Storia della Matematica - Lezione 2
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Storia della Matematica Lezione 2 E NRICO R OGORA1 1 Dipartimento di Matematica ”Sapienza”, Università di Roma Roma, 10 Marzo 2014 E NRICO R OGORA Storia della Matematica Matematica ellenica La tradizione greca fa risalire la nascita della matematica ellenica a Talete, cui attribuiva l’inizio dell’analisi razionale dei risultati della matematica egiziana, e a Pitagora, fondatore di una famosa associazione filosofica - scientifica - politica e religiosa. Per la matematica ellenica abbiamo una assenza totale di fonti primarie. La ricostruzione della matematica ellenica avviene solo attraverso la consultazione di fonti indirette. Consideriamo, per esempio, la figura di Talete. E NRICO R OGORA Storia della Matematica Proclo su Talete Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Si dice che Talete fu il primo a dimostrare che il cerchio è bisecato dal diametro, la causa della bisezione essendo il passaggio del segmento retto attraverso il centro. Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Si dice che Talete sia stato il primo ad aver conosciuto e ad aver enunciato [il teorema] che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, sebbene, secondo l’uso arcaico, egli descrivesse angoli uguali come simili. Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Questo teorema, che quando due linee rette si tagliano l’un l’altra, gli angoli verticali e opposti sono uguali fu scoperto per primo, come afferma Eudemo, da Talete, sebbene la dimostrazione scientifica fosse migliorata dall’autore degli Elementi. Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Sull’uguaglianza dei triangoli. Eudemo nella sua, storia della geometria attribuisce questo teorema [[che triangoli aventi uguali un lato e i due angoli adiacenti sono uguali]] a Talete. Poichè egli dice che il metodo attraverso cui Talete mostrò come calcolare la distanza di navi in mare, presuppone necessariamente questo metodo. E NRICO R OGORA Storia della Matematica Diogene Laerzio su Talete Diogene Laerzio, dale Vite dei Filosofi: Panfilo dice che, avendo imparato la geometria presso gli egiziani, egli fu il primo a inscrivere in un cerchio un triangolo rettangolo, e che sacrificò un bue in onore di questa scoperta. E NRICO R OGORA Storia della Matematica Plutarco su Talete Plutarco: Dal Simposio dei sette saggi Il re ti ammira molto e in particolare egli si compiacque immensamente del tuo metodo per misurare le piramidi, perché senza alcun clamore e senza chiedere strumento alcuno, semplicemente drizzasti il tuo bastone al bordo dell’ombra della piramide e con i due triangoli formati con i raggi del sole intercettati [dalla piramide e dal bastone], tu dimostrasti che l’altezza della piramide aveva il medesimo rapporto con il bastone della lunghezza dell’ombra della piramide con quella dell’ombra del bastone. E NRICO R OGORA Storia della Matematica Talete e il calcolo dell’altezza della piramide E NRICO R OGORA Storia della Matematica Teorema di Talete Si attribuisce impropriamente a Talete anche il seguente teorema: un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di esse classi di segmenti direttamente proporzionali E NRICO R OGORA Storia della Matematica Osservazioni sui risultati attribuiti a Talete 1. Secondo Proclo, che riporta l’opinione di Eudemo, autore di una storia dela geometria andata perduta, Talete avrebbe dimostrato che un diametro divide un cerchio in due parti uguali e che angoli opposti al vertice sono eguali. Non è possibile però che affermazioni cosı̀ apparentemente ovvie siano state i primi oggetti di dimostrazione. L’utilità del metodo dimostrativo deve essere stata notata per dimostrare affermazioni non evidenti. (cfr. Neugebauer p. 179)) 2. L’attribuzione a Talete del teorema sulla congruenza dei triangoli è basata su un fraintendimento di Eudemo. Egli afferma che l’applicazione della tesi del teorema implica che il teorema deve essere stato precedentemente dimostrato. Questo fraintendimento mostra la difficoltà di concepire l’idea di dimostrazione come era concepita da Euclide, cioè come logica conseguenza di un piccolo insieme di postulati. Quale idea di dimostrazione avevano i greci nell’età ellenica? La dimostrazione contenuta nel Menone dell’uguaglianza del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con il doppio del quadrato costruito su un cateto da leggere, getta luce sulla questione. E NRICO R OGORA Storia della Matematica Aporie Nello sviluppo della matematica ellenica, sembra che un ruolo importante sia stato giocato alcune aporie, cioè conseguenze contraddittorie ottenute da certe premesse. 1 Incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato Paradossi di Zenone Queste aporie si presentarono come argomenti filosofici che mettevano in discussione una concezione filosofica del mondo. Le aporie mostrano quanto siano delicati i concetti di spazio, tempo e infinito e l’inadeguatezza del linguaggio ordinario per trattare tali questioni. Esse scompaiono quando vengono considerate all’interno di un adeguato modello matematico di spazio e di movimento di cui però rimane parzale e problematica la corrispondenza con il reale. 2 E NRICO R OGORA Storia della Matematica I Pitagorici per primi si applicarono alle matematiche e le fecero progredire e, nutriti dalle medesime, credettero che i principi di queste fossero principi di tutti gli esseri. E, poiché nelle matematiche i numeri sono per loro natura i principi primi, e appunto nei numeri essi ritenevano di vedere, più che nel fuoco e nella terra e nell’acqua, molte somiglianze con le cose che sono e che si generano [...] pensarono che gli elementi dei numeri fossero elementi di tutte le cose. Aritotele, Metafisica, A5, 985-b24-986a2 Geometricamente sembra che i pitagorici pensassero una unità numerica come un punto esteso o una sfera estremamente piccola. [[Riferimenti??]] E NRICO R OGORA Storia della Matematica L’incommensurabilità tra segmenti Secondo la concezione filosofica dei pitagorici doveva esistere una unità geometrica fondamentale, analoga all’unità dei numeri naturali. Questo implica che ogni coppia di segmenti debba ammettere un sottomultiplo comune. L’incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato mostra l’incoerenza della filosofia naturale pitagorica. Per i Pitagorici non si tratta semplicemente di aver scoperto che esistono rapporti non razionali, ma di aver scoperto che il loro mondo è contraddittorio La reazione dei pitagorici è di comprensibile sgomento. E NRICO R OGORA Storia della Matematica La scoperta dell’irrazionalità Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici, ma che, per aver divulgato per primo la costruzione della sfera di dodici pentagoni, perisse in mare come empio:. . . (246)Colui che per primo rivelò la natura delle grandezze commensurabili e incommensurabili agli indegni di partecipare a tali cognizioni, si dice che incorresse in tanto odio che non solo fu escluso da ogni compagnia e convivenza, ma anche gli fu costruita una tomba, come se colui, ch’era una volta un compagno, avesse davvero cessato di vivere. (247)Altri dicono che anche la divinità si adirasse con i divulgatori delle dottrine di Pitagora. Perı̀ infatti come empio in mare colui che rivelò come s’iscrive nella sfera l’icosagono, cioè il dodecaedro, una delle cinque figure dette solide. Alcuni però narrano che questo accadesse a colui che aveva propagato la dottrina degli irrazionali άλογος e degli incommensurabili Giamblico (245-325 d.c.) E NRICO R OGORA Storia della Matematica Aristotele sulla dimostrazione dell’irrazionalità Aristotele, nella sua esposizione del metodo di ragionamento per assurdo, in Primi Analitici (41a 24- 50a 37), rimanda alla dimostrazione dell’irrazionalità del rapporto tra lato e diagonale del quadrato in questo modo: se il lato e la diagonale sono supposti commensurabili, si può dedurre che i numeri dispari sono uguali ai numeri pari; questo assurdo ci dà l’incommensurabilità delle grandezze considerate. Una dimostrazione completa secondo queste linee ci è pervenuta come scholio (commento ) al decimo libro di Euclide. Linee essenziali della dimostrazione: Detto α il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato, supponiamo che α = m/n sia razionale e che m ed n siano ridotti ai minimi termini. Per il teorema di Pitagora relativo ai triangoli rettangoli isosceli (cfr. Platone,Menone (82b-85b), m2 /n2 = 2, quindi m2 = 2n2 è pari, allora m è pari, quindi m2 è divisibile per 4, quindi n2 è divisibile per 2, quindi n è pari e questo mostra l’assurdo. E NRICO R OGORA Storia della Matematica Uno spunto didattico Secondo i pitgorici ogni coppia di segmenti deve ammettere una unità comune. Come trovarla? Un procedimento geometrico semplice consiste nel sostituire ad una coppia (σ, τ ) (con σ ≥ τ ) la coppia (σ − τ, τ ), iterando la sostituzione fino ad arrivare ad una coppia del tipo (γ, 0). l’unità comune cercata è γ. Questo algoritmo è descritto negli Elementi e, trasportato ai numeri interi e modificato prendendo il resto invece della differenza, ovvero sostituendo a (a, b) la coppia (b, r ), dove r è il resto della divisione di a per b, è il ben noto algorito euclideo per il calcolo del massimo comune divisore tra due numeri. Si chiede Implementare su Cabri l’operatore differenza e l’algoritmo geometrico per il MCD. Applicare l’algoritmo ad alcune coppie e verificare la plausibilità della convergenza Usare la funzione ingrandimento di CABRI per discutere la plausibilità della convergenza relativamente alla coppia lato diagonale del quadrato. Trovare una coppia di segmenti per cui si capisca per ragioni geometriche che il procedimento non può avere fine perchè si ripresentano ad ogni passo coppie simili alle precedenti (rapporto aureo). Il metodo offre anche la possibilità di calcoli approssimati di rapporti non razionali? E NRICO R OGORA Storia della Matematica Eudosso Se per i pitagorici la scoperta dei rapporti irrazionali è inconciliabile con la loro filosofia del mondo, per i matematici si tratta invece di elaborare una teoria capace di trattare anche i rapporti non razionali. La scoperta dell’irrazionalità ha probabilmente portato a riconsiderare l’intero edificio della geometria elementare in modo da includere nella teoria delle proporzioni i rapporti non razionali. La soluzione di Eudosso è quella di rinunciare a trattare i rapporti irrazionali in maniera aritmetica, ma di considerarli geometricamente, secondo la teoria esposta nel quinto libro degli elementi di Euclide. E NRICO R OGORA Storia della Matematica La matematica ellenistica: gli elementi di Euclide Il testo degli fu composto intorno al 300 a.c. È il testo esemplare della matematica ellenistica. È costituito da 13 libri. I primi quattro libri trattano della geometria piana senza la teoria delle proporzioni. 1 Primo libro: 3 serie di principi (definizioni, postulati, nozioni comuni). Si tratta la teoria dell’uguglianza di triangoli e dell’equivalenza di poligoni. I risultati principali sono la somma degli angoli di un triangolo è pari a un angolo piatto il quadrato costruito sull’ipotenesu di un triangolo rettangolo è uguale ai quadrati costruiti sui cateti. 2 Secondo libro: costruzione del quadrato equivalente a un poligono qualsiasi. 3 Terzo libro: Proprietà del cerchio. 4 Costruzioni relative ai poligoni regolari E NRICO R OGORA Storia della Matematica La teoria delle proporzioni, l’algebra geometrica, la teoria degli irrazionali e la geometria solida Il quinto libro contiene una esposizione generale della teoria delle proporzioni, relativa a rapporti qualsiasi, anche irrazionali. Il sesto libro applica la teoria delle proporzioni alla geometria piana. Nel settimo, ottavo e nono libro viene esposta la teoria geometrica delle grandezze intere. Viene discusso l’algoritmo per il calcolo del massimo comun divisore di due grandezze intere e si dimostra l’infinità dei numeri primi. Il decimo libro tratta delle irrazionalità. I libri XI, XII e XIII trattano della geometria dello spazio E NRICO R OGORA Storia della Matematica
