FUNZIONE REALE IN UNA VARIABILE REALE
IL CAMPO DI ESITENZA
Si dice campo di esistenza (C.E.) di una funzione y= f(x), l'insieme di tutti i valori reali che assegnati alla variabile
indipendente x permettono di determinare il valore reale assunto dalla variabile dipendente y.
CONDIZIONI PER DETERMINARE IL C.E. di y=f(x)
funzione
condizione
esempio
Il denominatore va
posto ≠ 0
2x - 4
7x - 21
C.E. 7x-21 ≠ 0 x ≠ 3
y=
Se la x compare al denominatore
……………………………..
Se la x compare nel radicando di
una radice con indice pari
Il radicando va posto
>0
y = 4 10 - 2x
C.E.
10-2x> 0
x<5
…………….
ATTENZIONE se in una funzione si presentano piu' casi contemporaneamente, le condizioni relative a ogni singolo
caso vanno poste in sistema.
Esempio 1- Si calcoli il C.E. della seguente funzione e lo si rappresenti sul piano cartesiano, indicando da quanti rami
e' costituito il grafico della funzione
C.E.
quindi il C.E. e': (- ∞ ;-5)U (-5;-1]U [1;+ ∞ )
Esempi-Si calcoli il C.E. delle seguenti funzioni e lo si rappresenti sul piano cartesiano
y= 4x4-3x+1
C.E. (- ∞;+ ∞ )
la funzione è formata da un solo ramo
y=1/(x4-5x2+4)
2
2
C.E. x4-5x2+4 ≠0 con la sostituzione x =t ottengo t -3t+2 ≠0
la risolvo t ≠1 e t ≠4
x2 ≠1 e x2 ≠4
x ≠+1 e x ≠+ 2
C.E. . (- ∞;-2)U(-2;-1)U(1;2)U(2;+ ∞ )
1
ESERCIZI
Si calcoli il C.E. della seguente funzione e lo si rappresenti sul piano cartesiano, indicando da quanti rami e' costituito
il grafico della funzione
x 2 - 4x
y= 2
x - 7x + 10
y=
2x + 1
x +3
y = 9 - x2
y=
2x
3
x -x
y=
y=
x-4
3 - 7x
y=
x-4
x -1
y = x -1
y = 3 x+2
x 2 - 4x
x 4 - 10x 2 + 9
INTERSEZIONI DI UNA FUNZIONE CON GLI ASSI CARTESIANI
INTERSEZIONE CON L’ASSE x :
INTERSEZIONE CON L’ASSE Y :
ESEMPIO 1
Determinare le intersezioni con gli assi di
Il suo C. E. e’ (- ∞ ;+ ∞ )
intersezioni con gli assi:
risolvo l’equazione x4-4x2 =0
y= x4-4x2
risultati x=0;2;-2
TALI VALORI DI x SONO ACCETTABILI POICHE' STANNO NEL CAMPO DI ESISTENZA DELLA
FUNZIONE
quindi i punti di intersezione con l’asse delle x sono :
O(0,0) ; A(2,0) ; B(-2,0)
come intersezione con l'asse delle y si trova nuovamente l'origine O(0,0)
ESEMPIO 2 Determinare le intersezioni con gli assi di
Il suo C. E. e’ (- ∞ ;-5) U (0;+ ∞ )
intersezioni con gli assi:
;
;
;
tale punto di intersezione non e' accettabile perche' escluso dal campo di esistenza
NON ESISTONO INTERSEZIONI CON L'ASSE x
impossibile
NON ESISTONO INTERSEZIONI CON L'ASSE DELLE y, infatti tale asse e' escluso dal campo di
esistenza della funzione.
2
Esercizi
Determina il C.E. e le intersezioni con gli assi delle seguenti funzioni. Riporta i risultati sul piano
cartesiano
y=
x2 - 4
x
y=
x 2 + 5x - 6
2x 2 - 3x - 5
y= 2x3 -3x2 + 1
y= x2-x3
y=
x 2 + 5x
x 2 + 10x + 25
SEGNO DI UNA FUNZIONE
Dopo aver calcolato il campo di esistenza e le intersezioni con gli assi di y=f(x), si determinano gli intervalli in cui il
suo grafico si trova "sopra" l'asse delle x ( i punti della funzione hanno ordinata positiva y>0) e gli intervalli in cui il
suo grafico sta "sotto" l'asse delle x ( i punti della funzione hanno ordinata negativa y<0).
Il procedimento consiste nel risolvere la disequazione y>0 e confrontare tali risultati con il campo di esistenza.
Soluzione di
Funzione
Grafico
positiva
"sopra" l'asse delle x
negativa
"sotto" l'asse delle x
Esempio : Determinare C.E., intersezioni con gli assi e segno di
C.E. (- ∞ ;+ ∞ )
y= x3-9x
Intersezioni con gli assi:
O(0,0) ; A(-3,0); B(3,0)
Segno:y>0
x3-9x>0
trovo nuovamente l'origine O (0,0)
Il grafico si trova nella parte di piano in bianco
;
x(x2-9)>0
I° fattore >0
x>0
II° fattore >0
x<-3 U x>3
x2 -9>0 ;
Esercizi da risolvere :
sul piano cartesiano
ricavare C.E. , intersezioni con gli assi e segno delle seguenti funzioni riportando i risultati
x 2 - 5x - 6
y= 2
x - 3x + 2
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I LIMITI
LE FORME INDETERMINATE
Il calcolo dei limiti e’ complesso solo nel caso delle forme indeterminate, forme in cui si rende necessario ricorrere ad
artifici per giungere a un risultato.
Tutti i vari metodi e procedimenti sono finalizzati a trasformare il limite in uno equivalente che non risulti
indeterminato.
LA FORMA INDETERMINATA ∞-∞
IL LIMITE DI UN POLINOMIO PER X che tende a ∞
Il limite di un polinomio per x che tende all'infinito da spesso luogo alla forma indeterminata ∞-∞ :
Per eliminare l'indeterminazione si deve :
raccogliere la x di grado massimo
ricordare che nel calcolo dei limiti numero/infinito tende a 0
calcolare il limite che, a questo punto, non si presenta piu' nella forma indeterminata
Dai precedenti esempi si puo' dedurre la seguente regola pratica:
IL LIMITE PER X CHE TENDE AD INFINITO DI UN POLINOMIO E' EQUIVALENTE AL LIMITE PER X CHE
TENDE AD INFINITO DEL SUO TERMINE DI GRADO MASSIMO
LE FORMA INDETERMINATA ∞/∞
IL LIMITE DEL RAPPORTO DI DUE POLINOMI Per x tendente ad infinito
4
Calcolando il limite per x che tende ad infinito , di una frazione algebrica avente sia la numeratore che al
denominatore un polinomio si verifica sempre la forma indeterminata ∞/∞ .
L'indeterminazione si elimina :
considerando sia al numeratore che al denominatore le x di grado massimo
semplificando la frazione ottenuta
calcolando il limite che non si presentera' piu' in una forma indeterminata
6x 4 + x + 3
6x 4
2
=
lim
2
2 = lim 6 x = +∞
x →∞ 1 + x + x
x →∞ x
x →∞
lim
LA FORMA INDETERMINATA 0/0
PRIMO CASO: LA FUNZIONE E’ ALGEBRICA RAZIONALE FRATTA
In questo caso il numeratore e il denominatore sono dei polinomi.
L'indeterminazione si elimina:
scomponendo numeratore e denominatore usando eventualmente il metodo di Ruffini
semplificando la frazione algebrica
Poiché x tende a zero basta raccogliere le x al
numeratore e al denominatore e poi semplificare
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Esercizi da svolgere
Calcola tutti i limiti precedenti senza guardare il procedimento e poi svolgi i seguenti
Esercizi: studia le seguenti funzioni e traccia il grafico probabile
y= (3x2-1)/x
y = (x+1)3/(x-1)2
ESERCIZI TIPO VERIFICA di RECUPERO del primo quadrimestre (ultima settimana di gennaio o prima
settimana di febbraio )
Per ciascuna delle seguenti funzioni determina C.E. , Intersezioni con gli assi , segno, limiti tracciando il loro grafico
probabile
y= x3-x
y= x4-7x2+6
y=(x2-2x)/(x2-4x+4)
y= x3/(x2+5x+4)
y = (x3+1)/(x2-9)
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