Argomento 9
Integrali definiti
Definizione di integrale definito
Sia f una funzione continua su [a, b]. Vogliamo misurare la regione di piano compresa tra il grafico
di f , l’asse x e le due rette x = a e x = b, con la convenzone che la parte sopra l’asse x contribuisca
con segno + e la parte sotto l’asse x con segno −.
Per n ∈ N, n ≥ 2, si suddivida l’intervallo [a, b], con i punti a = xo < x1 < ...... < xn = b,
b−a
in n sottointervalli uguali [xi−1 , xi ] (i = 1, 2..., n), tutti di ampiezza
.
n
Se indichiamo con Mi e con mi rispettivamente il massimo ed il minimo di f in [xi−1 , xi ], le somme
n
X
n
n
X
b−aX
Mi
Sn =
Mi (xi − xi−1 ) =
n
i=1
i=1
n
b−aX
sn =
mi
mi (xi − xi−1 ) =
n
i=1
i=1
sono dette somma superiore e somma inferiore relative alla suddivisione fatta e forniscono
rispettivamente un’approssimazione per eccesso e una per difetto della misura che vogliamo calcolare.
Al crescere di n, si ottengono scomposizioni in cui cresce il numero di intervalli e decresce l’ampiezza.
Si può dimostrare che, per n → +∞, le somme superiori Sn e le somme inferiori sn convergono allo
stesso numero che rappresenta proprio la misura che vogliamo.
Z
b
Tale valore dicesi integrale definito di f su [a, b] e viene indicato con il simbolo
f (x)dx:
a
Z
lim Sn = lim sn =
n→+∞
Z
n→+∞
b
f (x)dx
a
b
f (x)dx= Misura con segno della regione di piano sottesa al grafico di f su [a, b].
a
N.B. L’integrale definito non coincide in generale con l’area di tale regione. Questo accade solo se
f (x) ≥ 0 su [a, b]. Per ottenere l’area, bisogna considerare l’integrale di |f (x)| :
Z b
|f (x)| dx= Area della regione di piano sottesa al grafico di f su [a, b].
a
Z
Convenzione:
a
Z
Z
f (x)dx = −
f (x)dx = 0 e, per a < b:
a
a
b
b
f (x)dx.
a
Definizioni equivalenti
Esistono definizioni equivalenti del concetto di integrale definito che non usano le somme superiori
e inferiori, bensı̀ altri tipi di somme.
Per esempio le cosidette somme di Cauchy-Riemann sono definite scegliendo in ciascuno degli intervalli [xi−1 , xi ] un punto arbitrario ξi e ponendo
Sn =
n
X
n
f (ξi )(xi − xi−1 ) =
i=1
b−aX
f (ξi )
n i=1
Si può dimostrare che, nelle ipotesi considerate all’inizio, tali somme convergono allo stesso limite
di quelle superiori e inferiori, indipendentemente dalla scelta fatta per i punti ξi .
1
Proprietà integrale definito
Z b
Z b
1) αf (x)dx = α f (x)dx
∀α ∈ R
a
Za b
Z b
Z b
2)
(f (x) + g(x)) dx =
f (x)dx +
g(x)dx
a
a
: linearità
a
Z b
Z c
Z b
3) f (x)dx =
f (x)dx +
f (x)dx: additività sugli intervalli
a
a
c
(in qualunque ordine prendiamo a, b, c, grazie alla convenzione della pagina precedente).
P
In analogia con la media aritmetica di n numeri a1 , a2 . . . , an che è n1 nk=1 ak , si definisce la media
Rb
1
integrale di una funzione f su un intervallo [a, b] come b−a
f (x) dx.
a
4) Il teorema della media afferma che una funzione continua su [a, b] assume, almeno in un punto
di [a, b], un valore uguale alla sua media integrale.
Teorema fondamentale del calcolo integrale
Z
Sia f continua su [a, b]. Consideriamo, per ogni x ∈ [a, b], l’integrale F (x) =
x
f (t)dt. Questa è
a
una quantità che dipende da x e quindi è una funzione di x detta funzione integrale di f .
Si può dimostrare che tale F è derivabile e F 0 (x) = f (x).
Quindi F è una primitiva di f, in particolare è la primitiva di f che vale 0 in a.
• Corollario: formula fondamentale del calcolo integrale
Se G è una primitiva di f, si ha che F (x) = G(x) + c da cui, per x = a, otteniamo c = −G(a).
Quindi, per x = b: F (b) = G(b) − G(a), cioè, tenendo conto della definizione di F :
Z
b
f (x)dx = G(b) − G(a) = [G(x)]ba , dove G è una primitiva qualunque di f su [a, b].
a
• Esempi:
Z
sin x dx = − cos x + c
Z
quindi
π
sin x dx = [− cos x]π0 = − cos π + cos 0 = 2.
0
Poiché la funzione sin x è positiva fra 0 e π, l’integrale trovato rappresenta l’area della regione di
piano compresa tra l’asse x e il grafico della funzione, fra le ascisse x = 0 e x = π.
Consideriamo invece:
Z π
π
2
π
π
sin x dx = [− cos x]−2 π = − cos( ) + cos(− ) = 0
2
2
2
− π2
In questo caso la funzione integranda è dispari e quindi la misura con segno della regione compresa
fra l’asse x e il grafico, su un intervallo simmetrico rispetto all’origine, è zero.
• Formula fondamentale del calcolo integrale: variante
Se G(x) ha derivata G0 (x) continua su un intervallo I, allora, ∀ x0 , x ∈ I:
Z x
Z x
0
G(x) = G(x0 ) +
G (t)dt = G(x0 ) +
dG
x0
x0
2
