Storia della Matematica
Lezione 2
E NRICO R OGORA1
1
Dipartimento di Matematica
”Sapienza”, Università di Roma
Roma, 10 Marzo 2014
E NRICO R OGORA
Storia della Matematica
Matematica ellenica
La tradizione greca fa risalire la nascita della matematica ellenica a
Talete, cui attribuiva l’inizio dell’analisi razionale dei risultati della
matematica egiziana, e a Pitagora, fondatore di una famosa
associazione filosofica - scientifica - politica e religiosa.
Per la matematica ellenica abbiamo una assenza totale di fonti
primarie. La ricostruzione della matematica ellenica avviene solo
attraverso la consultazione di fonti indirette. Consideriamo, per
esempio, la figura di Talete.
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Proclo su Talete
Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Si dice che Talete fu il
primo a dimostrare che il cerchio è bisecato dal diametro, la causa
della bisezione essendo il passaggio del segmento retto attraverso il
centro.
Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Si dice che Talete sia
stato il primo ad aver conosciuto e ad aver enunciato [il teorema] che
gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, sebbene,
secondo l’uso arcaico, egli descrivesse angoli uguali come simili.
Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Questo teorema, che
quando due linee rette si tagliano l’un l’altra, gli angoli verticali e
opposti sono uguali fu scoperto per primo, come afferma Eudemo, da
Talete, sebbene la dimostrazione scientifica fosse migliorata
dall’autore degli Elementi.
Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Sull’uguaglianza dei
triangoli. Eudemo nella sua, storia della geometria attribuisce questo
teorema [[che triangoli aventi uguali un lato e i due angoli adiacenti
sono uguali]] a Talete. Poichè egli dice che il metodo attraverso cui
Talete mostrò come calcolare la distanza di navi in mare, presuppone
necessariamente questo metodo.
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Diogene Laerzio su Talete
Diogene Laerzio, dale Vite dei Filosofi: Panfilo dice che, avendo
imparato la geometria presso gli egiziani, egli fu il primo a inscrivere
in un cerchio un triangolo rettangolo, e che sacrificò un bue in onore
di questa scoperta.
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Plutarco su Talete
Plutarco: Dal Simposio dei sette saggi
Il re ti ammira molto e in particolare egli si compiacque
immensamente del tuo metodo per misurare le piramidi, perché
senza alcun clamore e senza chiedere strumento alcuno,
semplicemente drizzasti il tuo bastone al bordo dell’ombra della
piramide e con i due triangoli formati con i raggi del sole intercettati
[dalla piramide e dal bastone], tu dimostrasti che l’altezza della
piramide aveva il medesimo rapporto con il bastone della lunghezza
dell’ombra della piramide con quella dell’ombra del bastone.
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Talete e il calcolo dell’altezza della piramide
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Teorema di Talete
Si attribuisce impropriamente a Talete anche il seguente teorema:
un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determina su di
esse classi di segmenti direttamente proporzionali
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Osservazioni sui risultati attribuiti a Talete
1. Secondo Proclo, che riporta l’opinione di Eudemo, autore di una
storia dela geometria andata perduta, Talete avrebbe dimostrato che
un diametro divide un cerchio in due parti uguali e che angoli opposti
al vertice sono eguali. Non è possibile però che affermazioni cosı̀
apparentemente ovvie siano state i primi oggetti di dimostrazione.
L’utilità del metodo dimostrativo deve essere stata notata per
dimostrare affermazioni non evidenti. (cfr. Neugebauer p. 179))
2. L’attribuzione a Talete del teorema sulla congruenza dei triangoli è
basata su un fraintendimento di Eudemo. Egli afferma che
l’applicazione della tesi del teorema implica che il teorema deve
essere stato precedentemente dimostrato. Questo fraintendimento
mostra la difficoltà di concepire l’idea di dimostrazione come era
concepita da Euclide, cioè come logica conseguenza di un piccolo
insieme di postulati.
Quale idea di dimostrazione avevano i greci nell’età ellenica? La
dimostrazione contenuta nel Menone dell’uguaglianza del quadrato
costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con il
doppio del quadrato costruito su un cateto da leggere, getta luce
sulla questione.
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Aporie
Nello sviluppo della matematica ellenica, sembra che un ruolo
importante sia stato giocato alcune aporie, cioè conseguenze
contraddittorie ottenute da certe premesse.
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Incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato
Paradossi di Zenone
Queste aporie si presentarono come argomenti filosofici che
mettevano in discussione una concezione filosofica del mondo.
Le aporie mostrano quanto siano delicati i concetti di spazio, tempo e
infinito e l’inadeguatezza del linguaggio ordinario per trattare tali
questioni. Esse scompaiono quando vengono considerate all’interno
di un adeguato modello matematico di spazio e di movimento di cui
però rimane parzale e problematica la corrispondenza con il reale.
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I Pitagorici per primi si applicarono alle matematiche e le fecero
progredire e, nutriti dalle medesime, credettero che i principi di
queste fossero principi di tutti gli esseri. E, poiché nelle matematiche
i numeri sono per loro natura i principi primi, e appunto nei numeri
essi ritenevano di vedere, più che nel fuoco e nella terra e nell’acqua,
molte somiglianze con le cose che sono e che si generano [...]
pensarono che gli elementi dei numeri fossero elementi di tutte le
cose.
Aritotele, Metafisica, A5, 985-b24-986a2
Geometricamente sembra che i pitagorici pensassero una unità
numerica come un punto esteso o una sfera estremamente piccola.
[[Riferimenti??]]
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L’incommensurabilità tra segmenti
Secondo la concezione filosofica dei pitagorici doveva esistere una
unità geometrica fondamentale, analoga all’unità dei numeri naturali.
Questo implica che ogni coppia di segmenti debba ammettere un
sottomultiplo comune.
L’incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato mostra
l’incoerenza della filosofia naturale pitagorica. Per i Pitagorici non si
tratta semplicemente di aver scoperto che esistono rapporti non
razionali, ma di aver scoperto che il loro mondo è contraddittorio
La reazione dei pitagorici è di comprensibile sgomento.
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La scoperta dell’irrazionalità
Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici, ma che, per aver
divulgato per primo la costruzione della sfera di dodici pentagoni,
perisse in mare come empio:. . . (246)Colui che per primo rivelò la
natura delle grandezze commensurabili e incommensurabili agli
indegni di partecipare a tali cognizioni, si dice che incorresse in tanto
odio che non solo fu escluso da ogni compagnia e convivenza, ma
anche gli fu costruita una tomba, come se colui, ch’era una volta un
compagno, avesse davvero cessato di vivere. (247)Altri dicono che
anche la divinità si adirasse con i divulgatori delle dottrine di Pitagora.
Perı̀ infatti come empio in mare colui che rivelò come s’iscrive nella
sfera l’icosagono, cioè il dodecaedro, una delle cinque figure dette
solide. Alcuni però narrano che questo accadesse a colui che aveva
propagato la dottrina degli irrazionali άλογος e degli incommensurabili
Giamblico (245-325 d.c.)
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Aristotele sulla dimostrazione dell’irrazionalità
Aristotele, nella sua esposizione del metodo di ragionamento per
assurdo, in Primi Analitici (41a 24- 50a 37), rimanda alla
dimostrazione dell’irrazionalità del rapporto tra lato e diagonale del
quadrato in questo modo: se il lato e la diagonale sono supposti
commensurabili, si può dedurre che i numeri dispari sono uguali ai
numeri pari; questo assurdo ci dà l’incommensurabilità delle
grandezze considerate.
Una dimostrazione completa secondo queste linee ci è pervenuta
come scholio (commento ) al decimo libro di Euclide.
Linee essenziali della dimostrazione:
Detto α il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato, supponiamo
che α = m/n sia razionale e che m ed n siano ridotti ai minimi
termini. Per il teorema di Pitagora relativo ai triangoli rettangoli
isosceli (cfr. Platone,Menone (82b-85b), m2 /n2 = 2, quindi m2 = 2n2
è pari, allora m è pari, quindi m2 è divisibile per 4, quindi n2 è
divisibile per 2, quindi n è pari e questo mostra l’assurdo.
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Uno spunto didattico
Secondo i pitgorici ogni coppia di segmenti deve ammettere una unità comune. Come
trovarla? Un procedimento geometrico semplice consiste nel sostituire ad una coppia
(σ, τ ) (con σ ≥ τ ) la coppia (σ − τ, τ ), iterando la sostituzione fino ad arrivare ad una
coppia del tipo (γ, 0). l’unità comune cercata è γ.
Questo algoritmo è descritto negli Elementi e, trasportato ai numeri interi e modificato
prendendo il resto invece della differenza, ovvero sostituendo a (a, b) la coppia (b, r ),
dove r è il resto della divisione di a per b, è il ben noto algorito euclideo per il calcolo
del massimo comune divisore tra due numeri.
Si chiede
Implementare su Cabri l’operatore differenza e l’algoritmo geometrico per il MCD.
Applicare l’algoritmo ad alcune coppie e verificare la plausibilità della
convergenza
Usare la funzione ingrandimento di CABRI per discutere la plausibilità della
convergenza relativamente alla coppia lato diagonale del quadrato.
Trovare una coppia di segmenti per cui si capisca per ragioni geometriche che il
procedimento non può avere fine perchè si ripresentano ad ogni passo coppie
simili alle precedenti (rapporto aureo).
Il metodo offre anche la possibilità di calcoli approssimati di rapporti non
razionali?
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Eudosso
Se per i pitagorici la scoperta dei rapporti irrazionali è inconciliabile
con la loro filosofia del mondo, per i matematici si tratta invece di
elaborare una teoria capace di trattare anche i rapporti non razionali.
La scoperta dell’irrazionalità ha probabilmente portato a riconsiderare
l’intero edificio della geometria elementare in modo da includere nella
teoria delle proporzioni i rapporti non razionali.
La soluzione di Eudosso è quella di rinunciare a trattare i rapporti
irrazionali in maniera aritmetica, ma di considerarli geometricamente,
secondo la teoria esposta nel quinto libro degli elementi di Euclide.
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La matematica ellenistica: gli elementi di Euclide
Il testo degli fu composto intorno al 300 a.c. È il testo esemplare della
matematica ellenistica.
È costituito da 13 libri. I primi quattro libri trattano della geometria
piana senza la teoria delle proporzioni.
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Primo libro: 3 serie di principi (definizioni, postulati, nozioni
comuni). Si tratta la teoria dell’uguglianza di triangoli e
dell’equivalenza di poligoni. I risultati principali sono la somma
degli angoli di un triangolo è pari a un angolo piatto il quadrato
costruito sull’ipotenesu di un triangolo rettangolo è uguale ai
quadrati costruiti sui cateti.
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Secondo libro: costruzione del quadrato equivalente a un
poligono qualsiasi.
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Terzo libro: Proprietà del cerchio.
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Costruzioni relative ai poligoni regolari
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La teoria delle proporzioni, l’algebra geometrica, la
teoria degli irrazionali e la geometria solida
Il quinto libro contiene una esposizione generale della teoria
delle proporzioni, relativa a rapporti qualsiasi, anche irrazionali.
Il sesto libro applica la teoria delle proporzioni alla geometria
piana.
Nel settimo, ottavo e nono libro viene esposta la teoria
geometrica delle grandezze intere. Viene discusso l’algoritmo
per il calcolo del massimo comun divisore di due grandezze
intere e si dimostra l’infinità dei numeri primi.
Il decimo libro tratta delle irrazionalità.
I libri XI, XII e XIII trattano della geometria dello spazio
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