Sommatorie utili

Sommatorie
1) La somma dei primi n interi positivi s = 1  2  3  ....  n è
ad es.
dimostrazione:
1. metodo di Gauss (proprietà progressione aritmetica)
2. metodo geometrico È possibile ottenere anche una giustificazione geometrica
della formula: avvicinando all'n-esimo triangolo un triangolo uguale, si ottiene
un rettangolo di lati e
, che è formato da n(n + 1) punti, il doppio di
quelli del triangolo.
3. per induzione
Importante : ogni numero che si ottiene come somma dei primi n naturali è
detto numero triangolare ( perché si può rappresentare come un triangolo)
es:
10 è il quarto numero triangolare
15 è il quarto mumero triangolare
2) La formula della somma dei primi n quadrati invece è
ad es.
dimostrazione :
1. per induzione
2. vedi scheda
Importante : ogni numero che si ottiene come somma dei primi n quadrati è
detto numero piramidale quadrato (perché si può rappresentare come una
piramide a base quadrata)
3) Da queste formule si può anche ricavare quella relativa alla somma dei primi n
cubi.
Una relazione che lega i primi n cubi ai primi n numeri è la seguente:

n 3
i
i 1
2  nn  1 
n
  i 1i   



 2 
2
ad es.
dimostrazione: per induzione
4) La somma dei primi n numeri dispari è uguale al quadrato dell’ennesimo
numero naturale
1  3  5  ....  (2n  1)  n2
dimostrazione:
1.proprietà progressione aritmetica
2.per induzione
3.metodo geometrico (vedi es. sotto : si ottiene un quadrato)
1+3+5=?
si è costruito un quadrato di lato 3, la sua area è 9
Quindi 1 + 3 + 5 = 9 , la somma dei primi tre numeri dispari è uguale a 9
5) La somma dei primi n numeri pari è 2  4  6  8  .....2n  1  nn
ad es. 2+4+6+8 =(1+4)4=20
dimostrazione:
1.proprietà progressione aritmetica
2.per induzione
3.metodo geometrico (si ottiene un trapezio)
6) La somma dei primi n numeri triangolari fornisce un numero che è detto
numero tetraedrico.
L’ennesimo numero tetraedrico è dato da:
n(n  1)( n  2)
6
La somma dei primi n numeri tetraedrici è data da
n(n  1)( n  2)n  3
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