ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI
MATEMATICA: quinto foglio
A. Figà Talamanca
14 ottobre 2010
2
0.1
Ancora limiti di funzioni di variabile reale
Esercizio 1 Sia f (x) = [sin x] definita nell’insieme [0, 2π]. In altre parole
f (x) è il più grande intero minore o uguale a sin x. Disegnare il grafico di f
e determinare per quali a ∈ [0, 2π] esiste il limite,
lim f (x),
x→a
e se esiste calcolarlo.
Definizione 1 Sia f una funzione definita su un insieme A che è l’unione
di un numero finito di intervalli. Supponiamo che a ∈ A, oppure che a sia
un estremo degli intervalli che costituiscono A. Allora l’espressione
lim f (x) = +∞,
x→a
significa che per ogni M ∈ R esiste δ > 0 tale che se 0 < |x − a| < δ allora
f (x) > M .
L’espressione
lim f (x) = −∞,
x→a
significa che per ogni M ∈ R esiste δ > 0 tale che se 0 < |x − a| < δ allora
f (x) < M .
Esercizio 2 Dimostrare che
1
= +∞.
x→0 x2
lim
Dobbiamo osservare che se consideriamo la funzione f (x) = x1 definita nell’insieme A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), il limx→0 x1 non esiste, perché in ogni
intervallo aperto che contiene 0, la funzione assume valori opposti arbitrariamente grandi. Se invece consideriamo la stessa funzione definita nell’insieme
A+ = (0, +∞), risulta che il limite per x → 0 esiste ed è +∞. Similmente se consideriamo la stessa funzione definita nell’insieme A− = (−∞, 0)
il limite per x → 0 esiste ed è −∞. Ma anche per i limiti finiti si prex
, non
senta una situazione analoga. Abbiamo visto che limx→0 f (x) = |x|
esiste se questa funzione è considerata una funzione definita sull’insieme
A = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), mentre invece i limiti esistono e sono, rispettivamente +1 e −1, se il dominio di questa funzione è limitato agli insiemi
A+ e A− indicati sopra. Questo ci conduce a parlare dei limiti a destra e a
sinistra come faremo nella sezione che segue.
0.2. LIMITI A DESTRA E LIMITI A SINISTRA
0.2
3
Limiti a destra e limiti a sinistra
Definizione 2 Sia f una funzione definita su un insieme A che è unione di
un numero finito di intervalli. Sia a un elemento di A oppure un estremo
sinistro di uno degli intervalli che compongono A. Diremo che
lim f (x) = L,
x→a+
se per ogni ε > 0 esiste δ > 0, tale che se a < x < a + δ allora |f (x) − L| < ε.
Si dice allora che il limite per x che tende ad a da destra esiste ed è uguale
ad L.
Esercizio 3 Definite che cosa si intende per limite per x che tende ad a da
sinistra.
Esercizio 4 Dimostrare che la funzione f (x) = [x] (parte intera di x ammette sempre limiti da destra e da sinistra e che tali limiti sono diversi se e
solo se a è un numero intero.
Esercizio 5 Discutere l’esistenza dei limiti da destra e da sinistra della
funzione f (x) = [sin x] definita su tutto R.
0.3
Limiti all’infinito
Definizione 3
1. Se f è una funzione definita su una semiretta [a, +∞)
e L è un numero reale l’espressione
lim f (x) = L,
x→+∞
significa che per ogni ε > 0 esiste M ∈ R tale che, per ogni x > M
risulta |f (x) − L| < ε
2. Se f è una funzione definita su una semiretta [a, +∞) l’espressione
lim f (x) = +∞,
x→+∞
significa che per ogni b ∈ R esiste M ∈ R tale che se x > M allora
f (x) > b.
Esercizio 6 Definire che cosa si intende per
lim f (x) = −∞
x→+∞
4
lim f (x) = L ∈ R,
x→−∞
lim f (x) = +∞,
x→−∞
lim f (x) = −∞
x→−∞
0.4
Ancora sulle funzioni continue e discontinue
L’esercizio che segue è veramente difficile. Nessuno deve scoraggiarsi se non
riesce a svolgerlo. Per i più bravi vale però la pena di tentare.
Esercizio 7 Sia f la funzione cosı̀ definita nell’intervallo [0, 1]:
f (x) = 0 se x è irrazionale
f (0) = f (1) = 1
f (x) = 1/q se 0 < x < 1 è un razionale della forma x = p/q con p e q
interi primi tra loro.
Dimostrare che f è continua in tutti i numeri irrazionali ed è discontinua
in tutti i numeri razionali.
Esercizio 8 Trovare intervalli di lunghezza non più grande di 1/2 in cui si
annullano i polinomi
1.
x3 + x2 + x + 1,
2.
x3 − x2 + x − 1
3.
x3 + x2 − x + 1
Esercizio 9 Sia f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 un polinomio di
grado n. Dimostrare che se n è pari
lim f (x) = lim f (x),
x→∞
x→−∞
e che se n è dispari
lim f (x) = − lim f (x).
x→∞
x→−∞
(Si tratta di limiti infiniti in ambedue i casi)
0.4. ANCORA SULLE FUNZIONI CONTINUE E DISCONTINUE
5
Esercizio 10 Dimostrare che se un polinomio di grado pari assume un valore
negativo ed un valore positivo, allora assume il valore zero in almeno due
punti distinti.
Esercizio 11 Utilizzando il teorema dei valori intermedi dimostrare che, se
n è un numero intero positivo, la funzione f (x) = xn definita in [0, +∞)
assume tutti i valori reali positivi. Utilizzando la crescenza di questa funzione
dimostrare che ogni valore è assunto√
una sola volta, e che pertanto per x > 0
−1
n
è ben definita la funzione f (x) = x
Esercizio 12 Trovare una funzione definita e continua in tutti i punti dell’intervallo (0, 1) che non è limitata superiormente, ma è limitata inferiormente.
Esercizio 13 Trovare una funzione definita e continua in tutti i punti dell’intervallo (0, 1) che non è limitata né superiormente né inferiormente.
Esercizio 14 Trovare una funzione continua in tutti i punti dell’intervallo
(0, 1) che è superiormente limitata ma che non ammette un punto di massimo
assoluto
Esercizio 15 Sia E = [1, 2]. Trovare funzioni f a valori reali definite su E
con le proprietà seguenti
1. f è continua in tutti i punti di E tranne un punto.
2. f ha solo una discontinuità eliminabile in E
3. f ha esattamente due discontinuità di cui una eliminabile e l’altra di
prima specie
4. f ha esattamente tre discontinuità di prima specie.
5. f ha una sola discontinità che è di seconda specie.