Linee di Trasmissione: Propagazione per onde v+(z) Rappresentazione schematica di una linea di trasmissione z Definizione matematica dell’onda di tensione che si propaga verso la z crescente: v ( z ) (V0 e j 0 t ) e z L’onda é un fasore (cioé un vettore rotante) sia nel tempo (termine tra parentesi) che lungo la direzione z (secondo termine). -1- Significato della costante di propagazione Posto +j, si ha: v ( z ) V0 e j t e z e j z Costante di attenuazione Indica la rapiditá con cui si riduce l’ampiezza dell’onda che si propaga. Si misura in Neper/m o in dB/m (1Np = 8.686 dB) Costante di fase Indica la rapiditá con cui cambia la fase lungo la coordinata z (per t=cost). E’ legata alla lunghezza d’onda e alla pulsazione dalla relazione rappresenta la velocitá di propagazione che dipende dal mezzo che riempe la linea). si misura in rad/sec. -2- Parametri primari della linea Sezione z L z R z C z G z Gli elementi R, L, C, G, sono detti parametri primari della linea di trasmissione. Dipendono dalla struttura fisica della linea e dal mezzo che la riempe. Utilizzando i parametri primari si possono ricavare le equazioni che governano la propagazione sulla linea (si impongono le equazioni di Kircoff alla maglia e al nodo sul tratto di lunghezza infinitesima e si integra) -3- Parametri secondari Impedenza Caratteristica (Zc): é l’impedenza che si vede all’ingresso di una linea di lunghezza infinita (é presente solo l’onda che si propaga verso le z crescenti) Costante propagazione j Formule di calcolo in funzione dei parametri primari: Zc L , C 1R 1 G Zc , 2 Zc 2 LC Queste relazioni sono valide per >> R/L, G/C; tali condizioni sono in pratica sempre verificate se la frequenza operativa è superiore a qualche decina di MHz. -4- Tensioni e correnti sulla linea I(z) V(z) v+(z) v-(z) ZL V ( z) v ( z) v ( z) V0+e j z V0-e j z V0+ j z V0- j z I ( z) i ( z) i ( z) e e Zc Zc z v+, i+: Onde Incidenti v-, i-: Onde Riflesse L’onda riflessa di tensione ha lo stesso segno dell’onda incidente; l’onda riflessa di corrente ha segno opposto rispetto a quella incidente. Entrambe sono legate tramite l’impedenza caratteristica della linea Le onde riflesse si generano quando si introduce una disuniformitá nella struttura fisica della linea (nel caso rappresentato é il carico). Per annullare l’onda riflessa bisogna che ZL sia uguale a ZC. -5- Coefficiente di riflessione Onda Riflessa V0 e j z V0 j 2 z ( z ) j z e 0e j 2 z Onda Incidente V0 e V0 Propietá di (z): Il modulo non dipende da z (é costante lungo la linea) La fase presenta, al variare di z, una periodicitá di /2 Il modulo é sempre minore di 1 quando il carico é passivo (la potenza riflessa non puó superare quella incidente). -6- Andamento del |V(z)| V (z) v (z) v (z) v (z) 1 (z) Vmax |V| V ( z ) V 0+ 1 0 e Vmin V 0+ Vmin z j2 z 1 2 0 cos(2 z) 0 2 1 2 La tensione presenta un andamento periodico (stesso periodo di ) con massimi e minimi che valgono rispettivamente: V m ax 1 , V m in 1 Si definisce Rapporto d’onda stazionaria (ROS) il rapporto tra queste due tensioni: ROS V m ax V m in -7- Impedenza lungo la linea I(z) Z(z) V(z) ZL 1 ( z) V (z) Z (z) Zc 1 ( z) I (z) z Esiste una corrispondenza biunivoca tra il valore del coefficiente di riflessione e l’impedenza vista in ogni sezione della linea (normalizzata all’impedenza caratteristica) OSSERVARE: L’impedenza é quella vista verso il carico! Relazione inversa: Z (z) Zc (z) Z (z) Zc -8- Impedenza di un tratto di linea chiuso su una ZL generica I(z) V(z) Zc , Vin Z L jZ c tan( L ) Zin Zc Z c jZ L tan( L ) I in ZL L Casi particolari: ZL= 0 (corto circuito) Z in Vin L jZ c tan( L ) jZ c tan(2 ) I in 0 ZL= (circuito aperto) Z in Vin L jZ c cot( L ) jZ c cot(2 ) 0 I in -9- Rappresentazione grafica di é un numero complesso che puó essere rappresentato sul piano x, y in forma polare • 1 Se il numero complesso rappresenta il coefficiente di riflessione su una linea di trasmissione , il punto su piano é sempre all’interno del cerchio a raggio unitario -1 1 -1 - 10 - Rappresentazione grafica di Il coefficiente di riflessione su una linea di trasmissione priva di perdite si rappresenta sul piano come un cerchio di raggio pari al ||. La fase varia di 360° per uno spostamento di /2 sulla linea d c Punti caratteristici: Linea adattata =0 ( centro della carta) Circuito Aperto =1 (a) Corto circuito =-1 (d) Massimo di tensione sulla linea (b) ( reale e positivo) Minimo di tensione sulla linea (c) ( reale e negativo) - 11 - b a Carta di Smith Sul piano di rappresentazione di si possono tracciare le curve che rappresentano il luogo dei punti in cui la parte reale (o la parte immaginaria) di zn=Z/Zc rimane costante: ( z) 1 ReZin Re cost (r) ( z) 1 ( z) 1 ImZin Im cost ( x) ( z) 1 Queste curve sono dei cerchi, il cui raggio e centro dipendono dal valore di r o x. La Carta di Smith é la rappresentazione grafica di tali cerchi, che consente di risolvere, per via grafica, molti problemi relativi all’impiego di linee di trasmissione nei circuiti a microonde. - 12 - Cerchio a x = 1 Verso il carico Verso il generatore Angolo di (si misura in gradi o in L/ Cerchio a r = 1 Asse di riferimento Rappresentazione delle ammettenze sulla Carta di Smith Impedenza nel punto : zn 1 1 ’ Impedenza nel punto ’: j 1 e j 1 1 1 1 e zn j j 1 1 e 1 e 1 zn Il punto diametralmente opposto presenta l’inverso dell’impedenza del punto originale, cioè la sua ammettenza. La carta di Smith può rappresentare indifferentemente Z o Y - 14 - Carta di Smith Spostamenti a Γ costante ZL 0 0 Asse d L x d x e j 2 x e j0 e j 4 x 0 0 j 4 d j L j 2 d d L e L e e Spostamenti su linee senza perdite 0 Asse x Spostamenti su cerchi a Γ costante (circonferenze centrate nell’origine) Spostamenti verso il carico spostamenti lungo x crescente x 0 2 x Rotazione antioraria dal carico spostamenti lungo x crescente x L 2 d Rotazione oraria NOTA: Γ (z) è una funzione periodica della distanza con periodo λ/2 - 15 - Carta di Smith Spostamenti a r o x Costanti Spostamento a x costante xL r ΓL zL = rL + jxL Γin rL zin = (rL + r) + jxL rin = r+rL Spostamento a r costante xL jx ΓL zL = rL + jxL rL zin = rL + j(xL + x) - 16 - Γin xin = xL + x Carta di Smith Spostamenti a g o b Costanti Carta delle Z Spostamenti a b costante g yL = gL + jbL yin = (gL + g) + jbL yL = gL + jbL yin = gL + j(bL + b) ΓL Γin Γin ΓI,in gin =gL + g bL ΓI,L gL Spostamenti a g costante jb gL ΓL Carta delle Y bL ΓL ΓL bL ΓI,in Γin bL ΓI,L - 17 - gL Γin Carta di Smith Esempio di Soluzione grafica in jX A d B Zc α=0 L jB ZL Z L Zc 0.6259.0 Z L Zc Zc= 50 [Ω]; B= 0.05 [Ω-1]; (bn=2.5) εr = [4]; X = -80 [Ω]; (xn=-1.6) f0 = 3 [GHz]; d = 15 [mm]; (d=108°) ZL= 20 + j40 [Ω]; xin (Zn=0.4+j0.8) =7.2 [°/mm] ΓL Γin ΓA B 0.75 116.6 2βL 2 d 40d 3.77 rad 216.0 ΓB A 0.7527.4 in 0.5131.1 Z in Z c 1 in 96 j 68 Ω 1 in - 18 - bB