Introduzione e modellistica dei sistemi
Modellistica dei sistemi dinamici elettrici
Elementi fondamentali
Rappresentazione in variabili di stato
Esempi di rappresentazione in variabili di stato
2
Modellistica dei sistemi dinamici elettrici
Resistore ideale
Resistore ideale di resistenza R
iR
R
vR
L’equazione costitutiva nel dominio del tempo è:
v R (t ) = R i R (t )
mentre nel dominio delle trasformate di Laplace è:
VR (s ) = R I R (s )
N.B.: l’equazione costitutiva è di tipo statico
Unità di misura: [R ] = Ω , [vR ] = V , [iR ] = A
4
Condensatore ideale
Condensatore ideale di capacità C
iC
C
vC
L’equazione costitutiva nel dominio del tempo è:
i C (t ) = C dv C (t ) d t
mentre nel dominio delle trasformate di Laplace è:
I C (s ) = s C VC (s ) − C v C (t = 0 − )
N.B.: l’equazione costitutiva è data da un’equazione
differenziale ⇒ si sceglie vC come variabile di stato
Unità di misura: [C ] = F , [vC ] = V , [iC ] = A
5
Induttore ideale
Induttore ideale di induttanza L
iL
L
vL
L’equazione costitutiva nel dominio del tempo è:
v L (t ) = L d i L (t ) d t
mentre nel dominio delle trasformate di Laplace è:
VL (s ) = s L I L (s ) − L i L (t = 0 − )
N.B.: l’equazione costitutiva è data da un’equazione
differenziale ⇒ si sceglie iL come variabile di stato
Unità di misura: [L ] = H , [vL ] = V , [iL ] = A
6
Generatori ideali
Generatore ideale di tensione
i
v
+
-
Generatore ideale di corrente
i
v
N.B.: costituiscono gli ingressi del sistema dinamico
7
Modellistica dei sistemi dinamici elettrici
Rappresentazione in variabili di stato (1/2)
Si scrivono le equazioni costitutive soltanto per i
componenti con memoria (condensatori e induttori)
Si scrivono le equazioni topologiche della rete
elettrica, applicando le leggi di Kirchhoff (ai nodi e
alle maglie) o un qualsiasi altro metodo di analisi di
circuiti elettrici (potenziali ai nodi, correnti cicliche)
Si introduce una variabile di stato xi per ogni
componente con memoria, scegliendo in particolare
La tensione applicata ad ogni condensatore
La corrente che scorre in ogni induttore
Si associa una variabile di ingresso uj a ogni
generatore ideale di tensione o di corrente
9
Rappresentazione in variabili di stato (2/2)
Si ricavano le equazioni di stato del tipo
xi (t ) =
dx i (t )
dt
= f i (t , x (t ),u (t ))
a partire dalle equazioni costitutive e topologiche
precedenti, esprimendo xi soltanto in funzione di
variabili d’ingresso e stato, se necessario ricorrendo
anche a equazioni costitutive di eventuali resistori
Si ricavano le equazioni di uscita del tipo
y k (t ) = gk (t , x (t ),u (t ))
esprimendo ogni variabile di interesse yk soltanto
in funzione di variabili di ingresso e di stato
10
Modellistica dei sistemi dinamici elettrici
Esempio #1 di rappresentazione (1/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, assumendo come
variabili di interesse le tensioni v 1 e v 2
R1
v
+
-
v1
L
i
v2
R2
C
12
Esempio #1 di rappresentazione (2/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, assumendo come
variabili di interesse le tensioni v 1 e v 2
iL
v
+
-
R1
v1
L
vL
i2 v
2
R2
iC
i
C
Equazioni costitutive:
1) v L (t ) = L di L (t ) d t
2) iC (t ) = C dvC (t ) dt = C dv 2(t ) dt
3) v (t ) = v1(t ) +v L (t ) +v 2 (t ) (equazione alla maglia)
4) i L (t ) + i (t ) = i 2 (t ) + i C (t ) (equazione al nodo)
13
Esempio #1 di rappresentazione (3/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, assumendo come
variabili di interesse le tensioni v 1 e v 2
iL
v
+
-
R1
v1
L
i
v2
R2
C
Variabili di stato:
⎡ i L (t ) ⎤ ⎡ x1(t ) ⎤
x (t ) = ⎢
⎥=⎢
⎥
⎢⎣v 2 (t )⎥⎦ ⎢⎣x 2 (t )⎥⎦
14
Esempio #1 di rappresentazione (4/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, assumendo come
variabili di interesse le tensioni v 1 e v 2
R1
v
+
-
v1
L
i
v2
R2
C
Variabili di ingresso:
⎡v (t )⎤ ⎡u1(t ) ⎤
=⎢
u (t ) = ⎢
⎥
⎥
⎣ i (t ) ⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
15
Esempio #1 di rappresentazione (5/8)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) v L (t ) = L di L (t ) dt
3) v (t ) = v 1 (t ) + v L (t ) + v 2 (t )
2) i C (t ) = C dv 2 (t ) dt
4) i L (t ) + i (t ) = i 2 (t ) + i C (t )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡i L (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎡v (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) =
=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎣i (t ) ⎦ ⎣u 2 (t )⎥⎦
⎣v 2 (t )⎦ ⎣x 2 (t )⎦
iL R 1
Equazioni di stato:
x1 = di L d t = v L L = (v − v 1 − v 2 ) L = -
+
(
= u1 − v 1 − x 2
)
v1
L = (u 1 − R1i L − x 2 ) L =
R1
x 1 − 1 x 2 + 1 u 1 = f1 (t , x ,u )
=−
L
L
L
16
Esempio #1 di rappresentazione (6/8)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) v L (t ) = L di L (t ) dt
3) v (t ) = v 1 (t ) + v L (t ) + v 2 (t )
2) i C (t ) = C dv 2 (t ) dt
4) i L (t ) + i (t ) = i 2 (t ) + i C (t )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡i L (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎡v (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) =
=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎣i (t ) ⎦ ⎣u 2 (t )⎥⎦
⎣v 2 (t )⎦ ⎣x 2 (t )⎦
Equazioni di stato:
x2 = dv 2 dt = i C C = (i L + i − i 2 ) C = -
+
(
= x1 + u2 − i2
)
C = ( x 1 + u 2 − v 2 R2 ) C =
R2
i2
v2
= 1 x 1 − 1 x 2 + 1 u 2 = f 2 (t , x ,u )
C
R2C
C
17
Esempio #1 di rappresentazione (7/8)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) v L (t ) = L di L (t ) dt
3) v (t ) = v 1 (t ) + v L (t ) + v 2 (t )
2) i C (t ) = C dv 2 (t ) dt
4) i L (t ) + i (t ) = i 2 (t ) + i C (t )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡i L (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎡v (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) =
=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎢
⎥
⎣i (t ) ⎦ ⎣u 2 (t )⎥⎦
⎣v 2 (t )⎦ ⎣x 2 (t )⎦
iL R 1
Equazioni di uscita:
+
v1
y 1 = v 1 = R1i L = R1 x 1 = g 1 (t , x ,u )
y 2 = v 2 = x 2 = g 2 (t , x ,u )
⎡ y 1 (t ) ⎤
y (t ) = ⎢
⎥
⎣y 2 (t )⎦
18
Esempio #1 di rappresentazione (8/8)
⎧x = − R1 x − 1 x + 1 u
Equazioni di stato: ⎪ 1
L 1 L 2 L 1
⎨
2 = 1 x 1 − 1 x 2 + 1 u 2
x
⎪⎩
C
R2C
C
Equazioni di uscita: ⎧y 1 = R1x 1
⎨y = x
⎩ 2 2
Se R1, R2, L e C sono costanti, il sistema è LTI ⇒
ha come rappresentazione in variabili di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
⎡− R1 L −1 L ⎤
⎡R1 0⎤
⎡1 L 0 ⎤
⎡0 0⎤
A=
⎢⎣ 1 C −1 R2C ⎥⎦ , B = ⎢⎣ 0 1 C ⎥⎦ , C = ⎢⎣ 0 1⎥⎦ , D = ⎢⎣0 0⎥⎦
19
Esempio #2 di rappresentazione (1/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = 3v Z (t )
e il bipolo Z ha caratteristica i Z (t ) = v Z3 (t ) −v Z (t )
L
v
+
-
C
i
iZ
Z
vZ
20
Esempio #2 di rappresentazione (2/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = 3v Z (t )
e il bipolo Z ha caratteristica i Z (t ) = v Z3 (t ) −v Z (t )
iL
v
+
-
L
vL
iC
C
i
iZ
Z
vZ
Equazioni costitutive:
1) v L (t ) = L di L (t ) dt
2) i C (t ) = C dv C (t ) d t = C dv Z (t ) d t
3) v (t ) = v L (t ) + v Z (t )
(equazione alla maglia)
4) i L (t ) + i (t ) = iC (t ) + i Z (t ) (equazione al nodo) 21
Esempio #2 di rappresentazione (3/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = 3v Z (t )
e il bipolo Z ha caratteristica i Z (t ) = v Z3 (t ) −v Z (t )
iL
v
L
+
-
C
i
iZ
Z
vZ
Variabili di stato:
⎡ i L (t ) ⎤ ⎡ x1(t ) ⎤
x (t ) = ⎢
⎥
⎥=⎢
⎢⎣v Z (t )⎥⎦ ⎢⎣x 2 (t )⎥⎦
22
Esempio #2 di rappresentazione (4/8)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = 3v Z (t )
e il bipolo Z ha caratteristica i Z (t ) = v Z3 (t ) −v Z (t )
L
v
+
-
C
i
iZ
Z
vZ
Variabili di ingresso:
⎡v (t )⎤ ⎡u1(t ) ⎤
u (t ) = ⎢
=⎢
⎥
⎥
⎣ i (t ) ⎦ ⎢⎣u2 (t )⎥⎦
23
Esempio #2 di rappresentazione (5/8)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) v L (t ) = L di L (t ) dt
3) v (t ) = v L (t ) + v Z (t )
2) i C (t ) = C dv Z (t ) dt
4) i L (t ) + i (t ) = i C (t ) + i Z (t )
3
5) i Z (t ) = v (t ) − v Z (t )
Z
Variabili di stato e di ingresso:
⎡ i L (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎡v (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) =
=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎥
⎢
⎥
v
(
t
)
x
(
t
)
i
(
t
)
u
(
t
)
⎣
⎦
⎣Z ⎦ ⎣ 2 ⎦
⎣ 2 ⎦
Equazioni di stato:
x1 = di L dt = v L L = (v − v Z
)
= − 1 x 2 + 1 u 1 = f1 (t , x ,u )
L
L = (u 1 − x 2 ) L =
L
24
Esempio #2 di rappresentazione (6/8)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) v L (t ) = L di L (t ) dt
3) v (t ) = v L (t ) + v Z (t )
2) i C (t ) = C dv Z (t ) dt
4) i L (t ) + i (t ) = i C (t ) + i Z (t )
3
5) i Z (t ) = v (t ) − v Z (t )
Z
Variabili di stato e di ingresso:
⎡ i L (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎡v (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) =
=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎥
⎢
⎥
v
(
t
)
x
(
t
)
i
(
t
)
u
(
t
)
⎣
⎦
⎣Z ⎦ ⎣ 2 ⎦
⎣ 2 ⎦
Equazioni di stato:
x2 = dv Z dt = i C C = (i L + i − i Z ) C =
3
3
= (x 1 + u 2 − v + v Z ) C = (x 1 + u 2 − x + x 2 ) C =
2
Z
3
= 1 x 1 + 1 x 2 − 1 x + 1 u 2 = f 2 (t , x ,u )
C
C
C
2
C
25
Esempio #2 di rappresentazione (7/8)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) v L (t ) = L di L (t ) dt
3) v (t ) = v L (t ) + v Z (t )
2) i C (t ) = C dv Z (t ) dt
4) i L (t ) + i (t ) = i C (t ) + i Z (t )
3
5) i Z (t ) = v (t ) − v Z (t )
Z
Variabili di stato e di ingresso:
⎡ i L (t ) ⎤ ⎡x 1 (t )⎤
⎡v (t )⎤ ⎡u1 (t )⎤
x (t ) = ⎢
,
u (t ) =
=⎢
=⎢
⎥
⎥
⎥
⎢
⎥
v
(
t
)
x
(
t
)
i
(
t
)
u
(
t
)
⎣
⎦
⎣Z ⎦ ⎣ 2 ⎦
⎣ 2 ⎦
Equazione di uscita:
y = 3v Z = 3 x 2 = g (t ,x ,u )
26
Esempio #2 di rappresentazione (8/8)
Equazioni di stato: ⎧⎪x1 = − L1 x 2 + L1 u1
⎨
1 x + 1 x − 1 x3 + 1 u
x
=
⎪⎩ 2 C 1 C 2 C 2 C 2
Equazione di uscita: y = 3x 2
Il sistema risulta non lineare, a causa del bipolo Z
avente caratteristica statica non lineare
Il sistema è inoltre dinamico, a tempo continuo,
a dimensione finita (n =2), MIMO (p =2, q =1),
proprio, stazionario nel caso L e C siano costanti
27
Esempio #3 di rappresentazione (1/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = v L (t )
R1
v
+
-
1
R2
C
L2
L1
vL 1
28
Esempio #3 di rappresentazione (2/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = v L (t )
R1
v
i2 R 2
iC
C
+
-
Equazioni costitutive:
vC
L2
vL 2
1
iL 1
L1
vL 1
iL 2
1) i C (t ) = C dv C (t ) d t
2) v L (t ) = L 1 di L (t ) d t = L 1 di 2(t ) d t
1
1
2
2
3) v L (t ) = L 2 di L (t ) d t = L 2 di 2(t ) d t
(i L (t ) = i 2(t ) )
(i L (t ) = i 2(t 29) )
1
2
Esempio #3 di rappresentazione (3/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = v L (t )
i1
v
+
-
R1
v 1 iC
C
1
i2 R2
vC
v2
L1
L2
vL 1
vL 2
Equazioni topologiche:
4) v (t ) = v 1 (t ) + v C (t )
(equaz. alla maglia 1)
5) v C (t ) = v 2 (t ) + v L (t ) + v L (t )(equaz. alla maglia 2)
1
6) i 1 (t ) = i C (t ) + i 2 (t )
2
(equazione al nodo)
30
Esempio #3 di rappresentazione (4/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = v L (t )
R1
v
i2 R2
+
-
C
vC
L2
1
iL 1
L1
vL 1
iL 2
Variabili di stato:
⎡vC (t )⎤
⎢
⎥
⎡vC (t )⎤ ⎡x1(t )⎤
x (t ) = ⎢i L1(t ) ⎥ = i 2(t ) ⇒ x (t ) = ⎢
⎥
⎥=⎢
⎢i (t ) ⎥
⎢⎣ i 2(t ) ⎥⎦ ⎢⎣x 2(t )⎥⎦
31
⎢⎣ L2 ⎥⎦
Esempio #3 di rappresentazione (5/10)
Ricavare la rappresentazione in variabili di stato
della seguente rete elettrica, in cui y (t ) = v L (t )
R1
v
+
-
1
R2
C
L2
L1
vL 1
Variabile di ingresso:
u (t ) = ⎡⎣v (t )⎤⎦
32
Esempio #3 di rappresentazione (6/10)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) i C (t ) = C dv C (t ) dt
2) v L (t ) = L 1di 2 (t ) dt
1
3) v L (t ) = L 2di 2 (t ) dt
2
4) v (t ) = v 1 (t ) + v C (t )
5) v C (t ) = v 2 (t ) + v L (t ) + v L (t )
1
6) i 1 (t ) = i C (t ) + i 2 (t )
2
Variabili di stato e di ingresso:
⎡v C (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
=⎢
x (t ) = ⎢
,
u (t ) = [v (t )]
⎥
⎥
⎣ i 2 (t ) ⎦ ⎣x 2 (t )⎦
i1 R1
+
Equazioni di stato:
- v1
x1 = dv C dt = i C C = ( i 1 − i 2 ) C =
(
)
= v 1 R 1 − x 2 C = ⎡⎣(v − v C ) R 1 − x 2 ⎤⎦ C =
= ⎡⎣(u − x 1 ) R 1 − x 2 ⎤⎦ C = − 1 x 1 − 1 x 2 + 1 u = f1 (t ,x ,u )
R 1C
C
R 1C
33
Esempio #3 di rappresentazione (7/10)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) i C (t ) = C dv C (t ) dt
2) v L (t ) = L 1di 2 (t ) dt
1
3) v L (t ) = L 2di 2 (t ) dt
2
4) v (t ) = v 1 (t ) + v C (t )
5) v C (t ) = v 2 (t ) + v L (t ) + v L (t )
1
2
6) i 1 (t ) = i C (t ) + i 2 (t )
Variabili di stato e di ingresso:
⎡v C (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
=⎢
x (t ) = ⎢
,
u (t ) = [v (t )]
⎥
⎥
⎣ i 2 (t ) ⎦ ⎣x 2 (t )⎦
+
Equazioni di stato:
x2 = di 2 dt = v L L 1 = (v C − v 2 − v L ) L 1 =
1
2
i2 R2
v2
R2
L2 x − x ⇒
= ( x 1 − R 2 i 2 − L 2di 2 (t ) dt ) L 1 = x 1−
L1
L1 2 L1 2
1
R2
L
1
R
x2 1 + 2 = x 1− 2 x 2 ⇒ x2 =
x 1−
x 2 = f 2 (t ,x ,u )
L1
L1
L1
L1+L 2
L1+L 2
34
1
( )
Esempio #3 di rappresentazione (8/10)
Equazioni costitutive e topologiche:
1) i C (t ) = C dv C (t ) dt
2) v L (t ) = L 1di 2 (t ) dt
1
3) v L (t ) = L 2di 2 (t ) dt
2
4) v (t ) = v 1 (t ) + v C (t )
5) v C (t ) = v 2 (t ) + v L (t ) + v L (t )
1
6) i 1 (t ) = i C (t ) + i 2 (t )
2
Variabili di stato e di ingresso:
⎡v C (t )⎤ ⎡x 1 (t )⎤
=⎢
x (t ) = ⎢
,
u (t ) = [v (t )]
⎥
⎥
⎣ i 2 (t ) ⎦ ⎣x 2 (t )⎦
Equazione di uscita:
y = v L = L 1di 2 (t ) dt = L 1x2 = L 1f 2 (t ,x ,u ) ⇒
1
L1
L1R 2
y =
x1 −
x 2 = g (t ,x ,u )
L1+L 2
L1+L 2
35
Esempio #3 di rappresentazione (9/10)
⎧x1 = − 1 x 1 − 1 x 2 + 1 u
R 1C
C
R 1C
Equazioni di stato: ⎪
⎨
R2
1
⎪⎩x 2 = L1+L 2 x 1 − L1+L 2 x 2
L1
L1R 2
x1 −
x2
Equazione di uscita: y =
L1+L 2
L1+L 2
Se R1, R2, L1, L2 e C sono costanti, il sistema è LTI
⇒ ha come rappresentazione in variabili di stato
x (t ) = A x (t ) + B u (t )
y (t ) = C x (t ) + D u (t )
⎡− R1C
−1 ⎤
⎡ 1 ⎤
C
⎡ L1
L1R 2 ⎤
1
⎢
⎥
⎢
⎥
R
C
A=
, B = 1 ,C = ⎢
,D = 0
−
⎥
1
R
2 ⎥
⎢ 0 ⎥
L1+L 2 ⎦
⎢
⎣L1+L 2
−
⎣
⎦
⎣L1+L 2 L1+L 2 ⎦
36
Esempio #3 di rappresentazione (10/10)
Una rete elettrica è detta degenere se contiene:
Maglie di condensatori (nei cui lati sono presenti
solo condensatori e/o generatori di tensione) e/o
Tagli di induttori (i cui lati sono costituiti solo da
induttori e/o generatori di corrente, come in
quest’ultimo esempio in cui L1 e L2 sono in serie)
Nelle reti degeneri, il numero totale di condensatori
e induttori presenti è maggiore della dimensione n
del sistema, poiché le tensioni sui condensatori o le
correnti negli induttori non sono tutte indipendenti
In generale, la dimensione n del sistema è pari al
numero di variabili di stato linearmente indipendenti
37
