Nozioni Preliminari

Progamma sintetico
•
•
Nozioni preliminari
•
Automi Finiti
•
Macchine di Turing
•
Limiti delle macchine di Turing
•
La tesi di Church-Turing
•
Le classi P e NP
Nozioni preliminari
•Conoscenza del significato dei termini:
Definizione, Enunciato, Dimostrazione, Implicazione,
Equivalenza,...
• Familiarità con i vari tipi di dimostrazioni:
per contraddizione, prova per induzione, …
• Definizioni delle operazioni logiche AND, OR, NOT.
• Alfabeti
• Stringhe
• Linguaggi
DIMOSTRAZIONE
Metodo per stabilire una verità
Differente in vari campi
• Legale: giuria – prove processuali
• Scientifica: esperimenti ripetibili
• Filosofica: persuasione basata su argomenti
plausibili
Cartesio: “Cogito ergo sum,”
Deriva esistenza dal fatto di pensare sull'esistenza
PROVA Matematica
Una prova formale è una catena di deduzioni
logiche che portano ad una affermazione
partendo da un insieme di assunzioni
Dimostrazione
c=cent
E=Euro
1 c= 0,01 E=(0,1 E)2=(10c)2=100c=1E
ERRATA!!
Affermazione
Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0.
Dimostrazione
Assunzione a=b
Affermazione errata:
Se a e b sono due numeri reali uguali allora a = 0.
Dimostrazione sbagliata:
• Proposizione: affermazione che può essere
vera o falsa
• Proposizioni matematiche devono essere
formulate in modo preciso
Aldo guarda Beatrice con il binocolo
• Devono riferirsi ad oggetti ben definiti
matematicamente (numeri, insiemi,
funzioni,...)
• Es. 2 + 3 = 5.
Proposizione: può essere vera o falsa
Dimostrazione: Data una proposizione,
vogliamo dimostrare che essa è vera.
Es.
Proposizione
per ogni n > 1.
Come facciamo?
p(n)=n2+n+41
è numero primo
Es.
p(n)=n2+n+41
è primo
per ogni n > 1.
Proviamo per qualche valore
p(1)=43 primo
P(2)=47 primo
P(3)=53 primo
…
P(20)=461 primo
…
P(39)=1601 primo
VERA?
Es.
p(n)=n2+n+41
è primo
per ogni n > 1.
Proviamo per qualche valore
p(1)=43 primo
P(2)=47 primo
Dimostrazione per esempi
P(3)=53 primo
=
…
Esempio di dimostrazione
P(20)=461 primo
sbagliata
…
P(39)=1601 primo
P(40)=40x40+40+41=41x41 FALSO!
Es.
Proposizione
a4 +b4 +c4 = d4 non ha soluzione
con a, b, c, d interi positivi
Congettura di Eulero del 1769.
Dimostrata FALSA 218 anni dopo da Noam
Elkies:
a = 95800;
b = 217519;
c = 414560;
d = 422481.
Es.
Proposizione
313(x3 +y3 ) = z3
non ha soluzione con x,y,z interi positivi
FALSA:
controesempio più piccolo ha più di
1000 digit!
Es.
Congettura di Goldbach (1742)
Proposizione
P(n): n si può scrivere come somma di due primi
per ogni n>2 ?
Non possimo stabilire VERO provando per un
numero finito di valori!
Servono altri metodi!
Proposizione: affermazione che può
essere può essere vera o falsa
Dimostrazione: Data una proposizione,
vogliamo dimostrare che essa è vera.
Proposizione P: vera (T) o falsa (F)
Operazioni Logiche: NOT, OR, AND
Tavole di verità:
Implicazioni: Deduzioni logiche per provare nuove
proposizioni a partire da altre note (vere)
• P  Q
(P implica Q: se P è vera allora Q è vera )
Es. “Se gli asini volano, allora voi capirete questa lezione.”
E’ un insulto?
Nel linguaggio comune: Si
Matematicamente è un affermazione vera!
PQ
è vera ogni volta che
P è falsa o Q è vera
Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a
partire da altre note (vere)
• (P vera, P  Q) Allora Q Vera
Es.
• P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto
• Q: l’omicida ha abbastanza forza da spostare un
cadavere
• PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere
• (P vera, PQ)  l’omicida è ‘’forte’’
Deduzioni logiche: per provare nuove proposizioni a
partire da altre note (vere)
• (P vera, P  Q) ALLORA Q vera
• (P  Q; Q falsa) ALLORA P falsa
Es.
• P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto
• Q: l’omicida ha abbastanza forza da spostare un
cadavere; Q falsa: l’omicida è debole
• PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere
• (PQ, Q falsa)  Il cadavere non può essere stato
spostato
Deduzioni logiche
• NOT(Q)  NOT(P)
Equivalente a PQ
Es.
• P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto
• Q: l’omicida è abbastanza ‘’forte’’;
• PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere
• NOT(Q)  NOT(P): Se l’omicida non è abbastanza forte
annora la vittima non è stata spostata
Deduzioni logiche
• NOT(Q)  NOT(P)
Equivalente a PQ
• NOTA: NOT(P)  NOT(Q) NON EQUIVAL. P  Q:
Es.
• P: la vittima è stata uccisa nella vasca da bagno e
ritrovata sul letto
• Q: l’omicida è ‘’forte’’;
• PQ: se la vittima è stata spostata allora l’assassino ha
abbastanza forza da spostare un cadavere
• NOT(P)  NOT(Q): Se la vittima non è stata spostata
allora non è vero che l’omicida deve essere forte
Come dimostrare che P  Q:
1. “Assumiamo P.”
2. mostriamo che Q segue
Es.
Se 0 < x < 2, allora -x3 + 4x + 1 > 0.
Dim. Assumiamo 0 < x < 2
Scriviamo -x3 + 4x = x(2 - x)(2 + x)
Sappiamo che x, 2 - x, e 2 + x nonnegativi ( >0 ).
Allora il loro prodotto è nonnegativo (>0).
Sommando 1 abbiamo numero positivo (>0):
-x3 + 4x+1= x(2 - x)(2 + x) + 1 > 0.
“P IFF Q”
equivale a
“P  Q” AND “Q  P”.
“P IFF Q”
equivale a
“P  Q” AND “Q  P”.
Provare “iff” :
1. “Proviamo che P implica Q e vice-versa.”
2.“Per prima cosa, mostriamo che
P implica Q.” (Come prima)
3. “Secondo passo, mostriamo che Q
implica P.” (Come prima)
ES.
Dimostrazione per contraddizione
per dimostrare P
Schema:
1.Assumiamo che l’ipotesi P è falsa
2.Dimostriamo che NOT(P)  NOT(Q) per
qualche Q che sappiamo essere vera
3.A questo punto abbiamo una
contraddizione e possiamo concludere che
P deve essere vera
Teorema. La radice quadrata di 2 è un
numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che l’ipotesi P è falsa, cioè
sqrt(2)=m/n (m,n interi primi fra loro)
Dimostriamo NOT(P)  NOT(Q)
[Q: m, n primi tra loro]
m2 =(n sqrt(2))2=n22  m2=2n2  m2 pari  m pari,
Poniamo m=2k
Allora 2n2= m2= 4k2  n2=2k2  n pari
Abbiamo che n,m entrambi pari  m,n hanno fattore
comune 2
A questo punto abbiamo NOT(Q)
possiamo dedurre che P è falsa (cioè sqrt(2) è irrazionale)
Teorema.
La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale.
Dim.
Assumiamo che l’ipotesi è falsa, possiamo scrivere
a)
sqrt(2)=m/n
b)
con m,n interi primi fra loro
Abbiamo
•
m2 =(n sqrt(2))2=n22  m2=2n2  m2 pari  m pari,
•
Ponendo m=2k si ha 2n2= m2= 4k2  n2=2k2  n pari
Quindi n,m entrambi pari  m,n hanno fattore comune 2
che contraddice punto b)
possiamo concludere che sqrt(2) è irrazionale.
Dimostrazioni Corrette in Pratica
• Definire il metodo che si vuole seguire
es. “Usiamo un distinzione di casi” o
“Ragioniamo per assurdo.”
• Una dimostrazione e` un “saggio” non
un calcolo
Approccio errato: sequenza di espressioni
senza commenti
Una dimostrazione comprensibile e` un
“saggio” inframmezzato da calcoli
Buone dimostrazioni <=> Buoni programmi
Stesso rigore necessario per scrivere
programmi funzionanti
• Programma che ''sembra funzionare'' può
causare molti problemi
• Es. Therac 25: macchina per radioterapia
che ''ogni tanto'' ha ucciso i pazienti per
eccesso di radiazioni (problema software)
• Es. (Agosto 2004) problema software usato
da United e American Airlines ha messo a
terra l'intera flotta delle due compagnie
Buone dimostrazioni  Buoni programmi
• Es. Errori di commutazione nei computer di gestione delle
chiamate della AT&T rendono inutilizzabile per nove ore la
rete interurbana e interstatale statunitense della societa’.
•
Es. Il vettore Ariane 5 esplode al decollo. Il 4 giugno 1996
viene lanciato per la prima volta il vettore Ariane 5. Dopo
39 secondi di volo interviene il sistema di autodistruzione,
trasformando l’Ariane 5 e il suo carico pagante (quattro
satelliti scientifici non assicurati) in quello che e’ stato
definito “il piu’ costoso fuoco d’artificio della storia”.
Il disastro avviene perche’ un programma del sistema di
navigazione tenta di mettere un numero a 64 bit in uno
spazio a 16 bit.
INDUZIONE
Data una affermazione, vogliamo dimostrare che essa vale
per ogni intero n>a.
Es.
La somma dei primi n interi vale n(n+1)/2
per ogni n > 1.
INDUZIONE
Vogliamo dimostrare che un certo predicato è vero.
•
•
Formaliziamo con affermazione S(n)
dimostriamo per induzione che S(n) vera
(per ogni intero n>a).
Una dimostrazione per induzione consiste di 2 fasi
1. BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l’affermazione è
vera per il primo valore, cioè S(a) è vera.
1. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che S(n-1) è vera e
dimostriamo che allora anche S(n) è vera.
INDUZIONE
Es.
La somma dei primi n interi vale n(n+1)/2
per ogni n > 1.
Formalizzazione
n
S(n):
 i  1  2  ...  n  n(n  1) / 2
i 1
Si vuole dimostrare per induzione che
S(n) vale per ogni n > 1.
INDUZIONE
1. BASE INDUTTIVA. S(a) è vera.
2. PASSO INDUTTIVO. S(n-1) implica S(n) vera.
Es.
S(n):
n
 i  1  2  ...  n  n(n  1) / 2
i 1
Si vuole dimostrare che S(n) vale per ogni n > 1.
1
Base. S(1) è vera perché
 i  1  1(1  1) / 2
i 1
Passo. Ipotesi induttiva S(n-1):
n 1
 i  (n  1)n / 2
i 1
Si ha
(n  1)n
(n  1)n  2n n(n  1)
i  i  n 
n


2
2
2
i 1
i 1
n
n 1
Quindi S(n) è vera.
INDUZIONE
Esercizio.
Dimostrare per induzione che la seguente affermazione
S(n) è vera per ogni intero n>0.
S(n):
n
2
i0

i
2
n 1
1
INDUZIONE
Es. Se x≥4,
allora
2x ≥x2
•Affermazione S(x): 2x ≥x2
•Mostriamo per induzione che S(x) vera per ogni x≥4.
Base: x = 4 ⇒ 2x = 24 = 16 e x2 = 42 = 16
Passo I.: Supponiamo che 2x ≥x2 per x ≥ 4
Dobbiamo dimostrare che 2x +1 ≥ (x + 1)2
Abbiamo: 2x +1 = 2 2x ≥ 2 x2 (dalla ipotesi induttiva)
Dimostriamo adesso che 2x2 ≥ (x + 1)2=x2+1+2x
Semplificando: x2-2x ≥ 1
Se x ≥ 4, x(x-2) ≥ 8>1
VALIDITA’ delle dimostrazioni per INDUZIONE
Dim. per induzione
Base: S(a) vera
S(n) vera, ogni n>a
Passo induttivo
PER CONTRADDIZIONE IPOTESI: S(n) falsa per qualche n.
Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa.
DEDUCIAMO:
Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a.
Essendo b = minimo intero per cui l’affermazione è falsa,
risulta S(b-1) vera (nota b-1 > a).
Per il Passo Induttivo, S(b-1)  S(b).
Allora S(b) vera: contraddizione con assunzione che S(b) falsa.
Quindi ipotesi è sbagliata,
Cioè non esiste intero per cui l’affermazione è falsa
Cioè S(n) vera per ogni intero
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim.
Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Mostriamo per induzione che P(n) vera per ogni n ≥ 1.
Base : P (1) vera.
Passo.
Assumiamo P (n) vera, n>1.
Consideriamo insieme di n + 1 cavalli:
h1 , h2 , . . . , hn , hn+1
Per I.I. I primi n cavalli h1 , h2 , . . . , hn hanno stesso colore,
Per I.I. Gli ultimi n cavalli h2 , h3 , . . . , hn+1 hanno stesso colore,
Quindi h1 , h2 , . . . , hn+1 hanno stesso colore, e P(n+1) vera
Poiche` P (n)  P (n + 1), allora P(n) vera per ogni n ≥ 1.
Teorema. Tutti i cavalli hanno lo stesso colore
Dim. Per induzione su n.
Sia P(n): ''in ogni insieme di n cavalli, tutti i cavalli hanno lo stesso colore.''
Conseguenza:
se n=(numero cavalli nel mondo)
allora tutti cavalli hanno lo stesso colore.
Abbiamo provato una cosa FALSA!
ERRORE?
Abbiamo provato:
P (1)
P (2)  P (3),
P (3)  P (4), etc.
NON P (1)  P (2)
INDUZIONE COMPLETA
Vogliamo dimostrare che P(n) vale per ogni intero n>a.
Dimostrazione per induzione completa:
1. BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l’affermazione è
vera per il primo valore, cioè P(a) è vera.
2. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che
P(a), P(a+1),…, P(n-1)
sono tutte vere e dimostriamo che anche P(n) è vera.
Teorema. Ogni intero maggiore di 1 è un prodotto di primi
Dim.
Stabiliamo affermazione
P(n): l’intero n è un prodotto di primi
Vogliamo dimostrare per induzione completa
che p(n) vera per ogni n>1.
Base. P(2) vera, poichè 2 è primo
Passo. II: p(2),…,p(n-1) vere
Proviamo che P(n) è vera.
Se n è primo, ok
Se n non è primo allora n=km per qualche k e m
II ci dice che P(k), p(m) vere,
Cioè k ed m sono prodotti di primi
Quindi anche il loro prodotto n=km è un prodotto di primi.
Definizioni Induttive
;
Una definizione per induzione (o induttiva o ricorsiva)
di un insieme di oggetti consiste di una base e di un passo
induttivo.
BASE definisce uno o più oggetti elementari.
Passo Induttivo definisce la regola che permette di
costruire oggetti più complessi in termini di quelli già
definiti
Definizioni Induttive
;
BASE definisce uno o più oggetti elementari.
Passo Induttivo definisce la regola che permette di
costruire oggetti più complessi in termini di quelli già
definiti
Es. Definizione induttiva di n! (prodotto primi n interi)
BASE 1!
P.I.
n!=n (n-1)! Per ogni n>1
Definizioni Induttive
;
BASE definisce uno o più oggetti elementari.
Passo Induttivo definisce la regola che permette di
costruire oggetti più complessi in termini di quelli già
definiti
Es. Definizione dei numeri di fibonacci
BASE f(0)=f(1)=1
P.I.
f(n)=f(n-1)+f(n-2), per ogni n>1
Definizioni Induttive e Dimostrazioni Induttive
;
Es. Mostrare che il numero di fibonacci f(n) soddisfa
f(n)<2n, per ogni n>0