per
difetto e per eccesso. Oli strani nomi affibbiati a queste due funzioni derivano dalle
parole inglesi floor e ceiling che significano, rispettivamente, pavimento e soffitto.
Spesso si usa il simbolo LxJ per indicare flo(x) e xl per indicare cei(x). Va anche
ricordato che la quantita:
r
a-n
L:J
Siano m e q due numeri reali. Consideriamo I'insieme (x, mx + q): x realeJ che rappresenta una biiezione tra R e se stesso, e chiediamoci se possiamo rappresentare graficamente tale funzione. E chiaro che, strettamente parlando, la risposta a tale domanda non puo essere che negativa. E per due buoni motivi. Innanzitutto non potremmo certo rappresentare Ie infinite coppie (x, mx+q), e poi, comunque, anche la
rappresentazione delia singola coppia (x, mx + q) non potrebbe essere esatta per via
delia natura fisica di qualunque strumento grafico. Se tuttavia affrontiamo il problema nelle due ipotesi restrittive di rappresentare solo alcune cop pie e di accettare la
approssimazione insita nella grafica, allora possiamo prendere in esame la seguente
metodologia.
Si tracciano due segmenti perpendicolari (detti assi cartesiani) dotati di frecce, come
nella figura seguente:
~asse ori~zont~le e detto asse delle ascisse (0, piu semplicemente, «asse delle x») e
I.asse vert~~ale.~ detto asse delle ordinate (0 «asse delle y»). Ogni punta del piano
nsulta COSImdlVld.uato da una coppia di numeri reali, e viceversa. Ad esempio la coppia
~O,O)r~1?presenta II pu~to che si trova all'intersezione degli assi cartesiani. Tale punta
e tradlZlonalmente mdlcato con la lettera 0, ed e detto l'origine del piano cartesiano
~0 ~e~li assi). ~ altre c?ppie (x, y) rappresentano punti Ie cui proiezioni sugli assi
mdlVlduano gh mtervalh [0, xl e [0, y). Ad esempio la coppia (0, q) rappresenta iI
punto Q della figura seguente:
La identificazione sistematica dei punti del piano con Ie loro coordinate cartesiane
e I'idea chiave delia Geometria Analitica. Un concc:;tto secolare che permea tutta la
cultura scientifica contemporanea.
Tomando al problema iniziale, possiamo quindi dire che il punto (0, q) i: la ordinata
. all'origine delia retta rappresentata dalla equazione y=rnx+q (detta equazione generale delia retta). Invece iI parametro m (detto anomalia 0 coefficiente angolare) rappresenta la inclinazione delia retta. In effetti m i: la tangente dell'angolo (<ll:) formate
dalla retta y = mx + q con l'asse delle ascisse. Si noti che, al variare del valore di q,
si ottengono tutte Ie possibili rette parallele a quella iniziale. Mentre al variare di m
si possono descrivere tutte Ie altre rette pasanti per il punto Q=(O, q) eccetto l'asse
verticale.
Si consideri ora I'equazione (detta equazione segmentaria delia retta) ax+by=l.
E facile vedere che Ie cop pie (x, y) che soddisfano tale equazione rappresentano i punti
di una retta. II coefficiente angolare di questa retta i: - a/b e la sua ordinata all'origine i: lib. Qui, chiaramente, supponiamo b yt O.Relativamente all'equazione ax + by= I,
i valori lib e lIa sono detti Ie intercette sugli assi. I1loro significato i: reso evidente
dalla figura:
che rappresenta la retta di equazione ~ + y=l.
Per completare iI quadro della descrizione analitica delle rette .del piano,. consid.eriamo una generica retta parallela all'asse delle y e passante per II punta dl coordmate
(k, 0).
'
if'
Le coordinate dei punti di questa retta saranno della forma (k, y) per ogni y reale.
Cia implica che I'unica informazione significativa che deve essere fomita per definire
la retta tracciata in figura e che la sua prima coordinata e uguale a k. Per questa motivo la retta in figura e descritta dalla equazione x = k. In particolare I'equazione delI'asse delle y e x = O.
II metodo delia rappresentazione cartesiana dei punti del piano ha una potenzialita
che va ben oltre quanto qui accennato. Con tale metoda e infatti possibile rappresentare curve del piano che non sono rette. Come esempio formiamo i grafici delle funzioni y=x3 - 4x e y=ex:
Una interessante classe di funzioni che hanno un preciso significato geometrico i: costituita dalle coniche. Per poteme dare una descrizione intuitiva consideriamo un cono ovvero la superficie otienuta dalla rotazione di una retta (generatrice) g attomo
ad una retta (asse) a. Le rette a e g si incontrano in un punta V detto vertice del cono.
Consideriamo, innanzitutto, la piu semplice delle strutture algebriche. Un gruppoide
e una struttura algebrica (A, f) dove A e un insieme non vuoto e f e una legge di
composizione intern a binaria.
.
I gruppoidi costituiscono un tipo di struttura estremamente debole m quanta non
si richiede alcuna particolare proprieta alla operazione f. Ne segue che vi sono moltissimi esempi (quasi tutti poco interessanti) di gruppoidi. AIcuni, come ad esempio
(N,+), (N,x), (Z, -), (Q, :), hanno un particolare «s~pore» aritmetico. AItri sono
«immersi» in strutture piu complesse come ad esemplO (P(A), U).
Consideriamo ora alcuni esempi atipici. La struttura avente per supporto I'intervallo
reale [0, 1] e per operazione:
e un gruppoide. Altrettanto si puo dire per la struttura avente come s~pporto la se'miretta reale positiva ampliata R+ = [XER : x;;:'OJU[ooJe come operazlOne:
Le coniche sono Ie curve intersezione del cono COS!ottenuto (consideriamolo un cono anche se assomiglia ad una clessidra!) con un generico piano dello spazio tridim~nsional.e. In particol~e la intersezione con un piano parallelo age una parabola,
la mterseZlOne con un plano paralIelo ad a e una iperbole. Se invece il piano intersecante e arbitrario, alIora si ottengono Ie ellissi. I.:intersezione con piani in posizione
particolare (piano per V, piano tangente al cono lungo la g) da luogo alle cosiddette
coniche degeneri come il punta (V) 0 la retta (g). I cerchi sono Ie coniche ottenute
dalla intersezione del cono con un piano perpendicolare alI'asse a. Vequazione generale delle coniche e la seguente:
AI variare dei parametri a, b, C,d, e, f questa equazione (scritta in riferimento a due
assi cartesiani giacenti suI generico piano 71'") puo rappresentare ogni possibile conica.
Infine va detto che la rappresentazione cartesiana qui delineata si puo estendere alIo
spazio tridimensionale (assi x, y e z) in cui si possono descrivere rette, piani, curve
sghembe (cioe non contenute in un piano) e superfici.
Con questa paragrafo iniziamo una rapida esposizione delle principali definizioni delle
piu importanti strutture algebriche e delle loro proprieta elementari.
Sia A un insieme non vuoto. Una funzione f:A X A -> A e detta una legge di composizione interna 0, piu semplicemente, una operazione (binaria). Vaggettivo «interna»
esprime il concetto che il risultato delIa operazione appartiene alI'insieme da cui vengono presi gli operandi. Cio evidentemente accade per la somma e il prodotto di numeri naturali, ma non per la loro differenza e neanche per la divisione di numeri relativi. Segnaliamo anche che, con il generico terrnine «struttura algebrica» si indica
un insieme (detto insieme sujJporto della struttura) dotato di una 0 piu operazioni
(non necessariamente binarie) e, eventualmente, di alcune relazioni. Inizialmente ci
occuperemo di strutture algebriche dotate di una sola legge di composizione interna.
Nei paragrafi successivi studieremo strutture piu complesse.
7I'"(x,
y)=
'-",'
~'
xy
X+Y
E ora opportuno segnalare che una operazione f:A x A -> A e detta commutativa se,
com un que scelti x e y in A, risulta:
Se I'operazione di un gruppoide e commutativa, il gruppoide stesso e detto commutativo. Analogamente, se l'operazione di un gruppoide e associativa, il gruppoide stesso
e detto associativo. Un gruppoide associativo e detto un semigruppo. Tutti i gruppoidi sin qui considerati sono dei semigruppi e tutti, eccezion fatta per (Z, -) e (Q, :),
sono commutativi (semigruppi commutativi). Un esempio di gruppoide che non e
un semigruppo e dato dalIa struttura (R, h) dove h(x, y) = 2x + y. Infatti la funzione
h non e associativa.
Un gruppoide finito e un gruppoide il cui supporto e costituito da un numero finito
di elementi, detto I'ordine del gruppoide. In caso contrario il gruppoide e detto infinito. II comportamento dei gruppoidi finiti e facilmente descritto da una tabella. Consideriamo ad esempio il gruppoide ([0,1,2, 3J, f) con f(x, y)=O se x+Y e pari, e f(x,
y) = 1 se x + y e dispari. Le informazioni necessarie per eseguire Ie operazioni in questo gruppoide (chiaramente associativo) sono contenute nella seguente tabella:
f
0
I
2
3
0
0
I
0
I
1
I
0
1
0
2
0
I
0
1
3
1
0
I
0
1/19
La concatenazione di queste due stringhe (nell'ordine considerate) da luogo alla nuova stringa:
°
°1 °1
g
223
330
1
21
2
2
3
3
°1 °2
3
I.;operazione (chiaramente non commutativa) di concatenazione e spesso indicata con
un puntino «.» 0 con un cerchietto « », che poi, di fatto, viene omesso. Cosa manca
alla nostra struttura affinche possa veramente essere considerata un mono ide? Manca I'elemento neutro rispetto alla concatenazione. A questa scopo si ammette I'esistenza di una stringa priva di caratteri, detta stringa nulla 0 stringa vuota. Tale stringa e solitamente indicata con il simbolo A (0 con il simbolo E).
Pertanto, relativamente all'alfabeto binario (0, 1), si ha:
0
1
Lx: J
y
°
Fissiamo ora la nostra attenzione sull'elemento del gruppoide appena descritto. Dalla
tabella si deduce immediatamente che f(O, 0)=0, f(O, 1)=I=f(l, 0), f(O, 2)=2=f(2,
0), f(O, 3) = 3= f(3, 0). Questa circostania puo essere generalizzat~ come .segue. Un .~;.
elemento u di un gruppoide (A, f) e detto una unita del gruppOide se nsulta:
s
per tutti gli elementi x di A. I.;unita di un gruppoide e spesso detta elemento neutro
rispetto alla operazione del gruppoide.
E solo il caso di menzionare il fatto che 10 e l'unita del gruppoide (N, +) e che
I e l'unita del gruppoide (Z, e).
Si noti che 10 state attuale delle nostre conoscenze non esclude la possibilita dell'esistenza di unita distinte. E invece Ie cose non stanno cosi. E infatti possibile dimostrare che se un gruppoide ammette unita, allora ne ammette una sola.
Un gruppoide che (a prescindere dalla sua eventuale associativita) sia dotato di unita
e detto una monade. Va tuttavia osservato che questa terminologia e poco in uso.
Un mono ide, invece, e un gruppoide associativo dotato di unita. ~i !1?ti che, in bas:
ai concetti appena introdotti, i monoidi possono anche essere deflllltl come monadl
associative 0, altrettanto bene, come semigruppi dotati di unita.
Ad esempio osserviamo che, mentre il semigruppo ,(N, max) e un mono ide, il semigruppo (N, min) non 10 e.
In genere, un mono ide e individuato specificando il suo insieme supporto, la sua legge di composizione interna e la sua unita. Esempi di monoidi sono (Z, -, 0),
(Q, :, 1), ([0, 1], " 1), «(0, 1, 2, 3), g, 0).
.
..
In ambito informatico, il piu tipico monoide e il coslddetto monOide hbero che ora
descriveremo brevemente. Premettiamo che per alfabeto intenderemo sempre un qualunque insieme finito e non vuoto. E consideriamo poi I'insie~e .d.itutt~ I~ strin?h:
di lunghezza finita (arbitraria, ma, ripetiamo, finita!!!) costrUlblll con 1 slmboh dl
un dato alfabeto. Se A e il nome dell'alfabeto di partenza, allora l'insieme di tutte
Ie stringhe finite costruibili con i simboli di A e universalmente indicato con N. I.;operazione (associativa) che viene considerata tra gli elementi di ~* e.la giustappo.sizione 0 concatenazione di stringhe. Per chiarezza, sia A I'alfabeto Itahano. Due stnnghe di A* sono:
°
Consideriamo ora il farniIiare monoide additivo degli interi, cioe la struttura (Z, +, 0).
E ovvio che, preso comunque un intero n, esiste un altro intero n' (anche se non necessariamente distinto da n) tale che risulti n+n' =0. I.;intero n' e detto I'opposto
di n (0, anche, I'inverso additivo di n) ed e indicato con - n. Infatti in Z si ha, sempre,
n + ( - n) = 0. Questa proprieta puo essere generalizzata come segue. Se x e un elemento del supporto del monoide (A, f, u), allora diremo che x' (un elemento di A) e l'elemento inverso di x (rispetto alla f) se risulta:
Tale elemento, se esiste, e indicato con x - I. Se ora invece consideriamo il monoide
(Z, x, 1) vediamo che, in generale, gli interi non sono dotati di inverso moltiplicativo.
In altre parole, la esistenza dell'elemento inverso non e una proprieta comune a tutti
i monoidi. I monoidi che godono di tale proprieta sono detti gruppi. A fronte di questa definizione sintetica, questa nuova struttura puo essere definita come segue: un
gruppo (G, f, u) e una struttura algebrica in cui:
(1) f:GxG--+G e una legge di composizione interna binaria e associativa;
(2) u e I'elemento neutro di f, e
(3) ogni elemento di G ammette (in G) un inverso rispetto a f.
Se l'operazione di un gruppo e commutativa, allora il gruppo stesso e detto commutativo 0 abeliano. Un ben nota esempio di gruppo abeliano e dato dalla struttura
(Q,
x,
I).
I tipi di strutture algebriche introdotte in questa paragrafo possono essere riassunte
mediante il seguente schema:
monade
Ie
semigruppo
assoc;a~
~e
un;l'
monoide
esiste I'inverso
ogni elemento
di
J
gruppo
(A, f,
uJ
Mentre Ie strutture algebriche fin qui considerate erano caratterizzate da una sola legge
di composizione interna. ora iniziamo a prendere in esame strutture con due operazioni.
+
0
1
1
0
1
"
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
Questo-anello (commutativo) e spesso indicato con i simboli GF(2). 0 Zz. NelI'esempio precedente, gli elementi 0 e I possono essere considerati i rappresentanti dei numeri pari e dei numeri dispari. Suddividere gli interi in pari e dispari equivale a definire una partizione di Z in due blocchi che chiameremo PAR e DIS. Piu precisamente
il blocco PAR contern\ tutti gli interi pari (ossia tutti queIIi che danno resto nullo
quando sono divisi per due) e il blocco DIS conterra gli interi dispari (ossia tutti queIIi
che danno resto 1 quando sono divisi per due). Questo schema di partizione (qui stiamo utilizzando largamente la terminologia introdotta nel paragrafo 3) pub essere generalizzato come segue. Fissiamo un intero arbitrario purche maggiore di 1 e chiamiamolo n. Indichiamo con [r]n I'insieme dei numeri interi che danno resto r quando
sono divisi per n. Questi insiemi vengono detti Ie classi di resto modulo n. Ad esempio. I'insieme PAR corrisponde alIa classe [Oh e I'insieme DIS corrisponde alIa classe
[lh. E chiaro poi che esistono esattamente n classi di resto modulo n. infatti esistono
n possibili resti alIa divisione per n di qualsiasi intero. e precisamente 0, I, 2, ...•
n - I. Si noti che cosi facendo abbiamo messo in corrispondenza tra di loro tutti
gli interi che forniscono 10 stesso resto a seguito delIa divisione (intera) per n. E facile
vedere che questa corrispondenza e una relazione di equivalenza. I.:insieme delle classi di resto modulo n e quasi sempre indicato con il simbolo Zn. Possiamo definire
un'aritmetica (aritmetica circolare. aritmetica modulare) su Zn? Come vedremo tra
breve. la risposta e affermativa. Infatti basta definire due operazioni da ZnxZn in
Zn (che con abuso di linguaggio indicheremo ancora con gli stessi simboli usati per
la ordinaria somma e I'ordinario prodotto) come segue:
Un anello e una struttura algebrica (R. +. ". O. 1) costituita da un insieme supporto
R: ch~ co?te?ga almeno due elementi (indicati con 0 e 1) e dotata di due operazioni
bmane (mdlcate con + e ") tali che:
(1) la struttura (R. +. 0) sia un gruppo abeliano;
(2) la struttura (R. ". I) sia un mono ide;
(3) si abbia (proprieta distributive del prodotto rispetto alIa somma):
(3.1) a(b +c) = ab +ac
(3.2) (b+c)a=ba+ca
comunque si scelgano a. b. c in R.
Le strutture (R. +, 0) e (R, ", 1) sono dette, rispettivamente. il gruppo additivo e il
monoide moltiplicativo dell'anello (R. +. ", O. 1). Se non si rischia di equivocare Ie
operazioni che caratterizzano un anello, questa e indicato mediante il suo insieme
supporto. Parieremo quindi dell'anello degii interi. dei razionali dei reali e dei complessi per indicare gli anelli aventi. rispettivamente, Z. Q. R. C· come supporto e Ie
ordinarie operazioni di somma e prodotto come operazioni d·anello.
Se il monoide moltiplicativo di un anello e commutativo I'anello stesso e detto commutativo. E chiaro che. in tal caso. Ie condizioni (3.1) ~ (3.2) coincidono.
~n semplice esempio di anello e costituito dall'insieme (0. 1) e dalle operazioni defimte dalle tabelle:
-
Osserviamo che. d'ora in avanti. scriveremo liberamente [x] in luogo di [x]n quando
il valore n sara inessenziale ovvero chiarito dal contesto.
E facile vedere che Ie operazioni ora definite (dette rispettivamente somma e pro dotto modulo n) sono associative e commutative e che la somma modulo n e distributiva
rispetto al prodotto modulo n. Inoltre la classe [0] e I'elemento neutro delIa somma
e la classe [I] e l'elemento neutro del prodotto modulo n.
Da quanto sopra segue che la struttura (Zn. +, ". [0]. [1]) e un anello commutativo.
In particolare si ottiene I'anello GF(2) ponendo n=2.
Concludiamo questa parte riproducendo Ie tabelle delle operazioni di Z4 e di Zs.
0
1
2
3
3
"
0
0
0
0
0
0
1
0
1
2
3
0
1
2
0
2
0
2
1
2
3
0
3
2
1
I
2
0
1
2
1
2
3
2
2
3
3
3
0
+
0
0
1
3
1
2
3
4
_.
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
0
1
0
1
2
3
4
2
2
3
4
0
1
2
0
2
4
1
3
3
3
4
0
1
2
3
0
3
1
4
2
4
4
0
1
2
3
4
0
4
3
2
1
+
0
0
1
Questo fatto e insolito perche nella moltiplicazione
di due numeri interi vale il teorema (noto fin dalla scuola media) dell'annullamento
del prod otto: se il prodotto di
due numeri a b e nullo allora almeno uno dei due numeri e nullo. In Z4 invece questa
implicazione non sussiste: il prodotto di due elementi non nulli di Z4 fornisce l'eIemento neutro [Ok
Siano a e b due elementi non nulli di un anello: se il prodotto ab fornisce I'unita additiva (10 «zero») dell'anello, allora a e b sono detti due divisori delle zero. Chi scrive
avrebbe da obiettare su questa terminologia: «fattori» sarebbe pili intuitivo, ma tant'e.
Comunque questa concetto e importante perche ci consente di introdurre un importante tipo di anello. Un dominio di integrita e un anello commutativo privo di divisori delle zero. Gia sappiamo che Z e un dominie di integrita e come ulteriore esempio
possiamo citare Zs e Zz (cioe GF(2)). Pili in generale possiamo dire che, se p e un
numero primo, allora Zp e un dominio di integrita.
Studiamo infine uno dei pili usati anelli di tutta I'algebra: l'anello dei polinomi.
Se R e un generico anello commutativo, un polinomio nella indeterminata x con coefficienti in R e una espressione formale (indicata con p(x)) del tipo:
dove ao, al, ... , an sono elementi dell'anello R e n e un numero naturale. Tale numero
(ossia il pili grande intero per cui sia an ~ 0) e detto il grade del polinomio. I polinomi
di grade 0 sono detti costanti e coincidono con gli elementi non nulli di R. Si ammette inoltre che anche 10 0 (1a unita additiva di R) sia un polinomio.
Vinsieme dei polinomi nella indeterminata x con coefficienti in R e indicato con R[x].
E facile vedere che R[x] e un anello rispetto alle operazioni che ora definiamo.
Siano:
p(x) = ao + alX +
q(x) = bo + b1x +
+ anxn
+ bnXn
Ck=
E
aibi
i+i=k
V elemento neutro delIa somma appena definita e l'elemento neutro delIa operazione
additiva di R, e I'elemento neutro del prodotto di due polinomi e il polinomio costante 1. Le definizioni ora date si estendono facilmerite al caso di due polinomi di grade
diverso, basta infatti considerare un opportuno numero di termini aggiuntivi con coefficiente nullo.
Prima di passare ad un nuovo concetto, ricordiamo questa importante risultato: se
D e un dominio d'integrita, allora anche I'anello D(x) e un dominio di integrita.
Se ora osserviamo la tabella delIa moltiplicazione di Zs, possiamo notare che i quattro elementi non nulli di Zs ammettono inverso.
Infatti si ha:
Ma de di pili: I'insieme [[1], [2], [3], [4]] e un gruppo (moltiplicativo e commutativo).
Chiaramente questa proprieta non e comune a tutti gli anelli; basta infatti osservare
che in L Ia classe [2] non ha inverso. Pertanto si definisce una nuova struttura: un
anello (R, +, ·,0, 1) e detto un campo se I'insieme (R - [OJ, ., 1) e un gruppo commutativo. Esempi di campi infiniti sono dati da Q, R e C. Inoltre e no to che ogni
anello finito che sia un dominio di integrita e anche un campo. Da questa fatto e
possibile dedurre che Zn e un campo se e solo se n e un numero primo.
Ricordiamo infine che nella teoria dei codici sono di grande interesse i polinomi a
coefficienti in un campo finito.
In generale il termine algebra indica una struttura costituita da un insieme sup porto
su cui siano definite delle operazioni (non necessariamente binarie) ed eventualmente
delle relazioni. Pertanto, in linea di principio, non sarebbe scorretto parlare di aIgebre in riferimento alle strutture che abbiamo descritto nei due paragrafi precedenti.
Thttavia tali strutture vengono solitamente indicate con illoro nome specifico. In questa
paragrafo ci occuperemo di tre nuove strutture cui viene dato un nome particolare.
La prima struttura (algebra di Boole) e nota da lungo tempo, Ie altre due sono di
pili recente definizione.
Un importante risultato (il teorema di rappresentazione
dimostrato da Marshall Stone nel 1936) assicura che 10 studio delle algebre di Boole finite puo essere ricondotto
allo studio di famiglie -di sottoinsiemi su cui siano definite Ie operazioni di unione,
intersezione e complemento. Pertanto, in quanta segue faremo riferimento ad un insieme generico S di n elementi. einsieme dei sottoinsiemi di S (cioe <Y(S»sara l'insieme supporto della nostra struttura. Le operazioni della struttura sono sostanzialmente quelle che avevamo definito nel paragrafo 2. Va perb detto che qui, per «complemento» intenderemo sempre il complemento relativo ad S e che indicheremo con Xc
l'insieme S-X.
Cib premesso, elenchiamo esplicitamente Ie proprieta (rilevanti ai nostri scopi) di unione, intersezione e complemento relativamente a tre generici sottoinsiemi di S.
AU(BnC) = (AUB)n(Al£)
An(BUC) = (AnB)U(ArC)
(7) Copertura del complemento
AUN=S
AnAc= Q
strutture algebriche caratterizzate da tre operazioni: una (la legge di composizione
interna) e binaria, l'altra (la legge che fornisce l'elemento inverso) e unaria e la terza
(la costante unitaria) e zeroaria.
Tornando aIle algebre di Boole proponiamo nuovamente l'insieme dei sottoinsiemi
di [a, b, c] come esempio specifico su cui verificare Ie proprieta (1) - (10).
Le espressioni che si ottengono combinando opportunamente Ie operazioni di unione, intersezione e complemento possono essere considerate delle funzioni in cui Ie
lettere che rappresentano gli insiemi sono i simboli di variabile. Ad esempio, al variare di A, B, C, ... in <Y(S),la espressione:
individua un particolare elemento di <Y(S).Queste funzioni si chiamano funzioni booleane. Un fatto di grande interesse sulle funzioni booleane e l'esistenza di una forma
canonica di scrittura. Infatti si dimostra che ogni funzione booleana nelle n variabili
AI, A2, ..., An pub essere rappresentata come la unione di un opportuno numero di
intersezioni delIa forma ANiAln ...nA:. Qui la notazione Ai± sta ad indicare che
la variabile Ai pub essere complementata 0 no. Questa rappresentazione e detta forma normale disgiuntiva (0 anche somma di prodotti). Va anche ricordata l'esistenza
della forma normale congiuntiva che e strettamente collegata alla precedente. Anche
grazie alIa esistenza delle forme normaE e facile vedere che il numero di funzioni boo2n
leane in n variabili e dato da 2 .
La figura seguente mostra Ie 16 funzioni booleane che si possono scrivere con Ie due
variabili al e a2 che rappresentano due generici sottoinsiemi di un insieme di riferimento S:
"222
-cr,
(9) Assorbimento delle identita
AUS=S
An,Q= Q
(10) Leggi di De Morgan (equazioni di legame)
(AUB)c=AcnBc
(AnB)C= ACUBc
Sia S un qualunque insieme. La struttura (P(S), U, n, c, (S), S) e detta l'algebra di
Boole dei sottoinsiemi di S. Qui va osservato che, a differenza delle strutture di cui
ci eravamo occupati nei paragrafi precedenti, nelle algebre di Boole si nota la presenza di una operazione unaria: il complemento. Anzi a questa proposito osserviamo
che nell'a:nb,ito algebrico si parla di arita per indicare, sostanzialmente, il numero di
argomentl dl una legge di composizione interna. E cosi, ad esempio, unione, somma
e prod otto hanno arita 2 (cioe, come sappiamo, sono operazioni binarie), il complemento ha arita 1. Inoltre Ie costanti (Ie unita, ad esempio) sono considerate operazioni con arita nulla.
Tanto per esemplificare I'uso di questa termonologia, ricordiamo che i gruppi sono
Attenzione: queste funzioni non sono scritte in forma normale.
AlIa pagina 1/28-9 diamo una rappresentazione grafica di alcune delle funzioni sopra elencate.
Da qualche anno a questa parte, si e sviluppata una nuova area di ricerca che si concentra sui concetto di insieme sfocato (fuzzy set, ensemble flou). 8focato e la traduzione delI'inglese fuzzy che significa appunto confuso, non precisamente definito. Per
'chiarire questa concetto ricordiamo che negii insiemi ordinari l'appartenenza di un
elemento ad un insieme ha soltanto due condizioni possibili (81: appartiene; NO: non
appartiene). AI contrario, negii insierni sfocati si ammette che un dato elemento (diciamo x, tanto per cambiare!) possa avere una appartenenza «parziale» ad un dato
insieme (diciamo 8, ...). In tal modo un insieme sfocato presenta Ie tonalita del grigio
che indica una appartenenza piu 0 meno decisa di x ad 8. In aItre parole, mentre per
gli insiemi ordinari la questione delIa appartenenza di x ad 8 e risolta con uno dei
due predicati:
negii insierni sfocati esistono gli infiniti predicati del tipo «il grade di appartenenza
di x ad 8 e r» (in simboli !Ls(x)=r) dove r e un numero appartenente alI'intervalIo
reale [0, 1]. Ora qui non possiamo certo sviluppare queste considerazioni, ma ci Iimitiamo a definire una algebra sfocata come una struttura algebrica con supporto Z,
con due operazioni binarie fI, f2 : ZxZ~Z e con una operazione unaria g : Z~Z
che soddisfino Ie proprieta tutte Ie proprieta (1) - (10) eccetto, al piu, la (7).
Ne segue che tutte Ie algebre di Boole sono sfocate, ma il viceversa non e vero. Un
esempio di algebra sfocata che non e un'algebra di Boole e dato dalla struttura ([0,
1], fI, f2, g, 0, 1) dove:
fleX, y)=max (Xl>Xz]
y)=min(xl> xz]
g(x)=l - X
fz(x,
I.;ultima struttura di cui ci occupiamo qui nasce dalla osservazione di alcune analogie
esistenti tra la teoria delle reti elettriche e la teoria della affidabilita. Ancora una volta rinunciamo a sviluppare Ie motivazioni di questa studio e ci limitiamo a dare una
definizione. Sia L un insieme parzialmente ordinato (ossia un insieme su cui sia definita una relazione d'ordine parziale che indicheremo con ~) dotato di un unico elemento minimale (0) e di un unico elemento massimale
La struttura (L, a, i,D,
0, 1) dove a, 7r : LxL .....•
L sono operazioni binarie associative e commutative, e
o ; L .....•
L e una involuzione, e detta un duoide (anche detto doppio monoide duale)
se, presi comunque X e y in L, risulta:
e).
a(o,
a(1,
y)=y
y)=l
7r(I, y)=y
7r(0, y)=O
Questo paragrafo si collega a quelli che 10 precedono immediatamente nel senso che
si apre con la definizione di una nuova struttura algebrica. Nel seguito esamineremo
piu da vicino i concetti elementari dell'algebra lineare e del calcolo matriciale.
La struttura algebrica di cui ci occuperemo ora si distingue da quelle precedentemente considerate in quanta e definita in termini di due insierni (in generale) distinti e
di una operazione «estern a» i cui argomenti provengono da insiemi diversi. Ecco la
definizione.
Sia F un campo (vedi paragrafo 1.8) e sia indicata con 1 la sua unita moltiplicativa.
Sia (Y, +, 0) un gruppo abeliano e sia definita una legge di composizione esterna
(che chiameremo moltiplicazione per uno scalare), ossia una funzione
FxY.....•
Y
che associa ad ogni coppia (01, v) un elemento di Y che indicheremo con a 0 v. Si
noti che, per pura semplicita di notazione, scriveremo aov (notazione infissa) in luogo di 0 (01, v) (notazione prefissa). Se, comunque scelti 01, {3in F e v, w in Y, valgono
Ie seguenti proprieta:
0
x~a(x,
y~a(x,
y)
y)
7r(x, y)~x
7r(x, y) ~y
Si puo verificare che ogni algebra di Boole e che ogni algebra sfocata e un duoide.
11viceversa pero non e vero. Ecco due esempi di duoidi che non sono algebre sfocate
(e quindi, a fortiori, non sono algebre di Boole):
(1) ao(v+w)=aov+a
oW
(2) (a+{3)
v=a
v+{3 v
0
(3) (a{3)
(4) I
alex, y)=x+Y - xy
7rl(X,y) =xy
01(x)=1
-
X
az(xy)=x+y
7rz(x,y)= ~
x+y
Oz(X)= ~
x
;
0
0
v= a
0
({3
0
0
0
v)
V=V
allora la struttura (Y, F, 0) e detta uno spazio vettoriale su F (rispetto alIa composizione 0). lnoltre, gli elementi di Y sono detti vettori e gli elementi di F sono detti
scalari. Ya anche detto che, per semplicita, d'ora innanzi scriveremo semplicemente
av in luogo di a v. Consideriamo ora un esempio concreto.
Indichiamo con R31'insieme delle ternedi numeri reali (x, y, z). Definiamo una somma di terne come segue:
0
(Xl, yl, ZI)+(XZ, yz,
ZZ)=(Xl+XZ,
Yl+YZ,ZI+ZZ)
E chiaro che cosi facendo abbiamo dato a R3 la struttura di gruppoabeliano in cui
la terna (0, 0, 0) e l'elemento neutro. Definiamo ora la moltiplicazione per uno scalare reale:
c(x, y, z) = (ex, cy, cz)
La struttura cosi ottenuta, cioe (R3, R, .), e uno spazio vettoriale su R. Si noti che
gli elementi di R3 corrispondono biunivocamente ai punti dell'ordinario spazio tridimensionale. Questo esempio e significativo perche ci ha consentito di dare veste algebrica ad un ente geometrico particolare. Inoltre e chiaro che analogo procedimento
puo essere adottato allo spazio mono-, bi-, n-dimensionale. Un altro esempio di spazio vettoriale e dato da (R(x), R, .) dove la legge di composizione esterna e, in sostanza, la ordinaria moltiplicazione di numeri reali. Osserviamo anche che, in generale,
la struttura (F, F, .), dove F e un campo, e uno spazio vettoriale su se stesso in cui
si assume come legge di composizione estern a la stessa legge moltiplicativa di F.
