esercizi sulle probabilità

ESERCIZI SULLE PROBABILITÀ
EVENTI ELEMENTARI E OPERATORI LOGICI
1) Calcola la probabilità che da un’urna con 3 palline bianche, 4 nere e 5 rosse esca una pallina nera. [0,3333]
2) Calcola la probabilità che da un’urna con 3 palline bianche, 4 nere e 5 rosse esca una pallina non rossa. [0,58333]
3) Calcola la probabilità che da un’urna con 3 palline bianche, 4 nere e 5 rosse, estraendo in blocco, escano due palline rosse.
[0,151515]
4) Calcola la probabilità che da un’urna con 3 palline bianche, 4 nere e 5 rosse, con un’estrazione in blocco di 3 palline, esca
una pallina per colore. [0,272727]
5) Calcola la probabilità che da un’urna con 3 palline bianche, 4 nere e 5 rosse, in un’estrazione in blocco di 2 palline, si
ottenga una pallina bianca e una nera. [0,181818]
6) Calcola la probabilità che, lanciando un dado con 8 facce, il 5 esca due volte di seguito. [0,015625]
7) Calcola la probabilità che, lanciando due volte un dado di 8 facce, si ottenga prima l’1 e poi il 7. [0,015625]
8) Calcola la probabilità che, lanciando due volte un dado di 20 facce, la somma dei risultati di ciascun lancio sia 5. [0,01]
9) Calcola la probabilità che, lanciando tre volte un dado di 4 facce, la somma dei risultati di ciascun lancio sia 2. [0]
10) Calcola la probabilità che, lanciando tre volte un dado di 4 facce, la somma dei risultati di ciascun lancio sia 5. [0,09375]
11) Calcola la probabilità che, lanciando tre volte un dado di 4 facce, la somma dei risultati sia minore di 5. [0,0625]
12) Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di francesi (♥♠♦♣), si ottenga un fante. [0,0769]
13) Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di francesi (♥♠♦♣), si ottenga un fante di quadri. [0,0192]
14) Calcola la probabilità che, estraendo una carta da un mazzo di francesi (♥♠♦♣), si ottenga un re o una carta di fiori.
[0,30769]
15) Calcola la probabilità che, estraendo cinque carte in blocco da un mazzo di francesi (♥♠♦♣), si ottengano tutte carte
dello stesso seme (colore). [0,00198]
16) Calcola la probabilità che, estraendo cinque carte in blocco da un mazzo di francesi (♥♠♦♣) limitate ai valori 7, 8, 9, 10,
J, Q, K, A, si ottengano tutte carte dello stesso seme (colore). [0,001112]
17) Calcola la probabilità che, alla roulette (18 numeri rossi, 18 numeri neri e lo 0 verde), esca due volte di fila un numero
rosso. [0,236669]
18) Calcola la probabilità che, alla roulette (18 numeri rossi, 18 numeri neri e lo 0 verde), esca cinque volte di fila un numero
rosso. [0,027249]
19) Calcola la probabilità che, alla roulette (18 numeri rossi, 18 numeri neri e lo 0 verde), esca tre volte di fila lo 0.
[0,00001974]
20) Calcola la probabilità che, alla roulette (18 numeri rossi, 18 numeri neri e lo 0 verde), escano quattro numeri, rossi o neri,
ma con colori alternati. [0,112025]
21) Calcola la probabilità che, giocando a tombola, fra i primi 4 estratti ci sia il 19. [0,0452]
22) Si sa che su 150.000 auto di un certo modello se ne sono vendute 30.000 rosse, 45.000 nere e 60.000 bianche. Qual è la
probabilità che una qualunque delle auto vendute sia nera? Quante auto rosse ci si aspetta di vendere l’anno prossimo,
sapendo che ci si aspetta un volume di vendite totale di 225.000 auto? [0,3; 45.000]
23) Un lotto di 100 macchinari ha avuto questo ciclo di vita: dopo i primi 2 anni, ne sono stati dismessi 15; dopo altri 2 anni,
altri 28; dopo altri due anni, altri 31; dopo altri 2 anni, tutti i macchinari sono stati dismessi. Qual è la probabilità che un
macchinario di questo genere duri più di 4 anni? E che duri dai 4 ai 6 anni? [0,57; 0,59]
1
24) Amanda è disposta a scommettere 5 euro che fra una settimana sullo Schiaparelli cada almeno una goccia di pioggia. Se
vince, ottiene 100 euro. Qual è la probabilità di vittoria secondo Amanda? [0,05]
25) A Elviro viene proposto di puntare 10 euro sul fatto che Zi’ P’nuzzu riesca ad essere assunto nel giro di due mesi come
giornalista; se Elviro vince, riceve 300 euro. Qual è la probabilità dell’evento implicita nella scommessa? [0,03333]
26) Dimostra che, se è p(A) = 0, allora è p(AB) = p(B).
27) Dimostra che, se sono p(A) = p(B) = 1, allora è p(AB) = 1.
DEFINIZIONE DI PROBABILITÀ CONDIZIONATA
28) Sappiamo che sono p(AB) = 1/6, p(A) = 1/3 e p(B) = 1/3. A e B sono indipendenti? [No]
29) In un test d’ammissione, il 4% sbaglia chimica, il 3% sbaglia storia, l’1% sbaglia tutt’e due. Gli eventi sono indipendenti?
Fra quelli che hanno sbagliato chimica, che percentuale ha sbagliato anche storia? [No; 1/4]
30) Qual è la probabilità che la somma dei risultati di due dadi sia 10, se un dado ha dato 5? [1/6]
31) Qual è la probabilità di estrarre un 7 da un mazzo di 40, sapendo che è stata estratta una carta maggiore di 5? [1/5]
32) Nella popolazione indicata in tabella, qual è la probabilità di un’eccezione alla regola secondo cui tutti quelli che corrono
indossano un cappellino?
Quanti hanno un cappellino
Quanti non hanno un cappellino
Quanti corrono
12
15
Quanti non corrono
34
25
[15/86]
33) La probabilità che in un certo periodo dell’anno piova e ci sia vento è 0,06; la probabilità che ci sia vento è 0,15; qual è la
probabilità che piova? [Se gli eventi sono indipendenti, 2/5]
34) Data la tabella che segue, qual è la probabilità che il farmaco aiuti la guarigione?
Guariti
Non guariti
Curati dal farmaco
45
30
Non curati dal farmaco
5
20
[3/5]
35) Dimostra che è p(A|B) = 0 sempre e soltanto se è p(B|A) = 0.
36) Dimostra che, se A e B sono incompatibili e se sono p(A) > 0 e p(B) > 0, allora A e B sono dipendenti.
37) Dimostra che è
p A | B  C  
p A  B | C 
.
p B | C 
38) Calcola e confronta i valori di p(A|A) e p(AA).
39) Calcola e confronta i valori di p(A|A) e p(AA).
40) Siano dati i seguenti eventi: A: esce un 5 su un dado cubico, B: esce un numero pari su un dado cubico, C: esce un fante in un mazzo
francese, D: esce una carta di picche in un mazzo francese. Calcola le seguenti probabilità.
a) p(A|B). [0]
b) p(B|A). [0]
c) p(A|B). [0,33333]
d) p(CD). [0,01923]
e) p(C|BD). [0,07692]
f) p(AB|CD). [0,66667]
g) p(CD). [0,76923]
h) p(AB). [0,33333]
i) p(A|CD). [0,16667]
2
TEOREMA DI BAYES PER UNA CONSEGUENZA
41) Se in un mese la probabilità che un cellulare si guasti è 0,003, che cada è una su 50 e lo 0,7% dei cellulari che cadono si
guasta, qual è la probabilità che un cellulare sia caduto, sapendo che è guasto? [0,04667]
42) A Bridgeborough, un uomo su 3 è scozzese. Il 30% degli scozzesi indossa il kilt. Se la probabilità che un abitante indossi
il kilt è 0,1, qual è la probabilità che un uomo col kilt sia scozzese? [1]
43) Al conservatorio di Portofino, c’è una probabilità pari a 0,4 che uno studente sia femmina. Uno studente su 4 studia il
violino. Le femmine sono la metà dei violinisti. Qual è la probabilità che una femmina studi il violino? [0,3125]
44) Su 10 gatti che graffiano, 8 agitano la coda. La probabilità che un gatto agiti la coda è 0,35; la probabilità che graffi è 0,4.
Qual è la probabilità che un gatto che agita la coda graffi? [0,914286]
45) Il 90% dei dischi con buona musica ha una bella copertina. Tre dischi su 10 hanno una bella copertina e uno su 20 ha
buona musica. Qual è la probabilità che un disco con la copertina bella abbia buona musica? [0,15]
46) In un ufficio, un documento su 6 è segreto e 4 su 9 sono chiusi a chiave in un cassetto. I documenti segreti sono sempre
chiusi a chiave. Qual è la probabilità che i cassetti chiusi a chiave contengano documenti segreti? [0,375]
47) La probabilità che ci siano nuvole è 0,35; la probabilità che piova è 0,1. La probabilità che quando piove ci siano nuvole
è 0,97. Qual è la probabilità che quando ci sono nuvole piova? [0,277143]
48) La probabilità che io beva caffè la sera è 0,1. La probabilità che non dorma è 0,07. Se prendo un caffè, non dormo il
70% delle volte. Qual è la probabilità che io non dorma, avendo preso un caffè? [1]
49) Il 30% di chi guarda i puffi alla tele è miope; un quarto della gente guarda i puffi; un terzo della gente è miope. Qual è la
probabilità che un miope guardi i puffi? [0,225]
50) La probabilità che una moneta sia falsa è lo 0,2%; il 68% delle monete false ha difetti; il 5% delle monete ha difetti. Qual
è la probabilità che una moneta difettosa sia falsa? [0,0272]
51) Il 6% dei truffatori ha una fossetta sul mento. I truffatori sono il 2% della popolazione, quelli con la fossetta sul mento
sono il 5%. Se uno ha la fossetta, qual è la probabilità che sia un truffatore? [0,024]
51a) Il 5% degli impiegati di un ufficio consegna in ritardo la maggioranza delle pratiche; 1 impiegato su 13 ha problemi di
salute. Fra gli impiegati con problemi di salute, il 16,25% consegna la maggioranza delle pratiche in ritardo. Qual è la
probabilità che un impiegato che consegna la maggioranza delle pratiche in ritardo abbia problemi di salute? [0,105625]
51b) Il 12% dei venditori di auto usate è disonesto; 2 venditori su 5 hanno la sede nei capoluoghi di provincia; il 36% dei
venditori disonesti ha sede in un capoluogo di provincia; qual è la probabilità che un venditore con sede nel capoluogo di
provincia sia disonesto? [0,108]
51c) Una certa ditta di revisione, dopo aver studiato molte imprese, ha stabilito che il 45% di esse supera un certo insieme di
indici di indebitamento. Nello stesso campione, le imprese fallite sono state il 9%. Inoltre, il 95% delle imprese fallite
superava gli indici di indebitamento. Qual è la probabilità che un’impresa fallisca, dato che supera gli indici di
indebitamento? [0,19]
51d) In serie A, un giocatore su 20 ha vinto un campionato e 6 giocatori su 10 non hanno infortuni nell’anno. Il 63% di
quelli che hanno vinto il campionato non ha subito infortuni nell’anno. Qual è la probabilità di vincere il campionato, se non
si subiscono infortuni? [0,0525]
51e) Secondo le statistiche di un ufficio vendite, incrocia le braccia il 51% delle persone che rifiutano di acquistare un dato
prodotto. In assoluto, il 42% delle persone ha incrociato le braccia, mentre il prodotto è stato venduto nel 18% delle visite.
Qual è la probabilità di non vendere il prodotto, se la persona incrocia le braccia? [0,9957]
TEOREMA DI BAYES PER PIÙ CONSEGUENZE
52) In un certo giorno, la probabilità che le candele siano sporche è dello 0,1%, che la batteria sia esaurita è dello 0,2%; le
candele sporche impediscono ad un’auto di partire con una probabilità dello 0,6%; la batteria esaurita impedisce la partenza
con una probabilità del 100%; altri eventi impediscono la partenza con una probabilità del 5%. Qual è la probabilità che
l’auto non parta a causa delle candele sporche? [0,002547]
3
53) Una pubblicità è stimata raggiungere il 30% del pubblico. Un’indagine mostra che il 6% di chi non conosce la pubblicità
e il 15% di chi la conosce ha comprato l’articolo. Qual è la probabilità che chi ha comprato l’articolo conosca la pubblicità?
[0,517241]
54) Una persona su tre disturba un’ape quando è nelle sue vicinanze. Un’ape disturbata punge in 7 casi su 100; una non
disturbata in 2 casi su 100; qual è la probabilità che una persona punta da un’ape prima l’abbia disturbata? [0,636364]
55) Data la tabella che segue, quanto vale P(B|Pallina rossa?)
Urna
Palline rosse
Palline bianche
Palline azzurre
A
3
4
1
B
1
2
3
C
4
3
2
[0,125]
56) Un test ha 5 possibili risposte. Chi non ha studiato risponde a caso. Chi ha studiato risponde giusto. Di solito, gli studenti
che studiano sono la metà. Qual è la probabilità che uno studente abbia studiato, dato che ha risposto giusto? [0,833333]
57) In un telefilm ci sono 3 attori. La trama è fatta in modo che in scena ci sia sempre uno di loro, ma che non si incontrino
mai. Aldo appare per il 50% del tempo, Brigitta per il 35% e Clelia per il 15%. Il 70% di quelli a cui piace Aldo guarda la
trasmissione; per Brigitta la percentuale è il 75% e per Clelia è il 95%. Qual è la probabilità che Clelia piaccia a chi guarda la
trasmissione? [0,463576]
58) Errore e malafede sono equidistribuiti. La probabilità che la malafede porti a un falso in bilancio è 0,9; la probabilità che
un errore porti a un falso in bilancio è 1. Qual è la probabilità che un falso in bilancio sia dovuto a malafede? [0,473684]
59) In Italia, una persona su 100.000 è un terrorista, 1 su 4 è sbadata e il restante (i “solidi”) non sono nessuno dei due. La
probabilità che un terrorista abbandoni una borsa in stazione è 0,2; che la abbandoni uno sbadato è 0,05; che la abbandoni
un solido è 0,001. Qual è la probabilità che una borsa sia stata abbandonata da un terrorista? [0,000151]
60) Il 45% delle nuvole da ovest portano pioggia; lo stesso vale per il 30% delle nuvole da sud, per il 20% da est e per il 35%
da nord. Di tutte le nuvole, il 60% viene da ovest, il 20% da sud, il 15% da est e il 5% da nord. Qual è la probabilità che una
pioggia sia causata da nuvole che vengono da ovest? [0,715232]
61) Un cavallo si spaventa nello 0,7% del tempo, corre nel 5,3% ed è tranquillo nel tempo che resta. La probabilità che sudi
quando è spaventato è 0,85, che sudi quando corre è 0,99 e che sudi quando è tranquillo è 0,02. Qual è la probabilità che un
cavallo sudato sia spaventato? [0,077053]
62) Andrea va al supermercato 1 volta alla settimana, Bruno 2 volte e Cristina 3. Non vanno mai nello stesso giorno. La
probabilità che Andrea rubi è 0,3, che Bruno rubi è 0,05 e che Cristina rubi è 0,01. Qual è la probabilità che un furto sia
colpa di Andrea? [0,697674]
63) In un campione in cui i giovani sono tanti quanti gli anziani e giovani e anziani sono tanti quanti gli adulti, un
programma è visto dal 40% dei giovani, dal 20% degli adulti e dal 5% degli anziani. Qual è la probabilità che chi vede il
programma sia adulto? [0,4706]
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