Linee di Trasmissione: Propagazione per onde

Linee di Trasmissione:
Propagazione per onde
v+(z)
Rappresentazione schematica
di una linea di trasmissione
z
Definizione matematica dell’onda di tensione che si propaga verso la z
crescente:
v  ( z )  (V0 e j 0 t )  e    z
L’onda é un fasore (cioé un vettore rotante) sia nel tempo (termine
tra parentesi) che lungo la direzione z (secondo termine).
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Significato della costante di
propagazione 
Posto +j, si ha:
v  ( z )   V0 e j t   e   z   e  j   z


Costante di attenuazione  Indica la rapiditá con cui si riduce
l’ampiezza dell’onda che si propaga. Si misura in Neper/m o in
dB/m (1Np = 8.686 dB)
Costante di fase  Indica la rapiditá con cui cambia la fase
lungo la coordinata z (per t=cost). E’ legata alla lunghezza
d’onda e alla pulsazione dalla relazione  
rappresenta la velocitá di propagazione che dipende dal mezzo
che riempe la linea).  si misura in rad/sec.
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Parametri primari della linea
Sezione z
L z
R z
C z
G z
Gli elementi R, L, C, G, sono detti parametri primari della linea di
trasmissione. Dipendono dalla struttura fisica della linea e dal mezzo che la
riempe.
Utilizzando i parametri primari si possono ricavare le equazioni che
governano la propagazione sulla linea (si impongono le equazioni di Kircoff
alla maglia e al nodo sul tratto di lunghezza infinitesima e si integra)
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Parametri secondari


Impedenza Caratteristica (Zc): é l’impedenza che si vede all’ingresso di
una linea di lunghezza infinita (é presente solo l’onda che si propaga
verso le z crescenti)
Costante propagazione j
Formule di calcolo in funzione dei parametri primari:
Zc 
L
,
C

1R 1
 G  Zc ,
2 Zc 2
    LC
Queste relazioni sono valide per >> R/L, G/C; tali condizioni sono in pratica
sempre verificate se la frequenza operativa è superiore a qualche decina di
MHz.
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Tensioni e correnti sulla linea
I(z)
V(z)
v+(z)
v-(z)
ZL
V ( z)  v ( z)  v ( z)  V0+e j z  V0-e j z
V0+  j z V0-  j z
I ( z)  i ( z)  i ( z)  e  e
Zc
Zc

z
v+, i+: Onde Incidenti

v-, i-: Onde Riflesse
L’onda riflessa di tensione ha lo stesso segno dell’onda incidente; l’onda
riflessa di corrente ha segno opposto rispetto a quella incidente. Entrambe
sono legate tramite l’impedenza caratteristica della linea
Le onde riflesse si generano quando si introduce una disuniformitá nella
struttura fisica della linea (nel caso rappresentato é il carico). Per annullare
l’onda riflessa bisogna che ZL sia uguale a ZC.
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Coefficiente di riflessione
Onda Riflessa V0 e  j z V0  j 2  z
( z ) 
   j z   e
 0e  j 2  z
Onda Incidente V0 e
V0
Propietá di (z):
 Il modulo non dipende da z (é costante lungo la linea)
 La fase presenta, al variare di z, una periodicitá di /2
 Il modulo é sempre minore di 1 quando il carico é passivo (la potenza
riflessa non puó superare quella incidente).
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Andamento del |V(z)|

V (z)  v  (z)  v  (z)  v  (z)  1   (z)
Vmax
|V|
V ( z )  V 0+ 1   0  e 
Vmin
V 0+
Vmin
z

j2 z

1  2 0  cos(2  z)  0
2

1
2
La tensione presenta un andamento periodico (stesso periodo di ) con
massimi e minimi che valgono rispettivamente:
V m ax  1  
,
V m in  1  
Si definisce Rapporto d’onda stazionaria (ROS) il rapporto tra queste
due tensioni:
ROS 
V m ax
V m in
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
Impedenza lungo la linea
I(z)
Z(z)
V(z)
ZL
1  ( z)
V (z)
Z (z) 
 Zc
1  ( z)
I (z)
z
Esiste una corrispondenza biunivoca tra il valore del coefficiente di
riflessione e l’impedenza vista in ogni sezione della linea (normalizzata
all’impedenza caratteristica)
OSSERVARE: L’impedenza é quella vista verso il carico!
Relazione inversa:
Z (z)  Zc
(z) 
Z (z)  Zc
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Impedenza di un tratto di linea
chiuso su una ZL generica
I(z)
V(z)
Zc , 
Vin
Z L  jZ c tan( L )
Zin 
 Zc
Z c  jZ L tan( L )
I in
ZL
L
Casi particolari:
ZL= 0 (corto circuito)
Z in 
Vin
L
 jZ c tan(   L )  jZ c tan(2 )
I in
0
ZL=  (circuito aperto)
Z in 
Vin
L
  jZ c cot(   L )   jZ c cot(2 )
0
I in
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Rappresentazione grafica di 
 é un numero complesso che puó
essere rappresentato sul piano x, y in
forma polare

•

1
Se il numero complesso  rappresenta
il coefficiente di riflessione su una
linea di trasmissione , il punto su piano
é sempre all’interno del cerchio a
raggio unitario

-1
1
-1
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Rappresentazione grafica di 
Il coefficiente di riflessione su una linea
di trasmissione priva di perdite
si
rappresenta sul piano come un cerchio di
raggio pari al ||. La fase varia di 360°
per uno spostamento di /2 sulla linea
d
c
Punti caratteristici:
Linea adattata  =0 ( centro della carta)
Circuito Aperto  =1 (a)
Corto circuito  =-1 (d)
Massimo di tensione sulla linea (b) ( reale e positivo)
Minimo di tensione sulla linea (c) ( reale e negativo)
- 11 -

b
a
Carta di Smith

Sul piano di rappresentazione di  si possono tracciare le curve che
rappresentano il luogo dei punti in cui la parte reale (o la parte
immaginaria) di zn=Z/Zc rimane costante:
 ( z)  1
ReZin   Re 
  cost (r)
 ( z)  1 
 ( z)  1
ImZin   Im 
  cost ( x)
 ( z)  1 

Queste curve sono dei cerchi, il cui raggio e centro dipendono dal
valore di r o x. La Carta di Smith é la rappresentazione grafica di
tali cerchi, che consente di risolvere, per via grafica, molti problemi
relativi all’impiego di linee di trasmissione nei circuiti a microonde.
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Cerchio a x = 1
Verso il carico
Verso il generatore
Angolo di  (si misura in gradi
o in L/
Cerchio a r = 1
Asse di riferimento
Rappresentazione delle ammettenze
sulla Carta di Smith
Impedenza nel punto : zn 
1 
1 


’

Impedenza nel punto ’:
j    
1   e j 1   1
1   1   e
zn 




j
j    

1  1  e
1  e
1   zn
Il punto diametralmente opposto presenta l’inverso dell’impedenza
del punto originale, cioè la sua ammettenza. La carta di Smith può
rappresentare indifferentemente Z o Y
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Carta di Smith
Spostamenti a Γ costante
ZL
0
0
Asse d
L

x
d
  x     e j 2 x   e j0  e j 4 x  
0
0


 j 4 d 
j L
 j 2 d

 d    L  e
 L e
e
Spostamenti su linee senza perdite
0
Asse x
Spostamenti su cerchi a Γ costante
(circonferenze centrate nell’origine)
Spostamenti
 verso il carico  spostamenti lungo x crescente
  x    0  2 x  Rotazione antioraria
 dal carico  spostamenti lungo x crescente
  x    L  2 d Rotazione oraria
NOTA: Γ (z) è una funzione periodica della distanza con periodo λ/2
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Carta di Smith
Spostamenti a r o x Costanti
Spostamento a x costante
xL
r
ΓL
zL = rL + jxL
Γin
rL
zin = (rL + r) + jxL
rin = r+rL
Spostamento a r costante
xL
jx
ΓL
zL = rL + jxL
rL
zin = rL + j(xL + x)
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Γin
xin = xL + x
Carta di Smith
Spostamenti a g o b Costanti
Carta delle Z
Spostamenti a b costante
g
yL = gL + jbL
yin = (gL + g) + jbL
yL = gL + jbL
yin = gL + j(bL + b)
ΓL
Γin
Γin
ΓI,in
gin =gL + g
bL ΓI,L
gL
Spostamenti a g costante
jb
gL
ΓL
Carta delle Y
bL
ΓL
ΓL
bL
ΓI,in
Γin
bL ΓI,L
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gL
Γin
Carta di Smith
Esempio di Soluzione grafica
in
jX A
d
B
Zc
α=0
L 
jB
ZL
Z L  Zc
 0.6259.0
Z L  Zc
Zc= 50 [Ω];
B= 0.05 [Ω-1]; (bn=2.5)
εr = [4];
X = -80 [Ω]; (xn=-1.6)
f0 = 3 [GHz];
d = 15 [mm]; (d=108°)
ZL= 20 + j40 [Ω];
xin
(Zn=0.4+j0.8)
=7.2 [°/mm]
ΓL
Γin ΓA
 B  0.75  116.6
2βL
2 d  40d  3.77 rad  216.0
ΓB
 A  0.7527.4
in  0.5131.1  Z in  Z c
1  in
 96  j 68 Ω 
1  in
- 18 -
bB