Infinitesimi ed infiniti

Infinitesimi ed infiniti
Una funzione y = f (x) è infinitesima (o anche: f (x) infinitesimo) per x → ξ, con
ξ ∈ ℜ o ∞, se
lim f (x) = 0.
x→ξ
È necessario a volte confrontare due infinitesimi “simultanei” per x → ξ e determinare
quale dei due tende più “velocemente” (o anche “rapidamente”) a zero; si può effettuare
ciò risolvendo il limite per x → ξ del rapporto degli infinitesimi.
(x)
, che si presenta
Se f (x) e g(x) sono due infinitesimi simultanei per x → ξ, il lim fg(x)
x→ξ
nella forma di indecisione
0
,
0
può risolversi in uno solo dei seguenti casi:
f (x)
g(x)
= 0, f (x) è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g(x),
x→ξ
b) se lim
x→ξ
f (x)
g(x)
c) se lim
f (x)
g(x)
= ∞, f (x) è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g(x),
a) se lim
x→ξ
d) se lim
x→ξ
f (x)
g(x)
= l (con l 6= 0), f (x) e g(x) sono infinitesimi dello stesso ordine,
6 ∃ , f (x) e g(x) non sono confrontabili.
Si può definire l’ordine dell’infinitesimo, una specie di grado di “rapidità”, per poter
confrontare con “agilità ed eleganza” gli infinitesimi; ciò si può fare confrontando un
infinitesimo con un infinitesimo campione (o anche principale) ϕ(x), una sorta di unità
di misura per la “rapidità” dell’infinitesimo. L’infinitesimo campione si definisce solitamente come la più semplice funzione infinitesima per x → ξ, come evidenziato nella
seguente tabella (1) :
se x → 0
se x → ∞
se x → ξ (con ξ 6= 0)
ϕ(x) = |x|
1
ϕ(x) =
|x|
ϕ(x) = |x − ξ|
Una funzione f (x) è un infinitesimo di ordine λ (con λ > 0) per x → ξ se risulta:
f (x)
= l (l 6= 0).
x→ξ |ϕ(x)|λ
lim
1 Per
evitare equivoci conviene utilizzare nella simbologia la funzione campione |ϕ(x)| al posto di ϕ(x).
C.Luviner
INFINITESIMI ed INFINITI
2
Se
lim f (x) = l
x→ξ
con (l ∈ ℜ), allora la funzione δ(x) = f (x) − l è un infinitesimo per x → ξ; potendo
anche scrivere f (x) = l + δ(x) è possibile concludere che per x → ξ la funzione f (x) si
può scrivere come la somma del suo limite l e di un infinitesimo.
Applicando quanto appena scritto al
f (x)
= l (l 6= 0)
x→ξ |ϕ(x)|λ
lim
segue che
f (x) = l · |ϕ(x)|λ + δ(x) · |ϕ(x)|λ ;
l’infinitesimo l · |ϕ(x)|λ prende il nome di “parte principale” dell’infinitesimo f (x) per
x → ξ, l’infinitesimo δ(x) · |ϕ(x)|λ prende il nome di “parte complementare” dell’infinitesimo f (x) per x → ξ.
Evidentemente la parte principale è un infinitesimo dello stesso ordine λ di f (x) mentre
la parte complementare è un infinitesimo di ordine superiore a λ; questo permette di poter
sostituire, nel calcolo dei limiti, la f (x) con la sua parte principale, cioè per x → ξ:
f (x) ∼ l · |ϕ(x)|λ .
In analogia al confronto tra infinitesimi, si procede al confronto tra infiniti. Una
funzione y = f (x) è infinita (o anche: f (x) infinito) per x → ξ, con ξ ∈ ℜ o ∞,
se
lim f (x) = ∞.
x→ξ
È necessario a volte confrontare due infiniti “simultanei” per x → ξ e determinare quale
dei due tende più “velocemente” (o anche “rapidamente”) a ∞; si può effettuare ciò
risolvendo il limite per x → ξ del rapporto degli infiniti.
(x)
, che si presenta nella
Se f (x) e g(x) sono due infiniti simultanei per x → ξ, il lim fg(x)
forma di indecisione
∞
,
∞
x→ξ
può risolversi in uno solo dei seguenti casi:
f (x)
g(x)
= 0, f (x) è un infinito di ordine inferiore rispetto a g(x),
x→ξ
b) se lim
x→ξ
f (x)
g(x)
c) se lim
f (x)
g(x)
= ∞, f (x) è un infinito di ordine superiore rispetto a g(x),
a) se lim
x→ξ
d) se lim
x→ξ
f (x)
g(x)
= l (con l 6= 0), f (x) e g(x) sono infiniti dello stesso ordine,
6∃
, f (x) e g(x) non sono confrontabili.
Anche per gli infiniti è possibile definire l’ordine, confrontando un infinito con un infinito
campione (o anche principale) ϕ(x), definito solitamente come la più semplice funzione
infinita per x → ξ, come evidenziato nella seguente tabella :
se x → ∞
se x → 0
se x → ξ (con ξ 6= 0)
ϕ(x) = |x|
1
ϕ(x) =
|x|
1
ϕ(x) = |x−ξ|
C.Luviner
INFINITESIMI ed INFINITI
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Identicamente agli infinitesimi si definiscono poi la parte principale e la parte complementare per gli infiniti; ovviamente la parte principale è un infinito dello stesso ordine
λ della funzione infinita, la parte complementare, invece, è di ordine inferiore a λ della
funzione infinita. Per confrontare in maniera sintetica le funzioni si introduce anche il
simbolo di Landau o,”o piccolo”; si dice che f (x) è o piccolo di g(x) per x → ξ , con ξ
finito o infinito e g(x) 6= 0, se
f (x)
lim
= 0.
x→ξ g(x)
Si scrive in tal caso f (x) = o(g(x)) per x → ξ (f (x) è o piccolo di g(x)); nel caso in cui
f (x) e g(x) siano infinitesimi (infiniti), o(g(x)) è infinitesimo di ordine superiore (infinito
di ordine inferiore) a g(x); scrivere f (x) = o(1) per x → ξ, vuol semplicemente esprimere
che f (x) è infinitesimo per x → ξ.
Se λ è l’ordine di infinitesimo (infinito) di f (x) per x → ξ e con parte principale l·|ϕ(x)|λ ,
si ha
f (x) = l · |ϕ(x)|λ + o(|ϕ(x)|λ ).
Ecco alcuni esempi: sin x = o(x) per x → ∞; f (x) = x2 + x diventa f (x) = x + o(x) per
x → 0, anche f (x) = x2 + o(x2 ) per x → ∞.
Di seguito vengono riportate alcune relazioni riguardanti l’algebra di o piccolo:
✄ o(kf (x)) = o(f (x)), con k costante e 6= 0
✄ o(f (x)) ± o(f (x)) = o(f (x))
✄ o(o(f (x))) = o(f (x))
✄ f (x)o(g(x)) = o(f (x)g(x))
Date due funzioni f (x) e g(x) definite in un intorno Iξ di ξ ∈ [ℜ, ∞], con g(x) 6= 0 in Iξ ,
se risulta
f (x)
lim
= 1,
x→ξ g(x)
allora f (x) è asintoticamente uguale a g(x) per x → ξ e si scrive f (x) ∼ g(x) per x → ξ
(f (x) asintotico a g(x)); nel caso le due precedenti funzioni siano degli infinitesimi (infiniti) per x → ξ, f (x) ∼ g(x) vuol dire che sono dello stesso ordine per x → ξ ed hanno la
stessa parte principale rispetto alla stessa funzione campione (f (x) e g(x) sono asintotici
alla medesima parte principale, che è evidentemente la più semplice funzione asintotica).
Di seguito vengono riportate alcune proprietà del simbolo ∼:
✄ f (x) ∼ f (x)
p. riflessiva
✄ f (x) ∼ g(x) ⇐⇒ g(x) ∼ f (x)
p. simmetrica
✄ f (x) ∼ g(x) e g(x) ∼ ϕ(x) ⇒ f (x) ∼ ϕ(x)
p. transitiva
✄ f1 (x) ∼ g1 (x) e f2 (x) ∼ g2 (x) ⇒ f1 (x)f2 (x) ∼ g1 (x)g2 (x)
✄ f1 (x) ∼ g1 (x) e f2 (x) ∼ g2 (x) ⇒
f1 (x) g1 (x)
∼
f2 (x) g2 (x)
C.Luviner
INFINITESIMI ed INFINITI
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✄ f1 (x) ∼ g1 (x) e f2 (x) ∼ g2 (x) ⇒ f1 (x) + f2 (x) ∼ g1 (x) + g2 (x)
(con f1 (x)f2 (x) > 0)
✄ f (x) ∼ g(x) ⇒ |f (x)|λ ∼ |g(x)|λ ∀ ∈ ℜ
( f (z) ∼ g(z) per z → z0
✄
lim ϕ(x) = z0
⇒ f (ϕ(x)) ∼ g(ϕ(x)) per x → ξ
(2)
x→ξ
Se per x → ξ vale la relazione f (x) ∼ g(x), allora si può anche scrivere f (x) = g(x) + o(g(x)),
infatti:
lim
x→ξ
⇒
f (x)
=1
g(x)
f (x)
= 1 + o(1)
g(x)
⇒
⇒
f (x) = g(x) + o(1)g(x)
f (x) = g(x) + o(g(x));
questo importante risultato permette, per x → ξ, di approssimare (e quindi sostituire)
una funzione f (x) con un suo asintotico g(x), trascurando i termini che sono o(g(x)).
Se, per x → ξ, è f1 (x) ∼ g1 (x) e f2 (x) ∼ g2 (x), si può allora dimostrare quanto segue:
o(g1 (x))
f1 (x)
g1 (x)
f1 (x) g1 (x) + o(g1 (x)) g1 (x)
g1 (x)
⇒ lim
=
=
·
= lim
;
x→ξ f2 (x)
x→ξ g2 (x)
f2 (x) g2 (x) + o(g2 (x)) g2 (x)
o(g2 (x))
1+
g2 (x)
Questo altro importante risultato permette di poter sostituire il limite del rapporto di
due funzioni con il limite del rapporto di due funzioni rispettivamente asintotiche alle prime.
Di seguito vengono riportate alcune relazioni fondamentali:
1+
per x → 0
sin x ∼ x
cos x ∼ 1 −
sin x = x + o(x)
x2
2
x2
+ o(x2 )
2
tan x ∼ x
tan x = x + o(x)
ax − 1 ∼ x ln a
ax − 1 = x ln a + o(x)
loga (1 + x) ∼
2 ...
cos x = 1 −
x
ln a
loga (1 + x) =
con la condizione che ϕ(x) non assuma infinite volte il valore z0 nell’intorno di ξ.
x
+ o(x)
ln a
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INFINITESIMI ed INFINITI
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arctan x ∼ x
arctan x = x + o(x)
Pn (x) = a0 xn + ... + ak xn−k ∼ ak xn−k
Pn (x) = ak xn−k + o(xn−k )
1
loga x = o
x
√
1+x−1 =
x
+ o(x)
2
per x → +∞
Pn (x) =
n
P
k=0
ak xn−k ∼ a0 xn
xα = o(ax ) ∀ > 1, ∀α ∈ ℜ+
Pn (x) = a0 xn + o(xn )
loga x = o(xα ), a > 0, a 6= 1, ∀α ∈ ℜ+
per x → −∞
x
a =o
1
|x|α
∀a > 1, ∀α ∈ ℜ+
Si può mostrare, ad esempio, per x → 0, che se per k > 0 risulta f (x) = o(xn ) + o(xn+k ),
segue che f (x) = o(xn ); infatti:
o(xn ) + xk o(xn )
o(xn ) xk o(xn )
f (x)
= lim
+
=0
lim n = lim
x→0
x→0
x→0
x
xn
xn
xn
per cui f (x) = o(xn ).
ax − 1
= ln a
x→0
x
x
segue che f (x) = a −1 è infinitesimo del primo ordine rispetto a x, preso come campione,
e con parte principale x ln a, e quindi si ha ax − 1 ∼ x ln a e ax − 1 = x ln a + o(x).
Consiglio:
Segue una verifica delle relazioni riguardanti ax −1 per x → 0: sapendo che lim
provare a
dimostrare
le altre
relazioni...
ESERCIZIO
Calcolare il
lim
x→0
ln(1 + sin 4x)
etan 5x − 1
se x → 0 anche sin 4x → 0 e tan 5x → 0, si può scrivere quindi che ln(1 + sin 4x) =
sin 4x + o(sin 4x) ed anche etan 5x − 1 = tan 5x + o(tan5x) ; applicando due volte la
sostituzione degli infinitesimi segue:
lim
x→0
ln(1 + sin 4x)
sin 4x + o(sin 4x)
sin 4x
4x + o(4x)
4x
4
=
lim
=
lim
=
lim
=
lim
=
x→0 tan 5x + o(tan 5x)
x→0 tan 5x
x→0 5x + o(5x)
x→0 5x
etan 5x − 1
5
C.Luviner
INFINITESIMI ed INFINITI
6
ESERCIZIO
lim tan2 (x) loga x = lim x2 loga x = lim x(x loga x) = 0
x→0
x→0
(3)
x→0
ESERCIZIO
√
√
2x2 + x + 1
2x2 √
lim
= lim
= 2
x→+∞
x→+∞
x−1
x
(4)
ESERCIZIO
λx
ln(1 + eλx )
=λ
(∀λ > 0);
= lim
lim √
x→+∞ x
x→+∞
1 + x2
√
in quanto, per x → +∞ , ln(1 + eλx ) ∼ ln eλx = λx e
1 + x2 ∼ x
ESERCIZIO
tan x − sin x − x3
tan x − sin x
= lim
= ... in quanto x3 è infinitesimo di ordi3
x→0
x→0
x
x3
sin x
1
1 − cos x
1
ne superiore sia rispetto a tan x che a sin x ... = lim
·
·
=
2
x→0
x
cos x
x
2
lim
Per il momento basta..... a proposito, si definisce anche “O grande”, forse ne parleremo,
oppure ne sentirete parlare all’università .... forse!
3 ...dopo aver sotituito gli infinitesimi, aver trascurato gli o piccoli (comportamenti asintotici) (vedi es. precedente) ed
aver verificato che lim (x loga x) = 0.
x→0
4 ...
per questo ed i successivi esercizi, tenere conto anche della nota precedente.