Esercitazioni di ISTITUZIONI di MATEMATICA 1

Esercitazioni di
ISTITUZIONI di MATEMATICA 1
Facoltà di Architettura
Anno Accademico 2005/2006
Antonella Ballabene
SOLUZIONI
-14 marzo 2006-
SCHEMA per lo STUDIO di FUNZIONI
1. Dominio della funzione f (x).
2. Eventuali punti di intersezione con gli assi coordinati.
3. Studio di segno della funzione.
4. Ricerca degli asintoti (orizzontali, verticali e obliqui).
5. Calcolo della derivata prima f 0 (x) e studio di segno di f 0 (x):
• studio degli intervalli di crescenza e decrescenza,
• ricerca di massimi e minimi.
6. Calcolo della derivata seconda f 00 (x) e studio di segno di f 00 (x):
• studio della concavità e convessità,
• ricerca dei flessi.
Esercizio 1. Studiare la funzione
x
−1
Il dominio della funzione è D(f ) = R-{±1} poiché è determinato dall’ insieme {x ∈ R : x2 − 1 6= 0}.
f (x) =
x2
La funzione interseca gli assi solo nell’origine O(0,0).
Studiamo il segno della funzione risolvendo la disequazione f (x) ≥ 0. Il numeratore è positivo per x ≥ 0.
Il denominatore è non negativo all’ esterno delle soluzioni {x = ±1}. Ne segue che la funzione razionale
fratta è tale che
f (x) ≥ 0
per − 1 < x ≤ 0 ∪ x > 1
f (x) < 0
per x < −1 ∪ 0 < x < 1
Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è D(f ) = R-{±1}, calcoliamo i limiti
destro e sinistro in ±1 e i limiti per x che tende a ±∞.
x
lim
= ±∞
x→−1± x2 − 1
quindi otteniamo l’ asintoto verticale x = −1.
lim
x→1±
x
= ±∞
x2 − 1
per cui si ottiene l’ asintoto verticale x = 1.
1
x
=0
x2 − 1
poiché sia il numeratore che il denominatore tendono ad infinito, ma il grado del denominatore maggiore
del grado del numeratore. Otteniamo quindi l’asintoto orizzontale y = 0 (asse delle ascisse).
lim
x→±∞
Calcoliamo la derivata prima della funzione
x2 − 1 − x (2x)
0
f (x) =
2
(x2 − 1)
=−
x2 + 1
2
(x2 − 1)
Analizziamo il segno di f 0 (x) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione.
Il numeratore è sempre negativo, il denominatore è positivo ∀x ∈ D(f ), allora si avrà
f 0 (x) < 0 ∀x ∈ D(f )
La funzione decrescente in tutto il suo dominio e non ci sono punti di minimo o massimo perchè la derivata
non si annulla mai.
Calcoliamo, infine, la derivata seconda della funzione
00
f (x) = −
2
2x x2 − 1 − x2 + 1 2 x2 − 1 2x
4
(x2 − 1)
=
2x x2 + 3
3
(x2 − 1)
Analizziamo il segno di f 00 (x) per determinare la convessità e la concavità della curva ed eventuali punti
di flesso.
Il numeratore è positivo per x ≥ 0, il denominatore, essendo una potenza di indice 3, è maggiore di 0,
quando la sua base è maggiore di 0, quindi per x < −1 e x > 1. Ne segue che
f 00 (x) ≥ 0
f 00 (x) < 0
per − 1 < x ≤ 0 ∪ x > 1
per x < −1 ∪ 0 < x < 1
(f (x) è convessa)
(f (x) è concava)
La derivata seconda si annulla nell’origine, quindi si ha un flesso in O(0,0).
Esercizio 10. Studiare la funzione
f (x) = x −
Il dominio della funzione è D(f )
{x ∈ R : x2 − 1 ≥ 0}.
=
p
x2 − 1
(−∞, −1] ∪ [1, +∞) poiché è determinato dall’ insieme
La funzione non interseca gli assi coordinati, ma agli estremi del dominio (in x = ±1) vale
f (−1) = −1
e
f (1) = 1
Studiamo il segno della funzione. Risolvere f (x) ≥ 0 equivale a risolvere la disequazione
In generale vale:

 f (x) ≥ 0,
p
2n
g(x) ≥ 0
f (x) ≤ g(x) ⇔

f (x) ≤ g 2n (x)
√
allora risolvere la disequazione (•) equivale a risolvere il sistema
 2
 x − 1 ≥ 0,
x≥0
 2
x − 1 ≤ x2
La soluzione di tale sistema ci darà l’intervallo in cui la funzione è positiva. Ne segue che
f (x) > 0
f (x) < 0
per x > 1
per x < −1
2
x2 − 1 ≤ x (•).
Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è D(f ) = (−∞, −1] ∪ [1, +∞), calcoliamo i limiti per x che tende a ±∞.
Per x che tende a +∞ siamo di fronte ad una forma indeterminata (+∞ − ∞) che risolviamo nel modo
seguente
x + √x2 − 1
p
p
2
2
√
lim x − x − 1 = lim x − x − 1 ·
x→+∞
x→+∞
x + x2 − 1
x2 − x2 − 1
√
= lim
x→+∞ x +
x2 − 1
1
√
=0
= lim
x→+∞ x +
x2 − 1
Otteniamo quindi l’asintoto orizzontale y = 0 (asse delle ascisse).
Per x che tende a −∞ si ha
p
lim x − x2 − 1 = −∞
x→−∞
La funzione potrebbe avere un asintoto obliquo, calcoliamo quindi il coefficiente angolare m:
√
x − x2 − 1
f (x)
m = lim
= lim
x→−∞
x→−∞
x
x
q
x − |x| 1 − x12
= lim
x→−∞
x
q
x 1 + 1 − x12
= lim
x→−∞
x
!
r
1
= lim
1+ 1− 2 =2
x→−∞
x
Calcoliamo l’intercetta q dell’eventuale asintoto
q = lim (f (x) − mx)
x→−∞
p
= lim x − x2 − 1 − 2x
x→−∞
p
= lim − x + x2 − 1 = 0
x→−∞
Nota: In risultato si ottiene, come per il caso appena visto (per x che tende a +∞), eliminando l’indeterminazione con la razionalizzazione.
Otteniamo quindi, per x che tende a −∞, l’asintoto obliquo di equazione y = 2x.
Calcoliamo la derivata prima della funzione
2x
f (x) = 1 − √
=
2 x2 − 1
0
√
x2 − 1 − x
√
x2 − 1
Analizziamo il segno di f 0 (x) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione.
Per lo studio di segno del numeratore si veda sopra (studio di segno della funzione), da cui otteniamo che
il numeratore è negativo per x > 1 e non negativo per x < −1 e non si annulla mai. Il denominatore è
sempre positivo. Allora si ha
f 0 (x) > 0
per x < −1
f 0 (x) < 0
per x > 1
La funzione decrescente in (1, +∞) e crescente in (−∞, −1) e non ci sono punti di minimo o massimo
perchè la derivata non si annulla.
Calcoliamo, infine, la derivata seconda della funzione
f 00 (x) =
1
√
(x2 − 1) x2 − 1
3
Analizziamo il segno di f 00 (x) per determinare la convessità e la concavità della curva ed eventuali punti
di flesso.
Il numeratore è una costante positiva, il denominatore è sempre positivo nei punti interni al dominio della
funzione. Ne segue che, non ci sono punti di flesso e la curva volge la concavità verso l’alto in ogni punto
di D(f ).
Esercizio 17. Studiare la funzione
f (x) = e
x−1
x2
Il dominio della funzione è D(f ) = R − {0} poiché è determinato dall’ insieme {x ∈ R : x2 6= 0}.
Studiamo il segno della funzione. Essendo un’esponenziale, f (x) > 0 per ogni x ∈ R − {0}.
Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è R − {0}, calcoliamo i limiti per
x che tende a ±∞ e i limiti destro e sinistro in x = 0.
Si noti che, in generale, vale:
eg(x) −→ +∞ per g (x) −→ +∞
eg(x) −→ 0
per g (x) −→ −∞
Quindi si avrà
lim e
x−1
x2
x→±∞
(
= lim e
x 1− 1
x
x2
)
x→±∞
= lim e
1− 1
x
x
x→±∞
= e0 = 1
poiché l’esponente tende a 0 per x → ±∞. Si ottiene cosı̀ per asintoto orizzontale la retta y = 1.
lim e
x−1
x2
x→0±
= 0+
poiché l’esponente tende a −∞ per x → 0± . Il limite destro coincide con il limite sinistro, pertanto la
funzione può essere prolungata con continuità, ponendo f (0) = 0.
Calcoliamo la derivata prima della funzione
f 0 (x) =
2 − x x−1
e x2
3
Analizziamo il segno di f 0 (x) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione.
Il segno sarà dato dalla funzione razionale fratta in quanto l’esponenziale è sempre non negativa in ogni
punto del dominio. Allora si avrà
f 0 (x) > 0
f 0 (x) < 0
per 0 < x < 2
per x < 0 e x > 2
La derivata prima si annulla in x = 2, quindi si avrà un massimo in (2, f (2))e con lo stesso procedimento
di prima prolungando anche la derivata prima in 0 con continuità, si avrà un minimo nell’origine.
La funzione decrescente in (−∞, 0) ∪ (2, +∞) e crescente in (0, 2).
Il calcolo della derivata seconda è lasciato al lettore.
Esercizio 18. Studiare la funzione
f (x) = ln
Il dominio della funzione è D(f )
{x ∈ R : 2x−3
x−4 > 0}.
=
2x − 3
x−4
(−∞, 32 ) ∪ (4, +∞) poiché è determinato dall’ insieme
La funzione interseca gli assi in due punti: A(0, ln 34 ) e B(-1,0).
Studiamo il segno della funzione. Risolvere la disequazione logaritmica ln
solvere
2x−3
x−4
≥ 1.
4
2x−3
x−4
≥ 0 equivale a ri-
Si ottiene
f (x) ≥ 0
f (x) < 0
per x ≤ −1 e x > 4
per − 1 < x < 23
Analizziamo gli eventuali asintoti della funzione. Poiché il dominio è (−∞, 32 ) ∪ (4, +∞), calcoliamo i
limiti per x che tende a ±∞, il limite destro in 4 e il limite sinistro in 32 .
Si noti che, in generale, vale:
ln g (x) −→ +∞
ln g (x) −→ −∞
per g (x) −→ +∞
per g (x) −→ 0
Quindi si avrà
lim ln
x→±∞
2x − 3
x−4
= lim ln
x→±∞
2−
1−
3
x
4
x
= ln 2
poiché l’argomento del logaritmo tende a 2 per x → ±∞. Si ottiene cosı̀ per asintoto orizzontale la retta
y = ln 2.
2x − 3
lim− ln
= −∞ ( asintoto verticale x = 23 )
x−4
x→ 32
2x − 3
lim ln
= +∞ ( asintoto verticale x = 4)
x−4
x→4+
Calcoliamo la derivata prima della funzione
f 0 (x) = −
5
(2x − 3) (x − 4)
Analizziamo il segno di f 0 (x) per determinare gli intervalli di crescenza e decrescenza della funzione.
Il numeratore è sempre negativo, mentre il denominatore è positivo in ogni punto interno al dominio.
Allora si avrà
f 0 (x) < 0
∀x ∈ D(f )
La funzione è sempre decrescente nel campo d’esistenza e non ci sono punti di massimo e minimo, perchè
la derivata non si annulla.
Calcoliamo, infine, la derivata seconda della funzione
f 00 (x) =
4x − 11
2
2
(2x − 3) (x − 4)
Analizziamo il segno di f 00 (x) per determinare la convessità e la concavità della curva ed eventuali punti
di flesso.
Il denominatore non influisce sul segno della derivata seconda pechè è un quadrato, il numeratore è positivo
per x ≥ 11
4 . Ne segue che, non ci sono punti di flesso e
f 00 (x) > 0
f 00 (x) < 0
per x > 4
per x < 23
5
(f (x) è convessa)
(f (x) è concava).