Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
Esercizi svolti
Limiti
Prof. Chirizzi Marco
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1)
Verificare che risulta:
x−5
=2 5
x− 5
lim
x→ 5
Dobbiamo provare che per ogni ε positivo, arbitrariamente piccolo, si può determinare
un intorno del numero 5, tale che per ogni x appartenente a tale intorno, escluso al più
il numero 5, si verifichi il limite scritto sopra. Dobbiamo quindi risolvere la seguente
disequazione:
x−5
x− 5
Per x ≠ 5 ,
x−5
x− 5
−2 5 =
−2 5
(
<ε
)
( x − 5) ⋅ x + 5
−2 5 = x − 5,
x−5
quindi, la disequazione data diventa:
x− 5 <ε
equivalente al sistema:
x < 5 + ε
x > 5 − ε
le cui soluzioni sono:
(
5 −ε
)2 < x < (
5 +ε
)2
che formano effettivamente un intorno completo del punto 5. Ciò significa che per ogni
ε > 0 si può determinare un intorno di 5, tale che per ogni x appartenente a tale
intorno, escluso il numero 5, risulti:
lim
x→5
x −5
x− 5
=2 5
16
Capitolo II
2)
Limiti delle funzioni di una variabile
Verificare che risulta:
x 3 − 5 x 2 + 3x − 15
=1
lim
x−5
x→5
Dobbiamo quindi risolvere la disequazione:
x 3 − 5 x 2 + 3x − 15
−1 < ε
x−5
e vedere se le eventuali soluzioni formano effettivamente un intorno completo del
numero 5. Dopo semplici passaggi matematici, la disequazione data può essere scritta
come segue:
x2 + 2 < ε
con x ≠ 5 .
Dato che x 2 + 2 è sempre positivo, l’ultima disequazione scritta equivale a:
x2 + 2 < ε
( 2.2 )
che risolvendo si ha:
x2 + 2 < ε ⇔ x2 < ε − 2 ⇔ − ε − 2 < x < ε − 2
ε −2≥ 0,
e deve essere:
per cui, se consideriamo valori di ε abbastanza piccoli, per esempio 0 < ε < 1 , la
disequazione ( 2.2 ) non ammette soluzioni e perciò possiamo dire che il valore = 1
non è il limite della funzione assegnata per x → 5 .
3)
Verificare che risulta:
lim
x→1
x 2 + 3x − 4
=5
x −1
Risolviamo la disequazione:
x 2 + 3x − 4
−5 <ε
x −1
che è equivalente a:
17
Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
x −1 < ε ,
con x ≠ 1
le cui soluzioni sono:
− ε < x − 1 < +ε ⇔ 1 − ε < x < 1 + ε
che formano un intorno completo del numero 1, qualunque sia ε > 0 . In definitiva, il
limite dato è verificato.
Definizione 2 a . Diremo che, per x che tende ad x0 a sinistra la funzione f (x )
tende al limite finito , se fissato un numero positivoε arbitrariamente piccolo, è
possibile determinare un intorno sinistro del punto x0 , tale che per ogni x
appartenente a tale intorno, diverso da x0 , risulta:
f (x) − < ε
Tutto ciò si esprime scrivendo:
lim f ( x) =
x→ x0 −
Se l’intorno di cui si parla in questa definizione è un intorno destro del punto x0 ,
allora si dice che il numero è il limite destro della funzione per x che tende ad x0 , e
si scrive:
lim f ( x) =
x→ x0+
E’ importante ricordare che una funzione ammette limite in un punto soltanto
quando in questo punto esiste il limite sinistro e destro e questi due limiti sono uguali.
Definizione 3 a .
Sia y = f (x ) una funzione reale definita in tutti i punti di un
intorno di x0 , escluso al più il punto x0 stesso.
Diremo che per x tendente ad x0 la funzione tende ad ∞ ( − ∞ o + ∞ ), quando, in
corrispondenza di un numero positivo M , arbitrariamente grande, è possibile
determinare un intorno completo del punto x0 , tale che per ogni x appartenete a tale
intorno, escluso x0 , risulta:
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Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
f ( x) > M
Tutto ciò si può esprimere scrivendo:
lim f ( x) = ∞
x→ x0
Se nell’intorno di x0 vale la condizione:
f ( x) > M
allora si scrive:
lim f ( x) = +∞
x→ x0
mentre, se nello stesso intorno vale la condizione:
f ( x) < M
lim f ( x) = −∞
si dirà che
x→ x0
Esercizi svolti
Limiti
1)
Verificare che risulta:
lim
x→0
2x + 1
x2
= +∞
In base alla definizione 3 a , dobbiamo imporre la seguente condizione:
2x + 1
x2
> M , con x ≠ 0 ed M numero positivo fissato a piacere.
2x + 1
x2
>M ⇔
2 x + 1 − Mx 2
x2
> 0,
Studiamo il segno del numeratore:
19
Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
2 x + 1 − Mx 2 > 0 ⇔ Mx 2 − 2 x − 1 < 0 ⇔
1− 1+ M
1+ 1+ M
<x<
M
M
Studiamo il segno del denominatore:
x 2 > 0 per ogni x reale.
In definitiva, la soluzione della disequazione fratta forma un intorno completo dello
zero, qualunque sia M, quindi la funzione data ha per limite + ∞ per x → 0 .
2)
Verificare che risulta:
lim
x→ −1
x
( x + 1) 2
= −∞
In base alla definizione 3 a , dobbiamo imporre la seguente condizione:
x
( x + 1) 2
x
( x + 1) 2
< −M ,
con x ≠ −1 ed M numero positivo fissato a piacere.
< −M ⇔
x + M ( x + 1) 2
( x + 1) 2
<0 ⇔
Mx 2 + (1 + 2M ) x + M
( x + 1) 2
< 0.
Studiamo il segno del numeratore:
Mx 2 + (1 + 2 M ) x + M < 0 ⇔ −
(1 + 2 M ) − 1 + 4 M
(1 + 2M ) + 1 + 4 M
<x<−
2M
2M
Studiamo il segno del denominatore:
( x + 1) 2 < 0 per nessun valore di x reale.
In definitiva, la soluzione della disequazione fratta forma un intorno completo di − 1 ,
qualunque sia M , quindi la funzione data ha per limite − ∞ per x → −1 .
3)
Verificare che risulta:
lim
x→ 3
5
=∞
x−3
In base alla definizione 3 a , dobbiamo imporre la seguente condizione:
5
> M , con x ≠ 3 ed M numero positivo fissato a scelta.
x−3
20
Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
5
5
5
>M ⇔
> M,
< − M.
x−3
x−3
x−3
Risolviamo la prima disequazione:
5
5 − Mx + 3M
>M ⇔
>0
x−3
x−3
Analizziamo il segno del numeratore:
5 − Mx + 3M > 0 ⇔ Mx − 3M − 5 < 0 ⇔ x <
3M + 5
M
Analizziamo il segno del denominatore:
x−3> 0 ⇔ x > 3
La disequazione fratta è soddisfatta per x appartenente al seguente intervallo:
3M + 5
X = 3,
M
Risolviamo ora la seconda disequazione:
5
5 + Mx − 3M
< −M ⇔
<0
x−3
x−3
Studiamo il segno del numeratore:
Mx + 5 − 3M < 0 ⇔ x <
3M − 5
M
Studiamo il segno del denominatore:
x−3< 0 ⇔ x < 3
La disequazione fratta è soddisfatta per x appartenente al seguente intervallo:
3M − 5
X′ =
,
M
3
In definitiva, la disequazione di partenza è soddisfatta per x appartenente all’intervallo
3M + 5
3M − 5
I =
, 3 ∪ 3,
M
M
che forma un intorno completo di 3, qualunque sia M. Quindi, la funzione data
ammette il limite ∞ per x → 3.
Definizione 4 a . Diremo che per x tendente all’infinito la funzione tende al limite
, quando, in corrispondenza ad un numero positivo ε fissato a piacere, esiste un
numero positivo N tale che per ogni valore di x soddisfacente alla condizione:
21
Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
x > N,
i corrispondenti valori della funzione soddisfano alla disequazione:
f (x) − < ε
( 2.3 )
Per esprimere tutto ciò, si scrive:
lim f ( x ) =
x→∞
Se la disequazione ( 2.3 ) è soddisfatta per x > N , allora si scrive:
lim f ( x) =
x→ + ∞
mentre, se è soddisfatta per x < − N , allora si scrive:
lim f ( x ) =
x→ − ∞
Definizione 5 a .
Diremo che per x tendente all’infinito la funzione f (x ) ha per
limite l’infinito quando, in corrispondenza ad un numero positivo M fissato a piacere,
esiste un numero positivo N tale che per ogni x soddisfacente la disequazione:
x > N,
i corrispondenti valori della f (x ) soddisfano alla disequazione:
f ( x) > M .
Se invece per x > N , risulta sempre f ( x ) > M , oppure f ( x ) < − M , allora si dirà
che esistono rispettivamente i limiti:
lim f ( x) = +∞,
x→∞
Se per x > N risulta sempre
lim f ( x) = − ∞
x→ ∞
f ( x) > M , oppure f ( x) > M , oppure f ( x ) < − M ,
allora si dirà che esistono rispettivamente i limiti:
lim f ( x) = ∞,
x→ + ∞
lim f ( x) = +∞,
x→ + ∞
Se, invece, per x < − N risulta sempre
lim f ( x) = − ∞ .
x→ − ∞
f ( x ) > M , oppure f ( x) > M , oppure
f ( x ) < − M , allora si dirà che esistono rispettivamente i limiti:
22
Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
lim f ( x ) = ∞,
lim f ( x) = + ∞,
x→ −∞
lim f ( x) = − ∞ .
x→ − ∞
x → −∞
Esercizi svolti
Limiti
1)
Verificare che risulta:
lim
x→∞
3x 2 + 4
2x + 1
2
=
3
2
In base alla definizione 4 a , dobbiamo dimostrare che la disequazione:
3x 2 + 4
2x + 1
2
−
3
<ε
2
( 2.4 )
qualunque sia ε positivo, è soddisfatta per valori della x che risultano, in valore
assoluto, maggiori di un certo numero positivo N .
Risolvendo la ( 2.4 ), si ha:
x <−
5 − 2ε
5 − 2ε
, x>
.
4ε
4ε
In definitiva, la ( 2.4 ) è soddisfatta per x >
Perciò, posto N =
5 − 2ε
si nota che la ( 2.4 ) è soddisfatta per x > N , quindi la
4ε
funzione data ha per limite
2)
5 − 2ε
.
4ε
3
per x → ∞.
2
Verificare che risulta:
lim
x→ − ∞
1− x = +∞
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Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
In base alla definizione 5 a , dobbiamo risolvere la disequazione:
1 − x > M , con M numero positivo fissato arbitraria mente
( 2.5 )
che possiamo considerare maggiore di uno.
Risolvendo questa disequazione si trova che essa è soddisfatta per:
x <1− M 2
( 2.6 )
Il numero 1 − M 2 è negativo perché è M > 1 e perciò, posto N = − (1 − M 2 ) , si nota ,
tenendo presente la ( 2.6 ), la disequazione ( 2.5 ) è soddisfatta per:
x <−N
quindi possiamo dire che vale il limite della funzione data.
3)
Verificare che risulta:
lim log a x = + ∞
x→ + ∞
con a numero maggiore di uno.
In base alla definizione 5 a , dobbiamo risolvere la disequazione:
log a x > M
( 2.7 )
che risulta soddisfatta per :
x > aM
e quindi, posto N = a M , possiamo dire che la ( 2.7 ) è soddisfatta per x > N , il che
prova che vale il limite della funzione data.
2.3
Teoremi sui limiti delle funzioni
In questo paragrafo enunceremo i teoremi sui limiti delle funzioni omettendo
le relative dimostrazioni.
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Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
Teorema dell’unicità del limite
Data una funzione y = f (x ) , definita in un intervallo
] a, b [ , il limite, per
x → x0 , è
unico.
Teorema della permanenza del segno
Sia f (x ) una funzione ad una variabile reale. Se esiste finito e non nullo il limite della
funzione f (x ) , per x tendente al numero x0 , allora esiste un intorno di x0 per ogni
x del quale, escluso al più x0 , la funzione f (x ) assume lo stesso segno del suo
limite.
Criterio di confronto
Se f ( x ) , ϕ ( x ) , g ( x ) sono tre funzioni definite nello stesso intervallo, escluso al più un
punto x0 di questo, e se per ogni x risulta:
f ( x) ≤ ϕ ( x) ≤ g ( x )
e se inoltre è:
lim f ( x ) = lim g ( x ) = l
x→ x0
x→ x0
allora risulta:
lim ϕ ( x) = l
x→ x0
Operazioni sui limiti di funzioni
Siano f ( x) ed h( x ) due funzioni definite nello stesso intervallo
] a, b [
e siano
ed ′ i loro rispettivi limiti finiti, per x → x0 , cioè:
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Capitolo II
Limiti delle funzioni di una variabile
lim h( x ) = ′
lim f ( x) = ,
x→ x0
x→ x0
In base a queste ipotesi, valgono i seguenti teoremi:
Teorema dell’addizione
Il limite della funzione, somma di due funzioni, è la somma dei limiti, cioè:
lim [ f ( x) + h( x) ] = lim f ( x) + lim h( x ) = + ′
x→ x0
x→ x0
x→ x0
Teorema della sottrazione
Il limite della funzione, differenza di due funzioni, è la somma dei limiti, cioè:
lim [ f ( x) − h( x ) ] = lim f ( x ) − lim h( x) = − ′
x→ x0
x→ x0
x→ x0
Teorema della moltiplicazione
Il limite della funzione, prodotto di due funzioni, è il prodotto dei limiti, cioè:
lim f ( x ) ⋅ h( x ) = ⋅ ′
x→ x0
Teorema della divisione
Il limite della funzione, rapporto di due funzioni, è uguale al rapporto dei limiti,
supposti h( x) ed ′ diversi da zero, cioè:
lim f ( x)
f ( x ) x → x0
=
=
lim
x→ x0 h( x )
lim h( x) ′
x → x0
Teorema della potenza
Il limite della funzione potenza ennesima di una funzione data, è uguale alla potenza
del limite, cioè:
lim { f ( x)
x→ x0
}
n
n
= lim f ( x ) = n
x→ x0
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Limiti delle funzioni di una variabile
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